CC BY
5УДК 57.045:574.24
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕСТО ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ОПЕРАТОРА: ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В СПУТНИКОВЫХ РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ И ГЕОДИНАМИЧЕСКОМ МОНИТОРИНГЕ
Сулейменов И.Э.
В работе показано, что задача о вычислении координат оператора по данным измерений разности псевдодальности, получаемым с помощью спутниковых радионавигационных систем, имеет аналитическое решение. Обсуждаются возможности повышения точности геодинамического мониторинга, а также повышения точности мониторинга состоянии ионосферы и атмосферы в целом с помощью предложенного алгоритма.
Ключевые слова: координаты оператора, радионавигационные системы, геодинамический мониторинг.
Повышение быстродействия спутниковых радионавигационных систем остается актуальной задачей. В частности, в настоящее время для отыскания координат оператора по данным спутниковых измерений используются численных алгоритмы, которые требуют значительных вычислительных ресурсов, а также времени на обработку информации, поскольку для достижения высокой точности требуется проведение большого числа итераций.
Вместе с тем, можно указать целый ряд задач (геодинамический мониторинг, исследование волновых структур в ионосфере и более низких слоях атмосферы), где увеличение временного разрешения (повышения плотности временных рядов данных) способно предоставить в распоряжение исследователей дополнительные возможности.
Рассмотрим исходные уравнения, возникающие при решении задачи местоопределения координат оператора на основании спутниковых измерений. Они имеют вид:
|г0 - Ы| - |г; - Ы| = ё 1, ./ = 1,2,3 С1)
где И - радиус-вектор оператора, г0,г; - радиус-векторы спутников, с// = с'(дг(). с - скорость света, Дг; - разность между моментами прихода сигнала от спутника с
индексом «0» и спутника с индексом «/».
Для проведения измерений, обеспечивающих определение координат, используется 4 спутника, так как не существует возможности синхронизовать часы, находящиеся в распоряжении оператора и часы, относящиеся к космическому сегменту СРНС.
В развернутой записи:
|г, - к| = т/Ь-ху + Ь-ту + Ь-гу (2)
Уравнения вида (1), как известно, приводятся к стандартному виду, описывающему поверхности второго порядка, в частности, каждое уравнений (1) представляет собой уравнение гиперболоида вращения, которое может быть записано в виде:
(г,; - г; - 2(г0 - г»2 - Ы;((г0 - К) + (г, - к)2)
+ = 0
(3)
Для дальнейшего интерес представляет только квадратичная форма, отвечающая каждому из уравнений (3). Выделяя слагаемые, квадратичные по неизвестным переменным, имеем:
Г;,=4([|;-г>)-4^ (4)
Коэффициенты квадратичной формы, таким образом, зависят только от измеряемых на опыте величин = с(д г() и разностей векторов, отвечающих местоположению
спутников. Введем обозначение:
?,=г0-г,
Тогда:
О,=4(^-4^ (5)
Квадратичные формы отвечают матрицам специфического вида, которые можно записать как:
= 4И
т' п3
тГ,3
Х&Х 5 .Г § У &Х& 5
■3 пЗ <уЗ пЗ
д'о.г <Ьу<Ьу о уо:
■3 пЗ <уЗ пЗ
6:оу о:6: у
(1 0
Ы + ^гЫ 0 1 0 и
0 ъ
(6)
Важность возможности представления форм О- в виде (9) определяется следующим обстоятельством. Набор величин можно рассматривать как
(псевдо)тензор, и соответственно считать, что задача об определении неизвестных величин И есть задача о решении квадратного уравнения, записанного в некоторой алгебре и имеющего вид:
И) + Ы* + а = 0 (7)
где . Г12) есть билинейная операция, которая ставит в соответствие двум
векторам (И,. Г12) набор трех величин, который для преследуемых целей можно рассматривать как вектор, хотя он, строго говоря, вектором и не является (т.е. не преобразуется соответствующим образом при преобразовании системы координат); Ь есть линейный оператор, отвечающий линейным членам исходных уравнений (7); Я - «вектор», отвечающий константным членам.
Удобство представления (7) состоит в следующем. Предположим, что для бинарной операции 0(1^, И2) существует такая тройка векторов (с|.с2.с2,). что
д(е;.е,) = 0
(8)
Тогда представление вектора II через указанные векторы
И = ке, + + г,е,
2 2 ^ '3С3
(9)
резко упрощает задачу в силу записи:
0(>1С, + г2е2 + + лс2 + г3е3) =
= ^(в!, ^) ■+ г220(е2, е2) ■+ г320(е3, е3)
2 2 '3С3-'1С1
= 1
(10)
Справедливость (10) означает, что исходные уравнения (3) одновременно могут быть приведены к виду, не содержащему перекрестных членов:
Такой вид уравнений позволяет значительно упростить задачу. В частности, для случая, соответствующего задаче на плоскости, уравнения (11) приводятся к единственному алгебраическому уравнению 4го порядка, которое может быть решено в радикалах. Случай более высоких степеней в радикалах, как известно, не решается, но возникает возможность для резкого уменьшения числа итераций, обеспечивающего отыскание решения с заданной точностью.
