АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ И ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ БОЕВОГО ВЕРТОЛЕТНОГО КОМПЛЕКСА В ОБЪЕМЕ БОЕВОГО ВЫЛЕТА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 61

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 623.746.174

Аналитическое моделирование боевых действий и оценка эффективности боевого вертолетного комплекса в объеме

боевого вылета

М.М. Медынский

Аннотация

В статье рассматриваются два примера использования аппарата теории массового обслуживания для аналитического моделирования боевых действий и оценки эффективности боевого вертолетного комплекса (БВК) в объеме боевого вылета.

Большинство военных операций, развивающихся по схеме «массового обслуживания», представляют собой случайные процессы, не являющиеся марковскими. Рассматривается метод, который позволяет обойти эту трудность, путем сведения не-марковского процесса к марковскому, и использовать для исследования математический аппарат теории массового обслуживания.

Предлагаемая методика является достаточно универсальной для аналитического моделирования не только боевых действий вертолетов, но и многих других боевых операций авиации, сводящихся к модели массового обслуживания.

Ключевые слова

боевой вертолетный комплекс; появляющиеся цели; система массового обслуживания с ограниченным временем пребывания заявки в системе; размеченный граф состояний; марковский случайный процесс; обобщенный поток Эрланга; метод псевдосостояний; относительная пропускная способность; абсолютная пропускная способность

Известно, что основные результаты математической теории массового обслуживания получены для случая, когда случайный процесс, протекающий в системе, является марковским [1]. Вместе с тем, большинство военных операций, развивающихся по схеме «массового обслуживания», как раз и не соответствуют этому предположению: случайные процессы, происходящие в таких системах, не являются марковскими.

Рассмотрим метод, который позволяет обойти эту трудность, путем сведения немарковского процесса к марковскому, и использовать для исследования математический аппарат теории массового обслуживания.

Идея метода заключается в аппроксимации реальных законов распределения интервала времени между соседними событиями в потоках, используемых в моделях боевых действий БВК, законами Эрланга некоторого (подходящего) порядка, и использовании метода «псевдосостояний» [1].

Отличительной особенностью боевого применения вертолетов в ходе огневой поддержки войск на поле боя является борьба с так называемыми появляющимися целями.

Под появляющимися целями понимаются танки, БТР, БМП, огневые точки, ракетные установки и другие объекты противника, которые после их обнаружения находятся под наблюдением вертолета ограниченное время, а обнаружение целей происходит случайным образом.

Такое предположение хорошо согласуется с реальностью в условиях предпринимаемых противником мероприятий по маскировке боевой техники и постоянного маневрирования целей на пересеченной местности.

Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся задач БВК - задачу отражения атак и контратак танков противника и борьба с прорвавшимися через линию фронта бронетанковыми частями. Для этого используем модель действия группы вертолетов по танкам, наступающим на полузакрытой местности в боевом порядке в дневных условиях. В поле зрения одного вертолета группа танков идет в боевом порядке типа «колонна» с одинаковой для всех танков скоростью V. Каждый танк, кроме ведущего, выдерживает дистанцию Ь от впереди идущего. Это расстояние выдерживается с ошибками. Поэтому моменты пересечения танками заданного рубежа обнаружения и обстрела с вертолета образуют поток Пальма (с ограниченным последействием), так как случайные величины

Т1 = —, Т2 = —, ..., независимы (здесь Ь1 - расстояние между ведущим и вторым

V V

танком, Ь2 - расстояние между вторым и третьим танком и т.д.). Плотность

распределения /(¿) времени между соседними танками (для вертолета - целями-заявками) качественно имеет вид, представленный на рис. 1.

Время пребывания танков в зоне обнаружения вертолета является случайной

величиной и ограничено - цель-заявка может находиться в системе время, не превосходящее некоторой (случайной) величины т .

Экранирование танков местностью во время его «обслуживания» БВК приводит к срыву боевой работы БВК, если время обслуживания цели-заявки больше т, т.е. если

Т обс > т. Иными словами, если за время Тобс обслуживание цели-заявки не будет

закончено, цель теряется независимо от того, началось обслуживание или нет.

В качестве основного оружия в борьбе с танками применяются противотанковые управляемые реактивные снаряды (ПТУРС). После обнаружения и опознавания цели экипаж производит прицеливание и пуск ПТУРС.

Таким образом, могут представиться следующие случаи: 1) за время т цель-заявка начала «обслуживаться» и «обслужилась» с вероятностью

ПТУРС

( ^ПТУРС - вероятность поражения цели при обстреле ее с вертолета);

2) за время т цель-заявка начала «обслуживаться», но обслуживание не успело закончиться - потеря «недообслуженного» требования;

3) за время т цель не начала «обслуживаться» - потеря «недообслуженного» требования.

