CC BY
73
УДК 62-23
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ
MATHCAD
О.О. Барышникова, З.М. Борискина, А.А. Шубин
Рассматривается решение задач кинематики аналитическим способом. Исследование проводится для плоских рычажных механизмов, обладающих одной подвижностью. Решение выполняется по статически определимым частям механизма -структурным группам. Рассматриваются двухповодковые структурные группы. Статья представляет собой изложение материала, завершающего научные разработки авторов в данном направлении. Используется программный комплекс MathCAD, получивший наиболее широкое применение в последнее время.
Ключевые слова: задачи кинематики, функции положения, аналоги скоростей, аналоги ускорений, структурные группы.
При решении задач динамики машинного агрегата предварительно решаются три задачи кинематики: задача о положениях, задача о скоростях, задача об ускорениях.
В процессе обучения решение этих задач включено в домашние задания и курсовое проектирование. При выполнении домашнего задания по курсу «Теория механизмов и механика машин» студент осваивает графические методы, выполняя построение плана скоростей и плана ускорений. Задачи кинематики могут быть также решены аналитическим методом. При выполнении курсового проекта выбор метода решения задач кинематики остается за студентом. Основное преимущество аналитического метода - высокая точность. Аналитический метод исследования известен давно и описан подробно в [1]. Непосредственное решение для определения функций положения, скоростей и ускорений приводит к решению громоздких уравнений. Затраты времени при этом увеличиваются и велика вероятность ошибки.
В настоящее время эффективно используют различные готовые программные продукты. Наибольшее распространение получила система MathCAD. Решение различных задач с применением системы MathCAD описано в [2, 3 и др.], решению же задач кинематики в них не уделяется должного внимания. В данной работе подробно изложено решение задач кинематики для структурных групп второго порядка (состоящих из двух звеньев). Идея использования алгоритмов решения задач по структурным группам изложена в [4] применительно к задаче динамики.
Несколько примеров применения системы MathCAD к решению поставленной задачи рассмотрены в [5, 6]. Задачам кинематики предшествует задача структурного анализа. То есть уже определили вид первичного ме-
ханизма и тип структурных групп, входящих в состав исследуемого механизма. Алгоритм решения задачи зависит от вида структурной группы. Далее рассмотрены варианты решения задач кинематики отдельно для первичного механизма и структурных групп Ассура второго порядка. Тип группы будем описывать с помощью характеристик входящих в ее состав кинематических пар (вращательных или поступательных) с учетом последовательности их расположения.
Рассмотрим первичный механизм, состоящий из стойки 6 и вращающегося звена 1, показанный на рис. 1.
В
Рис. 1. Первичный механизм
Обобщенную координату связываем с координатой звена первичного механизма. В соответствии с правилом математики обобщенная координата всегда отсчитывается от оси абсцисс против часовой стрелки.
При вращении звена первичного механизма против часовой стрелки обобщенная координата и координата звена первичного механизма связаны соотношением ф^ (р) (риач + (р.
Если звено вращается по часовой стрелке, то связь координат может быть выражена соотношением: ф^(ф) := фяг/ч - (р
Здесь знак «-» учитывает направление вращения звена 1 против часовой стрелки, а значение Ц>иач выбрано в качестве начального для отсчета координаты Фх(ф) - При выполнении курсового проекта в качестве (риач удобно выбрать значение угла поворота звена 1, соответствующее крайнему положению механизма.
Задача о положениях для начального звена решена следующим образом:
хв (ф) 1\ - сов^ (ф)); ув ф) =!г БшСф! (ф)).
Для решения задачи о скоростях и задачи об ускорениях можно самостоятельно дифференцировать функции положения по времени. Но такой подход приводит к громоздким выражениям. Поэтому решаем задачу об аналогах скоростей и ускорений, дифференцируя функции положения по обобщенной координате:
(1)
(2)
ср-
СЗ)
¿/ф
(4)
а
Для определения скоростей и ускорений используем формулы перехода:
Дальнейшее исследование проводим по структурным группам в порядке их присоединения к первичному механизму.
Структурная группа ВПП (в состав входят вращательная кинематическая пара и две поступательных).
Дано: хв, ув - координаты точки, известные из предыдущего решения; хдг, ун - координаты характерной точки на направляющей выходного звена; а - угол наклона направляющей выходного звена.
