CC BY
24
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.444
А.И. Акимов
канд. техн. наук, доцент, кафедра информатики и методики преподавания информатики, ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет»
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КОМПЛЕКСИРОВАННЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА И ТЕРМОНАПРЯЖЕНИЙ НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ ПРОИЗВОДСТВА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Аннотация. В работе рассматриваются результаты изучения влияний теплофизических параметров (скорость остывания готового изделия, остаточные термонапряжения, химическая усадка и др.) на эксплуатационные характеристики лонжеронов лопастей вертолетов и ветроэнов. Решения приведены по температурным характеристикам и по термонапряжениям, которые возникают в установках автоматического ведения технологического процесса на третьем этапе производства композиционных материалов.
Ключевые слова: композиционные материалы, остаточные напряжения, эксплуатационные характеристики, термонапряжения.
A.I. Akimov, Candidate of technical Sciences, Orenburg State Pedagogical University
ANALYTICAL SOLUTION OF PROBLEMS COMPLEXED HEAT TRANSFER AND THERMAL
STRESSES AT THE FINAL STAGE OF PRODUCTION OF COMPOSITE MATERIALS
Abstract. This paper reviews the results of the study of the effects of thermal parameters (cooling rate of the finished product, the residual thermal stresses, chemical shrinkage, etc.) on the performance of the helicopter blades and spars. Solutions are listed on the temperature characteristics and thermal stresses that occur in the automatic settings of the technological process in the third stage of the production of composite materials.
Keywords: composite materials, residual stress performance, thermal stresses.
Композиционные материалы все шире используются в авиационной промышленности, космической и военной технике, судостроении, производстве автомобильного транспорта, спортивного инвентаря, стоматологии и в других отраслях. В то же время многие аспекты этого сложного производства, связанные с учетом многослойности конструкций с различными теплофизическими свойствами, фазовых переходов при полимеризации, которые описываются моделями Стефана, многостадийности процесса нагрева, остаются недостаточно изученными. В связи с возрастанием требований к прочностным характеристикам композиционных материалов, решение указанных проблем является актуальным.
В работе приводятся постановка и решение комплексированных задач теплообмена и термонапряжений на заключительном этапе производства лонжеронов лопастей вертолетов, т. е. при остывании готового изделия в установках ведения технологического процесса (АВТП) (см. рис. 1, рис. 2, рис. 3).
^ 0с , 160
60
/
V
*Н,
20
Рисунок 1 - График зависимости температуры от времени в установках АВТП
Рисунок 2 - Геометрия узла для получения композиционных материалов в разрезе
Постановка задачи по радиальной схеме в цилиндрической системе координат для завершающего этапа процесса имеет вид [1, 2]:
1 ^ = ^ + 1 «кМ + к (г ,т);
ак дт дг2 г дг кУ '
д2ик (г,т) +1 дик (г,т) ик (г,т) _ к(1 + м) д'к (г,т).
дг2
дг
1 - М
дг
(1) (2)
к _ 1, R0 (ф)< г < Р1 (ф); к _ 2, R1 (ф)< г < R2 (ф); (см. рис. 3)
'к (г ,0 ) = *о; (3)
ик ( г ,0 ) = и0; (4)
' (рт)| Л д{2 (Р2т) р (т) ; '2 (Р2,т) + «2 дг = Р2 (т) ; (5)
и2 (Р2,т) = ио; (6)
*2 (Р,,т) = (Р,,т)_ р (т); (7)
и2 (Р,,т) = и (Р,,т); (8)
* (Р т) Л д*1 (Ро,т) р (т); (Ро,т)- а1 дг = Ро(т); (9)
и (Ро,т) = ио; (1о)
Л д*2 (Р!,т)_ Л ^ (Р!,т) Л дг Л дг ' (11)
где ак ,\,ак - коэффициенты температуропроводности, теплопроводности и теплоот-
2
8
т, час
дачи; Rk (г) - достаточно гладкие функции своих аргументов; Р1 (г) - подлежит определению через условие (11).
