CC BY
8
Управление в технических системах Control in technical systems
Научная статья УДК 681.5
DOI: 10.14529/ctcr220204
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ С ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ СОЧЛЕНЕНИЯМИ
А.И. Телегин, teleginai@susu.ru
Южно-Уральский государственный университет, филиал в г. Миассе, Миасс, Россия
Аннотация. Решается проблема сложности вывода и громоздкого аналитического вида уравнений математических моделей управляемых систем тел с явно выраженными структурными, кинематическими, статическими и динамическими параметрами. В первую очередь это относится к уравнениям динамики, на которых основаны системы управления. Наш практический опыт и теоретические результаты указывают на то, что пути решения этой проблемы нужно искать в двух направлениях. Во-первых, в направлении классификации систем тел и использования особенностей представителей рассматриваемых классов систем тел в части упрощения формализмов вывода их уравнений динамики, а также уменьшения числа математических операций в аналитическом представлении уравнений динамики. Во-вторых, в направлении выбора параметров состояния тел, в которых записываются аналитические скалярно-координатные виды уравнений динамики. В этой связи следует заметить, что подавляющее большинство (более 90 %) промышленных роботов, а также роботов специального назначения имеют структуру одной открытой ветви, в которой тела образуют друг с другом вращательные кинематические пары пятого класса (вращательные сочленения). Если в таких системах полюса тел выбирать на осях их относительного вращения, то межполюсные расстояния будут постоянными, что значительно упрощает решение указанной проблемы. По поводу выбора параметров состояния, явно входящих в уравнения динамики, следует заметить, что квазискорости, т. е. проекции абсолютных угловых скоростей тел на оси их связанных систем координат, являются наиболее подходящими для этих целей. Дело в том, что в уравнениях кинематики, замыкающих уравнения динамики до полного набора уравнений для решения той или иной задачи, всегда можно выразить квазискорости через любые другие параметры, например, относительные углы поворота тел и их производные по времени, направляющие косинусы и их производные, кватернионы и т. д. Если проекции абсолютных угловых скоростей тел на их оси измеряются, например, гироскопами на телах и решается первая задача динамики, то формулы решения содержат минимальное число операций сложения и умножения. Таким образом, целью исследования является разработка простого метода вывода аналитического вида уравнений динамики манипуляторов с вращательными сочленениями в квазискоростях, в которых явно выражены геометрические, кинематические, статические и инерционные параметры тел. Используемые методы исследования (векторная и аналитическая механика систем тел, векторная алгебра, системный анализ и методы тождественных преобразований) позволили свести вывод уравнений динамики манипуляторов к формальным действиям их выписывания без выполнения сложных математических операций дифференцирования, возведения в степень, вычисления векторных операций и т. д. Результаты исследования содержат доказательство общего векторного вида уравнений динамики манипуляторов в квазискоростях с явно выраженными межполюсными расстояниями и параметрами распределения масс тел. Для выписывания моментов движущих сил в сочленениях получены скалярно-координатные формулы и их простой частный вид для случая параллельности осей вращения соседних сочленений. Как частный случай получены формулы выписывания уравнений динамики манипуляторов на плоскости. Для них процесс выписывания уравнений динамики сводится к конкретизации числа тел, их геометрических и инерционных параметров. Заключение. Эффективность изложенных методов и полученных формул продемонстрирована на примерах выписывания уравнений динамики тела с одной закрепленной точкой, гироскопа в кардановом подвесе и ангулярного манипулятора с тремя и шестью степенями свободы в пространстве. Эти результаты позволяют нам ожидать, что число пользователей предлагаемых методов будет расти. Положительный опыт использования этих методов в учебном процессе в дисцип-
© Телегин А.И., 2022
линах «Основы механики систем тел», «Электромеханические системы» и «Мехатроника» оправдывает наши ожидания.
Ключевые слова: шарнирный манипулятор, уравнения динамики, квазискорости, выписывание формул, направляющие косинусы, верификация уравнений
Благодарности: Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Челябинской области в рамках научного проекта 20-41-740019.
Для цитирования: Телегин А.И. Аналитическое решение первой задачи динамики манипуляторов с вращательными сочленениями // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2022. Т. 22, № 2. С. 41-57. DOI: 10Л4529/йсг220204
Original article
DOI: 10.14529/ctcr220204
ANALYTICAL SOLUTION OF THE FIRST PROBLEM OF DYNAMICS OF MANIPULATORS WITH ROTATIONAL JOINTS
A.I. Telegin, teleginai@susu.ru
South Ural State University, Miass, Russia
Abstract. The problem of complexity of derivation and the cumbersome analytical form of equations of mathematical models of controlled body systems with explicit structural, kinematic, static and dynamic parameters is solved. First of all, this applies to the equations of dynamics on which the control systems are based. Our practical experience and theoretical results indicate that solutions to this problem should be sought in two directions. Firstly, in the direction of classifying body systems and using peculiarities of the representatives of the considered classes of body systems in terms of simplifying formalisms for deriving their equations of dynamics, as well as reducing the number of mathematical operations in the analytical representation of the equations of dynamics. Second, and in the direction of choosing the parameters of the state of bodies in which the analytical scalar-coordinate types of the equations of dynamics are written down. In this connection, it should be noted that the vast majority (more than 90 %) of industrial robots, as well as special-purpose robots, have a single open branch structure in which the bodies form rotational kinematic pairs of the fifth class (rotational articulations) with each other. If in such systems the poles of the bodies are chosen on the axes of their relative rotation, the interpole distances will be constant, which greatly simplifies the solution of the above problem. Regarding the choice of state parameters explicitly included in the equations of dynamics, it should be noted that quasi-velocities, i.e. projections of absolute angular velocities of bodies on the axes of their coupled coordinate systems, are the most suitable for these purposes. The point is that in the equations of kinematics, which close the equations of dynamics to a complete set of equations for solving a problem, one can always express quasi-velocities through any other parameters, for example, relative angles of rotation of bodies and their time derivatives, guiding cosines and their derivatives, quaternions, etc. If projections of absolute angular velocities of bodies on their axes are measured, for example, by gyroscopes on bodies, and the first problem of dynamics is solved, the solution formulas contain a minimum number of addition and multiplication operations. Thus, the goal of the study is to develop a simple method for deriving the analytical form of the equations of dynamics of manipulators with rotational joints in quasi-velocity, in which geometric, kinematic, static and inertial parameters of bodies are explicitly expressed. The used research methods (vector and analytical mechanics of body systems, vector algebra, system analysis and methods of identity transformations) made it possible to reduce the derivation of the equations of dynamics of manipulators to formal actions of writing them out without performing complex mathematical operations of differentiation, magnification, calculation of vector operations, etc. The results of the study contain a proof of the general vector form of the equations of dynamics of manipulators in quasi-velocity with explicitly expressed interpole distances and parameters of mass distribution of bodies. Scalar-coordinate formulas and their simple special formulas for the case of parallel rotation axes of neighboring joints are derived for writing out the moments of driving forces in joints. As a special case, the formulas for writing out the equations of dynamics of manipulators on the plane were obtained. For them, the process of writing out the equations of dynamics is reduced to the specification of the number of bodies, their geometric and inertial parameters. Conclusion. The effectiveness of the outlined methods and the obtained formulas have been demonstrated by examples of deriving the equations of dynamics of a body with a single fixed point, a gyroscope in a gimbal, and an angular manipulator with three and six degrees of freedom in space. These results allow us to expect that the number of users of the pro-
posed methods will grow. The positive experience of using these methods in the educational process in the disciplines "Fundamentals of Mechanics of Body Systems", "Electromechanical Systems" and "Mecha-tronics" justifies our expectations.
Keywords: articulated arm, equations of dynamics, quasi-velocities, writing out the formulas, guiding cosines, equations verification
Acknowledgments: The study was financially supported by the RFBR and the Chelyabinsk Region within the framework of the scientific project 20-41-740019.
For citation: Telegin A.I. Analytical solution of the first problem of dynamics of manipulators with rotational joints. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. 2022;22(2):41-57. (In Russ.) DOI: 10.14529/ctcr220204
Введение
Основной проблемой практического использования уравнений динамики (УД) манипуляторов является их громоздкость. За последние пять лет мы не встречали отечественные и зарубежные научные публикации, в которых так или иначе ставится задача выписывания аналитического вида УД манипуляторов со многими степенями подвижности и явно выраженными геометрическими, кинематическими, статическими и инерционными параметрами тел. Много статей посвящено численному решению задач динамики манипуляторов на ЭВМ в пошагово-алгоритмическом режиме, т. е. без представления УД в явном аналитическом виде. Использование систем аналитических вычислений для выписывания УД манипуляторов по классическим формализмам (Лагранжа, Аппеля, Ньютона - Эйлера и т. д.) не решает проблему их громоздкости. Например, в статье [1] отмечается, что УД ангулярного манипулятора с шестью степенями свободы, выведенные по формализму Лагранжа и записанные в символьном виде, занимают сорок машинописных страниц. Мы считаем, что это следствие неэффективности классических формализмов вывода УД манипуляторов.
