АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление в технических системах Control in Technical Systems

Научная статья УДК 681.5

doi: 10.14529/ctcr220103

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ Александр Иванович Телегин

Южно-Уральский государственный университет, филиал в г. Миассе, г. Миасс, Россия, teleginai@susu. ru

Аннотация. Целью исследования является решение проблемы вывода явного аналитического вида и громоздкости уравнений динамики систем тел. Методы исследования относятся к механике систем тел и системному анализу. Результаты исследования позволяют для систем тел с одной открытой ветвью выписывать формулы вычисления сил и моментов сил в их сочленениях, что продемонстрировано в примерах выписывания аналитических видов уравнений динамики манипуляторов промышленных роботов с тремя и шестью степенями свободы в пространстве. Для них получены по три вида уравнения динамики. Первые уравнения выписаны в скалярно-координатном виде с явно выраженными квазиускорениями и скоростями, роль которых играют проекции абсолютных угловых ускорений и скоростей тел на их связанные оси. Вторые записаны в векторно-матричном виде и получены из первого в процессе замены квазиускорений на относительные линейные и угловые ускорения тел с выделением симметричной матрицы инерционных коэффициентов. Третий вид уравнений динамики получен из второго в процессе замены квазискоростей на относительные линейные и угловые скорости тел. В третьем виде явно выражены центробежные, Кориолисовы и гироскопические инерционные силы. Последние позволяют упростить формулу вычисления потребляемой мощности приводов, а также упростить формулу Тимофеева вычисления движущих сил и моментов сил, обеспечивающих управление программным движением тел манипуляторов с заданным качеством. В примерах демонстрируется методика повторного использования формул для манипуляторов с совпадающими кинематическими схемами их подсистем. В уравнениях динамики явно выражены геометрические, кинематические, статические и инерционные параметры тел. Множители при ускорениях и произведениях скоростей в выписанных уравнениях динамики являются оптимальными в смысле минимума арифметических операций (сложений и умножений), необходимых для их вычислений. Заключение. Все аналитические виды уравнений динамики верифицированы, они занимают несколько строк текста, и их дальнейшее упрощение практически невозможно.

Ключевые слова: промышленный робот, уравнения динамики, квазискорости, выписывание формул, направляющие косинусы, верификация уравнений

Благодарности: Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Челябинской области в рамках научного проекта 20-41-740019.

Для цитирования: Телегин А.И. Аналитическое решение первой задачи динамики манипуляторов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2022. Т. 22, № 1. С. 28-52. doi: 10.14529/ctcr220103.

Original article

doi: 10.14529/ctcr220103

ANALYTICAL SOLUTION OF THE FIRST PROBLEM OF THE MANIPULATORS' DYNAMICS

Aleksandr I. Telegin

South Ural State University, Miass, Russia, teleginai@susu.ru

Abstract. The aim is to solve the problem of deriving an explicit analytical form and the cumbersome of the equations of dynamics of body systems. The research methods refer to the mechanics of body systems and systems analysis. The research results allow to write out formulas for calculating forces and

© Телегин А.И., 2022

moments of forces in the joints of the systems of bodies with one open branch. It is demonstrated in examples of writing out analytical types of equations of dynamics of industrial robot arms with three and six degrees of freedom in space. Three kinds of equations of dynamics were obtained for such manipulators. The first equations are written out in scalar-coordinate form with explicit quasi-accelerations and velocities, whose role is played by the projections of absolute angular accelerations and velocities of bodies on their connected axes. The second ones are written in vector-matrix form and are obtained from the former in the process of replacing quasi-accelerations by relative linear and angular accelerations of bodies with the allocation of a symmetric matrix of inertial coefficients. The third kind of equations of dynamics is obtained from the second one in the process of replacing quasi-velocities by relative linear and angular velocities of bodies. In the third form, the centrifugal, Coriolis, and gyroscopic inertial forces are clearly expressed. Gyroscopic inertial forces allow us to simplify the formula for calculating the power consumption of drives, as well as to simplify the Timofeev formula for calculating the driving forces and moments of forces that provide control of the program motion of manipulator bodies with a given quality. A technique for reusing formulas for manipulators with matching kinematic diagrams of their subsystems is demonstrated in the examples . Geometric, kinematic, static and inertial parameters of bodies are explicitly expressed in the equations of dynamics The multipliers for accelerations and products of velocities in the equations of dynamics are optimal in the sense of the minimum of arithmetic operations (additions and multiplications) required for their calculations. Conclusion. All analytical types of equations of dynamics are verified. They occupy several lines of text and further simplification is practically impossible.

Keywords: industrial robot, equations of dynamics, quasi-velocities, writing out of formulas, direction cosines, equations verification

Acknowledgments: The study was financially supported by the RFBR and the Chelyabinsk Region within the framework of the scientific project 20-41-740019.

For citation: Telegin A.I. Analytical solution of the first problem of the manipulators' dynamics. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. 2022;22(1):28-52. (In Russ.) doi: 10.14529/ctcr220103.

Введение

Основной проблемой практического использования уравнений динамики (УД) систем тел (СТ) является их сложность. Из-за громоздкости аналитических видов УД разрабатываются пошагово-алгоритмические методы исследования СТ. Известны различные формулы вычисления УД СТ и им соответствующее ПО. Рассматриваются как конкретные СТ [1-5], так и классы СТ [6]. Решаются задачи динамики [7] и управления движением тел СТ [8]. Однако такие методы не позволяют эффективно решать задачи синтеза СТ с заданными динамическими свойствами [9, 10], а также синтезировать адаптивные ПИД-регуляторы программных движений тел СТ или решать задачи оптимального управления СТ в реальном масштабе времени.

Актуальна задача разработки формализмов выписывания УД конкретных СТ, т. е. выполнения последовательности формальных действий по конкретизации общих формул без выполнения математических операций (вычисления производных, возведений выражений в квадрат, алгебраических и тригонометрических упрощений и т. д.). Решение этой задачи позволит автоматизировать процесс выписывания УД СТ в явном аналитическом виде с минимальным количеством арифметических операций.

Постановка задачи. В статье ставится задача разработать простой формализм выписывания аналитического вида УД СТ с одной открытой ветвью (СТОВ) и практически продемонстрировать его на примерах выписывания УД манипуляторов с поступательными и вращательными сочленениями с тремя и шестью подвижными телами и минимальным числом арифметических операций.

1. Формулы выписывания УД МС

Присвоим неподвижному телу СТОВ (стойке, станине) нулевой номер и свяжем с ним точку 0о = О. Назовем его неподвижным телом осчета (НТО). Следующие за НТО подвижные тела занумеруем числами 1, 2, ..., N где N - количество подвижных тел СТОВ. Введем в обращение величины: т0; - масса и обозначение тела с номером ц О; - полюс тела т0;, т. е. фиксированная точка тела т0;; Г; - вектор, проведенный из точки О в точку О;; Я; - вектор, проведенный из точки О;-! в точку О;; С; - центр масс (ЦМ) тела т0;; С; - орт, направленный из точки О; в точку С;;

К; - кинетический момент тела m0; относительно точки Oj; g - ускорение свободного падения; у0 = у - орт вертикали, т. е. g = -gy; m; = £k=i mok - масса и обозначение подсистемы СТОВ, состоящей из тела moi и всех следующих за ним тел; F;, М; - главный вектор и момент сил, действующих на тело m0; со стороны тела т^^ и приведенных к точке O;.

Для СТОВ имеют место формулы:

Fj = mjfj + mj + mgjy ; (1.1)

Mj = mj x 15 + Eüj K; + 2?Lj+1 [(mjRi + mj) x R; + R; x ntj] + Gj, (1.2)

где mj = (mciCi + mi+1Ri+1), mci = moi|0,Ci|, RN+1 = 0, mgj = mjg, Gj = gmj x y.

1.1. Доказательство формул (1.1), (1.2). Мысленно разорвём связи тела m0j с соседними телами. Действие тела m0j_! на тело m0j определяется векторами Fj, Mj. Тогда действие тела m0j+1 на тело m0j определяется векторами (—Fj+1), (—Mj+1), где момент силы Mj+1 взят относительно точки Oj+1. Следовательно, m0jWCj = mQjg+ Fj — Fj+1, где Wcj - абсолютное ускорение ЦМ тела m0j. Отсюда следует формула Fj = mQj(WCj — g) + Fj+1. С использованием обозначения b; = moi(Wci — g) эта формула примет вид F; = b; + Fi+1. После рекуррентных вложений для i = N, N — 1, ...,j с учетом равенства FN+1 = 0 и обозначения mj получим Fj = £ilj b; = = EiLj moi(Wci — g) = EiLj moiWci — mjg. Отсюда, учитывая равенство mojWcj = mojfj + mcjCj, получим Fj = £ilj (moir^ + mciCi) — mjg. С учетом представления = £k=1 Rk = Ek=i F^k + + Ek=j+i F^k и формулы aiXk=j+i bk = Ek=j+i bkEilk ai изменения порядка суммирования получим

Fj = lilj [moi (lU Ftk + Ek=j+i F^k) + mciCi] — mjg = mj £|=1 Fl; + Ri Ek=i mok + + Eh mciCi — mjg = mjfj + ElLj mciCi + Eiij+1 miF^i + mgjy.

С учётом равенства Eilj+i a; = Eilj aj+1, где aN+1 = 0 и обозначения mj получим

liLj mciCi + EiLj+i miF^i = Eilj (mciCi + mi+iFli+1) = mj. С учетом этого выражения последняя формула вычисления силы Fj принимает искомый вид (1.1).

После мысленного разрыва связей тела m0j с соседними телами можно считать, что тело m0j вращается вокруг своего полюса под действием моментов сил Mj, —Mj+1, mcjCj x g, —Rj+i x Fj+1, а также момента —mcjCj x fj инерционной силы поступательного движения тела m0j. Тогда имеет место следующее УД вращательного движения тела m0j вокруг своего полюса: Kj = Mj — Mj+1 + mcjCj xg — Rj+1 x Fj+1 — mcjCj x fj. Отсюда с учётом формулы (1.1) получим Kj = Mj — Mj+1 + mcjCj xg — Rj+1 x [mj+1(fj + Rj+1 — g) + mj+1] — mcjCj x fj. Выразим отсюда Mj. Тогда получим

Mj = Kj + Mj+1 — (mCjCj + mj+1Rj+1) x g + (mcjCj + mj+1Rj+1) x fj + mj+1Rj+1 x Rj+1 +

+Rj+1 x mj+1 = bj + Mj+1, где bj = mrj x (fj — g) + Kj + m j+iRj+i x Ftj+i + Rj+i x ri^^ mrj = mCjCj + mj+1Rj+1. После рекуррентных вложений формулы М; = b; + Mi+1 для i = N, N — 1,..., j получим Mj = Xilj bj. Для i > j справедливо представление f; = fj + Rjj, где Rjj = £k=j Rk - вектор, проведенный из точки Oj в точку O;. Следовательно, с учетом обозначения mj получим

Eüj mri x fj = SfLj mri x fj + E?Lj mri x Ft.ji = mj x fj + ^ mri x % и с учетом равенства Rjj = 0 формула вычисления Mj принимает вид

Mj = mj x (fj — g) + Elj К; + EiLj+i (mjRi x R; + mri x % + R; x mj). (1.3)

Из (1.3), используя равенство Gj = —mj xg = gmj x у и

ir=j+i mri x Rji = Eilj+i rnri x Rk = Ek=j+1 E|lk mri x Ftk =

= £k=j+1 mk x Rk = EiLj+i m; x Fl;, (1.4)

получим искомую формулу (1.2). Формулы (1.1), (1.2) доказаны.

1.2. Движущие силы и моменты сил. До сих пор никаких ограничений на связи тел в сочленениях СТОВ не накладывалось. По классификации, принятой в теории механизмов и машин, тела СТОВ могут образовывать друг с другом различные кинематические пары (КП), например, поступательные, вращательные, винтовые, шаровые и т. д. В манипуляционных системах (МС) роботов, как правило, используются вращательные КП (ВКП) и поступательные КП (ПКП). Поэтому остановимся подробнее на их описании и, в первую очередь, выделим из Fj и Mj динамические реакции (реактивные составляющие) и движущие силы и/или моменты сил, развиваемые приводами МС.

Реактивные составляющие в КПф удерживают тело m0j от движений, не допускаемых связями. Движущие составляющие обеспечивают движение тела m0j относительно тела m0j_! в направлениях, допускаемых связями в КПф. Выделим из Fj, Mj реактивные и движущие составляющие в ПКП и ВКП.

В ПКЩ) тело m0j может двигаться поступательно относительно тела т0|_г вдоль оси Oj_1pj, жестко связанной с телом m0j_!, где Pj - орт оси ПКПф. Движущей в ПКПф является сила Fj = pj • Fj. Проекция силы Fj на плоскость, перпендикулярную оси OjPj, является реактивной. Момент силы Mj является реактивным.