Следует подчеркнуть, что хотя запись (8) по виду напоминает условие ортогональности используемых векторов, она принципиально отличается от указанного условия. (8) объединяет в себе три соотношения, которые должны выполняться одновременно. В частности, для конкретного вида используемых форм, условие (8) отвечает выполнению равенств:
одновременно. Легко видеть, что условия (12) существенно отличаются от обычных условий ортогональности.
Для пояснения приема, позволяющего свести задачу к упрощенной форме, рассмотрим упрощенный случай, отвечающий навигационной задаче на плоскости. В этом случае задача сводится к системе двух квадратных уравнений вида
Можно легко показать, что исключение перекрестных членов, содержащих произведение ху. позволяет свести данные уравнения к одному уравнению четвертой степени. Исключение перекрестных членов отвечает переходу к уравнениям вида (11). Покажем, что линейность уравнений вида (12) относительно
ЛцХ2 + ЛХ2у2 + Я13г2 +£1(х,у.г) < ЯпуХ2 + Я22у2 + Я23г2 + Ь2(х, V, г) ^х2 + А, 2у2 + Яз322 + £3(х, V, г)
(П)
(12)
Ь^х2 + Ь\2ху + Ь\2у2 + 2Ь\х + 2 Ъ\у -1 = 0 Ь{хх2 + Ь{2ху + Ь^2 + 2 Ь{х + 2 Ъ\у = 0
(13)
каждого из векторов е; позволяет решать эту задачу, рассматривая более простой
случай, отвечающий задачи на плоскости. Оттолкнемся от линейного преобразования координат вида
У = Л2]х+Л22у
Задача состоит в том, чтобы избавится от перекрестных членов в (13) используя подстановку (14). Т.е. уравнения (14) надо подставить в (13) и отыскать такие значения коэффициентов Л, что перекрестные члены обращаются в ноль. Подчеркнем, что преобразованию подвергаются сразу две кривые второго порядка и поэтому привести их сразу обе к каноническому виду, вообще говоря, нельзя.
При подстановке (14) в (13) вовсе не обязательно следить за полным преобразованием уравнений, достаточно выписать только коэффициенты при перекрестных членах и проследить, чтобы они в совокупности давали ноль (что и отвечает обеспечению выполнений условий (12)). Имеем:
2 + ^12(А 1-^22 ^21А2) 2^22^21 ^22 = ^
Формально записанные уравнения являются нелинейными, однако их можно решить как дробно-линейные. Для этого разделим каждое из записанных уравнений
на произведение ^22^21 • Имеем
\1ЬП^2 + Ь\ 2 + ) + 2622 = 0
о
[2Й1_1И'1М'2 + Ь{2[м\ + м %) + 2Ь22 = О где м\ = Я11/Л21, м>2 = Л12/Л22
Из первого уравнения (19) можно выразить м>2 через и, и подставить во второе. Имеем
- 2 Ь^М!Х (2^22 + Ь\2М!х ) + Ь{.2 (2622 + ¿>12 ) +
+ Ь{2м\ (¿12 + ) + 2Ь1 (¿12 + 2Ь\1-И.-1) = О
Полученное квадратное уравнение определяет возможность сведения системы двух исходных квадратных уравнений к единственному уравнению четвертого порядка.
А именно, рассматриваемые уравнения после исключения перекрестных членов приобретают вид
Ч12У2 - 2(1\ 2З' - ф 2/2 -1 = 0 (18)
- 421х2 + <722У2 - ~ <к\Г~ " 1 = 0 Они могут быть сведены к единственному алгебраическому уравнению. Исключим из первого уравнения члены, содержащие V2, а из второго уравнения - члены.
содержащие х Для этого умножим первое уравнение на q22. а второе на q12 и вычтем результаты друг из друга.
Получаемые этим способом уравнения имеют весьма простую структуру:
x2-a,i-tt,v-c = 0
, - (19)
у' - p2lx- р22у-с2 = 0
которая допускает их сведение к единственному алгебраическому уравнению. Для этого достаточно выразить у из первого уравнения и подставить во второе.
Таким образом, в работе показано, что существует возможность существенного упрощения алгоритма расчета местоположения оператора сугубо аналитическим средствами.
Сулейменов I.E. Анаштичне рпиення задач ипсцевизначення координат оператора: можливосп використовування в супутникових pa.uoiiaiiii auiiiии\ системах i геодинаипчному мошторингу.
У po6oTi показано, що задача обчислення координат оператора за даними вим1рювань р1знищ псевдодальност1, одержуваннм за допомогою супутникових радюнав1гацшних систем, мае анал1тичне ршення. Обговорюються можливост1 шдвшцення точное™ геодшам1чного мон1торингу, а також шдвищення точност1 мон1торингу стану юносфери i атмосфери в ц1лому за допомогою запропонованого алгоритму.
K.rnoMoei слова: координата оператора, радюнавшацшш системи, геодинам1чний мошторинг.
Suleimenov I.E. Analytic decision of task of determining coordinates of operator: possibilities of using it in satellite radionavigate systems and geodynamic monitoring.
The task of calculation of co-ordinates of operator from data of measurings of difference of pseudodistance, got by the satellite radionavigate systems, has the analytical decision.Information about possibilities of increasing of the geodynamic monitoring" s exactness, and increasing of exactness of monitoring of the state of ionosphere and whole atmosphere by the offered algorithm are given. Key words: coordinates of the operator, radionavigating systems, geodynamic monitoring.
Статья поступила в редакцию 25.07.2008 г