Постановка задачи: разработать простой метод вывода аналитического вида УД манипуляторов с вращательными сочленениями и явно выраженными параметры тел. Свести вывод УД к формальным действиям их выписывания без выполнения сложных математических операций и продемонстрировать этот формализм на примерах выписывания УД манипуляторов с тремя и шестью степенями свободы в пространстве.
1. УД манипулятора в квазискоростях
Присвоим неподвижному телу манипулятора (стойке, станине) нулевой номер и свяжем с ним правую систему координат Oxyz, где х - орт оси абсцисс, направленной горизонтально вправо, у - орт оси ординат, направленной вертикально вверх. Подвижные тела занумеруем числами 1, 2, ..., N, где N - количество подвижных тел. Введем следующие обозначения:
moi - масса и обозначение i-го тела;
т; - масса и обозначение i-й подсистемы, т. е. тела moi и всех следующих за ним тел;
Oi - полюс тела moi, т. е. фиксированная точка тела moi;
Cai - центр масс (ЦМ) тела moi, дополненного массой mi+i в точке Oi+i;
Li - расстояние от точки Ot до точки Oi+1;
б; - орт, указывающий направление из точки Оi в точку Oi+1;
at - орт, указывающий направление из точки Ot в точку Cai;
= °i°i+1 = Liei, Pi = Limi+1, mN+1 = 0, Vn = 0, bi = mi\OiCai\;
OiXiyiZi - правая связанная с телом moi система координат (CCK(i)), где x^y^Zf - орты ее осей;
, о)(у, o)f - проекции вектора Mi абсолютной угловой скорости тела moi на оси CCK(i);
К0( - кинетический момент тела moi относительно точки Оi;
If0,1?, I? - осевые моменты инерции тела moi в CCK(i);
I*y, I*z, - центробежные моменты инерции тела moi в CCK(i);
Mi - главный момент относительно точки Оi сил, действующих на тело moi со стороны тела ™0i-i.
Для уменьшения громоздкости записей будем использовать:
- греческие буквы V, принимающие значения на множестве латинских букв
- латинскую букву и, принимающую значение на множестве латинских букв {е, а};
- знаки суммирования по буквам V,
- символ Леви-Чивиты, где ^Ц,^ £ {х,у,г} и £Хуг=£угх=£гху= 1 или 0, если среди символов есть повторяющиеся, иначе —1 [2].
Эта система обозначений позволяет записывать следующие выражения:
= ш^х^ + шу+ = Е^ о)^- разложение вектора по ортам ССК(г); и( = Е^ и^гЧг - разложение орт Я; или б; по ортам ССК(£), где и £ {е, а}, = щ -постоянные направляющие косинусы (НК) орта и^ в ССК(£);
= Е^ С^Чг - разложение орт ССК(у') по ортам ССК(£), где ^ = • - НК орт ССК(у') в ССК(1);
& х ъ =Е^ v¿; & х ^ = ^ х Е Сцт = Е (J¿v¿.
1.1. Формула вычисления момента силы в сочленении Для манипулятора справедлива формула
М] = т] х + [К01 + Ь1(р1е1 + т1+1) х ше1 + х ша1] + в]. (1.1)
где т] = Е1=) Ькак, ши1 = Е , и £ ^0,1 К01 = Е ^, Яп =
I? = ¡{х, — 1"уУ1 — , 1У = —1*ух, + — , I! = —^х, — ¡^Уь + = Щгй? — + (иу1шу + щ^ш? — их1(шу2 + ш?2), = дт] х у, = их1Ш* — иг1ш? + (их1ш? + иг1ш*)шу — иу[(ш*2 + ш?2Х = — их(ШУ + (их(ш* + иу(шУ)ш? — иг((ш*2 + шy2), ир = щ • (¿.
Доказательство формулы (1.1). В статье [3] выведена формула
М]- = т, х г]- + + ЕГ=;+1 [(тЪ + тд х^ + ^х пг1] + С], (1.2)
где т,- = ЕГ=; (то101С1 + т1+1И1+1), = 0, = дт_х у, г,- = 00), С1 - ЦМ тела то1. Учитывая условие статического равновесия m0¿0¡C¿ + т;+1К(+1 = , получим Щ = ЕГ=7 ь1а1.
Используя формулу Пуассона ё^ = ш^х ег, обозначение = ш^х е^ и равенство = 0, получим
Г) = Е^=1 = П'Л «¿+1 = Е{=о = Е1=о1 ¿¡«г хе< = Е1=1
Следовательно, т.^ х г^ = т.^ х Е{=1 т. е. первая сумма (по номерам тел, несущих те-
ло т0]-) в формуле (1.1) принимает искомый вид.
В ССК(г) с учетом введенных обозначений получим
/f
-ir^ + if^z^
If - (i;yyi + - (!tyXi + irzd^y - vrxi + Zf
Если в последнем выражении раскрыть сумму по {х, у, z} и привести подобные при про-
V £
екциях otf, шу, то с учетом принятых обозначений векторов получим искомый вид вектора KQi = wf/f.
С учетом равенств Ri+1 = Líeí, ei = ш1хе1 = ше1, Ri+1 = L¿¿>6¿, p¿ = L¿m¿+1 получим (m¿+1fí¿+1 + mi+í) x Ri+1 = (mi+íL2iei + i¡mí+1) x we¿ = Ь^е^ + mi+í) x we¿. Следовательно,
SíLj+1 + m¿) xR¿= I?=j (mi+1Ri+1 + mi+1) x Üí+1 =
= E¡=; ^í(Píeí + mí+l) x Ше1. (1.3)
Учитывая обозначение Mai = х af равенства
ai = Mixai = шаЬ щ = шаЬ iiij = Ь{аь R]k = 0}0к = ^г/ , R}} = 0 и формулу изменения порядка суммирования Ya=j Ifc=i+i bк = Ifc=j+i If=/ ^¿^fc, получим
Y!i=j+1 Ri х = T.i=j Ri+iх ™i+i = Yli=j Liei х Y!k=i+i bkwak = = Tlk=j+i bkTJi=l Liei х 6>ak = Y.k=j+i bkRjk х 6>ak = = EiLy+1 biRji х 0iai = biRji х 6iai.
Отсюда с учетом формул (1.2), (1.3) получим искомый вид второй суммы (по номерам тел, несомых телом т0]) в формуле (1.1).
Выразим через квазискорости и квазиускорения формулу вычисления вектора 0)Ui, где иЕ[е,а} и орты et, Я;, щ неподвижны в теле moi. Используя обозначения Sei = SiX&i,
^ai = ^iXat, ^Ui=^iXUi, toui = ш{хщ и разложение = I получим
6)ui = (щ х Ui)'t = (I (offi X и) = I (a>f(ui)'t = 2 (vffui + ^Jui). Для векторного произведения орт CCK(i) будем использовать представление X ^ = =6|^ , где - символ Леви-Чивиты и if, ^ 6 (x,y,zj. Если известны сомножители, т. е. значения символов if и то результат векторного произведения X ^ выписывается однозначно. Например, если £ = х, ц = у, то =6xy< (t =6xyz zt = zt или если if = ц = у, то
У{ХУ{ = 0, так как 6уу^= 0, и т. д. [2].
Используя разложение щ = Iv орта щ по ортам CCK(i), где uvi = щ - const, получим Srn = Si х "i = Si х I = I uviSi = uf4* где uf? = I 6ы uvi - const. Следовательно, 6)ui = I (¿)f uf^ + MfSui). Для вектора получим
Sm = (Siх "¿)t = I uVi(Siх Viit = I uvi(6^ ^ = I uvjt = и^Ъ =
= X(t = up I toviVi X fc = uf^ 6V^ to?ft.
Отсюда
I (oftui = I Zv = If Iv to?uf* 6V^ Mi =
= If <^f Iv IV uVi Pi.