В ВКЩ) тело m0j может вращаться относительно тела m0j_! вокруг оси Ojqj, жестко связанной с телом т0]_ъ где qj - орт оси ВКПО). К реактивным в ВКПф относятся сила Fj и момент силы относительно точки Oj, перпендикулярный оси Oj qj. К движущим в ВКПф относится момент силы Mj = qj • Mj относительно оси Oj qj.

Перед выводом УД СТОВ рекомендуется изобразить кинематическую схему (далее - схему) этой СТОВ. На схеме полюс тела moi будем изображать точкой c надписью Oj, а ЦМ - перекрестием c надписью Cj. Для ВКП(1) полюс тела выбираем на оси его относительного вращения. Если оси вращения соседних ВКП пересекаются, то полюса их тел рекомендуем совмещать. Тогда максимальное число межполюсных векторов R; = О^О; обнулится. На схеме тела всех ВКП условимся изображать в исходном относительном положении, т. е. когда q; = 0, где q; - угол поворота тела moi вокруг оси O^q; относительно тела т0}_г. Если смотреть навстречу оси O^qj, то поворот против хода стрелки часов считается положительным.

В КП(1) величины qj, q; и q;, описывающие положение, скорость и ускорение в движении тела moi относительно тела т0}_г, будем называть соответственно обобщенной координатой (ОК), обобщенной скоростью (ОС) и обобщенным ускорением (ОУ) тела т0;.

1.3. Кинетический момент. Кинетический момент тела т0; относительно своего полюса O; вычисляется по формуле К; = I; • W;, где I; - тензор инерции тела moi в полюсе Ob - абсолютная угловая скорость тела moi. Для вычисления вектора К; достаточно знать тензор I; и вектор

в одной и той же системе координат (СК). Если в качестве такой СК взять связанную с телом т0; СК (ССК(1)), то в ней элементы тензора I; будут постоянными. Здесь элементы тензора I; задаются в ССК(0 OiXjyiZj, где хь уь Z; - орты осей этой СК.

В дальнейшем будем пользоваться символами ?, n, Z, v, M, принимающими значения на множестве символов {x, y, z}. Для сокращения записей будем использовать знаки суммирования по этим символам. Тогда, например, разложение вектора по ортам ССК(1) можно записывать в виде = œfXj + œfyi + œfz; = I? œ?^, где œf, œf, œf - проекции вектора на оси ССК(0.

Для сокращения записей векторного произведения орт ССК(Ц будем использовать представление ^ X =£?nç Çi, где Gçnç - символ Леви-Чивита [11].

Если ССК(0 является главной для тела moi, то Kj = Ij • Wj = diag(lf, If, If) • «j = I? где

If, If, If - моменты инерции тела moi относительно главных осей O^X;, O^yj, OjZj, соответственно, и

Ki = I? I? (œ?Çi + œ?«i X Çi) = I? I? (œ?Çi + œ? In e^ œ^) = = If[o)fXi + œf(ezxy œfy; +6yxz œfzj)] + If[^fyi + œf(exyz œfz; +ezyx œfx;)] + +If [d)fZi + œf (eyzx œfxj +exzy œfy0] =

= [Ifœf + (If - If)œfœf]Xi + [Ifdœf + (If - If)œfœf]yi + [Ifœf + (If - If)œfœf]Zi = = (Ifœf + Ifœfœf)x; + (Ifœf + Ii,œfœf)yi + (Ifœf + If œfœf)zb (1.5)

где If = If - If, Itb = If - If, If = If - If. Отсюда

Ч] • К; = 1н [хЦ(1Гшх + ^ш?) + уЦО^ + ^ш?) + + I?шГшу)], (1.6)

где х|| = X; • Ч), уд = У; • ^ ^ = • .

Если ССК(0 не совпадает с главной СК тела то1 (ГСК(О), то

-1Г -Г I?

= (« - - I?2Ю?)Х; + (-^Ю? + ^ - 11У2шГ)у; + С-1Г2сГ - 11У2ШУ + I?Ю?^ =

= I? ^ш?& - (11хуУ; + ^¡К - (1|;уХ; + 1у2г0шу - (Гх; + ^К = % ш?1?,

где Iх = ^ - 11хуУ1 - ^ 1у = + 1уУ; - ^Ч I? = -^х, - 1у2У1 + ^ Г, ^ -

?

центробежные моменты инерции тела т0^ в его ССК. Вектор в ССКф неподвижен. Следовательно, = I? (ю?1?); = % (ю?1? + х I?) = I? (ш?1? + ш? 1Л ш^Ч х I?). Развертывая суммы по ? и п с учетом равенств:

X; х I? = X; х (11ХХ; - ^ - 1^) = ^ - ^Ч, X I? = - ^Хь

У. X 1Г = У! X (-^х, + 1УУ; - = ^ - 1у2Х;, X, Х1у = ^ + ^Уь

X I? = X (-^ - ^ + = ^ - 1^, X; X I? = -

у; X I? = ^ + 1?х;, X Iх = 1ху; + 1хухь X 1у = -1хуУ; - 1ух;, получим

= шХ1Х + шХ[шХ(1Х2У; - 1^4) + ЮУ(-1Хг; - 1Х2Х;) + Ю^К + ^Ч)] + +шУ1У + шУ[ш^(1У2; + 1У2У;) + шУ(11ХУ2; - 1У2Х;) + О?(-^И - ^Ч)] + +а)?1? + ю?[юГ(-112У1 - ^Ч) + шу(1х^ + 1?Х;) + ш?(1у2х; - 1Х2у;)] = = шх1х + - 1ХЧ) + шу1у + шу2(1ху2; - 1у2х;) + ю?1? + юГ2(1у2Х; - Гу;) +

+шхшу(-1хг; - 1Х2Х; + ^Ч + 1У2уО + шхшГ(1ХУ; + 1ХЧ - 1?У1 - ^Ч + + ЮУшГ (-1ХУУ1 - 1УХ; + 1Х2г; + 112Х;) = I? (ю?1? + ш?%) + ЮХ ЮУ1ХУ + Ю^^2 + Ю^^, где 1х1 = ^-1ХЧ, 1у; = ^Ч - 1у2хь 181 = 1УЧ - 1-уь 1ху = -^х, + 1у2У; + 0У - 1х)2ь I?2 = 1хуХ; + (I? - 1?)У; - 1у2г;, 1у2 = (I? - 1У)Х; - 1ХУУ; + 1|£2г1. Теперь окончательно получим

Ч] • К; = [I? + + + ^о^со? + ^ОЧ], (1.7)

где ^ = - Ixyyq - !Х2гч Iy = -Ixyxq + Iyyq - Iyzzq = -р2хч - Iyzyq + !?гч

т . = - Ixyzq г = ^уа - Iyzxq , = ^а - Ixzyq

IX1J Il .Уц Ii IylJ Ii Ii IZ1J Ii л-ц Il

Ixy = тхг^ + IУZyq + Iczq = Ixyxq + Ibyq - IУZzq Iyz = Iaxq - Ixyyq + Ixzzq

Если ССК(0 = ГСК(i), то Iх7 = Iх2 = I:yz = 0 и обозначения в формуле (1.7) имеют следующие значения:

^ = I?xq ^ = Iyyq I?. = ь- = Ь- = Ь- = 0 Ixy = I^Zq ^ = I^Уq Iyz = ^^

Il xij, Ч у1], Il Ixl^ Iyl^ Izl^ 0, ^ - Ii zij, ^ - Ii , ^ - Ii xij. 1.4. Проекции абсолютных угловых скоростей и ускорений тел на оси их ССК. Величины о^, о^, О)? можно выписать по следующим прямым рекуррентным формулам:

= I X] • Л]-!0]1-! + Ч] • (18)

Если qj совпадает с ортом одной из осей ССКф, то

Ч] = *>] ^ = !л Ч] • Л]-!0]1-! + (19)

Ч] * \\ ^ 0 = !л Ъ] • Л]-10)|1_1 + [ (1.10)

где ] = 1,2,..., N; = 0.

Доказательство формул (1.8)—(1.10). По формуле сложения угловых скоростей тел имеем М] = + с^Цр где ] = 1,2, = 0. Используем представления ^ = =

= I? где шх, шу, о? - проекции вектора ^ на оси ССКф. Разложим орты осей

ССКО - 1) по ортам осей ССКф. Тогда получим = 1л где ^х_1, - проекции

орта на оси ССК^), т. е. Й1^ = • Л].

Разложим орт qj на оси CCK(j). Получим qj = 1Л q^j, где q*, q^, q? - проекции орта qj на оси CCK(j) и тогда

«j = I ^ = «j-i + qj4j = I !л ^-l'Hj + qij I q]4 = = I лК! + q?qii) = I № • ^j-i^j1-! + 4j • Çjqij).

Отсюда следует искомая формула (1.8), из которой с учетом равенства 4j • = const получим ^ = + + • Çjïj. Если учесть равенства

^ = tj • Л]-1 + Çj • Tlj-i = Wj х Çj • + Çj • Wj-i x = = (wj - wj_1) x Çj • ^j-i = ïjqj x Çj • Л]-ъ

то

^ = I • Л]-!^1-! + ij^-iqjx Çj • Л]-1) + 4j • Çj^j. (111)

Если орт оси BKn(j) совпадает с ортом одной из осей CCK(j), то формула (1.11) принимает искомый вид. Действительно, если qj = ^j, то из формулы (1.11) получим формулу (1.9). Если qj ^ ^j, то используя символ Леви-Чивита получим формулу (1.10). Формулы ( 1.8)—( 1.10) доказаны.

1.5. Таблицы Направляющих Косинусов (НК). В формулах кинематики, статики и динамики МС используются НК осей CCK(j) относительно осей CCK(i), где i < j. Для НК будем использовать обозначения ^J] = • ^j, где символы п принимают значения из множества символов {x, y, z}. Формулы выписывания НК представлены, например, в работах [12, 13]. Здесь приведем две таблицы (из статьи [12]), позволяющие легко и быстро находить значения НК и

Значения НК осей ССКф ВКПф относительно ССК( — 1) принадлежат множеству {0,1, Cj, Sj, —Sj}. Эти значения можно взять из табл. 1.

Таблица 1

Простые направляющие косинусы

Table 1

The simple direction cosines

II II II

Xj У; zi x, У/ zi У/ zi

xj-l 1 0 0 ci 0 sj ci —SJ 0

У/-1 0 ci —si 0 1 0 si ci 0

ZJ-1 0 SJ CJ —SJ 0 CJ 0 0 1

Табл. 1 состоит из полос заголовка в верхней и левой части и трех блоков, разделенных друг от друга двойными сплошными линиями. Каждый блок содержит девять ячеек, стоящих на пересечении трех столбцов, с именами Xj, yj, Zj и трех строк с именами Xj_1, Zj_1. В ячейках блока записаны НК осей 0]^, относительно осей 0]Х]_1, 0]У]_Ъ 0]г]_1. Использование табл. 1 при выписывании формул вычисления НК ускоряет этот процесс. Если тело т0] вращается вокруг оси то искомый НК находится в первом блоке (с именем qj = Х]). Если тело т0] вращается вокруг оси 0]^, то искомый НК находится во втором блоке (с именем qj = у^. Если тело т0] вращается вокруг оси то искомый НК находится в третьем блоке (с именем qj = г]). Выбор ячейки в найденном блоке определяется по обозначению НК. Например, значение НК расположено на пересечении столбца У] и строки х^ найденного блока. Если тело тоб вращается вокруг оси 06у6, то НК осей ССК(6) находятся в блоке qj = у^ где ] = 6, т. е. х£5 = сб, Уб5 = 0, Zg5 = s6 и т. д. Остальные детали - в примерах.

Для вычисления НК орт осей ССКф в ССК( — 2) здесь используется табл. 2, где

^-1,] = + qj), ^ = со^-1 +

Табл. 2 состоит из трех вертикальных колонок с именами qj = х^ qj = у^ qj = г^, которые будем называть левой, центральной и правой, а также трех горизонтальных полос (без имен), которые будем называть верхней, средней и нижней. На пересечении колонки и полосы расположен

блок. Таким образом, в таблице девять блоков, отделенных друг от друга двойными сплошными линиями. В каждом блоке по девять ячеек, содержащих значения НК. Для выбора нужного НК необходимо выбрать блок и в нем ячейку. Если тело m0j вращается вокруг оси OjXj, то нужный блок находится в левой колонке (с именем qj = Xj). Если тело m0j вращается вокруг оси Ojyj, то нужный блок находится в центральной колонке (с именем qj = yj). Иначе - в правой колонке. Если при этом тело m^^ вращается вокруг оси Oj_1Xj_1, то искомым является блок в верхней полосе выбраной колонки. Если тело m0j_! вращается вокруг оси Oj_1yj_1, то искомым является блок в средней полосе выбраной колонки. Иначе - в нижней полосе. Выбор ячейки в найденном блоке определяется по обозначению НК. Например, значение НК x-j_2 расположено на пересечении столбца Xj и строки Zj_2 найденного блока. В случае ПКП( — 1) достаточно вместо номера j — 1 взять номер j — 2. Если и КП^ — 2) является поступательной, то вместо j — 1 нужно взять номер j — 3 и т. д. Остальные детали использования табл. 2 приведены в примерах.

