Новые формулы для динамического силового анализа плоских рычажных механизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Расчет и конструирование

УДК 531.3

НОВЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКОГО СИЛОВОГО АНАЛИЗА ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

А. И. Телегин

Получены новые формулы вычисления сил и моментов сил, действующих в кинематических парах плоских рычажных механизмов (ПРМ) для заданных законов изменения обобщённых координат.

Введение. Материал статьи изложен так, что его можно изучать (пропуская доказательство утверждения 1) и применять на практике без изучения статей [1-3], продолжением которых является предлагаемая статья. В отличие от статей [1-3] здесь используется терминология теории механизмов и машин. Поэтому начнём с краткого обзора основных понятий и приведём используемые в дальнейшем сведения из механики машин [4].

Систему твёрдых тел (звеньев), образующих друг с другом подвижные соединения, называют механической системой (МС). Соединение двух соприкасающихся звеньев МС, допускающее их относительное движение, называется кинематической парой (КП). Как правило, одно из звеньев МС является неподвижным или принимается за неподвижное. Такое звено называется стойкой (станиной, опорой).

Если от любого звена МС до стойки имеется единственный путь (через звенья и их КП), то такую МС называют открытой. В противном случае МС имеет контуры, т. е. МС имеет звенья, от которых до стойки существует более одного пути. Число замкнутых контуров можно определить по формуле [4] п0 = пр - N, где пр - число КП, N - число подвижных звеньев МС. Мысленно

разорвав связи одной КП или разрезав одно звено каждого контура, можно получить открытую МС. При этом разорванные связи необходимо заменить главным вектором и моментом соответствующих сил реакций. Силы реакции в КП описывают взаимодействия между конструктивными элементами КП и распределены по поверхностям или по линиям соприкосновения этих элементов. Здесь же определяются только главный вектор и главный момент всех сил взаимодействия, возникающих в КП. Силовой анализ МС основан на решении первой задачи динамики и заключается в определении движущих сил и моментов сил, а также главных векторов и моментов сил реакций в КП (включая мысленно разорванные связи) для заданных и согласованных со связями законов движения звеньев. Силовой анализ необходим для выбора и расчёта приводов МС, а также расчёта элементов КП на прочность, надёжность и долговечность.

Если звенья КП могут только вращаться относительно друг друга вокруг одной оси, жёстко связанной с ними, то такая КП называется вращательной кинематической парой (ВКП). Если звенья КП могут двигаться только поступательно относительно друг друга вдоль одной оси, жёстко связанной с ними, то такая КП называется поступательной кинематической парой (ПКП). Указанную ось называют соответственно осью ВКП или ПКП. В ПРМ оси всех ВКП должны быть взаимно параллельны, а оси ПКП - перпендикулярны осям ВКП. ВКП часто называют шарниром. ПРМ, звенья которого образуют только шарниры, называют шарнирным механизмом.

1. Векторный вид основных расчётных формул. Звено с номером / и его массу обозначим через т(]1 (г=1, 2,..., М). Звено древовидного ПРМ (ДПРМ), т. е. после размыкания контуров, непосредственно следующее за т01 на пути к стойке (к звену т(}), назовём базовым звеном (базой) для т01. Базой для т01 является стойка. Все остальные звенья, связанные с т0;, назовём смежными звеньями для ты . Звено ДПРМ, не имеющее смежных звеньев, является концевым. В звене ты выберем полюс 01. Через 0()1 обозначим точку, с которой совпадает 01 до начала дви-

жения m0i относительно своей базы. Точку O0i назовём базовой точкой г'-го звена и жестко свяжем её с базой /-го звена. Обозначим через т. сумму массыj-го звена ДПРМ и всех его несомых звеньев. Если звенья m0j, т0к,..., т01 являются смежными для топ то мысленно поместив в их базовые точки 0()J, О0к, ..., Оы массы т), тк, ..., m¡ соответственно, получим г'-е дополненное тело (ДТ). Обозначим через С, центр масс г'-го звена, а через Cd¡ - центр масс /-го ДТ. Массу г'-го ДТ можно вычислять по формулам ml =m0¡ + У\т1 = ^и?0,, где m0j - знак суммиро-

J J № jil

вания по номерам несомых звеньев для m0l, включая г'-е звено; - знак суммирования по

J,'

к-\

номерам смежных звеньев для mw. В дальнейшем используется знак суммирования а} по

j

к

номерам несущей цепочки &-го звена и знак суммирования , по номерам звеньев, несомых

j»

/- м звеном.