Теперь в правой части последнего выражения развернем все три суммы по if, v и Тогда, учитывая значения символов Леви-Чивиты, получим
f ' х х У
If ^i Sui ^i (0 +6xyz uyi 6xzy Vi +6xzy uzi 6xyz + <*i (0 +6xyz uyi 6yzx ^i + 0) +
+^f(0 + 0 +6xzy uzi 6zyx X()] + tof [wf (6yxz uxi 6xzy yt + 0 + 0) + tof (6
yxz Uxi 6yzx Xi +
+ 0 +6yzx Uzi 6yxz Xi) + wf (0 + 0 +6yzx Uzi 6zxy yi)] + toZ^[to^(6zxy Uxi 6xyz Zi + 0 + 0) +
(0 +6zyx uyi 6yxz + 0) + (6zxy ^xi 6zyx +6zyx uyi 6zxy + 0] = tofltoft-Uyiyi - uziZi) + to? uyiXi + M?uziXi] + to* + Ш? (-uxiXi - uziZi) +
+uziyi] + toz^[to^uxizi + to? uyizt + to^(-uxixi - uyiyi)]. Из последнего выражения после приведения подобных при xt, уг, zt получим If (Oitui = [("yi^f + uzitof)to? - uxi(tof2 + to?2)]Xi +
+ [(uxito? + Uzitof)tof - Uyi(tof + tof2)]yt + [(Uxitof + Uyito?)tof - Uzi(tof + to?2)]Zi. Аналогично
If ^U^Zi = If ¿if uviZi = 6xyz UyiZi +6xzy Uziyi) +
(6yxz uxizi +6yzx uzixi) + ^i (6zxy Uxiyt + 6zyx V-yi^i) = {uzitoyt - Uyitof)Xi + (Uxitoz^ - UzitoX)yi + (uyito* - Uxitoyi)zi. Таким образом,
Mui = If (^Uui + ^^Sui) = [Uzi^r - UyiMi + (uyi^Vi + - их1(шУ2 + to?2)]Xi +
+ [uxitof - Uzito? + (Uxito? + Uzitof)toy - Uyi(to f + tof2)]yt + + - Uxito? + (Uxito* + Uyito?)tof - Uzi(tof + ^f2)^.
С учетом введенных обозначений окончательно получим wui = Zi, что и
требовалось доказать.
1.2. Случаи упрощения формулы (1.1)
Для некоторых классов манипуляторов формула (1.1) принимает наиболее простой вид. Например, если у подсистемы mj полюса всех тел общие, т. е. совпадают, то Li = 0 для все i > j и как показано в п. 2.3 статьи [3]:
K0i = If = If (Ф? + + + <4z/fz + (14)
где Ixi = I^zyi-I^yzi, Iyi , ¡«=1Г*1-1ГУ1, 1-У =-¡Гъ + ¡ГУь +
+(!у - Ijc)zi, lf = I*yXi + (If - I?)yi - Iyzzb if = (I? - I?)Xi - I*yyi + Если при этом
CCK(i) для всех i является главной ССК (ГСК(£)), то
1? = Г = /Г = 0, ¡V = 0, l\ = /ffc, lxy = lfz,, /fz = 1*уи if = l?Xi, где Zf = Zf - , /f = - Zf, Zf = Zy - Z*, I?,Iy,Ii - моменты инерции тела moi относительно главных осей О^, О^у^, O^Zj, соответственно, и формула (1.4) примет вид
= If zf = (Z>f + + (/^f + + (/?0)f + (1.5)
Если N = 1, то имеет место тело с неподвижной точкой. Для него из уравнения (1.1) с учетом параметров j = N = 1, L1 = 0, рг = 0 получим М1 = If (oif/^J- + G1, где G1 = дЬгаг X у. Направим оси ССК(1) вдоль главных осей тела в точке Ог. Тогда, используя формулу (1.5), выпишем
Мг = If lî(a>Ui)'t + Gi =
= (/fo>i + Цш^шОх! + + Цш^Ш^У! + (lfù)î + + Gi.
Отсюда, используя общепринятые обозначения
А = Zf, B = l{, С = Zf, р = ш\, q = , г = х = хъ y = y1, z = гъ получим
Мг = [Ар + (C - B)qr]x + [Bq + (A - C)pr]y + [Cr + (B - A)pq]z + G1, что совпадает с известным видом УД тела с одной закрепленной точкой в поле сил тяжести.
Обозначим через qj - орт оси вращения тела m0j относительно тела m0j_i вокруг оси Ojqj. Если CCK(i) = ГСК(£) для всех i, то из (1.5) получим
Kj = qj ■ I?=j Koi = I?=j If $$, (1.6)
где E? = Z>f + Z>f^f, Ey = lyto\ + Iftoftof, Etz = lftof + Z(c<wf, = & ■ qj. Если при этом полюса всех тел совпадают, то с учетом (1.6) из формулы (1.1) получим
Mj = 4j ■ Mj = I?=j If ^f + Gj, (1.7)
где Gj = qj ■ Gj.
В качестве примера использования формулы (1.7) выпишем УД гироскопа в кардановом подвесе, состоящего из трех твердых тел (N = 3) - ротора и двух рамок, шарнирно соединенных между собой. Ротор - это гироскоп, который вращается вокруг своей оси симметрии, установленной в подшипниках, закрепленных на внутренней рамке. Она вращается вокруг оси, неподвижной на внешней рамке, которая вращается вокруг оси, закрепленной в неподвижных подшипниках. Все три тела имеют общую неподвижную точку, называемую точкой подвеса гироскопа. Оси вращения рамок подвеса ортогональны. Оси вращения ротора и внутренней рамки тоже ортогональны. Система находится в поле сил тяжести. ЦМ внешней рамки находится на неподвижной оси ее вращения. ЦМ ротора и внутренней рамки совпадают с точкой подвеса гироскопа [4].
Для рассматриваемого гироскопа орты осей вращения тел выражаются через орты осей ССК тел по формулам qi = хъ q2 = у2, q3= z3.
Здесь и далее для поиска выражений НК осей ССК используются табл. 1 и 2 из статьи [3], а также методика выписывания НК по рекуррентным формулам, изложенным в статье [5]. Эти НК можно вывести самостоятельно на основе описания исследуемой системы тел или ее кинематической схемы.
По формуле (1.7) для i = j = 3 с учетом равенств х33 = х|3 = у^3 = 0, z33 = 1 выпишем
М3 = Е§ = I§toï + Iïto%toy.
По формуле (1.7) для j = 2 с учетом равенств q2 = у2, ^22 = z22 = 0, У22 = 1 выпишем М2 = + If ^2^3. Так как q3 = z3, из 3-го блока табл. 1 имеем ху2 = s3, уу2 = с3, zy2 = 0.
Здесь и далее = sin(q(), сг = cos(qi), - угол поворота тела moi относительно тела moi-1. Следовательно,
М2 = Е% + s3E* + с3Е% = + I%œz2œx2 + + /Зс^>з) + с2(1*<Ь* + f^).
По формуле (1.7) для j = 1 с учетом равенств qt = хъ = 1, yfx = = 0 выпишем
М1 = Е* + Ef fê^f + Ef fai^l. Так как q2 = у2, из 2-го блока табл. 1 имеем х21 = с2, = 0, z2i = s2. Разложим орты х3, уз, г3 по ортам ССК(2), где коэффициенты при ортах х2, у2, z2 определим из 3-го блока табл. 2. Тогда получим *3 = + ХузУ2 + Xz3Z2 = С3*2 + SзУ2,
Уз = Ух Зх2 + УузУг + Vz3z2 = S3X2 + С3У2, z3 = Zx3X2 + zy3y2 + Zz3Z2 = z2. Теперь с учетом НК из 2-го блока табл. 1 получим
Х31 = Х3 ' Х1 = (сЗХ2 + 5ЗУ2) ■ Х1 = С3Х21 + 5ЗУ21 = ^^
У31 = Уз ■ Х1 = (s3x2 +С3У2)^Х1 = -53*21 + сзУ21 = S3C2,
Z31 = Z3 ■ Х1 = Z2 ■ Х1 = S2.
Следовательно, с учетом очевидного равенства о)^ = otf = 0 получим
М1 = Е? + с2Е% + S2E2 + х^Е* + у31Е3 + s2El
Таким образом, УД рассматриваемого гироскопа имеют вид
/fû>f + + с2(1%ш% + /2а^>|) + s2(I%à) f + +
+x$1(l$<bï + Щш + yfiCW + /3 + + = Mlt
ll<by2 + z2œx2 + s3 (/fd)î + /»Ю + c3 + /fwf^) = M2,
I§ti> f + Ic3œx3œ* = M3.
<
К этим уравнениям необходимо добавить формулы вычисления НК х31, у31 и уравнения кинематики, т. е. формулы вычисления квазискоростей и ускорений, которые можно выписать по методикам, изложенным в статье [3].