Таблица 2

Вычисляемые значения направляющих косинусов

Table 2

The calculated direction cosines

II II II

Xi У/ zi xi Vi zi xi У/ zi

Xj-2 1 0 0 ci 0 si ci -si 0

У/-2 0 C/-l,7 -S/-1,7 Sj_1Sj c/-l -S7-1C7 Cj_1Sj Cj_1Cj

ZJ~2 0 Ci-Xi -Cj-1Sj SJ-1 Cj-xCj S7'-1S7 Sj-xCj cJ-i

Xj-2 c/-l Sj_1Sj Sj_1Cj C/-l,7 0 S7-l,7 Cj_1Cj -C7-1S7 si-i

yj~2 0 CJ -SJ 0 1 0 SJ CJ 0

Zi~2 Cj-iSj Cj-iCj -S7'-1,7 0 C7-l,7 -S7'-1C7 Sj-iSj c/-l

Xj-2 cJ-i -Sj-1Cj Sj_1Sj Cj_1Cj -SJ-1 Cj-xSj -s7'-lJ 0

У/-2 si-i Cj_1Cj -Cj-1Sj Sj_1Cj 4-1 Sj_1Sj S7-l,7 C7-l,7 0

ZJ~2 0 SJ CJ -SJ 0 CJ 0 0 1

Формулы в ячейках табл.1, 2 легко верифицировать путем вычисления квадратов орт осей ССК (ОСК) и скалярных произведений орт взаимно перпендикулярных осей. Действительно, девять выражений в каждом блоке удовлетворяют двенадцати тождествам, т. е. сумма квадратов выражений, стоящих в каждой строке или в столбце, равна единице, а сумма произведений соответствующих выражений, стоящих в любых двух строках или столбцах, равна нулю.

1.6. Формулы выписывания скалярных произведений орт. Из формулы (1.1) следует, что формула Fi = р; • Р; в общем случае преобразуется к сумме произведений постоянных скалярных величин на выражения ^ • ^кЛ))"2 для различных значений индексов ], к и символов п £ {х, у, z}, где qk = 1 для ВКП(к). Из формулы (1.2) следует, что формула М; = qi • М; в общем случае преобразуется к сумме произведений скалярных величин на выражения ^ • ^ X для различных сочетаний индексов ],к, т и символов ^,п, ^ £ {х, у, z}, где qm = 1 для ВКП(т). Для выписывания этих выражений будем использовать следующие общие формулы:

^кЛ])"2 = ^кЛ] + ^кЛ] + qkЛj, (112)

где

Л] = ^ X ц] = Е X ц] = Е < (1.13)

Л] = («] х Л]Х = х Л] + х («] х Л]) = Е х Л] + • Л]«]- =

= Ее < V] + < Ее <4$ - цч (1.14)

Для представления выражений ^ • ^кЛ))"2 для различных значений индексов ^ ], к и символов п £ {х, у, z} через квазискорости нам потребуются следующие формулы:

= = 0 . (1.15)

Используя формулу (1.13), получим

5гЛ5 = Е? (1.16)

где = V] • Отсюда для i = 0 с учетом обозначения = V? получим

е^Ц. (1.17)

Учитывая, что ^ = 1 и V?! = 0, где V ^ из формулы (1.16) для i = ] получим

^ • Т)] =еСл? (1.18)

Используя формулу (1.14), получим

• Л] = Ее е^ + ^ ЕС <;Н - П,?, ЕС = = Е«;*л ^ + (^ - пНЦ]. (119)

Здесь используется знак суммирования по двум символьным индексам из множества {х, у, z}. Исключаемый символ записывается под знаком суммы. Например, а^ = ау + а2. В выражении (1.19) символы ^ и п могут совпадать.

Из формулы (1.19) в случае ^ = ^ переобозначив V?; = V?, ^ = П^ = П получим

^ • Л] = Е«;*л [е?^ + - п,ЦЦ]. (1.20)

Если ] = i и ^ = п, то из формулы (1.19) получим

& • & = Е?*? [е^ vfid)f + (^ - = (121)

Если ] = ^ то из первого выражения (1.19) в случае ^ ^ п получим

& • % = Ес е^ ^ + Ес =еСл? ^ + (1.22)

Для преобразования выражения ^ • Л) X , где i < ], к использованию приведенных фор-

мул мы будем сначала вычислять вектор ^ X Если i = ], то ^ X ^ =е^ V;, иначе ^^ X ^^ = = & X Еv = Еv П}1 Щ. Детали рассмотрим в примерах.

Выписывание УД МС рекомендуем начинать с выписывания выражений Ш]. Для повторного использования ранее выписанных выражений формулу вычисления Ш] представим в следующем рекуррентном виде:

Го) = Ен (тс;С; + т1+1Я1+1) = тс]С) + т]+1Я]+1 + т]+1, (1.23)

где ] = ^ N - 1,...,1; тн = тсНсы.

1.7. Формула выписывания УДВКП(}) в случае qj = qk. Если Ц] = цк, где } < к, то

М] = Ч] X т]к • (Г^ + дг) + Ч] • Ен+1 [(т;к + т^) X ^ + Я; X т; + К^] + Мк, (1.24) где т]к = Е|Г)1 (т^ + т1+1Я1+1).

и

Доказательство формулы (1.24). Если } < к, то гк = I] + где = Е;=}+1 ^ = Ш|к + тк, = gmj X у = вк + gmjk X у. Отсюда получим Ч] • т] X ^ = ^ • т] X (гк - Я]к) = • т] X гк - • т] X Я]к = = Ч] • (т5к + тк) X гк - • т] X Я]к = • т]к X гк + чк • тк X гк - ^ • т] X Я]к. Теперь, используя формулы (1.2) и qj • Gj = • вк + gqk • mjk X у, получим

М] = Ч] • М] = Ч] • т] X Г] + Ч] • Ен ^ + Ч] • ЕГ=] + 1 [(т1К1 + Ш;) X ^ + Я; X Ш;] +

+4] • С) = Ч) • т]к X гк - • т] X й5к + • ^Г^ К; +

+4] • Ен+1 + т0 X + Я; X т;] + gqk • т]к X у + Мк =

= А]к + Ч] • т]к X гН1 + ч] • Е^=]+1 (К^ + ^ X т0 + gqk • т]к X у+Мк,

где

А]к = Ч] • т]к X Е=] + 1 - Ч] • т] X Я; + Ч] • Е^=] + 1 + Ш;) X Я; =

= Ч] • Ен+1 (т)к - т] + т;^ + т;) X = • Е|!]+1 (т1к + т1К1) X так как - + Ш; = - т^ - тк + т;к + тк = т;к, что доказывает формулу (1.24).

Перед практическим использованием приведенных формул коротко остановимся на некоторых классификационных признаках МС. МС считают портальной, если НТО закреплено на по-

толке. Если НТО установлено на полу, то МС считают напольной. Если перенос точки подвеса захвата МС осуществляют тела трех ПКП, то МС работает в декартовой СК (МС с декартовой СК). Если перенос точки подвеса захвата осуществляют ВКП(1) и две ПКП, то МС работает в цилиндрической СК (цилиндрическая МС). Если перенос точки подвеса захвата осуществляют тела двух ВКП и одной ПКП, то говорят, что МС работает в сферической СК (сферическая МС). В остальных случаях будем считать, что рассматриваемая МС работает в ангулярной СК.

С целью упрощения схем МС будем изображать тела ВКП в их исходном (начальном) положении, т. е. когда их ОК равны нулю. И в этом положении будем вводить ССК(1) О^у^ так, чтобы направления осей О^Х;, О^у;, О^г; были параллельны соответствующим осям неподвижной системы координат (НСК) Охуг, жестко связанной с НТО. Здесь х - орт оси абсцисс, направленной горизонтально вправо, у - орт оси ординат, направленной вертикально вверх, г - орт оси аппликат, направленной так, что НСК - правая. Тогда оси ССК тел на схемах можно не изображать. Достаточно показать начало НСК, а также положения точек О; и С;, так как положение осей НСК и ориентация в пространстве орт X;, у;, Ъ\_ следует из их определений. В дополнительном описании нуждаются только положения орт р; для ПКП(1) и орт для ВКП(1). Для описания этих положений достаточно выразить орты осей КП(1) через орты X;, у;, Ъ\. Например, если в исходном положении ось О^ц^ ВКП(1) вертикальна, то Я; = У;. Если ось О^я^ ВКП(1) направлена горизонтально вправо, то Ц; = X;, и если она смотрит на наблюдателя, то Ц; = г-у.

2. Выписывание УД МС с тремя ПКП (Пример 1)

На рис. 1 изображена схема портальной МС с декартовой СК.

Из рис. 1 видно, что для этой МС имеют место следующие равенства ОСК:

х = X! = х^ х3 = х4; у = У1 = у2 = уз = у^ У5 = Уб; z = Z! = Z2, z3 = Z4 = Z5.

Эти равенства используются для понижения, повышения и сближения индексов ОСК в операциях векторной алгебры. Например, в скалярном произведении у! • г4 = у4 • г4 = 0 индекс орта Ух повышен до четырех. В произведении х3 • г5 = х3 • г3 = 0 индекс орта г5 понижен до трех. В векторном произведении у! X х4 = у3 X х3 = -г3 индексы сомножителей сближены до совпадения.

Ол = О02 02 = Оз = Оо4

Сз:<

Орты Kn(j) имеют следующие выражения через OCK(j): рх = z1 = const - орт ПКП(1), направленный горизонтально к наблюдателю; Р2 = х2 = const - орт ПКП(2), направленный горизонтально вправо; Чз = Уз = const - орт ВКП(3), направленный вертикально вверх; р4 = — у4 = const - орт ПКП(4), направленный по вертикали вниз; q5 = z5 - орт ВКП(5), лежащий в горизонтальной плоскости и меняющий свою ориентацию вместе с вращением тела mo3; q6 = у6 - орт ВКП(6), поварачивающийся на угол q5 в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси вместе с телом mo3.

Межполюсные векторы Rj = Oj_1Oj имеют следующие выражения через OCK(j — 1) и ОК ПКП]):

Рис. 1. МС с декартовой СК Fig. 1 MS with cartesian CS

C1 = C2 = X2, c3 = y^

c4 = y^ c5 = -y^ c6 = -y6.

Перечисленные выражения составляют формальное описание рассматриваемой МС и используются для перехода к ОСК в выписываемых формулах (детали в примерах). 2.1. Выписывание формул вычисления движущих сил

1. Выпишем формулы вычисления Ш; через ОСК с максимальным понижением индексов. По формуле (1.23) выпишем

m6 = mc6c6 = —mc6y5; т5 = mc5c5 + тб = —ay5, где a = mc5 + mc6; т4 = mc4c4 + т5 = mc4y — ay5;

m3 = mc3c3 + m4R4 + m4 = —mc3y — m4q4y + mc4y — ay5 = mq4y — ay5, где mq4 = mc4 — mc3 — m4q4;

m2 = mc2c2 + m3 = —mc2x + mq4y — ay5; mt = mclCi + m2R2 + m2 = —mclz + mq2x + mq4y — ay5, где mq2 = m2q2 — mc2.

2. Выпишем формулы вычисления Rj, fj = Ej=i Ri и rii; через ОСК, ОК, ОС и ОУ ПКП. Имеем Ri = q^; R2 = q2x; R3 = 0; R4 = —q4y; R5 = R6 = 0.

Следовательно,

Г1 = qiz; r2 = r3 = qxz + q2x; f4 = f5 = f6 = qlZ + q2x — q4y; m6 = —mc6y5; m5 = —ay's; m4 = m5; rii3 = —m4q4y — ay's; rii2 = ri=»3; тх = m2q2x — m4q4y — ay5.

3. Выпишем формулы вычисления движущих сил Fj = Pj • Fj через скалярные произведения ОСК на их производные по времени. Используя формулу (1.1), выпишем

Ft = z • Fx = z • (m-^ + тг + mgly) = z • (m^z + m2q2x — m4q4y — ay's + mgly) = = mj^j — az • y5;

F2 = x • F2 = x • (m2r2 + m2 + mg2y) = x • [m2(qiZ + q2x) — m4q4y — ay's + mg2y] = = m2 q2 — ax • y5;

F4 = —У • F4 = —У • (mA + m4 + mg4y) = —у • [m4(qiZ + q2x — q4y) — ay5+mg4y] = = m4q4 + ay • y5 — mg4.

4. Выразим скалярные произведения x • y5, у • y's, z • y5, т. е. ^ • y's через НК и квазискорости. Для n = У, j = 5 формула (1.20) принимает вид

S • y's =£Xyz zs"s + (Х5Ш5 — У5ш5)ш5 +£Zyx Х5Ш| + (z5W5 — =

= zf(d)I + ШУШ§) — ^ — Ш^) — У^Р + "f ). (21)

5. Выпишем формулы вычисления через ОС ВКП и НК, взятые из табл. 1.