Пусть плоскость Р (плоскость движения ПРМ), параллельно которой перемещаются звенья ПРМ, является положительно ориентированной, причем орт к системы отсчёта Oijk перпендикулярен этой плоскости, является ортом осей ВКП и направлен в сторону наблюдателя (исследователя). Полюс О, звена m0i выберем в плоскости, проходящей через С/( параллельно плоскости Р. С ты жестко свяжем правую систему координат (СК) OjiJ-k, .

Если i-e звено образует со своей базой ВКП, то О, разместим на её оси и (при О, * Сф) орт направим от О, к Cd¡. Обозначим dl = 0¡Cdj > 0. Для ВКП 0П1 = О,. Если О, = Са, то г, направим вдоль до начала относительного вращения ты (/0 = i).

Если /'-е звено образует со своей базой ПКП, то О, совместим с Cd¡ и орт /, направим вдоль оси этой ПКП в положительную сторону поступательного перемещения /-го звена относительно своей базы. Координату x¡ точки Cd¡ на оси O0li¡ примем за параметр, определяющий положение /-го звена относительно своей базы.

Введём следующие обозначения:

fd, - если г-е звено образует со своей базой вращательную пару, л [х, - если г'-е звено образует со своей базой поступательную пару; а1к - угол, откладываемый от /, до ik; slk = sin aik; cik = eos aik; at - абсолютный угол поворота г'-го звена, откладываемый от i до i.; R] = O0j_{O0 - радиус-вектор с началом в базовой точке базы j-ro звена и с концом в базовой точке у-го звена; R *, Щ, Щ - проекции R f на оси ,

O0jJj_v, O0j_}k соответственно; RJ1 - проекция Rf на плоскость О0 ,/ ,7 ,; g -ускорение свободного падения; 1к - тензор инерции к-го ДТ относительно точки О0к.

Утверждение 1. Искомые относительные силовые факторы к-го звена ПРМ, т. е. сила Fk и момент силы Мк (относительно точки Оок), действующие на к-e звено со стороны его базы, а

также главный вектор Fn и момент Мп (относительно точки Ош) сил реакций, действующих на

i-e звено со стороны мысленно разорванных связей (при размыкании контуров), удовлетворяют следующим уравнениям:

^*+1Х=^-ХЛ> о)

i>k i>k

Шк + ^,* +Z =Кк-Mhk-Z*j X2Ä k = \,2,...,N, (2)

J,k J,k ÜJ j,k i>j

где Fbl, Mbl - заданные главный вектор и момент (относительно точки O0l) сил, действующих на /'-е звено;

Fqk =ткІ [fe “ RMä' - RMd? + [RMä> + 2iA - )l ] +

I

+ Zm/[fe - xdA})h + (xjÄ + 2ІД )/,]- rnkg , (3)

i>k

k-\ ,

Mqk Л ( ^ikXi + R-i+\Syik&i Ri + \^xik^t 2^kXdkXk^k^

i

+ äkIk ■k + älkxIk-k-YdR)Yd mi lxd,ä, + 2і,«()/, - (x, - xdiäf)], ]+

],k i>j

+ HLR?Y*mkikfai-xd,ä?)+4k'(xdiäi +2^i)]k-mkxdJk xg, (4)

jM i*j

4k = sin(^ + <Py% SU = sin(«,/f +<Pyj), (5)