1.3. Моменты движущих сил манипулятора Справедлива формула
Mj = Ev 6^ (d] Z{:} Lftf + EÎL"}1 LA1*) + Щ + Gj, (1.8)
где d] = bkalj, ùtf = Ef ^, и 6 (e,a), ùj = йЩ* + e^, Ù* = E£U+1 bkÙ%,
dlj = Pieij + Efc=i+1 Pi = Limi + b afcj = ak ■ Vj, Kj = qj ■ E»=j koi, Gj = g Ev 6qvç d1]^ ■ y.
Доказательство формулы (1.8). Используя формулу (1.1), получим Mj = qj ■ Mj = qj ■ mj x ¿¿¿>ei +
+4j ■ E?=j froc + ^i(Piei + ™i+1) x ùei + btRjt x 6)ai] + qj ■ Gj, где mj = Ek=j bkak, Rjt = EJtJ,- Lkek, т. е. Mj = A} + B} + Cj + Dj + Щ + Gj, где
Ai = 4j ■ Ek=j ôfc«fc x Zj'î Liù)ei, kj = qj ■ Ef=; /Tqî, Bj = qj ■ x 6)ei,
Cj = qj ■ E?=j Li Efc=i+i bkak x ù>ei, Dj = 4j ■ E?=j bt E!k=1j Lkek x <bai, Gj = ■ Gj.
Для Gj с учетом разложения ak = E-q akj4j, где = ak ■ tfj, и представления qj x ak =
= E oljÇj получим
Gj = gqj ■ mj x y = gqj x bkak ■y = g bkqj x E a^- ■ y =
_ ttiN и X* V ^ 7 __VN и V 7~У _ v a ^ 7У
= 9 Ek=j °fcE akj 64VÇ Sj ■У = 9 64VÏ Ek=] Dkakj^j = 9 E Uj , где d!j = bkavkj, (j7 = ■ y.
Для Aj с учетом равенств à)ei = E Cl, = Çj ■ ^, Ù.fj = E получим
Aj = Ei=i Li Ek=j bk Ev 6qv<; oljÇj ■ Ef Ù^i = Ef=11 LiEf Ù.^ E1=j bk Ev 6qv^ a1kJ(iji = = Ef=i ¿Î Ef Ùli Ev 6qVc; tfÇji = Ev 6qvc; d1] Ef=]L Li ^ = Ev 6qv<; d1] Ef=]L ¿¡riff.
Для Bj с учетом равенств e¿ = Y^ eíjVj, e¿/ = eí ' Vj, 4j x Vj =Eq^z получим
Bj = T,i=j LíPiqj x Y eVflj ■ á)ei = Y?=j L^ Y Eqv< e^j ■ á)ei = = Y=j liPi Y, ^ efá ■ Y = Y, E^ Y=j liPi Y =
= YV Ylj LiYs Pietffil.
Аналогично для Cj получим
Cj = 4j ■ Yí=j к Yfc=¿+i bkak x b>ei = EfLj L¿ Yfe=¿+1 bk Yv eqv^ a^jZj ■ Ef = = Yrt Y¿=7 &eíYk=í+1 bkakj(ji = Yr¡ YJi=j Yf ^í/^í^fi,
rn =yN h nv Lij = Yk=i+Í °kakj.
Для Dj получим
Dj = 4j ■ Y?=j bi YUj hek x á>ai = Y?=j bi YUj h Yv eqví Yf gfil.
Используем следующую формулу изменения порядка суммирования
Y¡=; Yfc=1/ Lk = Yfe=/ Lk Y¿Lfe+i b¿.
Тогда получим Dj = Yk=j ^fcY¿Lfc+i Yf Yr¡ Eqvt ekj^ij^ai. Поменяем местами индексы суммирования к и í. Тогда получим
Dj = Yí=j Li Yfc=¿+i Ьк% Yv eqv^ e^ljil^ = Yv eqv^ Yf=J LiY^ Yfc=¿+i bk^^jill¡xk. Таким образом,
Mj = Yr, ^ YÍ="Í Ljtf + Ylj Li Yf + Cj^ + e¡ Y^i+1 b^C)] +
+Kj+Gj = Yv eqv< [dj Ltff + Yf=j LtCprfj + c¡¡) Yf + +e?j Yfc=¿+1 bk Yf ÚAL)] + Kj+Gj.
Отсюда, используя обозначения Ü^ = Yf f;kj&lk, ^ = Yfc=¿+i , = d^j&fj +
и равенства pN = 0, C^j = 0, получим искомую формулу (1.8).
1.4. Рекуррентная формула вычисления моментов сил в сочленениях Формулу (1.1) можно представить в следующем рекуррентном виде:
Mj = Mj+1 + KQj + aj x Y¡~í LiJú)ei + LjPjßj x á>ej + ej x Y?=j+1 Ljiá)ai + gbjttj x y, (1.9) где j = N,N-l,... ,1; MN = K0N + aN x Y?Ji LiNá>ei + gbNaN x y; Ltj = Щ. Доказательство формулы (1.9). Используя очевидные равенства Щ = Yfc=; bkak = bjUj + mJ+1, Rji = OjOt = 0¡0j+1 + Oj+1Oi = Rj+1 + Rj+íií, Gj = gm.j xy = g^bjUj + mj+í) xy = gbjOj xy+ GJ+Í, из формулы (1.1) получим
Mj = (bjttj + mj+í) x (XJi=1 Liá>eí - Ljá)ej) + Koj + Ь}(р}е} + mj+1) x á)e] + + Y?=j+1 [«oi + Li(piei + mi+í) x á)ei + bi(Rj+1 + Rj+U) x áiai] + gbjUj xy + GJ+Í. Выделим в последнем выражении слагаемые из формулы вычисления М]+1. Тогда получим
Mj = MJ+Í + bjCij x YJiZi Liá)ei - LjmJ+í x á)eJ + Koj + +Lj{Pjej + mj+i) x ä>ej + Rj+i x Y?=]+1 biWai + gbjUj xy = = Mj+1 + bjttj x Yf:i1 Liá)ei + Koj + LjPjßj x á)e] + Ljßj x Y?=j+1 biáíaí + gbjttj x y. Отсюда следует искомое представление (1.9), из которого для j = N с учетом равенств MN+Í = 0, pN = 0 получим формулу вычисления MN. Формула (1.9) доказана.
Проекция Mqj момента силы Mj на ось Ojqj, где q E (x,y,zj, выражается через квазискорости и квазиускорения по формуле
Mqj = Rj ■ Mj+1 + qj ■ K0j + YÍ=Í Lij[Yí (q|;íd)f - Qf^f2) + + ^Ífí^f^f + Reji^uf] + LjPj Yf eyCllj +
+ YíLy+1 LjdYt (qljiú! - Q¡ji42) + + + Я»?] + Gqj, (1.10)
где j = N,N-l.....1; MN+1 = 0; Gqj = gbj V a^/;
fl&i = "yi^T - "яЧ^ 4uji = uzi4™ - uxiq'?z, q^ji = uxiqjty - u^*, e^ = e} • ^, Qxji ^yi4ji + иzi4ji , Qyji u.xiqji + uziqji , Qzji + ^yitfji , ' Sj,
= "yi^Y + и^^ qZZji = uxiqlz + uziq%c, = uyiqlz + uziqj, tf = Sj • У, = V e ~
Qji = Vv emtuvj'ji, где и e {e, а}и если и = e, то u~ = a, если и = a, то u~ = e; = • . Доказательство формулы (1.10). Из формулы (1.9) получим Mqj = 4j • MJ+1 + 4j • kj + qj x a.j • ^ Lij6)ei + 4j x e} • V?=]+1 Lji6)ai + +L]p]q] x e, • ше] + gbjqj xaj^y. (1.11)
С учетом разложения Uj = V^ u^j'Hj, где uvj = Uj • tfj - const, и e {e, а} получим Qj x Uj qj x V^ Uyij^j eqri$ U-rij^j.
Используя обозначения 6)ui = Vf &uiSi, (ji = Zj • Si, получим
qj x a.j • V{=1 LijO)ei = Vv eqv^ a-rij^j • V!=i ^ij Vf &liSi = Vi=i ^ij Vf Vv eqvt avj^ji, qj x ej • Vi=j+i Lji6)ai = Vrj eqri$ eVjZj • Vi=j+i Lji V £^aiSi = = Vi=j+1 Ljifl^ Vv eqv^ evj(iji.