Первые два тела не вращаются. Поэтому = м2 = 0, т. е. = ш2 = 0 для всех Для j = 3 имеем q3 = у3. Поэтому по формуле (1.8) выпишем

ш3 = Ел 5з • Лгш2+Чз • ^з[з = Чз • ^з[з = Уз • ^з^ т. е. = уз • x3q3 = 0, = уз • y3q3 = q3, = у3 • z3q3 = 0.

КП(4) = ПКП. Поэтому м4 = м3, т. е. = ш>з = 0 для всех

Для j = 5 имеем q5 = z5. Поэтому по формуле (1.8) выпишем

"I = Ел xs • Л4ш4 + z5 • X5q5 = х5 • х4ш^ + х5 • у4шу + х5 • г4ш| =

= Х5 • У4[з = xLq3 = ^^ так как из третьего блока табл. 1 в ячейке, расположеной на пересечении столбца Xj и строки

yj-i, получим Xg4 = s5. Аналогично

ш5 = Ел У5 • Л4ш4 + z5 • y5q5 = у5 • x4^ + у5 • у4ш£ + у5 • z4w| = у5 • y4q3 =

= yLq3 = csq3;

Ш5 = Ел z5 • Л4ш4 + Z5 • z5q5 = z5 • х4ш^ + z5 • у4шу + z5 • г4ш| + q5 = = z5 • y4q3 + q5 = zy4q3 + qs = qs.

Для j = 6 имеем q6 = y6 = y5. Поэтому по формуле (1.8) для ^ = y выпишем шб = Ел У5 • Л5ш5 + Уб • УбСб = ш5 + С1б.

Для К = х по формуле (1.8) выпишем

"б = !Л Х6 • Л5" + Уб • Хб4б = Х65" + Х65ш5 + х65"I = Сб" -так как из первого столбца второго блока табл. 1 имеем Хе5 = сб, = 0, х|5 = —s6. Аналогично

"б = Ел 26 • + Уб • 2б[б = Z65^5 + Z65^5 + zl5^l = Э6"5 + С6"|.

Таким образом, " = " = " = " = 0, " = [3, " = [3, " = [5, " = э^з, " = с5[3,

" = сб" - э6с[5, " = " + С[б, " = + с6е[5.

6. Выпишем формулы вычисления " через ОС, ОУ ВКП и НК, взятые из табл. 1. Из значений "3, " имеем "3 = "4 = = " = 0, 0)3 = [3, "4 = [3, " = [5. Для ] = 5, К = х и = г5 по формуле (1.10) выпишем

"5 = £Л Х5 • Л4" +е2ХУ "£[5 = Х54" + Х^" + х|4"| + =

= Х^Яз + "£[5 = Э5[[з + ¿[5"|[, так как на 2-м этапе в табл. 1 было найдено х^4 = Аналогично для

К = У "5 = ЕЛ У5 • Л4" +егух "5[5 = У54" + У54" + Ум"! - "5[5 =

= УмЧз - "5[[5 = С5[[з - [5"5.

Имеем Чб = Уб = У5. Поэтому для ] = 6 и К = У по формуле (1.9) выпишем

"б = ЕЛ У5 • Л5" + [6 = " + [б. Для К = х по формуле (1.10) выпишем

"в = Ел Х6 • Л5"5 +еух2 [б"1 = х£5"З + + х|5"§ - [6"|.

Из второго блока первого столбца табл. 1 получим х£5 = сб, = 0, х|5 = -эб. Следовательно, " = с6"5 - - [б"|. Аналогично для К = z по формуле (1.10) выпишем

"б = Ел 26 • Л5" +еугх "бЯб = ^5"! + ^"5 + + "5[6 =

= + Се")! + ¿[6"||.

Таким образом,

">3 = " = "з = " = 0, " = [3, " = [з, " = э5[[з + е[5"^, = ^[3 - ¿[5"|, " = [5, " = Сб")! - - "|ё[б, " = " + [е, "б = + Сб[5 + "б[[б.

7. Выпишем формулы вычисления искомых движущих сил.

Учитывая простые значения векторов " и " по формуле (3.1), выпишем

^ • У5 = z¡("jj + ё[5"^) - х^ - "|["1|) - + "I2). Следовательно,

Fl = г • ¥1 = т^ - аг • у5 = т^ - + [5"£) - - "£"][) - у!(^1 + "Ц2)];

F2 = X • ¥2 = т2^2 - аХ • у5 = т2^2 - ФеК"! + [[5"5) - Х5([5 - "5"^ - + )];

f4 = У • ^4 = т4^4 + аУ • Ув = т4[4 + а[4- яб"^ - х5([5 - "5"^ --У5([[25+"12)] -те4.

Из рис. 1 видно, что НК К5 = К52 зависят от углов [3 и [5, т. е. эти НК можно выбрать из табл. 2, где ] = 5, ] - 1 = 3. Так как = г5, = у3 искомый блок расположен в правой колонке средней полосы. НК х£, У5, Z5; Хд, Уд, Zg; х|, Уд, Z5 расположены, соответственно, в первой, второй и третьей строках этого блока, т. е. Хд = с3с5, Уд = -с3э5, Zg = Хд = Уд = с5, Zg = 0; х1 = -э3с5, У§ = z§ = с3. Следовательно,

Fl = т1[1 - а[с3(°^1 + [[5"5) - Х1(^5 - "5"1) - У§([[1 + "52)]; F2 = т2[2 - a[sз(а>| + - - - У5 (^1 + "Ц2)];

F4 = т4[4 - a[s5(с[5 - "£"|) + с5(^§ + "|2)] - т§4. 2.2. Выписывание формул вычисления движущих моментов сил

1. Выпишем формулы вычисления моментов сил тяжести Gj = gqj • Ш] X у. Gз = gy • т3 х у = 0; G5 = gq5 • т5 X у = ^аг5 X у5 • у = gax5 • у = agx^ G6 = gq6 • тб х у = -gmc6y5 х у5 • У = 0.

2. Выпишем формулы М^ = Ц] • X г1!.

Мч3 = Чз • т3 х г3 = т3 • (^г + ^2х) х у = (тч4у - ay5) • ([^2г - ^1х) = a(yf^1 - У§^2);

мч5 = 45 • т5 х г5 = —аг5 х у5 • г5 = ах5 • + с|2х - Я[4у) = ^с^ + х^2 - ^сУ; МЧ6 = Че • т6 х г6 = -тсбУ5 • У5 х г5 = 0

3. Выпишем формулы М: = Я1 • £¡=¡+1 Ст;Я; х + Ш; х + Я; х Ш;). М31 = у • (т4Я4 х Я4 + т4 х Я4 + Я4 х т4) =

= у • (-т4я4у х Я4 - т4 х с|4у - д4у х т4) = 0; М^1 = М^ = 0, так как = = 0.

4. Выпишем формулы К? = Ц] • К;. Будем считать, что ССКф = ГСКф для ] = 5,6 и

I? = I? т е ^ = 0 I? = 1у - I? = 1у - I? = -1? 1) ^, т. е. IJ 0, IJ Ij IJ Ij ^ IJ .

По формуле (1.6) с учетом равенств = м4 = С3у выпишем

К3 = Уз • Е?=3 Ъ = Оз + ФЯз + Е?=5 [х^зСЕ^оз? + Х^^Г^Г) +

+IIУзУfзd)f + zIУзСIfd)f-Ifшfшf)].

Из второй строки третьего блока табл. 1 имеем х^ = х^4 = s5, уд3 = у^4 = с5, Z5з = Z54 = 0. Следовательно,

К^ = + ^Мз + + ^ш^) + ^с5шу + х^ш! + ^ш^) +

+I6yc5d)y + z6y4СIid)l-I6aшiшy), где х^4 = s5c6, Zg4 = $555, так как НК = зависят от углов сб, с5 и находятся во второй строке блока, расположенного во второй колонке (так как цв = у6) нижней полосы (так как Ц5 = г5) табл. 2. Аналогично

КЦ = г5 • £?=5 = ВД - ^ш^ + xI5(Ild>l + ^ш^) + ^у^ + z¿5(I¿a)¿-I6a^O = = - ^ш^ - s6СIgd)| + ^ш^) + с^ш^ - «ш^), так как в третьей строке второго блока табл. 1 имеем х|5 = -5б, у|5 = 0, z|5 = сб.

Кб = Уб • [С« + ^шуш|)х6 + КУб + СIIШ>i - «ш^] = ^ш*

5. Выпишем формулы вычисления искомых моментов движущих сил М]. М3 = Чз • М3 = -у • М3 = Мч3 + = аСу^ - у§с|2) + + Г^з + +s5СIid)I + ^ш^) + ^с^ + х^ш^ + ^ш!) + ^с^ + z¡^СI|a.l - «ш^); М5 = Ч5 • М5 = г5 • М5 = Мч5 + К? + G5 = а(х|^! + х^2 - ху^4) + ^ - ^ш^ -

+ ^ш!) + с6С« - ^ш^) + agxy; М6 = Ч6 • М6 = Уб • М6 = К^ = ^ш*

Таким образом, первый вид УД МС на рис. 1 представляется следующей системой дифференциальных уравнений, содержащих квазиускорения и квазискорости;

Гт1^1 - а[сз(° + С5ш5) - х1(^5 - ш5ш!) - У^С! + ш!2)] = р1;

т2С2 - + ^5ш5) - х1(Я5 - ш5ш!) - УеКЯ! + = ^

аСу^1 - У§С2) + С^ + Фяз + + ^ш^) + ^с^ +

+xy(Iiшi + ^ш^) + ^ш* + z6y(IIшl - ^ш^) = М3;

т4с|4 - а^с^ - шуш|) + с5(^5 + ш^2)] - т^ = Р4;

аСх1^1 + х5^2 - + ^СБ - I5ш5ш5 -

+ ^ш!) + cб(IldJl - ^ш^) + ags5 = М5; « = Мб.

К этим уравнениям необходимо добавить ранее выписанные уравнения кинематики, т. е. формулы вычисления ш[.

Выписанные вручную УД могут содержать ошибки и описки. Поэтому их необходимо верифицировать. Один из этапов верификации связан с проверкой на симметричность матрицы инерционных коэффициентов (МИК), т. е. матрицы коэффициентов при ОУ.

2.3. Вывод МИК в УД МС на рис. 1. УД МС можно представить в следующем векторно-матричном виде Hq + h + G = Q, где Н - МИК; с} - вектор-столбец ОУ; И - вектор-столбец обобщенных инерционных сил с элементами ..., hN; в - вектор-столбец обобщенных сил

тяжести с элементами G1, G2, ..., GN, которые не зависят от скоростей и ускорений; Q - вектор-

столбец обобщенных движущих сил, т. е. сил Fi для ПКП(1) и моментов сил М; для ВКП(1), где i = 1, 2,..., N. Для этого достаточно в первом виде УД заменить квазиускорения на их выражения через ОУ и ввести соответствующие обозначения.

Подставим 0)5 = 55с|з + в формулы вычисления F1, F2. Тогда получим F1 = п^Я! - ас355с|з + ах|с5 + h1; F2 = т2^2 - аз3з5с3 + ах^5 +

где

h1 = -а[2с3^5ш^ + х^О - у|(я! + о^2)]; ^ = -а^^О + - у^ + ш^2 )].

В общем случае в УД МС квазиускорения входят в виде линейной комбинации. Обозначим через Ар линейную комбинацию квазиускорений 0>[, ^ 6 {х, у, z} в ]-м УД. В формуле вычисления М3 имеем

П35 = 1§550>1 + = Ils5(s5^з + + 1^с5(с5с|3 - с[5ш|) =

= (1§з2 + + - 1^)с5;

где шу6 = шу5 + <\6 = с5с|3 + - ;

+ = з5с6(с60 - - + + с6с|5 + =

= + - с6ш|)с6,

т. е. А3б = 1![55(55с|3 + + - с6ш|)сУ + 1^с5(с5^3 + <\6 - Следовательно,

М3 = а(у^ - у|^2) + + Г^ + + + Ils5s5^з + 1£с5(с5сЬ + с6) + h3 =

= а(у5^1 - у1^2) + Н33^3 + + h3,

где с учетом обозначений 136 = 13 + 14 + + 1^, 1§6 = 1§ + — — имеем

Н33 = 1£ + II + О! + 1б))5| + (^ + фс52 = £ + 14у + £ + 16у + О! + II - =

= 1У + 1а _2. _ ^ I56s5;

^ = I|s5о|^5 + 1%ху6шу6ш1 - + - ^С^)^ +

+ + - С6°1)^6] - 1бС5^5°5 =

= (15а + 1| + Il)s5с[5о| - (1£ + фс^О + + Ils5(s6о| - с6ш!)^6.

Для F4 имеем

F4 = т4с4 - аз5с5 + h4 + G4, где ^ = а^ш^О - с5(с§ + ш|2)]; G4 = -m4g. В формуле вычисления М5 имеем

А56 = 1!(с6ол| - ЗбОб) = Щс6060 + с6с5 + - з6(с60 - - ш|с6)] = = 1б[^5 + + S6шl)].