Рисунок 3 - Схема расположения зон 0 < г < ^(ф)
Решение задачи (1), (3), (5)-(9) ищем в виде
(г,г) = Т (г,г) + хк (г,г),
вводя вспомогательные функции
Л (г г)=р _1(г)+[р,(г)- р ,(г)] ^>щ.
В результате задача приводится к виду
1 дТк (г,г) д2Тк (г,г) 1 дТк (г,г)
дг
дг2
■ + — г
дг
+ Ук (г,г)
Тк (г ,0 ) = 1к (г ,0)- Хк (г ,0)
с однородными граничными условиями.
Решение задачи (14), (15) ищем в виде
Тк (г,г) = V(г,г) + шк (г,г),
где функции vk (г,г) являются решениями уравнений
—= "Ч(г .г) +1 к (г ,г),
аи дг дг2 г дг ку '
где У к (г ,г) = Гк (г ,г)
+
д2Хк (г, г) 1 дХк (г,г) 1 дХк (г, г)
дг2
■ + — г
дг
дг
а о>к (г,г) - решением уравнения
1 дюк (г,г) 1 д( дюк (г,г)
дг
г дг
дг
ю.
(г ,0 ) = 1к (г ,0)- Хк (г ,0)
с однородными граничными условиями.
Частным решением уравнения (19) являются цилиндрические функции. метод интегральных преобразований по г, получим общее решение задачи (19),
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Применяя (20)
а
к
а
к
а
к
« ехр(-акп2т)Ркф п _,г , . .-,
«к (г ,т)_]Г ^ с кП^ | ['к (г ,о)- Хк (г ,о)][ АкЛ0 (1/) + ВкУо 1)]■
Рк-,(ф) (21)
^г [АЛ (%г) + вкуо (%г)]
Подчинив общее решение для собственных функций однородным граничным условиям, получим системы:
A2Jо (1Р2) + ВУ (1Р2) + — [A2J•0(rlrР2) + В2У (1Р2)] _ о;
А2Л0 (%Р1) + В2Уо (%Р)_ о;
АЛ (1,Р) + ВУо (1ГР1)_ о;
/ООЧ
АЛо (1ГРо) + В1Уо (1ГРо) - Л[ АЛ (1Ро ) + В1Уо' (1ГРо)] _ о.
Решив эти системы, найдем, что с точностью до произвольного множителя Ак _ Уо ), Вк _-Jо (1ГР1). (23)
Для определения собственных значений 1к_, получим уравнения
Уо (12Р ) Jо (12Р2 ) - Jо (12,Р1) Уо (12Р2 ) +
Л
[Уо (12Р ) J0 (^2 ) - Л (12,Р1 ) Уо' (12Л )] _ о '
"2
Уо (11,Р ) Jо (11,Ро ) - Jо (11,Р1) Уо (11,Ро ) -
Л (24)
- Л [Уо (ъР ) Jо (11,Р0) - ^ (11,Р1) Уо' (11,Ро )] _ 0
Нормирующие делители для собственных функций получаются в следующем
виде:
р2
С2, _ | [Уо (12,Р) Jо (12,г)- Jо (12,Р1 )Уо (12,г)] ^г
Р1(ф)
_ Р^ {[ А2 Jо (12,Р2 ) + В2У0 (12,Р2 )]2 + [ А2 J1 (12,Р2 ) + В2У1 (12,Р2 )]2 }
Р1(Ф) 2
Ч _ I [Уо (11,Р1) Jо (11,г) - Jо (11,Р1) Уо (11,г)] гdг _
Р°2 (Ф)-{[A1Jо (11,Ро) + ВУо (11,Ро)] +[A1J11,Ро ) + ВУ (11,Ро)]2}
2
Решение задачи (17) будем искать в виде ряда
да
^ (г,т) _ X V (т)[Л (1к,г) + ВкУо (1к,г)] , (25)
,=1
так что граничные условия удовлетворяются сами собой, при этом, предполагая, что функции ¥к (г,т) разлагаются в ряд Фурье-Бесселя по собственным функциям
Р
да
У к (г ,г) = Х^к, (г)[ АЛ (щ/) + BkYo (чк/)] .