Введем обозначение q"^ = V^ eqv^ . Здесь если в обозначении символ и = а,
то множитель в правой части = e^j. Иначе если в левой части и = е, то в правой части = a^j. Теперь получим
Rj x aj • VCi Lijb>ei = Vf:i1 Lij V qfalt,qJ x e, • ^+1 i/id»ai = ^+1 L}i V R^li. Раскроем сумму по ^ e {x, y, z} в выражении Vf qji . Тогда, с учетом формул вычисления , ^ui, ^ui, п°лучим
V ^ji^li = - uyi6ii + ("yi^f + uzitof)a? - Uxi(w*2 + wf2)] +
+qj?[uxivf - uzi6)f + (uxiu? + uziuz)rf - + wf2)] +
+qyz[uyid)? - uxid)f + (uxiu* + uyi^yi)^z - uzi(u*2 + wf2)].
Приведем подобные при квазиускорениях, квадратах квазискоростей и произведениях разноименных квазискоростей. Тогда получим
V* tfiii = {uyi4ji - "z^JK + (ад)? - UxiRFW + - -
-(uyiqj + uziq^)u?2 - (uxiqy? + - (uxiq^ + uyiqj)^2 +
+(uyi4fi + uxiqj)u?u? + (uxiq1fiz + uziqlx)rfuz + (uytqjf + u.iqj)^? vf.
Следовательно, с учетом введенных обозначений q^, , q*^, q^zt, получим
4j x a-j • Lij6>ei = Vf:i1 Lij(qxejia)'-i* + q^tf + q^f - -
-qey]i^2 - qezji^2 + + + q^^^^f^f), (112)
Rj x ej • Vi=j+1 Lji<°ai = V"=j+1 + + ^aji^if - qxji^f2 -
-Ryji^i2 - 4zjirf2 + + + qyaji0>?0>f) . (1.13)
Выразим формулу qj x ej • Mej через квазискорости и ускорения. Получим
qj x е^ • 0)ej = Vv eqv^ • ^ = Vv eqV$ evj Vf • Sj = Vv eqV$ er,j^^ej.
Теперь, подставив формулы (1.12), (1.13) и последнее выражение в (1.11), получим искомую формулу (1.10), которую можно записать в виде
Mqj = 4j • М]+1 + qj • К0]- + Ьц V qJ^fj + h'Pj V eq^ e^ + + V?=j+i LjiVt q^tfai + Gqj. (1.14)
2. Примеры выписывания УД манипуляторов
Рассмотрим ангулярные манипуляторы.
2.1. Выписывание УД ангулярного манипулятора на рисунке Из схемы манипулятора на рисунке видно
Ч\=У1 = У, 42 = Яз = г2= гъ ЦА = ХА = х3, = г4, ць = хь = х5,
а1 = е1 = XI, I = 2,3,... ,6, = Ь3 = Ь5 = 0, р1 = р3 = р5 = 0.
0=0i=02
о
ní73 с,
Ci^2 0з=04
Ок= ()(■ С5 Cq
Манипулятор с ангулярной системой координат Manipulator with angular CS
По формуле (1.8) для j = 6, q6 = х6 выпишем М6 = Yr¡ Exr¡^ dn6(LzÍe^b + LAÜe^6) + K6 + +G6, где dl = bbay66 = 0, d£ = b6a£6 = 0, G6 = g Y Exr¡^ d^e = 0, т. е. M6 = К6. Для сокращения записей будем считать, что CCK(í)=TCK(í) и 1У = Zf для всех í. Тогда Zf = 0, Zf = Zf и Kj можно выписать по формуле (1.6), где
сх _ 1Х.-.Х т?У _ iz.-.y X ib . .z. .х T?z _ rz.-.z ib . .x. .У ib _ ix iz гЯ _ г- _
hí = , hi = Z¿ 0)t + a>¿ tój, ¿¿ = 7¿ O)i - Wj a>¿ , 7¿ = -li , ^ = ■ q,.
По формуле (1.6) с учетом равенств Xg6 = 1,yg6 = Zg6 = 0 выпишем = . Следовательно, М6 = Zgtóg.
По формуле (1.8) для у = 5, = z5 выпишем
м5 = Y^ EZV( d¡(L2Üe2¡ + L4ilH) + Ks+Gs, где d£ = Ь5а£5 + Ь6с£5 = b5 + b6, dy = 0, Gs=gY Ezv( d¡(y = g Ezxy d%y¡ = gd%y¡.
l25 = Y? ^25 = Y? 3/52llx2, l45 = Y? ^S^L = -S5llx4 + С51х4.
Теперь по формуле (1.6) с учетом равенств х|5 = у§5 = 0, zf5 = 1, х|5 = 0, у|5 = s6, z|5 = с6 выпишем
Ks = Yf=s Y? ^f = Y? + f6zs4) = ^ + s6E% + c6E£.
Следовательно,
Ms = d%(L2Üe2ys + L4lly) + KS + GS =
= dx5[L2(y£2Üxx2 + y$2ix2 + yi2lzx2) + L4(-s5ilxx4 + c5llyx4)] + K5 + gdxsy¡. где йХх2 = Xz2ü)% - *y2^2 + (*у2^2 + *z2^f)^2 - Хх2 (^Г + = - ^f,
ÍVX2 = XX2^2 - XZ2«>2 + (*X2^2 + Xz2^f)^2 - Xy2 (^f2 + ^f2) = ^2 + ^2^2 ,
ÍZ2 = *y2^2 - + (Xx2^2 + *y2^2 )^2 - Xz2 (^f2 + ^f) = -¿)2 + ^2^2,
iSx _ , ,У2 z2 /SV _ ,-.z i , .У
= - Ш4 - Ш4- , = + .
По формуле (1.8) для j = 4, q4 = выпишем
^4 = Yr¡ Exr¡^ (d4L2tl24 + L^ñ'lfy + k4,+G4,, где dy = b4ayAA + bsay4 + b6ay6A = (b5 + b6)ay4 = d%ss, df = bAazAA + bsa^A + bbazM = 0,
Gi = 9 Y EXV< = 9 Exyz ¿l^l = gdyzy = -gd%c23s4, c23 = c<°s(q2 + q3),
Ka = Yf=4 Yf Íí^^f = Yf + ^^4^5 + ^64^1) =
= E£ + csE% - s5E% + c5E£ + y£4Ey + zg4E¡?, yg4 = -s5c6, Zg4 = s5s6.
Следовательно, M4 = dyL2Ü2\ + Ь^фЦ - il^) + K4 + GA, где
l24 = Yf ^24lle2 = Yf Z42le2 = Z42le2 + Z42le2 + C4lle2 = s3s4le2 - c3s4lle2 + c4ile2,
¿¿44 ¿¿44 = ^44 ¿¿44 + ^44 ¿¿44 ^44 ¿¿44 £^¿¿44 = ^4 =
так как = р4е^4 + Ь5а£4 + Ь6аум = , еу4 = 0, = 0, е|4 = 0. Теперь М4 = ^[^(з334йХе2 - С^^ + С4йе2) + ь4й2е4] +КА + С4,
где йе2 = ¿¿^2-, ¿¿е2 = йx2, ¿62 = йx2,
¿1%4 = ху4ш% — хх4,о>у + (хх4,а>% + ху4,шу)ш4 — хг4(о)42 + шу2) = —о>у + о)4о)|.
Далее аналогично по формуле (1.8) для у = 3, ц3 = г3 выпишем:
М3 = 1Ч + ^¿¿Й + ^з + ^ У3У = с^ ху1 = s23, з23 = ^п(ц2 + q3),
п v ал 7у с ах у ау у\ с ах у ау у \ с ах ау л
"зЬз = 9(егху "зУз + егух «з хз ) = #("3 Уз1 — "з Х31) = #("3 с23 — «з 523Л
Я = *М£з = ь3 + ь4 + (Ь5 + Ь6)с5 = Ь3 + Ь4 + Ь3 = то303с3, d3 = Ькакз = (Ь5 + Ь6)а53 = х53 = d5C4s5, Ь4 = то404С4 + m5L4,
Х43 = 0, У43 = ^ 243 = Оо Х53 = ^4^5, У53 = ^4^ 253 = С4, Х63 = X53, Уб = сбУ5 + ^б^ 26 = с625 — ^6У5, Уб3 = сбУ53 + ■s6zíз, ¿63 = с6г53 — s6УÍз,
*з = 1=з = I (?з*з4 + + с4я| + =
= Е§ + у423Я4у + + I + ^з4),
¿¿23 = 1 ^23^2 = 1 X32¿¿e2 = x32¿¿e2 + Х32°°е2 = CЗйe2 + ^¿¿ег,
¿¿23 = 1 ^23¿¿е2 = 1 Уз2°е2 = Уз^ег + = —SЗйe2 + c3¿¿e2, е43 = х43 = ,
е4з = 0, а%3 = р4е%3 + Ь5а% з + Ь6а£3 = р4 + (Ь5 + Ь6)х^4 = р4 + =
¿¿43 ¿¿43 = ^43 ¿¿43 + ^ФЗ^ЧЗ ^43^^43 = (Р4 + + ¿^43
¿¿43 = = х43°е4 + У43°е4 + г43^е4 = ¿¿e4,
¿¿43 = ^4-3 ¿¿е4 = X4'3¿¿e4 + У43°е4 + Z4'3¿¿e4 = c4¿¿e4 — S4¿¿e4,
¿¿Гз = 1к=5 = Ь,йау3 + ъьйЦ = ь5?у3й15 + ь6
— = (Р4 + ^5c5)(c4¿¿e4 — + Ь I? + I? ^^з^^аб — ^Л.