Следовательно, М5 = + х^2 - + (1| + 1|)с5 + h5 + G5, где G5 = аgs5,

h5 = -1|Ш5Ш5 - ФвО^в - 1|с6ш|ш£ + + З6ш|) =

= -15Ш5Ш5 - II(с6о1 + З6ш1)шу6 + 11^6(с6о1 + З6ш|) = = + (^б-^Хс^ + З6ш1).

Для Мб получим

Мб = К = 1б(с5^з + - с5ш|) = 1^(с5^з + с6) + h6, где h6 = —оЦ.

Элемент Н^ МИК является множителем при ОУ с^; в формуле вычисления Qj, т. е. в ]-м УД. Из полученых формул вычисления F1, F2, М3, F4, М5, Мб, используя выписанные НК = с3с5, у| = -с3э5, х§ = -э3с5, у§ = З3э5, составим МИК МС на рис. 1. Она примет следующий вид

/mi 0 ays 0 ax| 0

0 m2 -ay§ 0 axf 0

ays -ayi тУ + та s2 a36 + i56s5 0 0 1бС5

0 0 0 m4 -as5 0

ax| axf 0 -as5 tz 0

Vo 0 1бС5 0 0 Ii )

где I§6 = I5 + I|. Видно, что эта МИК симметрична.

В формулах вычисления элементов hj (j = 1,2,..., N) можно выделить гироскопические инерционные силы (ГИС). Примеры практического использования ГИС приведены в двух последних пунктах.

2.4. Выделение ГИС в УД МС на рис. 1. Выделим в hj центробежные, Кориолисовы и гироскопические обобщенные инерционные силы. Для этого в hj необходимо заменить квазискорости на их выражения через ОС. Но прежде рекомендуем упростить формулу вычисления hj, если она содержит линейные и/или квадратичные формы квазискоростей. Дело в том, что сумму произведений НК на квазискорости часто можно упростить. Например, для такого выражения в формуле вычисления h4 получим

Ss^s^s - = (s5^5 - c5wjj)wjj = (s5c5q3 - C5S5q3M = 0,

т. е. после упрощения h4 = -ac5q| - центробежная инерционная сила, действующая на тело mo4 и обусловленная вращением тела mo5 с относительной скоростью q5.

Обозначим через fljj линейную и через fljj квадратичную форму квазискоростей ^ е {x, y, z} в формуле вычисления hj. В формуле вычисления имеем

п15 = - У5^52 = (x5^5 - У§ш5)ш5 = (-s3c5c5q3 - s3s5s5^3)^5 = -s3q3^5.

Следовательно, формула вычисления hx принимает вид

hi = -a(2c3q5wy - y§q§ - s3c[3wf) = a(y§qi| - 2c3c5i3q5 + s3s5ql). Теперь с учетом обозначений x£, окончательно получим

hi = a[yi(il + is) - ^sisisL Аналогично для h2 получим

^25 = (x5^5 - У5^5)ш5 = (c3c5c5q3 + c3s5s5^3)^5 =

т. е.

h2 = -a(2s3q5wy - уЛС[| + c3q3wf) = a(yi|c|l - 2s3c5i3q5 - c3s5qi) = = a[y£(i23 + i25) + 2xii3q5]. В формуле вычисления h3 имеем

П36 = I|s5(s6w^ - с6ш|)с[6 = I|s5[s6(c6^ - s6c[5) - c6(s6^ + c6q5)]q6 = I|s5i5q6;

^36 = if(x6^6 - z6^6)^6 = i6[s5c6(s6^5 + c6^5) - s5s6(c6^5 - s6q5)]^ = ^s^l

т. е.

h3 = Of + Is + Il)s5c[5^| - (If + Ij)c5i5w| - Iis5q5q6 + I|s5is(wj[ + q6) = = Ose + IseKis^f - I^sis^s + Об - Ie^sisie =

= (i56 + i56 - if6)s5c5^3^5 - = 2i56s5c5^3^5 - ^s^^

е тУ = тУ + тУ та = та + та где i56 = i5 + i6, i56 i5 + i6.

В формуле h5 имеем

П56 = s6w| + = s6(s6wjj + c6q5) + c6(c6wjj - s6q5) = wjj,

т. е.

h5 = -Ig^ + (I|q6 - I6a<K = Iiq6^ - - IMK + = = (Ie - IDie^s - (If + IfM^s = I^ie^s - I5a6^s = (Ieie - I5a6c5^3)s5^3. Для формулы h6 имеем

h6 = I6S5C^3cl5.

По определению Тэта мощность ГИС равна нулю [11]. Поэтому для их выделения достаточно в выражении £f=1 hjij выделить равную нулю сумму, в которой каждое слагаемое без последнего множителя (последней ОС [¡) является искомой ГИС gj. В рассматриваемом примере If=1 hiii = {a[y5z(i25 + i23) - 2x5i3q5]}i1 + {a[yf(ii + q2) + 2xii3i5]}i2 +

+ (2i56s5c5i3q5 - + (-ac5^s)^4 + [(^6 - i56c5^3)s5^3]^5 + (-if %[3[5)[6.

Очевидно, что

(I56S5c5^3^5 - + [(^6 - I56c5^3)s5^3]i5 = g3^3+gs^5 = 0.

Следовательно,

h3 = If6s5c5c[3c[5 + g3, g3 = (I|6c5qi3 - Ifc[6)s5c[5; h5 = gs = (Ifq6 - I56c5^3)s5^3.

3. Выписывание УД МС с двумя ПКП (Пример 2)

На рис. 2 изображена схема портальной МС с цилиндрической СК. Она имеет следующее формальное описание.

Из рис. 2 видно, что имеют место следующие равенства ОСК:

Xi = х2, х3 = х4; у = У! = у2 = Уз = у4, У5 = у6; Zi = Z2, z3 = z4 = z5 Орты Kn(j) имеют следующие выражения через OCK(j): qx = ух = const - орт ВКП(1), направленный вертикально вверх; р2 = х2 - орт ПКП(2), лежащий в горизонтальной плоскости и меняющий свою ориентацию вместе с поворотом тела то1; Чз = Уз = const - орт ВКП(3), поварачи-вающийся на угол q2 в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси вместе с телом то1; р4 = —у4 = = const - орт ПКП(4), направленный по вертикали вниз; q5 = z5 - орт ВКП(5), лежащий в горизонтальной плоскости и меняющий свою ориентацию вместе с вращением тел m0l, mo3; q6 = у6 - орт ВКП(6), пова-рачивающийся на угол q5 в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси вместе с телом mo3.

Межполюсные векторы Rj = Oj_1Oj имеют следующие выражения через ОСК( — 1) и ОК ПКПО):

Rl = 0, R2 = q2xb R3 = 0,

R4 = —q4y3, R5 = R6 = 0.

Рис. 2. МС с цилиндрической СК Fig. MS with cylindrical CS

Орты Cj имеют следующие выражения

Ci — Xi, с, —

Сз — -Уз, с4 — у4, с5 —

через OCK(j): -У5, с6 — -У6.

3.1. Выписывание формул вычисления движущих сил

1. Выпишем формулы вычисления Ш; через ОСК с максимальным понижением индексов.

Из МС на рис. 1 и 2 видно, что их подсистемы m3 совпадают. Поэтому формулы вычисления Ш;, где i = 6,5,4,3, выписанные в Примере 1, можно использовать повторно, т. е. для МС на рис. 2 m6 = —mc6y5; т5 = —ay5; т4 = mc4y — ay5; т3 = mq4y — ay5. Теперь по формуле (1.23) выпишем

т2 = mc2c2 + т3 = —mc2X! + mq4y — ay5.

2. Выпишем формулы вычисления Rj, fj = £|=1 Ft; и ni;.

Имеем F^ = 0, R2 = (q2x1)J.2, R3 = 0, R4 = —q4y, R5 = R6 = 0. Следовательно, fi = 0, r2 = r3 = (q2x1);,2; f4 = f5 = f6 = (q^)^ — q4y; m6 = —mc6y5; m5 = —ay5; m4 = m5; m3 = —m4q4y — ay's; m2 = —m^ — m4q4y — ay5.

3. Выпишем формулы вычисления движущих сил Fj = Pj • Fj. Используя формулы (1.1), (1.12), (1.15), выпишем F2 = р2 • F2 = x1 • F2 = m2xx • r2 + x1 • m2 + mg2X! = m2*i • (q2Xi)t2 — xx • (mc2x:1 + m4q4y + ay5;) = = m2x1 • (^2xx + 2С2Х! + q2xx) — mc2Xi • xx — axx •

где mq2 = m2q2 — mc2.

У —

У5 — m2q2 + mq2Xi • хг - axx • y5

Аналогично для ] = 4 выпишем

^ = Р4 • = -у • = -т4У • г4 - У • т4 - т§4у • у =

= -т4у • [(42X1)^ - ¿4У] + У • ау5 - т§4 =

= -т4(я2У1 • хг)£ + т4С4 + ау • у5 - т§4 = т4С4 + ау • у5 - т§4.

4. Выразим скалярные произведения хх • хъ хх • у5, у • у5 через квазискорости. По формуле (1.21) выпишем хг • хг = -шу2 - ш^2.

Полагая в формуле (1.19) ^ = х, i = 1,п = у, ] = 5, выпишем

XI • у5 = Ес^У + - У51^|) =

= Z5lW5 + (Х51^5 - - хЦ^ + - У^х^!)^! =

= + шуш|) - х|1(о>1 - ш^шу) - у^ш^2 + ш|2). Здесь приведены подобные при НК и их значения х^ = с3с5, у^ = —CзS5, Z51 = Sз находятся в блоке, стоящем на пересечении третей колонки и средней полосы табл. 2. Полагая в формуле (1.20) ^ = у,п = у,] = 5, выпишем

У • У5 = !<;*у + - У^) =

= zyшf + (хушу - - хуш§ + ^ушу - у^ ш§)ш§ =

= - ш^шу) - с5(ш^2 + ш^2),

так как во второй строке третьего блока табл. 1 имеем У У У У У У г,

х5 = х54 = ^ у 5 = У54 = ^ ^ = ^4 =

5. Выпишем формулы вычисления .

Из рис. 2 видно, что шу = ш2 = 4Ъ ¿>^ = ¿4 = 4! + [3, ^ = ш? = 0, где i = 1, 2, 3,4. Следовательно, повторно используя формулы вычисления ш[ в Примере 1 и меняя в них ¿3 на 413 = 41 + 4з, получим

ш5 = ^^ ш5 = ^¿С^ ш5 = ^ шб = с6ш5 - ^^ шб = Ш5 + ^ шб = + ^¿^

где ¿13 = ¿1 + 4з.

6. Выпишем формулы вычисления

Повторно используя формулы вычисления в Примере 1, где 413 = ¿1 + 4з, для МС на рис. 2 получим

Ш5 = %413 + ^^ Ш5 = ^ Ш5 = с5^13 - ¿¿З^ Ш6 = С6ш5 - s645 -¿6 = ¿У + 4б, ¿>6 = 56Ш5 + С6^5 + Ш^С[6.

7. Выпишем формулы вычисления искомых движущих сил.

С учетом выписанных значений шу = ¿[^, = 0, = с[5 и выражений хх • хъ хх • у5, у • у5 получим

^^2 = т2С[2 - тЧ2С[1 - Фз(Ш5 + ¿[5Ш5) - х51(45 - Ш5Ш5) - У51(45 + Ш:Р)];

F4 = т4С[4 - а[%(Л5 - Ш5Ш5) + С5(45 + Ш52)] - т§4.

3.2. Выписывание формул вычисления движущих моментов сил

1. Выпишем формулу вычисления .

41 = 4з = У. Следовательно, по формуле (1.24) для ] = 1, к = 3 выпишем М1 = у • [(тс2с2 + т2Я2) х Я2 + Я2 х т2] + у • (Кг + К2) + М3, так как = Я3 = 0. По формуле (1.5) выпишем Кх = 1У41Уь К2 = 1241У1. Теперь М1 = У • (т242 - тс2)Х1 х &2 + ¿2у • хг х т2 + у • (^с^ + ^уО + мз = = -тч221 • - 4221 • т2 + 1[2С11 + ^ где 11у2 = 11у + 12у.

По формуле (1.12)

г1к2 = г1^ (¿гх^ = г1 • (¿Л + 2^2^:! + с^);

21 • т2 = • (-тс2х:1 - т4с|4у - ау'5) = -тс2г1 • хг - ах1 • у5.

По формулам (1.18), (1.22), (1.19) выпишем

21 • =е^хг Ш1 =еухг Ш1 = -с[1, 21 • =exzv Ш1 + ш1ш1 =6Х2у = -с[1;

21 • у5 = Е^У + ($15'' - =

= 6ху2 + - У§1'5)'5 +егух х51°5 + (251°5 - Уи'!)' =

= + - х!1(а>1 - - У§!(^2 + 'I2).