Плотность распределения h(t) времени пребывания цели-заявки в зоне обнаружения БВК зависит от особенностей рельефа местности боевых действий, а также от естественных и искусственных помех. Качественный вид этой плотности представлен на рис.1.

Время Тобс, необходимое для обстрела («обслуживания») каждой цели-заявки,

складывается из времени обнаружения и распознавания цели, времени подготовки к стрельбе (прицеливания), времени полета ракеты до цели и является величиной случайной.

Плотность распределения g(t) времени «обслуживания» каждой цели-заявки качественно имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис.1.

Таким образом, в рассматриваемой задаче БВК можно рассматривать как систему массового обслуживания с ограниченным временем пребывания заявки в системе.

Источник заявок имеет ограниченную мощность (зависит от сил противника, участвующих в операции). Система (БВК) - одноканальная (или многоканальная при наличии соответствующей аппаратуры).

Граф состояния такой системы зависит от типа применяемого БВК (одноместный или двухместный вертолет), стратегии маневрирования вертолета в процессе боевых действий.

Отличие двухместного БВК от одноместного заключается в том, что процесс обнаружения целей и процесс обстрела целей могут быть совмещены во времени (задача обнаружения целей может быть решена летчиком во время обстрела цели штурманом-оператором). В одноместном же БВК этап обстрела следует непосредственно за этапом обнаружения цели.

После поражения цели огонь сразу же переносится на другие цели, если они имеются, либо вертолет маневрирует с целью выхода из зоны поражения войсковых средств ПВО противника, после чего осуществляет повторную атаку.

Выбор типа и объема оборонительного маневрирования вертолета в процессе боевых действий является предметом компромисса между интересами БВК по нанесению противнику наибольшего ущерба в процессе боевого вылета и интересами БВК по уменьшению вероятности поражения вертолета средствами ПВО. Действительно, укрываясь большую часть времени в складках местности, БВК может уменьшить величину вероятности своего поражения практически до нуля, но при этом будет близок к нулю и ущерб, наносимый противнику.

1. Модель одноместного БВК с одним каналом обслуживания.

Рассмотрим один из возможных сценариев боевых действий БВК, когда вертолет совершает оборонительный маневр, прячась в складках местности, сразу после обслуживания одной цели-заявки. При этом обслуживание может закончиться либо

обстрелом цели и поражением ее с вероятностью ^ПТУРС, либо потерей «недообслуженной заявки», если цель уходит из-под обстрела. Время маневрирования будем считать случайной величиной с известным законом распределения w(t) .

Если законы распределения: времени между соседними целями-заявками, времени пребывания цели-заявки в системе, времени обслуживания и времени маневрирования -являются показательными с параметрами Л, V, J, у :

f (t) = Ле, h(t) = ve V, g(t) = je~jt, w(t) = ye~rt (t > 0),

то случайный процесс, протекающий в системе, будет марковским и размеченный граф состояний имеет вид, представленный на рисунке 2.

Рис.2.

Возможные состояния системы:

Х° - канал обслуживания свободен; Х1 - канал обслуживания занят;

XМ - канал «вышел из строя» - вертолет маневрирует. Как видно из графа имеем циклический процесс. Подобная задача имеет известное в литературе [1, 2] общее решение. Применяя выражения для предельных вероятностей

состояний в этой схеме, получим г

<

Ро

Р1

г г 1 -1

1 +х

v v

- + — ¡ + У у

уу

X

г г

¡ + V

1 1

— + —

\Л

-1

1+ Х

v v¡ + V Гуу

X

Рм =-V у

г г 1+ Х

v v

11

— + —

лл

-1

¡ + У у

/у

Вводя в рассмотрение средние времена пребывания системы в каждом состоянии

1-1 - 1

г

= X ' ^

1м

¡ + У

после элементарных преобразований, получим

Тп

г

Ро

1° + +1м

<

Р1 =4

10 + +1м

Рм =7

1м

V

10 + + 1м

г

1

Чтобы найти относительную пропускную способность системы q, нужно вероятность p0 того, что заявка будет принята к обслуживанию, умножить на условную вероятность

Русл того, что заявка, принятая к обслуживанию, фактически будет обслужена (заявка не

уйдет из системы за время обслуживания).

Найдем эту условную вероятность по интегральной формуле полной вероятности. Сделаем гипотезу, состоящую в том, что время обслуживания заявки попало на участок времени от t до t + dt ; вероятность этой гипотезы приближенно равна g(t)dt, где g(t)-плотность распределения времени обслуживания.