<Px,

arccos(Rj /Rjy)~ если R}’ <0, jarccos^JIRf)- если R‘ >0

- arccos(i?* / 7?y ) - если R) >0, ' yJ I - arccosORj' IR*/) - если R* <0

Доказательство. В доказательстве утверждения 1 статьи [1] через РП,МГ1 обозначены главный вектор и момент (относительно точки О0і) сил реакций в /-й КП и внешних сил, действующих на /-е звено. Выделим из РГ],МГ1 главный вектор и момент (относительно точки Ош)

внешних и других заданных сил, действующих на /-е звено, и обозначим их через РЫ,МЫ . Тогда из уравнений утверждения 1 статьи [3] получим формулу (1), где

к-1

Кк = X К + щ х К, +е,хЯ/+1+а/х(щх Ц+])], (6)

I

Рок = X 1тМп + Щ х К,)+ Є, X Щ + Щ х (®, хй,)], (7)

і~гк

Уп, - скорость и ускорение полюса /-го звена (точки О,) относительно своей базовой точки

О0/; їу, , єі - абсолютные угловые скорость и ускорение /-го звена; т( = ті ОшСш - статический момент /-го ДТ относительно точки 0(}1. Учитывая способ введения СК О^ ^к для /-й ПКП, получим Уп = х,/,, И7,., = х,/;, для /-й ВКП получим су, = а ¡к , £, = а ¡к . По определению

т, =тіОтСа = тіхЛі„ ЯІ+{ = Я,У, + + Я^к (заметим, что проекции вектора Я/+1 на оси СК 0оіі;]-к совпадают с проекциями этого вектора на оси СК ). Подста-

вим выражения для Уп, ¡¥п , Щ, гг,, и,, і?(+] в (6), (7) и выполним векторные умножения орт с учётом равенств к х/\ = у(, к ху; к хк = 0 . Получим

^ = Е+ 2ІД кх1,+а,кх [ЩЛ, + ^+17, + і?;+1^)+ а^к х [к х (і?Д,/; + + І?ДЛІ=

І

=Ё [хД + 2*,.», / + (і?д ,у, - ) - ¿(2 (я*,/, + л',7,)],

і

Кк = Е ш< Ь'' + 2і,а, к х /, + хЛа,І х /, + хйа,2к х (а х /,)]=

= + 2х,а, ], + хла,1 - хлсс21).

¡гк

Отсюда после приведения подобных при и /, получим искомую формулу (3) для

Рдк =ЩКк+Кк-тк8 ■

Из уравнений утверждения 1 статьи [3] получим формулу (2), где

Мчк=ткх(Жок +¥гк+2 Шкх7гк)+1к ■£к+акх1к-Шк +££, х/?;-ткх£, (8)

Л*

4 = Кк+»»о* (>*£ - щ) + Е т, [К]Е - & А) (9)

J,k

- тензор инерции &-го ДТ относительно точки 0()к, 1ск - тензор инерции к-го звена относительно

точки Ск, гк = 0()кСк. Подставляя в формулу (8) найденные выражения для 1¥ок,рщ, а также выражения для векторов Угк, IVгк, о5к, ек, тк, К,, получим

^ = ЩХЛ - Кмй! - <х?)1 + + 2х.а, - К1$)]]+

I

+ ЩХЛ X (хк1к + 2хкакк х 1к)+ ак1к -к+ а2ккх1к-к - ткхл1к х £ +

+X (Л* 4+Л+*)х Е от/ К*/ - ^+(Х*Ч+2*А)]. ] • (1 °)

],к ¡>)

Для / < к разложим орт ц по ортам г,,у,. Получим 1к = с(4,г, +5^],, где с1к - со.8а,к, =эташ,

а1к - угол от г, до . Тогда гк х/, = (с,^ + ^у,)хг/ = -Ь'1кк , ik х у, =с1кк . Следовательно, с