Следовательно,

21 • й2 = -[г^ - 2с[1с12;

ъх • т2 = -тс2с^! + а^С + - х|1(о)| - ш|ш|[) - У§1('52 + '!*)].

Таким образом, с учетом равенств ' = с[2, = с3 получим

М1 = т42([2с^1 + 2[1с[2) + -

-[2{тс2с11 - а^^' + - х|1(а>1 - + ш|2)]} + М3 =

= [112 + (тч2 - тс2)[2]с[1 + 2тч2с[1с[2 -

-ая2[с3(а)| + ш£с[5) - х^с^ - ш|ш|[) - У^шЦ2 + с[|)] + М3.

2. Выпишем формулы Gj = gqj • mj X у для ] = 3, 5, 6.

Так как подсистемы т3 для МС на рис. 1 и 2 совпадают и у = у3, то выражения G3, G5, G6, выписанные в Примере 1, можно повторно использовать в этом примере. Следовательно, G3 = G6 = 0, G5 = gаs5.

3. Выпишем формулы М^ = Ч] • Ш] X г1! для ] = 3, 5,6.

Мчз = Чз • т3 х ж'з = у х (тч4у - ау5) • г3 = -ау5 • г3 х у = -ау5 • ^Х! х у^ = = -аУ5 • ([221)[2 = -аУ5 • + 2[221 + [2г:1).

По формулам (1.16), (1.19) выпишем

У5 • ¿1 = Е<; е<> =еу2Х х[5' = У|1с11; У5 • = Еы [е<> °1 + - '1] =

= еу2х х[5' - = У51^1 - У51[2.

Следовательно,

МЧ3 = -а[У51[2 + 2У51^1^2 + [2(У51^1 - У51^1)] = = -а[У51([2 - [2С[?) + У51([2[1 + 2[[1С[2)];

МЧ5 = 45 • т5 х г5 = -аг5 х у5 • Г5 = ах5 • г5 = ах5 • ^х^ - [4у] = = ах5 • (^2X1 + 2с[2х1 + с^) - ахус[4. По формулам (1.16), (1.19) выпишем

Х5 • = Е^ '1 =еух7 215°1 = х51[1 ;

Х5 • = [е<^ + (?15"1 - х15°£) '5] =еух2 - х15=

= -х51[1 - х51[1.

Следовательно,

МЧ5 = а[х51[2 - 2х51^1^2 - с2(х51[1 + х51^1) - =

= а[х51([2 - с2С[1) - х51([2^1 + 2[[1с[2) - х54[4];

МЧ6 = Уб • т6 х г6 = -тс6у6 -у6хг6 = 0.

4. Выпишем формулы М? = Ц] • Е?=)+1 х Я; + Ш; х РЕ.1 + Я; х т;) для ) = 3, 5, 6. М3 = У1 • (т4Я4 хЙ4 + т4хЙ4 + Я4х т4) = 0,

так как Й4 = -[4у. М^ = М^ = 0, так как = = 0.

5. Выпишем формулы К? = Ч] • К; для ] = 3, 5, 6.

Формулы вычисления К3, К^, К^? для МС на рис.1 можно повторно использовать для рассматриваемой МС, так как их третьи подсистемы совпадают. При этом [3 необходимо заменить на [13. Таким образом, с учетом обозначения 134 = 13 + 14 получим К3 = 134^13 + 55(1§'>:1 + + 1ус5' + х£(« + +

КЦ = 1|а>1 - - s6(I|' + 16аш^) + с6(1|' - 16а'1'у), К^ = 16у'у

6. Выпишем формулы вычисления М^ где ] = 3, 5, 6.

М3 = Мч3 + = -а[у11(я[2 - 42^?) +У51(Я2^1 + 2с11^2)] + 1У4[13 + з5(1§6 + 15аоуо§) + +1ус56у + ху(116,1 + 16аоуо1) + 1ус56у + Zg(I|a)| - 16ао1оу); М5 = МЧ5 + К5 = а[Х51([2 - С2С!) - х11(С2С[1 + 2С[1С[2) - Х54С14] +

+1§6>1 - 15а^оу - зв(1!б>| + 16абуб!) + с6(11б)! - 16аб!бу), М6 = К* = 1У6У

Используемые здесь НК взяты из табл. 2 и имеют следующие значения: х^ = с3с5, х^ =

2 __х __г __г _ У _ У __У _ У _

Х51 = ^З^ у51 = cЗs5, у51 = sЗs5, 251 = ^ Хб = Х64 = ^^ 2б = 264 = ^6.

Таким образом, первый вид УД МС на рис. 2 представляется следующей системой дифференциальных уравнений, содержащих квазиускорения и квазискорости:

'Н^ + 2тч2^!^2 - а[2[с3(б^ + о^) - ХЦ^ - - уЦор + [25)] + М3 = Мг;

т2[[2 - тч2[? - а[з3(б)| + С5Шу) - хЛ1(е[5 - - у|1(е[| + ш|2)] = F2;

-а[У§1(^2 - + у51([2^1 + 2^1[[2)] + 134Я[13 + + +

+1ус56у + ху(1|6 + 16абуо1) + 1ус56у + zy(I|6Ji - 16аб1оу) = М3;

т4Я[4 - а[%([5 - 65°5) + с5(^5 + ^Р)] - т§4 = F4; а[х5!(Я2 - - Х^^СХ + 2С1С2) - з5[[4] + 1|[5 --15а^оу - з6(1!бз| + 16аоуо1) + с6(11б)1 - «оу) + аgs5 = М5;

К = Мб,

где Н = 1[2 + (т2[2 - 2тс2)[2.

3.3. Вывод МИК в УД МС на рис. 2. Подставим 65 = 55[13 + [565 в формулу вычисления F2. Тогда получим F2 = т2[2 - аз3з5[13 + ах51[[5 + где h2 = -тч2[? - а[2з3[[5шу + хЦ^шЦ - у^й! + о^2 )].

Для формулы вычисления М3 по аналогии с Примером 1 и учитывая, что подсистемы т3 у МС на рис. 2 и 1 совпадают, получим

М3 = -а(у|1^2 + у51[2^1) + Н33[13 + 1£с5[6 + h3, где Н33 = 1у6 +

^ = ^У^г^ - 2У51^1^2) + (15 + 156)з5^5°5 - 15бс5^5°5 + +^(хуш| - zyш£)шy + 1^5(56б£ - С6Ш|)С6.

С использованием выражения М3 формула вычисления принимает вид

М1 = - ^2^3^13 - Х51[5) - а(У51[2 + У^ЗЮ + Н33^13 + 16с5+ hl =

= НцСС! - ау|1[[2 + Н33с[3 + aq2x¡1q5 + 1ус5[6 + где Нц = Н - а[2с355 - а[2у|1 + Н33 = Н + Н33,

^ = 2тЧ2^1^2 - а[2 [2с3°5^5 + х5165°5 - УЦ6:;2 + с1)] + ^У^г^ - ^иЧЪ^ +

+ 0! + - 1У6С5С5Ш| + 1|(хУб| - ZУШ£)ШУ + - С6Ш|)С6.

Для F4 имеем F4 = т4[4 - + h4 - m4g, где h4 = а^ш^б - с5([5 + Щр)].

Для формулы вычисления М5 по аналогии с Примером 1 получим

М5 = а(х51[[2 - х|1[2^1 - + 1|6^5 + h5 + ags5, где 1|6 = 1| + II;

h5 = -а^^^ + 2Х|1С1С2) - + (1|[6 - 1|шу)(с66 + з6ш|).

Для Мб получим Мб = 1ушу = 1У(с5С13 + [[6 - С[5ш^) = 1У(с5[13 + + где h6 =

= -16С5ШЦ.

Из формул вычисления Мъ F2, М3, F4, М5, Мб, используя выписанные НК, составим МИК МС на рис. 2. Она примет следующий вид

/1у2 + Н33 + (т2[2 - 2тс2)[2 аУ§1 Н33 - а[2у51 0 -а[2Х51 1ес5\

-аУ51 т2 -аУ51 0 ах51 0

Н33 - а[2у51 -аУ51 Нзз 0 0 ^

0 0 0 т4 -аз5 0

-а[2Х51 ах51 0 -аз5 Т2 156 0

\16ус5 0 16ус5 0 0 I.' /

где Н33 = !у6 + 1|6з|. Видно, что эта МИК симметрична.

3.4. Выделение ГИС в УД МС на рис. 2. В формуле вычисления имеем: ^15 = [(If + Ii6)s5^5 - lLC5^]q5 = [(If + Ii6)s5c5qil3 - l56C5S5qi3]q5 = = (if + île - iL^ssiisis;

^15 = - У51^52 = - =

= ( s3c5c5q13 - s3s5s5q13)œ5 = -s3s5^13;

^16 = I|s5(s6œ! - c6œ|)ci6 = I|s5[s6(c6^ - s6ci5) - c6(s6^ + c6q5)]i6 = -I|s5i5i6; ^16 = Ie(x6^6 - = If [s5c6(s6œf + ce^ - s5s6(c6œf - s6q5)]œy =

= Ifs5i5(c5i13 + q6). Следовательно, формула вычисления h! принимает вид

hi = 2mq2q1q2 - ai2(2c3c5i13i5 - s3s5q?3 - yliêcl) + a^q^ - 2yf1q1q2) + + (If + I§6 - IL^SsÎisÎs - ^slsie + Ifs5q5(c5q13 + q6). Теперь с учетом обозначений x^, y^ окончательно получим

hl = aq2yil(^l + q13 + té) + 2(mq2 - aysi)^1^2 +

+ [(If + I§6 - I56 + I6)s5c5 - 2aq2xf1]^13^5 + (If - Il)s5q5q6 =

= aq2y|i(c^f + q?3 + [=) + 2(mq2 - ay^i^ + 2(If6s5c5 - aq^^q^qs - I£s5i5i6. В формуле вычисления h2 имеем

^25 = (x51^5 - У51^5)ш5 = (c3c5c5q13 + c3s5s5q13)œ5 = ^lS^i

т. е.

h2 = -mq2^1 + a(ysi^5 - 2s3c5^13^5 - c3S5^13) =

= mq2Îl + a[y51(^?3 + Ï5) + 2x51^13^5]. В формуле вычисления h3 имеем

^35 = (if + i56)s5^5^s - i56c5^5^5 = (if + i56)s5c5^13^5 = 2if6s5c5q3^5 - i6s5^5^6 и, повторно используя формулы Примера 1, получим fl36 = -I|s5i5i6, fl26 = Ifs5i5œ>g. Следовательно, h3 = ay^qaïi - 2ay|1q1i2 + 2If6s5c5i13i5 - I£s5i5i6. В формуле h4 имеем

^45 = - cs^52 = (s5^5 - c5œjj)œjj = ^siis - c5s5il3)œ5 = 0,

т. е. h4 = -ac5qil.

В формуле h5 имеем fi56 = s6œ| + c6œ£ = s6(s6œf + c6q5) + c6(c6œf - s6q5) = Теперь ni5 = + (Igi6 - I6a<K = - Ifu^ - + q6) =

= (II - IDie^s - (If + = Iyi6^ - If6^œy = (Iyq6 - If6c5i13)s5i13.

Следовательно, h5 = -a(xf1i2qi? + 2x|1i1q2) + (Iyq6 - If6c5i13)s5ci13. Для формулы h6 получим h6 = -Igssi^is.

Запишем формулу вычисления мощности обобщенных инерционных сил. Получим

Z?=1 hiii =

= [al2y5l(qi + qil3 + q!) + 2(mq2 - ay5l)^1^2 + 2(If6s5c5 - ai2x51)^13q5 - I6s5^5^6]C^l + + [-mq2i? + ayfiCi? + ci! + 2c[1ci3) + ay^qi + 2ax|1i13i5]i2 +

+ (ayiii2ci? - 2ayf1c[1c[2 + 2If6s5c5i13i5 - Iys5i5i6)i3 + (-ac5c[i)c[4 +

+ (-ax5ll2qi - 2ax51^1^2 + I6s5^13^6 - If6s5c5^13)^5 + (-I6s5^13^5)^6.

После сокращения слагаемых, сумма которых равна нулю, получим

E?=l hiqi = [al2y51(q5 + q2) + (mq2 - ay51)^1^2 - ai2y51^1^3 + +2(If6s5c5 + aq2xf1)c[13c[5]c[1 + [ay^fà! + q§) + 2ax|1i3i5]i2 + + (Ifes5c5^3^5)^3 + (-ac5^5)^4 + (-I6s5^5^13)^6.

Сокращенные слагаемые равны выражению £f=1 giii = 0. Следовательно, искомые ГИС имеют вид

gl = (mq2 - aysi)^1^2 - ai2y51^1^3 + 2(I56s5c5 + ai2x51)l13 q5 ; g2 = -mq2^1 + ay51^1 + 2ay51^1^3 + 2ax51^1^5;

g3 = ay^iaii - 2ayf1c[1c[2 + 2If6s5c5c[1c[5 + If6s5c5i3i5 - I^s5c[5c[6; gs = -axi1i2qii - 2ax|1c[1c[2 + I£s5i13i6 - If6s5c5if3.