Условная вероятность того, что заявка не уйдет из системы за время t , равна e vt, поэтому

Русл = \ме ~M te-v tdt = \Me-^dt = .

у 0 0 v+v

Таким образом,

= Р = ё + у =_ё_

4 Р°' усл ! + ^+Л (ё + У)(Л + г) + Л/

ё + у у

Абсолютная пропускная способность системы - среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени, определяется по формуле

А = Л- = Х'ёУ

^ (ё + у)(Л + у) + Лу '

Зная эти характеристики и время боевых действий БВК в боевом вылете, легко вычислить математическое ожидание числа пораженных целей в объеме боевого вылета рассматриваемой боевой задачи.

Однако реальные законы распределения времени между соседними целями-заявками, времени пребывания цели-заявки в системе, времени обслуживания и времени маневрирования - не являются показательными, и качественно имеют вид, представленный на рис. 1. Поэтому случайный процесс, протекающий в системе, не будет марковским, а представленную выше математическую модель функционирования БВК в процессе боевых действий нельзя считать корректной.

Учитывая, что плотности распределения времени между соседними целями-заявками, времени пребывания цели-заявки в системе, времени обслуживания и времени маневрирования имеют вид, подобный показанным на рис.1 кривым, аппроксимируем

указанные кривые плотностей распределения обобщенными потоками Эрланга, например, 2-го порядка:

/2« = -^7"И -е-д2') ; К(1) = -е-2') ;

^(0 = (в-»" - ^) ; ^(0 = И - е~Г2').

»2 -»1 72-У1

Это позволяет свести не-марковский процесс к марковскому путем использования метода «псевдосостояний» [ 1 ].

Идея метода «псевдосостояний» состоит в использовании свойств потока Эрланга. Если потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой потоки Эрланга, то путем введения в схему возможных состояний некоторых фиктивных «псевдосостояний», удается свести не-марковский процесс к марковскому и, соответственно, описать его с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова, которые при ^ ^ ад переходят в алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

Процесс, происходящий рассматриваемой в системе, будет марковским, если ввести следующие фиктивные псевдосостояния, нумеруя их по числу заявок в системе (нижний индекс) и фазе обслуживания, поступления новой заявки и ухода из системы (верхний индекс):

X" - заявок в системе нет, 1-я фаза поступления заявки, обслуживания нет, ухода заявки из системы нет;

Х0 - заявок в системе нет, 2-я фаза поступления заявки, обслуживания нет, ухода заявки из системы нет;

X""

- одна заявка в системе , 1-я фаза обслуживания заявки, 1-я фаза ухода заявки из системы;

X "2

- одна заявка в системе , 1-я фаза обслуживания заявки, 2-я фаза ухода заявки из системы;

X2

- одна заявка в системе , 2-я фаза обслуживания заявки, 1-я фаза ухода заявки из системы;

X г

- одна заявка в системе , 2-я фаза обслуживания заявки, 2-я фаза ухода заявки из системы;

XI - система «не работает» ( вертолет маневрирует), 1-я фаза «восстановления» системы;

ХМ - система «не работает» ( вертолет маневрирует), 2-я фаза «восстановления» системы.

Размеченный граф состояний имеет вид, представленный на рис.3.

Рис. 3

— ■

{

Пользуясь размеченным графом состояний, показанным на рис.3, запишем линейные алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний системы:

( -4р1 +72рМ = °,

Л Ро2 +4 р1 = °,

(ё? + П) Р111 +42 Ро2 - о,

-(ё? +^2)р12 +У1Р1 - о,

- (ё2 + П)Р121 + ё? Р" - °,

- (ё2 + ^2 )Р122 + ё1 р12 + VIР21 - ° ,

1 О1 ОО 1 о

Рм +ё2 Р1 + (ё2 + ^Р1 + ^ Р1 - °,

рМ +/1 рМ - °.

тт г Ъ^1 Ъ^2 Ъ^11 Ъ^12 Ъ^21 V22 V? V2 г

Поскольку события X X X ? , X ? , X ? , X ? , Хм, Хм образуют полную

группу несовместных событий, то сумма предельных вероятностей состояний равна

1 2 11 12 21 22 1 2 единице, т.е. р° + р° + р? + р? + р? + р? + Рм + Рм - ?.

V

Добавив это уравнение к уравнениям системы, и решив систему, найдем предельные

вероятности состояний в этом случае:

1 л Л Л Л

1+—L+— +—к+—-—+- п 1

+

Л2 /1 Г 2 »1 (»1 + ^2)(»1 + Ю (»2 + П)(»1 +^1)

+

+ -

Л»1^1(»1 +»2 +^2) (»2 + ^2)(»1 + П)(»1 + ^2)(»2 + М.