учётом произведений к х /, = у, Д х у, = из (10) получим

^ = -»**** Е [(*«■ - ^>1«/ - )% - (СД + 2хД - Ду+1«,2 )сЛ ]* + 2ткхлхкакк +

1

+ йк1к ■ к + а2кк х 1к ■ к - ткхл1к х1~Е^Ет<ЬаЧ + Н “(*< ~^ )1 ]+

7,<г />7

+ Е Е^Ь-хя<х?){я*Л *1 +Ц1кх1)+(х<вй1 +2*А )(Л/4 х],+Щ1\х],)1 (11)

Л* ¿27

Для />А: разложим орты У, по ортам 4,^. Получим 1,=сиц + 5к,]к, ), = -$*,-/* + ск,]к. Тогда 1к хГ( =/* х(сй/, +5,;7*)=**,£, Ах/( =-с,Д, 4x7, =4 х(-+ с*,Л) = сй* ,

]кх]1=$кк. Подставив эти векторные произведения в (11) и учитывая обозначения 4, = ЩСк, + Я^к1, В{, = К)$к, - Щск<, получим

Щ = ткхл Е (- 5&Х! + А'ш+]'а,- + 2сЛхД. + С’а,2 )* + 2 ткхлхксскк +

I

+ «Л -к+а2ккх1к-к-ткхл1к „а, + 2х,а,.)/, -(х, -хЛ#)/,]+

У-* />7

+ Е Ет;[в* Iх/ ~^А2)+ 4, (хЛ + 2хА)]^•

J,k iiJ

‘ 2 , /2

Используем известную формулу а 8т(д) + /) соэ(д) = V а + 6 5т(<у + <р), где

^ = атссоз(а/ л]а2 +Ь2) при Ь> 0 и ^ = -агссо&{а1^а2 +Ь2) при ¿> < 0 . Тогда с учётом равенства

- } . ! г. ; ПОЛуЧИМ

^ = Я/С*, + л;5*, = л;у з5п(а*, + ^) = Щу$]ук,, 5/, = Щ$к, - Щск, = К? вт(а*, + ^) = ^4,, что с учётом обозначений (5) завершает доказательство формулы (4). Утверждение доказано.

Телегин А.И. Новые формулы для динамического силового

______________________________________________________анализа плоских рычажных механизмов

Замечание 1. В утверждении 1 векторы Р к, Мдк описывают инерционные силы, которые

зависят от скоростей и ускорений движения звеньев. Можно рассматривать проекции этих векторов на оси СК любого звена, включая стойку.

2. Формулы вычисления проекций инерционных сил на оси СК звеньев.

В утверждении 1 Рк - сила в к-ой КП, Мк - момент силы в к-ой КП. Рк содержит для к-й ПКП

две проекции динамической реакции и одну движущую силу Рк . Мк - Мк (/^) содержит для к-й ВКП две проекции момента реакции и движущий момент силы Мк . Движущую силу вычисляют по формуле Рк = 4 • Рк . Движущий момента силы вычисляют по формуле Мк - к ■ Мк. Поэтому для перехода от векторных соотношений утверждения 1 к скалярным соотношениям удобно рассматривать проекции векторов утверждения 1 на оси СК к-то звена и использовать

Утверждение 2. Проекции векторов рдк, М к на оси Оок 1к, 0„к /'к, Оокк СК ¿-го звена вычисляются по формулам

Рф =ткЪкл + + 2ЧХА, -О^Ч2).+ Щ(хк -хЛа])+

+ X^kfe--хЖ)-*Ахш<*, + 2x,á^-mklk ■ g,

/>к

к-\ , ч

+ + 2c,k*¡ái + ^'^)+тк(хЛак +2xkák)+

+ Z m¡ k fe - xdiá¡)+ cki fo*«/ + 2хм)]- mk]k • g,

(12)

(13)

Fqk=~mkk'g> (I4)

Мф=-І?ак+І?а1к -Z^Xm,kfc-xd,á?)+cki(xdiál + 2x,á,)], (15)

Щк =-Ik&k-lF<Xk+Y*RZjlLmkA*i-xdtf)-4i{xdiüi+2x,á,)] + mkxdkk-g> O6)