7=1
Подставляя (24), (25) в (17), приведем задачу к виду
+ а.
дг
Vk (0,7) = 0;
V 2 У
(г, 7) = У к (г, 7) ;
и получаем ее решение: Vk7 (г) = ]Ук7 (г)ехр
Ч У
V 2 У
(t - г)
dt
(26)
(27)
(28)
(29)
а из условия ортонормированности собственных функций находятся коэффициенты:
1 ^ №
Ук, (г) = I Ук (г,г)[АЛ (пчг) + BkYo (п/)] гбг ,
Ск7 RUФ)
(30)
где Ак, Вк,Ск7 определяются по формулам (27), (24). Подставляя (29), (30) в (25), получим решение задачи (17)
Vk (г,г) = Х I I у к (г ,г) ехр Я (t-г)1[ А^ (лК7г) +
-'С
7=1 к7 0 Rk
2
(31)
+ В^0 (п,г)] бгбг [АЛ (пчг) + В^0 (Пчг)]
С учетом (2), (16) получим окончательное решение задачи (1), (3), (5), (7)
Г п
1 ^ (
^ (г,г) = Х^ I
1 Ск
7=^ к7 Rk-1( +
|У к (г ,г) ехр
л2
2
(t + 3г)
dt + ^ - ^
, (32)
•[ АЛ (п/) + ВЛ (лК7г)] гбг [ АЛ (лК7г) + ВЛ (пК7г)] ехР (-акПк» + ^ (яг) где (г,01о .
Что касается решения (2), (4), (6), (9), то с учетом (32) окончательно будем
иметь
ик (г,г) = ИкГ + ^ + к -
г 1 - Ц 7=1
да I
Х N-ЛМ Я2
{пчг) + (п^г )■
(г ,г) N п dг
к7 IК7
бг -
11 г
— |Г г
AkJ1 (п^г) + В^ (п^г)
(г,г)
NkrпK7dг
(33)
бг'
где И1к и И2к находятся из граничных условий, и
Rk (Ф)
^7 - С С
1 I
(34)
|У(г,г)ехр{ак\\ ^ + г)dt + ^ -2о
'к7 Rk-1 (Ф) [ о 'V 2 у
• ехр (-аП г) • [ (п,7г) + ВЛ (п,7г)] гбг.
Анализ упрощенной математической модели процесса полимеризации показывает, что для третьего этапа целесообразно рассматривать наряду с теплообменом и
а
к
2
г Rk
> •
к
2
термонапряжения, т. к. остаточные термонапряжения очень опасны в эксплуатации изделий. Для устранения остаточных термонапряжений следует строго соблюдать температурный режим остывания изделия (в пределах два-три градуса в минуту) до температуры окружающей среды [1, 2]. Аналитические методы решения комплексирован-ных задач теплообмена и термонапряжений необходимы для разработки систем управления производством композиционных материалов на заключительном третьем этапе.
Список литературы:
1. Акимов А.И. Математическое моделирование теплофизических процессов в автоматических установках производства композиционных материалов // Материалы VII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». - Пенза, 2008. - С. 217-274.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1967. - С. 599.
List of references:
1. Akimov A.I. Mathematical modeling of thermal processes at automated production of composite materials // Proceedings of the VII All-Russian scientific conference «Problems of Informatics in education, management, economics and engineering». - Penza, 2008. - P. 217-274.
2. Lykov A.V. The theory of heat conduction. - M.: High School, 1967. - P. 599.