2 А 1

Ро =— Ро, Л2

Р," = Р0,

»1

,12

Р1

ЛП

,21

Р1

(»1 + ^2)(»1 + У1) Л»1

Р0,

Р0,

22 Р1 =

(»2 + П)(»1 +П)

Л»1^1(»1 +»2 + У +^2) (»2 + ^2)(»1 + П)(»1 + ^2)(»2 +^1)

Р0,

1 А 1

Рм =— Ро, Ух

2 Л 1

Рм =— Ро.

У 2

После того как найдены вероятности псевдосостояний, можно найти и вероятности состояний:

ГРо = Ро + Ро2 = (1 + Лк)Ро ,

Л

11 , 12 , 21 . 22 Р1 = Р1 + Р1 + Р1 + Р1

А

-+-

-+-

Л»1

»1 + П (»1 + ^2)(»1 (»2 + ^1)(»1 +^1)

■ +

+

Л»У1(»1 +»2 + У +^2)

(»2 +^2)(»1 + М(»1 +^2)(»2 + М.

• Ро.

V

Р.

м

А +А

V/! У 2 )

ро.

Относительную и абсолютную пропускную способность системы определяем аналогично случаю, рассмотренному выше.

1

Относительная пропускная способность равна произведению вероятности р° того, что заявка будет принята к обслуживанию на условную вероятность того, что заявка, принятая к обслуживанию, фактически будет обслужена (заявка не уйдет из системы за время обслуживания). Условную вероятность найдем по формуле полной вероятности.

Составим гипотезу, состоящую в том, что время обслуживания заявки попало на участок от I до I + & ; вероятность этой гипотезы приближенно равна £)&, где £)-плотность распределения времени обслуживания.

Условная вероятность того, что заявка не уйдет из системы за время I , равна

Р(г) -1 -[ н2 {г)& -1 - \ (е ^ - е & е

* « 1/ -у 1/ — 1/

V

1 е-*

° V

"2 -"1

поэтому

-|-ии -1-й.

Русл - | Р(')£(')& - \

е "--^ е

"2 -"1

° "2 -"1

(е- е ~ё2'ыг

ёг -ё1

ёхёг

"2

V

V

(ё? +"1)("1 +ё2) (ё2 +"2)("2 +ё?).

Таким образом,

Я - Р° -Русл - (? + "Т)'

4 ч ё1ё2

42 "2 -У1

V

V

(ё? + У? )(y1 + ё2 ) (ё2 + V )(^2 + ё? )

Р°

4 4 4 4 4'v\

1 +—к +—к+—+—-—+- п 1

- + -

4?ё?

+ -

42 ^2 Г1 ё? +У1 (ё? +У2)(ёl +П) (ё2 +У1)(ёl +У1)

Л"1

Дё^Сё +ё2 +У1 +У2)

-р°, где

■ +

(ё2 +У2)(ёl +У1)(ёl +^02 +У1), Абсолютная пропускная способность определяется следующим образом:

А-Лд , где л--44^.

4 +42

Зная эти характеристики и время боевых действий БВК в боевом вылете, легко сосчитать математическое ожидание числа пораженных целей в объеме боевого вылета

рассматриваемой задачи по формуле М - А7БдЖПТУРС, где А -

4142

4 +42

боевых действий, ^ПТУРС - вероятность поражения цели при одном выстреле.

'я, ТБд - время

V,?

2. Модель двухместного БВК с одним каналом обслуживания

Будем считать, что двухместный БВК, в отличие от одноместного, допускает в процессе обслуживания целей-заявок наличие одной заявки в очереди.

Это соответствует ситуации, когда летчик в процессе обслуживания цели-заявки штурманом-оператором может обнаружить новую цель и передать ее в соответствующий момент на обслуживание оператору.

Учитывая, что плотности распределения времени между соседними целями-заявками, времени пребывания цели-заявки в системе, времени обслуживания и времени маневрирования имеют вид, подобный кривым, показанным на рис.1, аппроксимируем указанные кривые плотностей распределения обобщенными потоками Эрланга, например, 2-го порядка:

М) = (е-е) ; = ^(е-е) ;

Л2 - Л V - V

g2 (') = (е-м - е-к ) • Ц) = -Ы^- (е- е)

К ' ^2 -Ух

Размеченный граф состояний в этом случае имеет вид, представленный на рис. 4.

Рис. 4.