Следовательно,
М3 = 53^1^2 + — 4 + + ЬА(йхАу3 — йЦ) + к3 + С3 =
= £2[—№*3 + ^зcз)йe2 + — ^з^] + 14[(р4 + С^ — 8А£1геА) +
+Ь51? + Ь61 — а^и] + К3 + с3.
Так как ц2 = ц3 = г2, то движущий момент силы М2 выпишем по формуле (1.10), т. е. Мч2 =М2 = М3+г2- ¿02 + Ь2р21 е^^ +
+ 1Г=з — ЪЬ^) + + + + ^2,
где = дЬ2 ^ а^ = дЬ2(ах2уу — ау2х%) = дЬ2ууг = дЬ2с2,
ef2¿¿e2 =егху ^¿¿ег = ¿¿л:2, Ча2( = ау1Ч2? — = ^
Ча21 = аг1Ч2А — ах1Ч2А = —Ч2
Ча21 = аах21 = 0, = , = чхау21 = яа2?, ^ = ч2аг, 41^ = 0. Следовательно,
М2=М3+г2■ + +
л. V6 7 ГлаУ г,аг/\У г,ах / .X. г,аУ , Iх, ¡У Л. г,аг / Г
+ 1.1 = 3 Ь2ЛЧ21 — ^21 — 421 —Ч21Ш1 + Ч21 + + Gq2,
где по формуле (1.5) выпишем х2 • Кд2 — Е2 и
Ч2Ь = егг1$ е-ц2^21 =егху ех2У2х +егух еу2Х2Ь = У'21 = Х^2,
^гГ = 1'П е^2$21 =егху ех2Уы = У^21 = У&, ^2.1 = 1 ег]2^21 = У|( = Таким образом, М2=М3+ + ^р^ +
+ 1Г=з ¿2Ау?2(й? + — ^у2(0)у — — Ху2(шу2 + шр)] + ся2,
у __у __у _ «
где Х32 = ^ Уз2 = C3, 232 = 0.
По формуле (1.8) для у = 1, У\ выпишем
Мг = Ъп Суп! (¿2^21 + ЦОЦЪ + Кг + съ
= ¿1^1 = 9(Еугх ¿1х1 + Еухг ¿1^1 ) = 0, Х11 = 0, г11 = °
Кг = Ъ=1 % ^ = Е* + 4^2 + У&Е* + х^ЕЗ + у^Е* + % + + ^¡),
У __у __у __у __% _ л % __£ _ £ _ л % _ % _
Х21 = ^ >21 = ^ Х31 = ^23, Уз1 = ^23, е21 = 0, е21 = ^ е43 = Х33 = 0, е43 = Х33 = 1,
¿21 = Р2*21 + Ек = 3 ЬкО-11 = Р2С2 + (Ь3 + Ь4)С23 + (Ь5 + ¿6)^51,
¿21 = Р2в%1 + Л=з ЬкЯк! = (Ь5 + ь6)а^1 = й^а^ = ^х|3,
¿£з = р4е^3 + ЪЧ=5 Ька£3 = рА + Ь5а£3 + Ь6а£3 =рА + = рА + й%с5,
¿41 = Р4е41 + Ък=5 ^как1 = ^5а51 + ^6а61 = ¿5Х51 = ¿5Х53 = ¿21,
й21 — й21 = ¿21 й21 + е21й21 - ¿21й21 — е^1й21 = ¿5Х53й21 — ¿21 й21 — С2 й2Ъ
й41 — й41 = ¿41 й43 + ^43й43 — ¿43й43 — е43й43 = ¿5Х53й43 — ¿43 й43 — й43,
й21 = % ^21 йе2 = с2йе2 — 'S2йe2, й21 = % %21 йе2 = йе2,
й21 = Ък=3 Ькй/с1 = Ък=3 Ьк % %к1 йак = ^ЗйаЗ + ^4(54йа4 + с4йа4) +
+ Ъ<к=5 %кЗйак,
й43 = ^43 йе4 = йe4, й43 = % ^43 йе4 = 54йе4 + c4йe4,
й43 = Ъ<к=5 ^кйкЗ = Ъ<к=5 ЬкТ.% Яз, й21 — й21 = ¿5х5з(с2 йе2 — 52йе2) — ¿21 йе2 — -С2[Ь3^аЗ + М^а4 + + !к=5 Ьк
^^41 — ^^41 = ¿5х53^^е4 — ¿43 (54^е4 + с4^^е4) — Ъ<к=5 ^к %kЗ&^ak,
Таким образом, УД ангулярного манипулятора в квазискоростях имеют следующий вид:
б
— (^2ЬАС2 + Ьц.й^)(54^1х4 + С4Г2х4) — (!2с2 + ^4) ^ Ьк ^ %кз&хк +
к = 5 %
+Е( + 52Е% + с2Е* + 523Е% + С23Е3 + £ + + = М1,
К
б
+ Ь2р2йух2 + Ь23(з3йхх3 + С3йух3) + ^ Ь21(ху12йхх1 + уу2йУх1 + гу2й^) + дЬ2с2 = М2-
¿ = 4
^№¿3 - ¿3^з)^У2 - (¿ÍSз + ¿зС3)^^2] + 14[(р4 + dfc5)(C4йiУ4 - + Ь5 ^ ^3^5 +
?
+Ь6^ - + + 54Е4у + с4Я| + ^ + + д{йх3с23 - dys2з) = М3,
К К
+ ^4^x2) + ¿4 й
х4] +
+Е% + С5Е£ - + + у£аЕ1 + г^Е^ - дйуАс23зА = М4, ¿й12{УВ2йХх2 + У5У2й*2 + + ¿4(^5^X4 - %^4)] + + + С6Я| + ^у/ = М5,
I = М6,
сх _ 1Х.-.Х т?У _ тг.-.У I тЬ . .г . .х т?г _ тг.-.г тЬ . .х . .У
где ¿г = и , ¿г = и +, ¿г = и Ч - и ,
= -чу2 - ^г2, = ¿Г + ^Г^Г, = -¿»г + .
2.2. Влияние размещения ЦМ тел на громоздкость УД
Рассмотрим УД переносных движений ангулярного манипулятора на рисунке. То есть будем считать, что три последних тела не движутся, а ЦМ третьего тела расположен выше оси абсцисс ССК(3).
По формуле (1.10) для ] = 3 с учетом равенств М4 = 0, Ь13 = 0, р3 = 0 выпишем
= Чз • «03 + ¿23 К? (Л!з2^2 — Q!з2Ш¡2) + Че32Ш2°>% + Ч£з2Ш2Ш1 + ^2^2^ + Gq3, где Сяз = дЬзI = дЬ3(егху ах3у1 +егух = дЬ3(ах3у% — ау3хУ). Пусть
ахз = са, ауз = 5а, где са = cos(a), за = sm(а) - проекции орта а3 на оси ССК(3), т. е. а - угол между ортами х3 и а3. Очевидно, что у3у = с23, = з23, с23 = ^(ц23), 523 = sm(q23), Ч23 = 42 + Яз. Множители д|32, Q|32, цхе12, ц*32, цЦ2 содержат константы ех2 = 1, еу2 = 0, ег2 = 0.
Выражения д3| выписываются по формуле д3| = I и~3(32, где и = е, т. е. и"3 = а^3. Таким образом,
Чз2. = ^ а^з(з2 =егху ахзУз2 +егух ау3х32 = ахзУз2 — ау3х32 =
= саУз.2 — Зах32 = —са53 — 5ас3 = —saЗ, 5аЗ = ^1п(а + q3),
еу _ 1 уу _ у у _____ С л. Л ег _ П
Чз2 = ¿-•'П аЛ3'32 = СаУз2 — Зах32 = сас3 — 3а33 = cаЗ, саЗ = С0Н# + ЧзЛ Чз2 = 0.