4. Выписывание УД МС с одной ПКП (Пример 3)

На рис. 3 изображена схема портальной МС со сферической СК. Два последних ориентирующих движения захвата здесь не рассматриваются, т. е. N = 4. Рассматриваемая МС имеет следующее формальное описание.

Из рис. 3 видно х3 = х4, у = Ух, у2 = Уз = Уъ 2i = z2, z3 = z4. Орты КП имеют следующие направления: 4i = У1 = = const - орт ВКП(1), направленный вертикально вверх; Ч2 = z2 - орт ВКП(2), меняющий свое направление в горизонтальной плоскости вместе с вращением тела mQl; q3 = у3 - орт ВКП(3), поварачивающийся на угол q2 в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси вместе с телом то1; р4 = —у4 - орт ПКП(4), направленный противоположно орту q3.

Из рис. 3 видно, что Ri = R2 = R3 = 0, R4 = —q4y3, Ci = У1, C2 = c3 = — y2, C4 = m4 = 0, так как C4 = O4. Поэтому

ri = r2 = r3 = 0, r4 = R4 = —(q4y3)£.

4.1. Выписывание УД в квазиускорениях. По формуле (1.23) выпишем:

Ш3 = mc3C3 + m4R4 = —тсзУ2 — m4q4y2 = —mq4У2, где mq4 = mc3 + m4q4;

т2 = mc2c2 + т3 = —mc2y2 — mq4y2 = —mqy2, где mq = mc2 + mq4.

С учетом равенства m4 = 0 по формулам (1.1), (1.12), (1.15) выпишем

F4 = Р4 • F4 = — У2 • F4 = m4y2 • (q4y2)t^ — mg4y2 • У = = m4(q4y2 • у2 + q4y2 • у2)— mg4y2i.

По формуле (1.21) выпишем у2 • у2 = —w22 — w22. Следовательно,

F4 = m4[q4 — q4(^22 + ^22)] — mg4y2i.

Из рис. 3 видно wf = wf = 0, wy = cq1. Теперь по формуле (1.8) выпишем = h • yiw^ + q2 • ^2q2, т. е. w^ = x2 • y^ + z2 • x2q2 = ху1е[1 = s2qi; w2 = У2 • yiqi + z2 • y2q2 = y21qi = c2^i;

wl = Z2 • y^! + Z2 • Z2C[2 = + q2 = ^

так как из второй строки третьего блока табл. 1 имеем x21 = s2, y21 = c2, z21 = 0. Таким образом, F4 = m4[q4 — q4(w22 + C[l)] — mg4c2.

Для j = 3 по формуле (1.8) выпишем w3 = £л ^з • Л^2 + q3 • ^з[з, т. е. w3 = !л х3 • л^ + у3 • x3q3 = xf2wf + xy2wy + = c3wf — s3q2;

w3 = 2 Уз • Л^2 + Уз • УзЧз = Уз2wI + y^2w2 + y§2wl + q3 = w2 + q3;

w| = !л z3 • л2w^ + Уз • z3C[3 = + zy2wy + z|2wl = S3w2 + c3q2,

так как из второго блока табл. 1 имеем

x32 = C3, x32 = 0, X32 = —S3; y32 = 0, y32 = 1 y32 = 0; Z32 = sз, z32 = 0 Z32 = c3.

Так как КП(4) = ПКП, то имеем w| = w3.

По формуле (1.2) для j = 1, 2, 3 получим Mj = Kq + Mq + Gj, где Kj1 = qj • If=j Кь Mq = m4qj • R4 x R4, Gj = gqj • mj x y. Выпишем моменты сил тяжести: Gx = gy • mt x у = 0;

G2 = gz2 • m2 x у = —gmqz2 xy2-y = gmqx2 • у = gmqx^ = gmqs2; G3 = gy3 • m3 x у = —mq4y2 x y2 • у = 0.

i -

п4 ^ Lc

* С2

С,

04= С A

Рис. 3. МС со сферической СК Fig. 3. MS with spherical CS

Выпишем выражения М?. Для ] = 3 получим

М31 = т4у3 • Я4 х Й4 = т^4у3 х у3 • Й4 = 0. Используя формулу (1.12), получим

М2 = т4г2 • Я4 х Й4 = -т^4г2 х у2 • Й4 = -m4q4x2 • ([4у2)"2 = = -т^4х2 • ([4у2 + 2[4у2 + [4у2). По формулам (1.18), (1.22) выпишем

х2 • у2 =е^ух 1 = -^2, Х2 • У2 =£^ух ¿2 + ^2^2 = -¿2 + ¿г!». Следовательно,

М2 = -т4[4(-2[41 - [41 + [41 шу) = -т4[4(-2[4[2 - [4[2 + шу). Используя разложение у2 = у!^ + у21ух + УгЛ = с2ух — s2x1, получим М? = т4уг • Я4 х Я4 = -т4уг х ([4у2) • Я4 = -т4[4у1 х (с2уг - s2x1) • Я4 = = m4q4s2z1 • ([4у2)£ = m4q4s2z2 • ([4у2 + 2[4у2 + [4у2) = т4[^2(2[4г2 • у2 + [4г2 • у2). По формуле (1.18) выпишем г2 • у2 =£^у2 ш>2 = ш2. По формуле (1.22) выпишем

22 • У2 = ^у2 ¿2 + ¿2 ¿2 = ¿2 + ^2^2 = ¿2 + ¿2 [2. Следовательно, М^ = т^^^^Ш + ¿[2^2) + 2[4Ш1].

Выпишем выражения К?. Будем считать, что для всех i имеют место равенства ССК(1) = ГСК^),

I* = ^ т. е. I-3 = 0, ^ = -I?. Тогда для ] = 3 по формуле (1.6) с учетом равенств ш3 = ш|, Уз = у4 и ху3 = гу3 = 0, х43 = гу3 = 0 выпишем

К3 = Уз • Й=3 = Й=3 [40?! + ЦЧ"Г) + 1ГуГз"Г + г^^С^Г^Г - ^^^Г^Г)] =

= 0У + = 1М,

где 1£4 = 1З + 1£.

К2 = 22 • ^=2 = Й=2 [х^Ш* + ЦЧо>Г) + 11Уу1220)[ + г^П - ^¿Ч)] = = 111>1 - + х|2(1|4о)Ц + 1|4ш|[ш1) + 1з4Уз2¿¿з + гэгОм! - 134Ш3Ш3) =

= 1|^2 - ^шЦ - s3(I|4ijj + 1|4ш^ш|) + с3(1|40)§ - ^шЦш^), где 4 = ^ + I*, 1|4 = 1| + 1| = 132 + 1| - - II.

К? = У1 • 5?=1 = ^ + 1Г=2 [х^Л? + Ч^ш?) + + г^П - ^ш*)] =

= ^ + х^фЦ + 12ашуш1) + 1уу2>у + г^Ц - 12аш1шу) +

+ху1(1|411 + 1|4шуш|) + ^311 + - ^¿Щ) =

= 1^1 + S2(I2i)2 + 1!^212) + + Хз!(1З41З + ^¿З^з) +

+ 134с21^3 + г31(134ш3 - ^¿З^зХ так как из второй строки блока, стоящего на пересечении средней колонки нижней полосы

табл. 2, имеем хуг = s2cз, ууг = с2, гуг = s2sз.

Таким образом, первый вид УД МС на рис. 3 представляется следующей системой дифференциальных уравнений, содержащих квазиускорения и квазискорости:

1У[[1 + т4[452[[4(1>2 + [2ш2) + 2[41Л + БгОЦ + ^¿г) + +1ус2о)у + ху1(1^4о)! + 1|4шуш|) + 1^4с21у + гу1(1з41)| - 1|41з1з) = Мг; (12 + т4[|)[2 + 2т4[4[4[2 - (1| + т4[|)ш^шу -

+ 1|4шуш|) + с3(1|4ш§ - ^¿Щ) + gm4s2 = М2;

13413 = Мз;

т4[[4 - [4(ш22 + [2)] - тё4с2 = F4. 4.2. Вывод МИК в УД МС на рис. 3. В формуле вычисления Мг имеем: Л12 = (т4[^2 + s2I|)if + 1^с2шу, Л13 = 1|4(ху11^ + гу1ш!) + 1у4с2шу. Используя выписанные выражения квазиускорений и НК х31, г31, получим: П12 = (т4[^2 + s2If)(s2q1 + с2[1[2) + 12с2(с2[[1 - s2q1q2) =

= [(12 + m4q4)s2 + 12С1]^1 + С1! + т4[2 - I2)S2C2qlq2 = = Рг + (II - 1г + m4q|)s|]с[1 + (1| + m4q|)s2c2q1q2;

^13 = 114^2С3(С3^2 - Sзq2 - s3q3wj[ - с3я2яз) + S2Sз(Sзd)^ + С3Я12 + СзС1зШ^ - S3q2q3)] +

+ 1У4С2(о)У + Я1з) = 1^4С2Сз + + ^2^2 - ^гЯгЯз =

= 134С2^3 + ^гОгСЬ + С2^1^2) + 134с2(с2с^1 - ^С11С12) - ^гЯгЯз =

= 134с2С1з + (134^ + 134с2)^1 + (134 - ^^^Яг - ^гЯгЯз = = [134 + (134 - ^^Яг + 134с2С1з + ^гЗДЯг - ^гЯгЯз.

Следовательно,

П12 + П13 = [1у + (12а + Ш4С^22 + 1у4 + I|4s|]ql1 + 1у4с2Сз +

+ 0! + 1з4 + Ш^^С^^ - II4S2ql2qlз. Таким образом,

М1 = + Ш^^^СЗЦ + 2С4Ш1) + 1^2С2^2 + 1з4х31шзш3 - +

+ [12 + (12 + Ш4С2^2 + ^4 + + 134С2С^3 + 0§4 + Ш4Я4^2С2Я1Я2 - ^гЯгЯз =

= НпЯ! + Н13Сз

где Ни = 1[ + + (12а + Ш4С2>22 + 1у4 + = 1у4 + (12а4 + Ш4С2>2, Н13 = 1у4с2; hl = 0|4 + т4с|^2с2С1С2 - 1|^2С2Сз + (1§ + Ш^^С^ + 2Ш4С^2С4^ +

1а = 1а + 1а ^ = 1У + 1У + 1У 124 _ 12 ^ I34, 114 _ 11 ^ 12 ^ 134.

В формуле вычисления М2 имеем

^23 = 1з4(Сз^>3 - БзШз) = 134^3^3^2 + С3С2 + С3Сз^2 - S3q2Яз) -^3(с3^2 - Sз^2 - 53С[3^2 - С3С2Яз)] = ^(Сг + Яз^2> Следовательно,

М2 = Н22С2 + h2 + G2, где Н22 = 12 + 134 + Ш4Я| = 1|4 + 1^4 = 12 + 134

^ = 2Ш4Я4С14С12 + 1|4С3ш|[ - (II + - 1|4^3ш§ + с3ш|)ш£, G2 = gш2s2.

Для формулы вычисления М3 получим М3 = 134(с2^1 + С3) + h3, где h3 = -1з.ф32С11С12-Для формулы вычисления F4 получим F4 = т4С4 + ^ - т§4с2, где ^ = -т^^С2 - Ш4Я4С[1. Таким образом, МИК в УД МС на рис. 3 имеет следующий вид /^(^Ш^2 0 1у4с2 0 \

0 1|4 + Ш4Я| 0 0

1^2 0 1у4 0 \0 0 0 Ш4/

4.3. Выделение ГИС в УД МС на рис. 3. В формуле вычисления ^ имеем

^13 = 1з4^2С3^3^ + С3С[2) - S2S3(c3^ - 53С[2)](шУ + С[3) = I|4S2C[2(с2Я1 + С[3).

Следовательно,

Н1 = (1|4 + ш4с4^2с2С1С2 - 1|^2С2С3 + (1§ + Ш^^С^Я! + 2Ш4Я^2С^2С1 + + 1^2Я2(С2Я1 + С[з) = 024 + I! + 2Ш4Я2 + ^^с^Сг + (1§4 - 134^2С2С3 + +2т4я^|С1С4 = 2(114 + ш^^с^Сг + 2m4.q4.sf С]^ - 1^2С2С3. В формуле вычисления ^ имеем

^23 = -I|4(sз^i + = -1|4^3^3ш| + с3С[2) + с3(с3ш! - s3q2)](Ц + Сс3) =

= -1^2С1 (с2С1 + С[з). Следовательно,

Н2 = 2Ш4Я4С^2С^4 + 1з4з2С[1С1з - 0! + ш4с4^2с2С2 - ^^(с^! + [3) =

= -0! + 1з4 + Ш4С2^2с2С2 + - + 2т4с4С[2С4 =

= -(1§4 + Ш4Я4>2С2Я1 + 134^Я1С1з + 2ш4 14^2^4. Теперь

2?=1 hiqli = [2(1§4 + т^^с^Са + 2ш4q4s¡ql1ql4 - 1^2Я2Яз]я1 + + [-024 + +т4с|)с^2С? + ^^Сз + 2Ш4Я4С12С14]С12 + (-^гЯгЯгМз + +(-Ш4С^|С| - т4я4с^2)с14 = [(1|4 + т^^^СгС]! + ш4q4s|ql1ql4]ql1 + +(т4С4С2С4)С2 + (-^2Я1Я2)Яз.