J.k i*J

Щк= mkxdk ¿ (- sikxi + RZ s'ytü> + 2c.kxiá, + rmS*№ )+ Цак + 2mkxdkxkák + i

+ 1LR7Ew<kfcfe-xdiál)+sJyk,{xdiü, +2x¡ál)]-™kxdkJk -g, (17)

jM ¡>J

где Ік = Іск +m0khk(xdk + ak^+'^mJRJ R¡, (18)

Jk

I?=l£+m,kbkhk +Y.mjRjRj » (19)

J,k

П =Пк + *%[(** +ak)2 +b2k\+^j(R7)2> (20)

J,k

ak,bk,hk - проекции радиус-вектора CdkCk на орты ik,jk,k; 1*гк,Цк,Гск - элементы тензора инерции к-го звена в СК Ckikjkk , Гк - момент инерции ¿-го ДТ относительно оси О0кк .

Доказательство. Умножим вектор (3) скалярно на орты ik,jk- С учётом равенств I ■ \ = cosalk - clk, j, ■ Jk = cos(aik -n/2) = sinalk = s,k,\ • ]k = cos(aik + n/2) = -sik,],-jk= c,k, для i<k и равенств

4-I =cosakl=cklJk ■]) =cos{akl+7r/2) = -smakl=-skl,]k-l=cos(akl-x!2) = sk„]k ■], =ck„ для i>k, получим

Fqk = mkY, fe “ RMÜ> - RMá’ К + ÍRMÜ> + 2X>Ú> - R’^ái К і +

+ X щ К*» - х<іАІ К - (%«/ + 2хА, )$*, \-mb\-g,

і>к

Рф=ткЦ-(*/ “КА, ~КА?К + ІКАі + 2хАі ~КА!)%]+

/

+ Е"ф| -+ (*<#«, +2ІД )с*,]-іи*Л -I •

і>к

Преобразуем первые суммы этих выражений к виду

рф=»»*Ё[ад+(ядА ~^+і<?лМ+2%^4 -(ддл+^/*)а,2]+-»

/

Рф =ю*Ё[-V/ +(^+іС,* +^+1%)а, +2сікх,ссІ +(Ол ~Сі%)«2]+--- •

, получим иско-

Теперь, используя обозначения -Щсь - , Я)сь +К^Ь = RJ

мые выражения (12), (13). Здесь и в дальнейшем учитывается, что скк =1, .% = 0. Уравнение (14) получается после скалярного умножения вектора (3) на орт к .

Умножим вектор (4) скалярно на орт гк. С учётом равенств ік- к = 0, ік ■ 1к- к = -1к ■>

к ■ к х 1к ■ к = -]к ■ 1к ■ к = Г/, 4 • 4 х £ = 0, 4 • = ск1, 4 • ], = -зк, получим формулу (15).

Умножим вектор (4) скалярно на орт ]к. С учётом равенств ]к - к - 0, ]к ■ 1к - к = -Р/, -кх1к-к=1к -1к ■ к - -Iх/. ]к-1кхё = -к-£, ЛЧ=^,> Л-У, =си получим формулу (16). Умножим вектор (4) скалярно на орт к. С учётом равенств к-к = 1, к ■ 1к-к = Гк, к • к х 1к ■ к = 0, к -ік х^ = ]к ■£, к-іі = к • /, =0 получим искомое выражение (17).

Пусть ак, Ьк, кк - проекции радиус-вектора СлСк на орты ік, /А, к . Тогда

= 0()кСк = 0$кС¿¡к + Сс&Ск = Х<1кЧ + акЧ + Ък)к + Ькк — хак4 + ^к)к + ^кк ,

где хак = хйк +ак. Следовательно, гк =х2ак +Ьк + її2, Я2 = {Я/)2 + (Я/2 + (Я/)2 и по правилу диад-ного произведения 2-х трёхмерных векторов [8] получим

( X2 лак ХакК ХокК ґ я;2

ГЛ = КХак Ь\ КК , Я/ Я/ т Я]2

{КХа КК К ) [яя Я;2 )