Теперь
Че32 = еу2Чз2 — ег2Чз2 = 0 Че_/г = ег2Чз2 — ех2Чз2 = 0, Че]1 = ех2Чз2 — еу2Чз2 = Чз2 = CaЗ,
Qx 32 = еу2Чз2 + ег2Чз2 = 0 Qy32 = ех2Чз2. + ег2Чз2 = Чз2 = —saЗ,
Qz32 = ех2Чз2. + еу2^32 = Чз2 = —saЗ,
ху __ех \ еу _ еу __х% __ег \ ех _ п Уг __ег еУ _ п
Че32 = еу2Чз2 + ех2Чз2 = 432 = CaЗ, Че32 = ех2Чз2 + ег2Чз2 = ° Че32 = еу2Чз2 + ег2Чз2 = 0.
Следовательно,
Мдз =М3 = Ц3^ Коз + ¿23^3^2 + Г + + ] + С^.
Учитывая, что ц2 = ц3 = г2 = г3 = гъ по формуле (1.10) для ] = 2 выпишем
МЧ2 = Мч3 + Ч2 • ¿02 + ¿2 ечк е+
СЦ2 = 9Ь21 а^ = дЬ2(е2ху ах2у2 +е,ух ау2х%) = дЬ2(ах2у* — ау2х%) = = 9Ь2У2 = 9Ь2с2.
Множители Ц^а23, Q¡:23, Ча23, Ча23, Ча23 содержат константы ах3 = са, ау3 = 5а, а23 = 0. Выражения выписываются по формуле д2| = I^ е^ где и = а, т. е. и"2 = е^2. Таким образом,
423 = еП2^23 =егху ех2У23 +егух еу2х23 = ех2У23 — еу2х23 = У23 = ^
Ч2З = IV е<1г1$ ел2^23 =егху ех2У23 +егух еу2Х23 = У23 = С3, 423 = У2.3 = 0.
Теперь
Ча23 = аузЧ23 — аг3^2У = ^ Ча23 = агзЧ23 — ахзЧ23 = 0,
^ __о,у ___
Ча23 = ахзЧ23 —аузЧ23 = сас3 — 5а53 = caЗ,
Qx23 = аузЧ23 + агзЧ2.3 = sac3, Qy23 = ахзЧ23 + агзЧ2Э = cas3, Qz23 = ахзЧ2.3 + аузЧ23 = Са53 + 5ас3 = saЗ,
Ча23 = аузЧ2.3 + ахзЧ23 = 5а53 + cac3, Ча23 = ахзЧ23 + агзЧ23 = ^
уг __аг . аУ _ п
Ча23 = аузЧ23 + агзЧ23 = 0.
Следовательно,
Мя2 =M2 = M3 + q2• +
+Ь23[Са3ш! — 5аС3Ш%2 — Са33Ш*2 — 5а3Ш§2 + (5а53 + СаС3)ш%ш1] +
Из формул вычисления движущих моментов сил М3 и М2 следует, что в случае а = 0, т. е. в случае размещения ЦМ Са3 на оси 03х3, эти формулы сокращаются почти в два раза.
3. Плоские манипуляторы
Для манипулятора в вертикальной плоскости
М} = М}+1 + ^Г* Ь1][(ах]с1] — ау^ф^ + (ах]зи + ау}сфа2] + +
+ Ií=j+l Ьц[(ах)сИ — ау]5л)й1 — (ах)*ц + ау}Сц)а2} + дЬ](ах]уу — ayjxJ), (3.1)
где } = Ы,Ы — 1,...,1;
7/ = Ч +; MN+1 = 0; = ит(ауУ, Сц = со^аф; ач = Е]к=1+1 Цк, qfe - относительный угол поворота тела ток, т. е. угол, откладываемый от оси 0кхк_1 до оси 0кхк; ау = !к=1 Цк - абсолютный угол поворота тела т0^, т. е. угол, откладываемый от горизонтальной оси Ох до оси 0]Х]. В случае а^ = е^ = х^
Щ = М]+1 + ^{=1 + Бца2) + 11-а] + Ьп(спа1 - + дЬ¡^(а^. (3.2)
3.1. Доказательство формул (3.1), (3.2)
Для рассматриваемого класса манипуляторов имеем = = г для всех ¿, где г - нормаль к плоскости движения Оху. Следовательно, = = 0, о)? = а^ = 1{=1 для всех у. По формуле (1.10) выпишем
мч] = М} = М]+1 + г ■ К0] + Ь1]{ч1па1 - Qezjidf) + I ^ е^ + £?=}+1 - + ,
где ^ = 9Ь] I «оС/ = дЬ}(Егху ах]у? +Егух ау}х?) = дЬ](ах]уу - ау^). Учитывая равенство б; = х^ выпишем
г еу ех еУ V1 7У У У У У
Че]1 Е'Ц Егху + Егух ^х/^д,
Qzjí + Егху Ях]Ул + Егух ®-х]У]1 ,
Ча]1 ^"уь ^^ ^¿Уу; ^у1У)1,
Qzjí ^хьЧ]^ + + ^у^ а*!Ул + ау]Ул,
По формуле (1.4) ¿о,- = £ = Следовательно, ■ К01 = ■ I= Т^о,-.
Таким образом,
М} = М}+1 + (Ц + Ь]Р]')а] + ¿ц[(ахуУ% - ^ф&г - (ах]У*1 - +
+ !?=]+! Ь]А(ах]Уп - ау]У]Х1)й1 - (ах]У]Х1 + Яу^а2} + .
Для I < }, используя обозначение а^ = !к=1+1 Цк, получим
х£ = х1 ■ х} = ^(¿х0х1) = = сц, уЦ = у1 ■ у} = ^(ац) = Сц,
У,* = Х1 ■ У) = ^(¿хиу^ = + 90°) =
хЦ = У1 ■ х] = ^(¿у0Х]) = + 270°) = .
Аналогично для I > у, используя обозначение а.ц = Цк, получим
У]^ = У] ■ Ух = соК*УрУд = соКа)д = СЦ,
УК = У] ■ Х1 = ^(Аурх^ = + 270°) =
Следовательно,
М] = М]+1 + 11-а] + Е^1 Ь1][(ах]с1] - ау]Б1])а1 - (-а^Б^ - ау]Сц)а2] +
+ 1 £ =7+1 ^]1[(ах]с]1 - - (ах)5ц + ау)С)1)С(-1 ] + ^г],
что доказывает формулу (3.1). Если аг = б; для всех ¿, то формула (3.1) принимает вид (3.2), что требовалось доказать.
Очевидно, что если плоскость движения тел горизонтальна, то в формулах (3.1), (3.2) достаточно положить д = 0. В случае наклонной плоскости движения достаточно считать д, умноженным на 5т(а), где а - угол наклона плоскости движения к горизонту.
3.2. Ангулярный манипулятор в вертикальной плоскости
Для у = N = 3 в случае аь = еь = х^ (£ = 1,2,3) по формуле (3.2) выпишем М3 = !2=1 Ь13(с13а1 + я13 а2) + 1%а3 + дЬ3^(а3), где а3 = ц13 = 91 + 92+93. Для ] = 2 по формуле (3.2) выпишем
М2= М3 + Ь12(с12а1 + з12а!) + 1%а2 + Ь23(с23а3 - з23а|) + дЬ2^(а2), где а2 = д12 = + Ц2. Для ] = 1 по формуле (3.2) выпишем М1 = М2 + ¿?=2 Ll¿(c1¿d:¿ - я^а2) + + дЬ1^(д1).
Заключение
На заре становления робототехники как науки выяснилось, что математическое моделирование манипуляторов и, в частности, вывод их УД является сложной и громоздкой задачей, не говоря уже о решении задач динамики, идентификации параметров тел, синтеза манипуляторов с заданными свойствами и решении других задач. Классические методы вывода УД (Ньютона, Лагранжа, Эйлера, Гамильтона и т. д.) создавались и развивались не для исследования манипуляторов, поэтому их трудно использовать для этих целей. Создаются новые методы вывода УД, освобождающие исследователей от утомительной аналитической работы, и их компактного представления в символьном виде с явно выраженными геометрическими, кинематическими, статическими и инерционными параметрами, позволяющими на множестве этих параметров решать, например, задачи синтеза манипуляторов с заданными свойствами.