н =

Следовательно, элементы вектора инерционных сил в УД МС на рис. 3 вычисляются по формулам:

hi = (1§4 + m4q!)s2c2q1q2 + m4q4s|c[1ci4 + gx;

h2 = + g2, h3 = ^L^l^ h4 = g4 = -m4[4s2^1 - m4q4^2,

где gi = (If4 + m4q|)s2c2c[1c[2 + m4q4s|c[1c[4 - I^i^;

g2 = -(If4 + m^^c^i2 + I^iiis + т4[4[2[4, g3 = 0, так как £f=1 giii = 0.

5. Практическое использование полученных результатов

Общие для СТОВ уравнения (1.1), (1.2) позволяют вывести формулы вычисления динамических реакций Fj, Mj, действующих в Kn(j), и необходимые, например, для учета трения в КП. Здесь мы продемонстрировали, как использовать уравнения (1.1), (1.2) для выписывания УД МС в квазиускорениях и скоростях без выполнения орераций скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Все формальные операции выписывания являются типовыми, и используемые при этом общие формулы являются регулярными. Этот факт позволяет легко автоматизировать процесс выписывания УД. Особенно эффективно использовать для этого регулярные выражения и их метод replace. В качестве входной информации для соответствующего ПО достаточно использовать формальное описание рассматриваемой МС. Альтернативный подход автоматического вывода аналитического вида УД МС связан с использованием известных систем аналитических вычислений.

Переход от первого вида УД МС к УД в ОК осуществляется за два этапа. Результат каждого из них имеет самостоятельное практическое значение. Второй вид УД МС максимально подготовлен для записи формулы Тимофеева

Q = H[qp(t)-Ax-Bx]+h + G, (5.1)

где qp(t) - вектор-столбец программных движений МС, т. е. ОК, заданных как функции времени; А - постоянная матрица коэффициентов усиления ошибок х = tj[ — tjp (t) управления по ОС; В - постоянная матрица коэффициентов усиления ошибок х = q — qp(t) управления по ОК. Замыкая УД Hq + h + G = Q управлением (5.1), для ошибок управления получают уравнение х + Ах + Вх = 0, в котором можно подобрать матрицы А и В так, чтобы ошибки стремились к нулю.

В третьем виде УД явно выделены ГИС. По определению Тэта их мощность равна нулю [11]. Поэтому при вычислении потребляемой мощности приводов МС ГИС можно отбрасывать, что увеличивает быстродействие вычислений. Это особенно актуально при решении задач оптимального управления в смысле минимума потребляемой мощности, так как минимизируемый функционал упрощается. Выделение ГИС в формулах вычисления элементов h¡ вектор-столбца h позволяет упростить формулу (5.1). Действительно, если в формуле (5.1) отбросить ГИС, то они появятся в левой части уравнений для ошибок управления. Но добавление ГИС может обеспечить устойчивость решения, т. е. в нашем случае увеличить запас устойчивости стремления ошибки к нулю. Вопрос как и на сколько нуждается в отдельном исследовании.

В случае ручного выписывания УД важно их верифицировать, т. е. доказать отсутствие в них ошибок. Для частичной верификации можно использовать формулы вычисления элементов МИК, которая должна быть симметричной. Для полной верификации аналитического вида УД мы численно решали первую задачу динамики МС на основе третьего вида ее УД и путем использования JS-функции СФСТОВ, код которой приведен в статье [14]. Совпадение результатов решения для различных значений ОК, ОС и ОУ указывает на отсутствие ошибок в аналитическом виде УД.

Заключение

В статье описан формализм решения первой задачи динамики МС, т. е. вычисления движущих сил и моментов сил по заданным ОК [¡(t), ОС [¡(t) и ОУ [¡(t). Для этого предложены общие формулы и продемонстрировано их использование на конкретных примерах МС. Для решения первой задачи динамики МС можно использовать любой из трех видов УД. Все они короткие (не громоздкие) и простые. Для решения второй задачи динамики МС, т. е. решения задачи Коши методом построения степенных рядов времени [15-17], рекомендуется использовать второй вид, так как в нем явно выражена МИК. Для решения задачи управления программным движением

тел МС по формуле (5.1) рекомендуется третий вид УД, так как в нем выделены ГИС, которые можно не учитывать в формуле (5.1), что уменьшает такт неуправляемости МС и может увеличить запас устойчивости. В целом заявленная тема статьи раскрыта и указаны пути решения проблемы громоздкости УД МС.

Список литературы

1. Elshabasy M.M.Y.B., MohamedK.T., Ata A.A. Power optimization of planar redundant manipulator moving along constrainedend trajectory using hybrid techniques // Alexandria Engineering Journal. 2017. Vol. 56, iss. 4. P. 439-447. doi: 10.1016/j.aej.2017.01.040

2. Hoovsky A., Pitel J., Zideka K., Tothova M., Sarosi J., Cveticanin L. Dynamic characterization and simulation of two-link soft robot arm with pneumatic muscles // Mechanism and Machine Theory. 2016. № 103. P. 98-116. doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2016.04.013

3. Korayem M.H., Shafei A.M., Shafei H.R. Dynamic modeling of nonholonomic wheeled mobile manipulators with elastic joints using recursive Gibbs-Appell formulation // Scientia Iranica. 2012. Vol. 19, iss. 4. P. 1092-1104. doi: 10.1016/j.scient.2012.05.001

4. Shala A., Likaj R., Bruqi M., Bajrami X. Propulsion Effect Analysis of 3Dof Robot under Gravity // Procedia Engineering. 2015. Vol. 100. P. 206-212. doi: 10.1016/j.proeng.2015.01.359

5. Sadati S.M.H., Naghibi S.E., Naraghi M. An Automatic Algorithm to Derive Linear Vector Form of Lagrangian Equation of Motion with Collision and Constraint // Procedia Computer Science. 2015. Vol. 76. P. 217-222. doi: 10.1016/j.procs.2015.12.345

6. Fontes J.V., da Silva M.M. On the dynamic performance ofparallel kinematic manipulators with actuation and kinematic redundancies // Mechanism and Machine Theory. 2016. Vol. 103. P. 148-166. doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2016.05.004

7. Amin A.T.M., Rahim A.H.A., Low C.Y. Adaptive controller algorithm for 2-DOF humanoid robot arm //Procedia Technology. 2014. Vol. 15. P. 765-774.

8. Lewis F.L., Dawson D.M., Abdallah C.T. Robot Manipulator Control: Theory and Practice. Marcel Dekker, Inc., New York, 2004. 614p.

9. Телегин А.И. Синтез систем твердых тел с заданными свойствами. Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1996. 174 с.

10. Телегин А.И. Динамическая развязка систем тел с замкнутыми ветвями // Изв. РАН. МТТ, 1999. № 2. С. 37-45.

11. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : Физматгиз, 1961. 824 с.

12. Пудовкина С.Г., Телегин А.И. Выписывание формул вычисления сил в сочленениях манипуляторов в статике. Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2021. Т. 21, № 3. С. 47-58. doi: 10.14529/ctcr210305

13. Телегин А.И. Уравнения математических моделей механических систем. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 1999. 181 с.

14. Телегин А.И. Формализм выписывания уравнений динамики манипуляторов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2021. Т. 21, № 4. С. 52-68. doi: 10.14529/ctcr210405

15. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Киев: Нау-кова думка, 1970. 792 с.

16. Телегин А.И. Алгоритмы вывода уравнений динамики систем твердых тел и интегрирование этих уравнений методом построения степенных рядов на ЭВМ //Механика и прикладная математика. Труды Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации». Тула, 1989. С. 106-114.

17. Телегин А.И. Математическое обеспечение алгоритмов вывода уравнений динамики систем тел с одной открытой ветвью на плоскости и их интегрирование при помощи степенных рядов // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение, 1995. № 1. С. 55-61.

References

1. Elshabasy M.M.Y.B., Mohamed K.T., Ata A.A. Power optimization of planar redundant manipulator moving along constrained-end trajectory using hybrid. Alexandria Engineering Journal. 2017;56(4):439-447. doi: 10.1016/j.aej.2017.01.040.

2. Hosovsky A., Pitel' J., Zidek K., Tothova M., Sarosi J., Cveticanin L. Dynamic characterization and simulation of two-link soft robot. Mechanism and Machine Theory. 2016;(103):98-116. doi: 10.1016/j .mechmachtheory.2016.04.013.

3. Korayem M.H., Shafei A.M., Shafei H.R. Dynamic modeling of nonholonomic wheeled mobile manipulators with elastic joints using recursive Gibbs-Appell formulation. Scientia Iranica. 2012;19(4): 1092-1104. doi: 10.1016/j.scient.2012.05.001.

4. Shala A., Likaj R., Bruqi M., Bajrami X. Propulsion Effect Analysis of 3Dof Robot under Gravity. Procedia Engineering. 2015;100:206-212.

5. Sadati S.M.H., Naghibi S.E., Naraghi M. An Automatic Algorithm to Derive Linear Vector Form of Lagrangian Equation of Motion with Collision and Constraint. Procedia Computer Science. 2015;76:217-222. doi: 10.1016/j.procs.2015.12.345.

6. Fontes J.V., da Silva M.M. On the dynamic performance of parallel kinematic manipulators with actuation and kinematic redundancies. Mechanism and Machine Theory. 2016;103:148-166. doi: 10.1016/j .mechmachtheory.2016.05.004.

7. Amin A.T.M., Rahim A.H.A., Low C.Y. Adaptive controller algorithm for 2-DOF humanoid robot arm. Procedia Technology. 2014;15:765-774.

8. Lewis F.L., Dawson D.M., Abdallah C.T. Robot Manipulator Control: Theory and Practice. Marcel Dekker. Inc., New York; 2004. 614 p.

9. Telegin A.I. Sintez sistem tverdykh tel s zadannymi svoistvami [Synthesis of solid systems with specified properties]. Chelyabinsk: ChSTU Publ.; 1996. 174 p. (In Russ.)

10. Telegin A.I. [Dynamic decoupling of body systems with closed branches]. Izvestiya RAN. MTT. 1999;(2):37-45. (In Russ.)

11. Lur'e A.I. Analiticheskaya mekhanika [Analytical mechanics]. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1961. 824 p. (In Russ.)

12. Pudovkina S.G., Telegin A.I. [Writing out of formulas for calculating forces in the joints of manipulators in statics]. Bulletin of the South Ural State University Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radioelectronics. 2021;21(3):47-58. (In Russ). doi: 10.14529/ctcr210305.

13. Telegin A.I. Uravneniya matematicheskikh modelei mekhanicheskikh sistem [Equations of mathematical models of mechanical systems]. Chelyabinsk, South Ural St. Univ. Publ.; 1999. 181 p. (In Russ.)

14. Telegin A.I. [Formalism of writing out of manipulators dynamic]. Bulletin of the South Ural State University Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radioelectronics. 2021;21(4):52-68. (In Russ). doi: 10.14529/ctcr210405.

15. Fil'chakov P.F. Chislennye i graficheskie metody prikladnoi matematiki [Numerical and graphical methods of applied mathematics] Kiev: Naukova dumka Publ.; 1970. 792 p. (In Russ.)

16. Telegin A.I. [Algorithms of derivation of the equations of dynamics of systems of solids and integration of these equations by the method of construction of power series on the computer]. In: Mekhanika i prikladnaya matematika. Trudy Vsesoyuznoi konferentsii "Sovremennye problemy informatiki, vychis-litel'noi tekhniki i avtomatizatsii". Tula; 1989. P. 106-114. (In Russ.)

17. Telegin A.I. [Mathematical support of algorithms for deriving the equations of dynamics of body systems with one open branch in the plane and their integration by means of power series]. Vestnik MGTU. Ser. Priborostroenie. 1995;(1):55-61. (In Russ.)

Информация об авторах

Телегин Александр Иванович, д-р физ.-мат. наук, проф., проф. кафедры автоматики, Южно-Уральский государственный университет, филиал в г. Миассе, г. Миасс, Россия; teleginai@susu.ru.

Information about the authors

Aleksandr I. Telegin, Dr. Sci. (Phys. and Math.), Prof., Prof. of the Department of Automation, South Ural State University, Miass, Russia; teleginai@susu.ru.

Статья поступила в редакцию 21.12.2021; одобрена после рецензирования 10.01.2022; принята к публикации 17.01.2022.

The article was submitted 21.12.2021; approved after reviewing 10.01.2022; accepted for publication 17.01.2022.