CC BY
56
УДК 656.7.071.13:519.234
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ОШИБОК ПИЛОТА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
В.А. БОРСОЕВ, А.М. ЛЕБЕДЕВ, С.М. СТЕПАНОВ
В статье предложено аналитическое и графическое решение системы дифференциальных уравнений для ошибок пилота первого и второго рода.
Ключевые слова: ошибки операторов, система дифференциальных уравнений.
Первая область при 0 < 1 < т, при этом 1(1- т)= 0 Р^0)=1, остальные начальные условия нулевые. Вторая область при 1 > т , при этом 1(1- т)=1 Начальными условиями будут переменные при 1= т Решение системы для первой области определения
Для этой области система примет вид (2), размеченный граф состояний приведен на рис. 1.
Рис. 1. Размеченный граф состояний для области 1 < т
йРо йі йРа _ йі йРь
йі
= - ( Ла+^в+ Ак) Ро + ІМ Рм
- іа Ро
кір Ро
(1)
^ = ікРо йі
^ = (1-кЩ Ро аі
йРп - Л Р - -ЛМ Рм
йі
где Ро (0)=Ра(0)= Рр (0)= Р(0)= 0(0) = 0; Рм(0)=1.
Последнее уравнение системы можно решить методом разделения переменных
йРп
йі
-Хм &; 1пРм— - Хм 1+ с;
Рм=СЄ'^1.
Исходя из начального условия Рм(0)=1 определяется постоянная интегрирования
Рк(0)= се-0 ; С= Рк(0)=1 => С=1.
Окончательно Рм(1)= е-Хп , при 1 < т.
Рм(1)= е-Хп . (2)
Решение первого уравнения системы Р0 можно получить как решение дифференциального уравнения первого порядка с правой частью специального вида
йРо
йі
- ( Ха+Хр+ Хк) Ро + Хм * е Хп1;
йРо
йі
+ ( Х„+Хр+ Хк) Ро — 0.
Общее решение дифференциального уравнения
Р (1)= се-( Ха+Х + Хк)1 Р0(1) се в .
По принципу суперпозиции решение дифференциального уравнения есть сумма общего решения с частным решением.
Частное решение ищется в виде
Ро = Ае
Подставляем его в исходное уравнение
-Хп1
где Л=С0ПБ1.
-Хм Ае-Хп +( Хх+Хр+ Хк) Ае-лш —Апе-лш —>
-Хп .
-Хп1
А( Х„+Хр+ Хк -Хм) — Хм ;
А—
К
К + К +1к -1м
Таким образом, общее решение
Ро(0)— се
__ _ ■( Ха+Х + Хк)1 +
в
Ка+К+Кк -КМ
е-Хп —0.
Постоянная С определяется из начального условия
Р0(0) = С+---------Т1.-г ( е-Х|“ - е-( Ха+Хр+ Х,)| )=> с= 1
1+1+1 _1 ' 1+1+11
Частное решение будет иметь вид
Р (,)-------1- ( е-Хп е-( Ха+Хр+ Хк)1 ) (3)
ро(,)= 1+1+1 _1 ( е ■ е > <3)
Далее рассматривается уравнение
(ИР
— = ХкРо (1); аХ
—Р 111К , ^-Хй -( Ха+Хр+ Хк)1 ч.
—Х 1 +1 +1 1
( е-хп, е-( ха+хр+ хк), ).
11
Р=1-------------о-о-Т /( е-Хп1 - е-( Ха+Хр+ Хк)1 )^+с;
1+1+1 1
11 1 1 Р(,)=------------ (---------- е-( Ха+Хр+ Хк)1 —— )+с
Р(1Ь 1+1+1 _1 • (1+1+1е ■ 1«е )+С.
По начальному условию подбирается постоянная интегрирования.
I1
1
1а+1Ь+1к-1 ^1+1+1 1 ) ;
11 1 1 11 (1+1_1) 1
С=1+111 (1 ■ 1,1,1)=------------------------- к
1а+1р+1к-1 1 1+1+1 (1а+1+1 _11 (1а+1+1) 1а+1+1к
Окончательно
и 1 1
Р(1)= 1----о----о---Г* ( о ,0 , о е-( Ха+Хр+ Хк)1 -1 е-Хп )+ 0,0,0.
1+1+1 _1 1а+1+1 1 1а+1+1
По аналогии можно записать решение для Ра(1), Рр(1), 0(1)
-Ра = Р0 (Х)1а Ра=Ха! Ро(1^1= ---------------- I е-Хп - е-( Ха+Хр+ Хк)1 ё,+С=
1а+1ь+1к -11 1а+1+1к
1
е
11 - 1 _ 1 С 1а+1р+1к-11(1 1+1+1 ) 1а+1р+1к ’
11 1 1 1 р (,)=------------(----------- е-( Ха+Хр+ Хк)1 е-Хп )+--- (4)
а 1а+1р+1к _1 1а+1р+1к 1 1а+1 +1
Следующее уравнение
-РР- к ХрРо; Рр= к Хр I Ро (1)ё1+с;
-Х
Ц 1 1
Р =------------- (----е-( Ха+Хр+ Хк)1 —— е-Хп )+
Рр 1+1+1 _1 (1+1+1е ■1е ) с
1
11 1
р( ) 1а+1р+1к _1^ 1+1+1 11 ) ;
11 1 к1р
С= 3 _ 3 ( 1 3 3 3 )=
1а+1р+1к _1 1 1а+1+1к 1а+1+1к
Окончательно
Рр(1)=--------Р~----(----е-( Ха+Хр+ Хк)1 - е-Хп )+--- ------. (5)
1+1+1к _1 1+1+А 1 1+1 +1к
Следующее уравнение
-0 - (1-к)Хр Ро
-Х
Решение можно записать по аналогии
0(,)= (1 ЩА- (------------ е-( Ха+Хр+ ^ - -1 е-Хпг )+ (1 ^ . (6)
1+1+1к -11 1а+1р+1к 1 1а+1р+1к
Учитывая то, что должно выполняться условие
Р(1)+ Ра(1)+ Рр (1)+ 0(1)+ Р0 (1)+ Рм (1)=1.