В статьях [3, 5, 6] отражены результаты исследований по теме «Разработка методов выписывания оптимального аналитического вида математической модели промышленного робота», поддержанных РФФИ и Челябинской областью. В этих статьях представлены новые общие виды УД и формализмы их использования в процессе ручного выписывания УД конкретных манипуляторов с вращательными и поступательными сочленениями. В настоящей статье рассмотрены манипуляторы с вращательными сочленениями. Класс таких манипуляторов очень велик. Проведенный нами обзор современных промышленных роботов на основе источников [7-16] показал, что ведущие производители роботов выпускают манипуляторы из этого класса.
Примеры выписывания УД различных манипуляторов с шестью степенями свободы в пространстве и их оптимальные (в смысле минимума математических операций) виды позволяют нам ожидать, что число пользователей предлагаемых методов будет расти. Положительный опыт использования этих методов в учебном процессе в дисциплинах «Основы механики систем тел», «Электромеханические системы» и «Мехатроника» оправдывает наши ожидания.
Список литературы
1. Tourassis V.D., Neuman C.P.The inertial characteristics of dynamic robot models // Mech. and Mach. Theory. 1985. Vol. 20, no. 1. P. 41-52.
2. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
3. Телегин, А.И. Аналитическое решение первой задачи динамики манипуляторов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2022. Т. 22, № 1. С. 28-52. DOI: 10.14529/ctcr220103
4. Кузьмина Р.П. Гироскоп в кардановом подвесе. М.: Университетская книга, 2012. 202 с. ISBN 978-5-91304-299-6.
5. Пудовкина С.Г., Телегин А.И. Выписывание формул вычисления сил в сочленениях манипуляторов в статике // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2021. Т. 21, № 3. С. 47-58. DOI: 10.14529/ctcr210305
6. Телегин А.И. Формализм выписывания уравнений динамики манипуляторов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». 2021. Т. 21, № 4. С. 52-68. DOI: 10.14529/ctcr210405
7. Моисеев Ю.И. Применение промышленных роботов для загрузки металлообрабатывающего оборудования: учеб. пособие. Курган: КГУ, 2013. 170 с. ISBN 978-5-4217-0258-0. Текст: электронный. Лань: Электронно-библиотечная система. URL: https://e.lanbook.com/book/177883 (дата обращения: 30.01.2022).
8. Климов А.С., Машнин Н.Е. Роботизированные технологические комплексы и автоматические линии в сварке: учеб. пособие для вузов. 4-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 236 с. ISBN 978-5-8114-6792-1. Текст: электронный. Лань: Электронно-библиотечная система. URL: https://e.lanbook.com/book/152449 (дата обращения: 30.01.2022).
9. Kawasaki Robotics GmbH. Каталоги и технические брошюры [Электронный ресурс]. URL: https://pdf.directindustry.com.ru/pdf/kawasaki-robotics-gmbh-18836.html (дата обращения: 20.03.2022).
10. Yaskawa industrial roboticarms [Электронный ресурс]. URL: https://www.motoman.com/ en-us/products/robots/industrial (дата обращения: 20.03.2022).
11. ABB industrial robots [Электронный ресурс]. URL: https://new.abb.com/products/robotics/ industrial-robots (дата обращения: 20.03.2022).
12. ROBOTFORUM: промышленные роботы [Электронный ресурс] URL: http://robotforum.ru/ promyishlennyie-robotyi/tur.html (дата обращения: 20.03.2022).
13. KUKA industrial robotics heavy payloads: каталог [Электронный ресурс]. URL: https://www.kuka.comA/media/kuka-
downloads/imported/9cb8e311bfd744b4b0eab25ca883f6d3/kuka_pb_schwere_tl_en.pdf (дата обращения: 20.03.2022).
14. ROBOTOX промышленный робот R0B0T0X_P6A-750-6 [Электронный ресурс]. URL: https://robotox.ru/katalog/promyshlennye-roboty/6-koordinatnye-roboty/robotox_p6a-750-6-detail (дата обращения: 13.01.2022).
15. FANUC robotics range overview [Электронный ресурс]. URL: https://www.fanuc.eu/tr/en/ robots/robot-range-page (дата обращения: 20.03.2022).
16. PUMA 500 Robot arm [Электронный ресурс]. URL: http://rutherford-robotics.com/PUMA/ (дата обращения: 20.03.2022).
References
1. Tourassis V.D., Neuman C.P. The inertial characteristics of dynamic robot models. Mech. and Mach. Theory. 1985;20(1):41-52.
2. Lur'ye A.I. Analiticheskaya mekhanika [Analytical Mechanics]. Moscow: Fizmatgiz Publ.; 1961. 824 p. (In Russ)
3. Telegin A.I. Analytical solution of the first problem of the manipulators' dynamics. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. 2022;22(1):28-52. (In Russ.) DOI: 10.14529/ctcr220103
4. Kuz'mina R.P. Giroskop v kardanovom podvese [Gyroscope in gimbal]. Moscow: Universitet-skaya kniga; 2012. 202 p. ISBN978-5-91304-299-6. (In Russ)
5. Pudovkina S.G., Telegin A.I. Writing out of formulas for calculating forces in the joints of manipulators in statics. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. 2021;21(3):47-58. (In Russ) DOI: 10.14529/ctcr210305
6. Telegin A.I. Formalism of writing out of manipulators dynamic equation. Bulletin of the South Ural State University Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radioelectronics. 2021; 21(4):52-68. (In Russ) DOI: 10.14529/ctcr210405
7. Moiseyev Yu.I. Primeneniye promyshlennykh robotov dlya zagruzki metalloobrabatyvayushchego oborudovaniya: uchebnoye posobiye. [Application of industrial robots for loading of metalworking equipment: tutorial]. Kurgan: KSU; 2013. 170 p. ISBN 978-5-4217-0258-0. Text: electronic. Lan': Electronic library system. Available at: https://e.lanbook.com/book/177883 (accessed 30.01.2022). (In Russ)
8. Klimov A.S., Mashnin N.E. Robotizirovannyye tekhnologicheskiye kompleksy i avtomaticheskiye linii v svarke: uchebnoye posobiye dlya vuzov [Robotized technological complexes and automatic lines in welding: textbook for universities]. 4d ed. St. Petersburg: Lan'; 2021. 236 p. ISBN 978-5-8114-6792-1. Text: electronic. Lan': Electronic library system. Available at: https://e.lanbook.com/book/152449 (accessed 30.01.2022). (In Russ)
9. Kawasaki Robotics GmbH. Katalogi i tekhnicheskiye broshyury [Catalogs and technical brochures]. Available at: https://pdf.directindustry.com.ru/pdf/kawasaki-robotics-gmbh-18836.html (accessed 20.03.2022).
10. Yaskawa industrial robotic arms. Available at: https://www.motoman.com/en-us/products/ robots/industrial (accessed 20.03.2022).
11. ABB industrial robots. Available at: https://new.abb.com/products/robotics/industrial-robots (accessed 20.03.2022).
12. ROBOTFORUM: promyshlennyy robot [ROBOTFORUM: industrial robots]. Available at: http://robotforum.ru/promyishlennyie-robotyi/tur.html (accessed 20.03.2022). (In Russ)
13. KUKA industrial robotics heavy payloads: сatalogs. Available at: https://www.kuka.com/-/media/kuka-downloads/imported/9cb8e311bfd744b4b0eab25ca883f6d3/kuka_pb_schwere_tl_en.pdf (accessed 20.03.2022).
14. ROBOTFORUM: promyshlennyy robot ROBOTOXP6A-750-6 [ROBOTFORUM: industrial robots ROBOTOX_P6A-750-6]. Available at: https://robotox.ru/katalog/promyshlennye-roboty/ 6-koordinatnye-roboty/robotox_p6a-750-6-detail (accessed 13.01.2022). (In Russ)
15. FANUC robotics range overview. Available at: https://www.fanuc.eu/tr/en/robots/robot-range-page (accessed 20.03.2022).
16. PUMA 500 Robot arm. Available at: http://rutherford-robotics.com/PUMA/ (accessed 20.03.2022).
Информация об авторе
Телегин Александр Иванович, д-р физ.-мат. наук, проф., проф. кафедры автоматики, ЮжноУральский государственный университет, филиал в г. Миассе, Миасс, Россия; teleginai@susu.ru. Information about the author
Aleksandr I. Telegin, Dr. Sci. (Phys. and Math.), Prof., Prof. of the Department of Automation, South Ural State University, Miass, Russia; teleginai@susu.ru.
Статья поступила в редакцию 21.12.2021 The article was submitted 21.12.2021