Подставляя всё это в (9), получим

(ъ\+%

Ь - ^ск + Щ к

Какик

■КХак Х1к+К

-КХок

-КК

~ХакК

-кк

х1к+ь2к

+Х/и,

J,k

я/ + я/ -щщ

:2

Яу + Я1

-щщ

-ЩЩ ''

-щщ

Следовательно, - Г/ = -Г/к - токНкхак - X , -I/ = -I/ - т,к\Ьк - X ,

7.* У,*

П-Пк + ток{х1к +^к )+Х/иу(^у^’у +^уУ^)- ОТС1°Да получим искомые формулы (18)—(20). Ут-

J,k

верждение доказано.

3. Частные формулы вычисления проекций инерционных сил. Для шарнирного механизма (ШМ) хл = с/,, УГ1 =0, ¡¥п —0 . Поэтому из (12)—(20) получим

Следствие 1. Проекции векторов Рцк, Мцк на оси СК к-то звена ШМ вычисляются по формулам

Рф =%Х(Ск^і -)-тЛа2к - Xтш(зкіа, + скіа2)-

I 1>к

ткЧ-ё>

(21)

Рф +СЧ2)+»**<** + ЕтЛс*Д -г. (22)

4-1

] + т4к®к +

1>к

р0=-”кЬ'8> (23)

^ = -Л“«* + 4^1 ~ Е ^ Етш(<?*,-а, -^Д2)» (24)

у,* 'г.;

м,4 = -^а* - “ Е Е (**Д- + ад2) + ткхс1кк • Я > (25)

7.*

мф = +СЧ2)+ ГАк+Е^Е^кд- - 54Д2)- щк]к ■ ё. (26)

где тЛ = т1с11.

Замечание 2, Если для всех у звено я20/-1 имеет только одно смежное звено ти0 и центр масс

СЛ]_Х лежит на оси Ой)_хОК>], то К] - Ой]_]Ой1г]_] и Я* = Щ = 0, Щ - Л'1 = Л > 0 . Следовательно,

4* = 5т1а,к + агссо8(Л; / ^)] = энКа,*) = % ,

5^ = вт[аЛ + агссоэСО/Лу)] - зт(аЛ + я¡2) = сов(аА) = с,к.

Учитывая замечание 2 и равенства .% = 0, скк = 1 из утверждения 2, получим Следствие 2. Для ПРМ, все звенья которого удовлетворяют замечанию 2, проекции векторов Рф, Мф на оси Оок4, Оок]к, Офк СК ¿-го звена вычисляются по формулам

Рф = Щ X [с* (ж, - Я1+]а?)+ ■% (я,+Д + 2хД)]+ »я* (дс* - хЛа2к)+

(27)

+ Ът[скЬ, ~хша2)-зк{хЛа, + 2х1а^-тк\ -ё,

1=к+1

Рф = Рак + щ (*д «* + 2^^) ■+ Рък. (28)

• Я , Л/;* = -г;ксск + р;ка2к, Муф = -/£«* - /”а*2 + т, хЛ Ь £, (29)

Мф = + № + 2ткх4кхкак + , (30)

где Р^к = ткЁ[-^(г, -Д+Д2)+ с,к(д+д + 2хД)]-тк]к ■#, (31)

= Е т' к & ~ Х^Д'2)+ си (*<««, + 2*А)]. (32)

/=4+1

Отсюда получим

Следствие 3. Для ШМ, все звенья которого удовлетворяют замечанию 2, проекции векторов Рф, Мф на оси Оок4, Оок]к, Оокк СК ¿-го звена вычисляются по формулам

£-1 / \ \ _ рф=%ЕЛ/+Аад -ад2Ь"ад*2- ЕОТЖД+с*А2г-I. (33)

/=1 (=4+1

-^4 = -»и**’ • I, + Р/а] , Л/* = -да* - Рс;а; + тЛк ■ £ , (34)

Рф = Рок + т0кйк + Рьк > Щк = ¿4^4 + № + ^4+1^4 , (35)

¿-1 / \ __ / \ где ^=т* е ^,+1 (ад+■?,4«2)- ^ Л -ё’ рьук= Е пД- - ад2) • (36)

/=1 /=4+1

Замечание 3. В монографии [8] предложен общий формализм вывода формул для вычисления динамических реакций в ШМ. Он требует выполнения громоздких аналитических вычислений. Формулы (33)—(36) позволяют выписывать выражения динамических реакций без выполнения аналитических операций.