Для проверки надо сгруппировать выражения, содержащие одни и те же экспоненты. Суммированные члены по столбцам
1 1К + 1а + к1р + (1_к)1р = Да + 1к + к1Р +1р _ к1Р = 1а+1р +1 = ^
1а+1р+1к 1а+1р+1к 1а+1р+1к 1а+1р+1к 1а + 1р + 1к
1
2.
1
1
1
1+1+1 -1 1+1+1 -1 1+1+1 -1 1+1+А -1
(1-Щд
+ 1
1а+1р+1к -1
1
3.
111 ^р 1 +к1р 1+1+1 -1
11
■+1=1 -
(1+1 -1)
(1 +1 +1 -11)
=1-1=0.
1+1+1 1 (1+1+1 -1 )(1+1р+1) ____11__________ к1р1ы
(1а +1р +1 -1ы)(1а+1р+1К) (1+1р+1к -1 )(1+1р+1)
^Щ1 1 +_________1________
(1+1р+1 -1)(1+1р+1) 1+1+1 -1 (1+1р+1 -1)(1+1р+1к)
_ 1 . 1 (1 +1 +1_____1
(Хк + Ха +кХр + Хр - кХр) — 1
1+1р+1к -1 (1а +1 +1 -1 )(1а+1+1) 1а+1р+1к -1 (1+1р+1к -1)
=0
Таким образом, верификация успешно проведена.
Как было отмечено выше, решение системы (1) в аналитической форме затруднительно. К этой же системе сводится система (3) при рассмотрении области 1 > т. Для сохранения аналитического подхода можно сделать еще одно допущение о том, что заявки на выполнение команд управления не поступают, т.е. Ха—Х— Хк —Х^—0.
Тогда система примет вид
<
Сіро йі
йРа
йі
йРр йі йр _ йі
іа _ йі
йРп
: +
Ца Ра+ Цр Рр+ Цк Рк
V
йі
- Ца Ра
_- Цр РР - Ц кР
: 0
_ Ц кР
Рм(0)= Рк(х) Ра(0)= Ра(т) Рр (0)= Рр (т) Р(0)= Р(т) 0(0) = 0(т) Ро (0)= Ро (т). Выбран новый отчет начала времени.
Решение для второго уравнения
ар а
— = - Ца Ра ; Ра(т)= се*"* ; Ра(0)= С= Ра(т); аХ
Ра(1)= Ра(т) е-Ца1;
аРЬ = - цР РР =РР сецР ; РР (0)= РР (т)=С =>
аХ
РР(0 = РР (т)е-цР
Следующее уравнение
ар
— = - ц кР ; Р= сецР ; Р (1)= Р (т) ецк1; аХ
= 0 => 0=СОПБ1 , т.е. 0=0(1).
аХ
Последнее уравнение
аРп „ аРп „ . . ..к
— = ц кР ; —= Ц кР (т) ецк1;
аХ аХ
ёРм =Ц кР (т) 1 е-цк1+С;
Рм = -Р (т) е"цк1+С;
Рк(0)= Рм (т)= -Р (т) е-цк*0+С ; Рм (т)= -Р (т) +С;
С= Рм (т)+ Рм (т);
Рм (1)= Рм (т)+ Р (т)( 1 - ецк1).
Таким образом по данным решения можно построить графики решения, достоверные для моментов времени от т до т +1Ак , т.е. на интервале математического ожидания времени поступления команд.
Ро, Ры
* 1 к
^\Рм Т
0 / " w \
/
Рис. 2. График изменения вероятности по времени:
Р0 - необходимость выполнения операции (команды);
Рм - полет нормальный, нет необходимости выполнения операции
Выводы
Определены финальные вероятности состояний для предложенной матмодели. Получены аналитические и графические решения системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1964.
2. Меденков А.А. Актуальные проблемы авиационной эргономики // Проблемы психологии и эргономики. - 2005. - Вып. 3.
3. Носов Н.А. Ошибки пилота: психологические причины. - М.: Транспорт, 1990.
4. Александровская Л.Н., Круглов А.Г., Кузнецов А.Г. и др. Теоретические основы испытаний и экспериментальная обработка сложных технических систем и др. - М.: Высшая школа, 2002.
ANALYTICAL SOLUTION OF KOLMOGOROV DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR PILOTS MISTAKES OF TYPE 1 AND TYPE 2
Borsoev V.A., Lebedev А.М., Stepanov S.M.
The article presents analytical and graphic solution of differential equations system for pilot s mistakes of type 1 and type 2.
Key words: operator errors, differential equation system.
Сведения об авторах
Борсоев Владимир Александрович, 1949 г.р., окончил КИИГА (1976), доктор технических наук, профессор СибГАУ, автор более 140 научных работ, область научных интересов - навигационное обеспечение полетов и управление воздушными судами.
Лебедев Алексей Михайлович, 1947 г.р., окончил КАИ (1971), доктор технических наук, доцент УВАУ ГА(И), автор более 80 научных работ, область научных интересов - безопасность полетов, математическое моделирование испытаний.
Степанов Сергей Михайлович, 1959 г.р., окончил РКИИ ГА (1982), доцент кафедры АТ УВАУ ГА(И), автор более 50 научных работ, область научных интересов - система качества, управление, подготовка и управление персоналом.