Движение звена 3 в данной структурной группы поступательное, а звена 2 - плоское (рис. 2).
*Вх(Ф) :=у0Д*(ф)-®> :=^Ву(ф)'00'
аВх (Ф) адВх (Ф)'0)2 + *дВх (ф)'г >
<*Ву(Ф) := адВу(Ф)•0)2 + удВу(Ф)£-
(5)
(6)
(7)
(8)
Рис. 2. Структурная группа ВПП
51
Решаем задачу об анапогах скоростей и ускорений, дифференцируя функции положения по обобщенной координате (формулы анапогичны (1) -(4)). Скорости и ускорения находим, используя формулы перехода (5) - (8).
/7:=0.1 xxt3:=0.6 yyt3:=0A, Given
хв (ф) + li ■ cos(a -у) = щз >
к
(ф) + • sin(a - —) = W3 -УУ(3 = УЫ + tan(°0 • (xxt3 ~xN)>
;;с(ф) := Fwd(xxí3 > УУгз >■h) •
М ф)>
Если направляющая расположена вертикально, то решение с использованием тангенса угла невозможно. Решение выполняем, используя проекции на ось абсцисс. Решение в этом случае становится существенно проще (рис. 3).
Структурная группа ПВП (образована поступательной, вращательной и поступательной кинематическими парами).
Дано: xD, yD - координаты входной точки; yN - координаты характерной точки на направляющей выходного звена; ф3 - угловая координата звена 3; а - угол наклона направляющей выходного звена; р -угол между элементами звена 3.
0.3 0.2
12(Ф)
0.1 о
0 2 4 6 8
Ф
Рис. 3. График изменения расстояния между точками В и С
52
В состав рассматриваемой структурной группы входят звенья 4 и 5. Решение опирается на координаты точки £> и угловую координату звена 3 (Фз), найденные из предыдущего решения. Для наглядности алгоритма решения на рис. 4 показаны структурная группа, состоящая из звеньев 4 и 5, и звено 3, входящее в состав другой структурной группы.
Рис. 4. Структурная группа ПВП
В соответствии с исходными данными на базе предыдущего решения определяем функцию положения звена 4 (Ф4):
ф4(ф) :=фз(ф) + р + 71?
1 е:= 0.1 ххя =0.6 yyt3:=0.2, Given
XD + lde e С08(ф4(ф)) = xxt3 ?
УУгъ =yN + tan(°0'(xxt3 ~xN),
Уе( Ф) -=Firid(xxt3>yyt3>]cIe)-KlDE( Ф)>
Функция положения точки Е на звене 5 найдена в виде проекций в процессе использования конструкции Given - Find. Определение скоростей и ускорений выполняем по формулам (5) - (8), предварительно определив аналоги по формулам (1) - (4) (рис. 5).
53
0.4
ЬЕ(Ф) 0.3
0.25
0.35
0.2
0
2
4
6
8
Ф
Рис. 5. График изменения расстояния между точками Т> и Е
Структурная группа ВВП (в составе две вращательных и одна поступательная кинематические пары).
Дано:хр, ур, уЕ - координаты точек В и Е. Точка Е принадлежит как 4 звену, так и звену 5 (внутренний шарнир). Точка В является входной точкой, лежащей на звене 4. Как показано на рис. 6, 7 положение звена 4 характеризуется угловой координатой ср4:
5
Рис. 6. Структурная группа ВВП
хтт (ф) -=хе( Ф)-*о(Ф)> Утт (ф) := ^(ф)-^(ф),
Ф4(Ф)
ФФ1 (ф) ^ Х/тЧф^О, (фф! (ф) + к) оЛегшэе,
хтт(ф) := хЕ(ф)-х0(ф) УТТ(Ф) := УЕ(Ф)-УЭ(Ф)
1тт(Ф) := Л/ХТТ(Ф)2 + УТТ(Ф)2
фф|(ф) := аэт
Утт(Ф) "тт(ф)
Ф4(Ф) :=
ФФ|(Ф) if ХТТ(ф)>0 (фф| (ф) + 7г) оШепмзе
Рис. 7. График найденной функции положения звена 4
Задача о положениях решена. По формулам (1) - (8) находим скорости и ускорения.
Структурная группа ПВВ (образована поступательной парой и двумя вращательными).
Дано: хр, у^, - координаты точек.