Из следствия 3 с учётом формулы (2) получим

Следствие 4. Уравнения динамики (УД) ШМ, все звенья которого удовлетворяют замечанию 2, имеют вид

к-1 / \ N

т

X 4 (ад + *йа,2)+ /* а* + 4 X (ад - ад2)- отлЛ -ё = Мк- Мк+Х, (37)

(=1 / = £ + )

где к=\, 2,..., Ж; X, = 0,0,+] =Д-+, - длина /'-го звена.

Замечание 4. УД (37) совпадают с УД и-звенника, полученных другим путём в следствии 7

статьи [3].

Замечание 5. В механике используются несколько подходов для вычисления динамических реакций. В наиболее распространённом способе силового расчёта [4-7] используется метод кинетостатики. В предлагаемом формализме все расчёты основаны на формулах (1)-(4). Если берутся проекции искомых векторов на оси СК звеньев, то в расчётах используются формулы утверждения 2. Для ШМ они принимают более простой вид (21)—(26). Для ПРМ и ШМ, соответствующих замечанию 2, расчётные формулы принимают наиболее простой вид (27)-(36).

Замечание б. В другом известном подходе [8] наложенную на МС связь заменяют силой, эквивалентной по своему действию этой связи, что позволяет рассматривать МС как освобождённую от связи. При этом появляется новое возможное перемещение, которому соответствует изменение новой обобщённой координаты (ОК), сохраняющей постоянное значение в действительном движении. Если исходная МС имеет п ОК, то освобождённая будет иметь п+1 ОК. Вычислив для такой МС Лагранжиан, записав уравнение Лагранжа 2-го рода для новой ОК и приравняв нулю её обобщённые скорости и ускорения, получают уравнение для определения интересующей реакции. По такому формализму в [8] вычисляются динамические реакции в КП ШМ. В этом формализме не возникает вопросов с условиями статической определимости.

4. Общий вид УД ПРМ. Для исключения ускорений из формул вычисления искомых реакций можно использовать

Утверждение 4. Если к-в звено ПРМ образует со своей базой ПКП, то его УД имеет вид

+4-Х(4 + 4,)- (38)

;>к

Если к-в звено образует со своей базой ВКП, то его УД имеет вид

К =мк- ХМ; - Хм; + к ■ (мгк + Мм)+ к ■ ¿я, X х(к + 4,), (39)

Г-к г,к 1,к 1>/

где

К=тлТ^{-^1+^5'^й1+2с^1 + ^'^а^+х^/(х4.а/ +2 х,а)+

' Г ( \ 1 - (40)

+х] Xм/[¿А*,- -ад2)+^;(-ад+2*А)г -Х(4 +4Д

|>J &]

X М - знак суммирования величины М; по номерам звеньев, смежных Аг-му звену и образую-

Т-к

щих с ним ВКП; - знак суммирования величины М по номерам звеньев, смежных к-иу

З-к

звену и образующих с ним ПКП. Величины ^, М2цк вычисляются по формулам (12), (17).

Доказательство. Разобьём сумму } на две части. Получим X ^4 = X М, +Х^Т •

ЗЛ ],к у.к ]\к

ли у'-е звено образует с к-м звеном ПКП, то момент силы ¥ 1 относительно точки О0 вычисляет-

ся по формуле М' = к ■ Оор х Р] = х}]}

'гг-3

. Подставим сюда вместо Г выра-

жение (3). Тогда получим

м; = | X [(*/ - КА/ - КА? )1 + (КА> + 2х,а, - щ+А!)], ]-

+ X т< i'x> ~ xdA? )l + (w + 2хА, )], ]- ntjg - £ (f„ + Fhl)[.

i>j t>j J

Если /</', то 1 ■ ]J = cos(ör,; + n / 2) = -Sy, j,- jj = Су. Если i > j, то • i, = cos (aß -я/2)= sß, jj ■ j, = cß . Следовательно,

M' = nijXj X [- (x, - Rfji, - R-+]äf ^ + (r/ü, + 2x,ä, - R?+]äf )ctj]+

I

+ Xj£m,[(x, -xdA?)sj, + (xdA, + 2.x,a; jc^-nijXjJj-g-XjJj -Y,(K +Ю-fej ¡>j После приведения подобных в 1-й сумме получим следующий вид выражения в квадратных скобках: -sijxi+{R^xcij+Rf^sj^)äj + 2ciJxj(Xi +(/?*.,-Rf+lCj)ä? . Теперь, используя обозначения

RjSkl-RjCkl=RYsik„ RjCh +RjSh -RjysJykl, получим искомое выражение (40). Утверждение доказано.

Из утверждения 4 с учётом следствия 2 получим

Следствие 5. Пусть все звенья ПРМ удовлетворяют замечанию 2. Тогда, если k-е звено образует со своей базой ПКП, то его УД имеет вид

F*k=Fk +Ik-ft(F„+Fbl\ (41)

i=k

и если к-е звено образует со своей базой ВКП, то его УД имеет вид

M*qk=Mk-M^+k-(Mrk+Mhk)+k-RMx (42)

i=k+1

где величины F*k, Mzk вычисляются по формулам (27), (30). Если (¿+1)-е звено образует с к-м звеном ВКП, то Мк+] = Мк+]. Если (£+ 1)-е звено образует с к-м звеном ПКП, то

К+1 = Щ+\хк+1 X [- S*+1 fe ~ R'-A?)+ %+1 (Ri+A: + 2Xiäj)]- тк+1хк+]]к+1 ■ g +

(43)

N Г / \ 1 N (— — \

+ **+] Y,mi[sk+\Axi ~xdAn+ck+\AxdA, +2x,ä,)\-xk+Jk^ ■ Y.\Fn+Fbl\

I=k+1 /=*-+1

Заключение. Доказанные утверждения и следствия содержат новые эффективные алгоритмы для вывода формул вычисления динамических реакций и обобщённых движущих сил ПРМ.

Литература

1. Телегин, А.И. Алгоритмы решения первой задачи динамики произвольных систем тел / А.И. Телегин, A.B. Абросов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2001. - Вып. 1. -№ 6(06). - С. 3-9.

2. Телегин, А.И. Новые уравнения для решения задач динамики и синтеза систем твёрдых тел / А.И. Телегин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». -2006. - Вып. 8. - №11(66). -С. 3-14.

3. Телегин, А.И. Общий и частные виды уравнений динамики систем абсолютно твёрдых тел / А.И. Телегин //Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». -2007. - Вып. 9. -М 11(83). -С. 3-13.

4. Механика машин: учебное пособие для втузов / И.И. Вульфе он, М.Л. Ершов, М.З. Колов-ский и др.; под ред. Г. А. Смирнова. - М.: Высш. шк., 1996 - 511 с.

5. Левитская, О.И. Курс теории механизмов и машин: учебное пособие для мех. спец. вузов / О.Н. Левитская, НИ. Левитский. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1985. -279 с.

6. Озол, О.Г. Теория механизмов и машин / О.Г. Озол; под ред. С.Н. Кожевникова. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 432 с.

7. Теория механизмов и машин: учебник для втузов /К.В. Фролов, С. А. Попов, А.К. Мусатов и др.; подред К.В. Фролова. - М.: Высш. шк., 1987. - 496 с.

8. Лурье, А.И. Аналитическая механика /А.И. Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. -824 с.