В состав рассматриваемой структурной группы входят звенья 4 и 5. Решение опирается на координаты точки В, найденные из предыдущего решения. Для наглядности алгоритма решения на рис. 8, 9 показаны структурная группа, состоящая из звеньев 4 и 5, и звено, на котором расположена точка £>, входящее в состав другой структурной группы.
55
Рис. 8. Структурная группа ПВВ
ке-= 0 2 Ф?5 := у в^еп
(Ф) + ке ■ С05(ф4(ф)) = хк + /5 • С08(ф/5) 3;1)(Ф) + Ье ' 5ш(ф4(ф)) = хк + /5 • 81п(ф/5)
%е{ фЛ
Ф5(Ф)
:=РШ[1ае, ф/5)
ф5(ф)15 йе9 ю
0.14
0.12
Ье(Ф)
0.08
ф
Рис. 9. Результаты расчета структурной группы ПВВ
56
ХЕ (Ф) := ХВ (Ф) + 1ВЕ (Ф) • С08(Ф4(Ф)) , УЕ (Ф):= У В (Ф) + 1ВЕ (Ф) • (Ф)) •
Решив задачу о положениях, переходим к задачам о скоростях и ускорениях.
Применение системы МаШСаё к исследованию кинематики плоских рычажных механизмов позволило точно и наглядно решить поставленную задачу с минимальными затратами времени. В данной работе рассмотрены основные виды структурных групп второго порядка. Описанные алгоритмы исследования рекомендуется использовать при решении задач кинематики сложных рычажных механизмов. Эффективно данная методика применяется в процессе обучения по курсу «Теория механизмов и механика машин» при выполнении домашних заданий и курсового проектирования.
Список литературы
1. Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование: учеб. пособие для вузов / В.В. Кузенков [и др.]; ред. Тимофеев Г.А., Умнов Н.В. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. 169 с.
2. Исследование движения машинного агрегата в системе МаШСЛО: учебно-методическое пособие / О.О. Барышникова, В.В. Кузенков, Г.А. Тимофеев, Ф.И. Фурсяк. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 44 с.
3. Анцев В.Ю., Толоконников А.С., Калабин П.Ю. Оптимизация металлических конструкций грузоподъемных машин мостового типа // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. Вып. 4. С. 18 - 22.
4. Силовой расчет механизмов: учеб. пособие / Г. А. Тимофеев, В .Б. Тарабарин, Л .А. Черная, О.О. Барышникова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 88 с.
5. Барышникова О.О., Борискина З.М. Решение задач кинематики аналитическим способом с применением системы МаШСЛО // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 11. С. 495 - 501.
6. Учебное пособие по ТММ / О. О. Барышникова, Г .А. Тимофеев, М.В. Самойлова, Д.В. Сащенко.
Барышникова Ольга Олеговна, канд. техн. наук, доц., Ьаг\sh-ooа,hmst.ii.ги, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
Борискина Зягря Михайловна, канд. техн. наук, доц., Ььагу^И-оо а Ьпт.и.ги, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,
Шубин Александр Анатольевич, канд. техн. наук, доц., barysh-oo@bmstu.ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана
ANALYTICAL SOLUTION OF PROBLEMS KINEMATICS OF LINKAGE MECHANISMS WITH THE USE OFMATHCAD
O.O. Baryshnikova, Z.M. Boriskina, A.A. Shubin
In this paper we consider the solution of problems kinematics of the analytical method. The study is carried out for a flat lever mechanisms with mobility one. The decision is made statically determinate by parts IU-charisma - structural groups. Discusses dwuhpuch-kova structural group. The article is a presentation of the material, the final research and development the authors in this direction. Used MathCAD software, the most widely used in recent times.
Key words: kinematic problem, the function position, velocity analogues, analogues of accelerations, of structural group.
Baryshnikova Ol'ga Olegovna, candidate of technical sciences, docent, barysh-oo@bmstu.ru, Russia, Moscow, Moscow State Technical University named of N.E. Bauman,
Boriskina Zjagrja Mihajlovna, candidate of technical science, docent, barysh-oo@bmstu.ru, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Moscow State Technical University named of N.E. Bauman,
Shubin Aleksandr Anatol'evich, candidate of technical science, docent, barysh-oo@bmstu.ru, Russia, Kaluga, Kaluga branch of Moscow State Technical University named of N.E. Bauman