Возможные состояния системы: Х0 - канал обслуживания свободен;

Х1 - канал обслуживания занят;

Х2 - канал обслуживания занят, одна заявка в очереди; XМ - канал «вышел из строя» - вертолет маневрирует.

Так как потоки, переводящие систему из состояния в состояние - эрланговские, то случайный процесс, протекающий в системе - не-марковский.

Используя идею метода «псевдосостояний» [1], сведем не-марковский процесс к марковскому.

Процесс, происходящий в системе, будет марковским, если ввести следующие фиктивные псевдосостояния, нумеруя их по числу заявок в системе (нижний индекс) и фазе обслуживания, поступления новой заявки и ухода заявки из системы (верхний индекс):

X, - канал свободен, 1-я фаза поступления заявки (/ = 1,2), обслуживания нет, ухода из системы нет;

X ^ - канал занят , 1-я фаза поступления 2-й заявки (I = 1,2), у-я фаза обслуживания заявки (у = 1,2), к-я фаза ухода заявки из системы (к = 1,2), нет заявок в очереди; Хрчг - канал занят, две заявки в системе, р-я фаза обслуживания заявки (р = 1,2), ц-я фаза ухода обслуживаемой заявки из системы (ц = 1,2), г-я фаза ухода заявки из очереди (г = 1,2).

Размеченный граф состояний имеет вид, представленный на рис.5.

Рис. 5

Процесс эргодический, система уравнений для определения предельных вероятностей состояний имеет вид:

Л- Л р1 + г2 рМ + V р122 + V р\12 = о,

-Л Р02 +^2 Р1212 +^2 Р1222 = 0,

- (л + к + VI)Р111 + ^2 р212 + ^2 р221 = 0,

- (Л+М1 +V2) р112 + VIР111 + V2 Р2222 + 2V2 р122 = о,

- (Л+М2 +п) р121 +М1 р!п +V2 рГ +V2 Р2221 = 0

- (Л + VI)Р1211+ЛР111 = 0,

- (Л + к + V2)Р1212 + Л р112 + VIР1211 = 0,

- (Л+К + V2)р122 + VI р121 + р112 + V2 Р2222 = 0 ,

- (Л +М2 +Vl)Р1221+Лр121 + кР1211 = 0,

I - (Л +К2 + V2)Р1222 + мР1212 + Л р122 + VIР1221 = 0, \ - (К1 + 2Vl)p211 + Л Р1211 = 0,

- (м + VI +V2) р212 + VIР211 = 0,

- (к + VI + V2)р221 + VIР211 + Л Р1212 = 0,

- (к + 2п)Р2211 Р211 + Л Р1221 = 0,

- (Р2 + VI + V2 )Р2212 + кр212 + VIР2211 = 0 ,

- (к + 2V2)р222 + VI р221 + VI р212 = 0,

- (к + VI + V2)Р2221 + VIР2211 + к р221 + Л Р1222 = 0

- (к + 2V2)Р2222 + VIР2221 + А р222 + VIР2212 = 0 ,

- 7\ РМ + к РГ + к Р122 + к Р1221 + ^2 Р1222 + ^2 Р2211 + к Р2212 + ^2 Р2221 + к Р2222 = 0 , Р2М +71 рМ =

Поскольку события X0 (I = 1, 2), X^ (I = 1, 2; ] = 1, 2; к = 1, 2), Х2Р<?Г ( р = 1, 2; ц = 1, 2; г = 1, 2), образуют полную группу несовместных событий, то

Е р0+Е р1к + Е Р2Рцг+Е рМ = 1.

I I, ] ,к Р ,ц г I

Добавив это уравнение к уравнениям системы, и решив систему, найдем предельные вероятности состояний в этом случае.

После того как найдены вероятности псевдосостояний, можно найти и вероятности состояний:

~Ро = Р0 + Ро2,

^ I *,п2 , , 211 . 122 . 212 . 221 . 222

Р1 = Р1 + Р1 + Р1 + Р1 + Р1 + Р1 + Р1 + Р1 ,

»,111 I »,112 , „121 . »,211 . 122 . 212 . 221 . 222

Р2 = Р2 + Р2 + Р2 + Р 2 + Р2 + Р2 + Р2 + Р2 ,

^ Рм = РМ + РМ ■

Зная вероятности состояний, можно рассчитать относительную q и абсолютную А пропускную способность системы.

Событие, состоящее в обслуживании одной цели-заявки, равно сумме событий:

С = С1 + С2, где

С1 - событие, состоящее в обслуживании 1 -й цели-заявки; С2- событие, состоящее в обслуживании 2-й цели-заявки (из очереди). Так как события С1 и С2 несовместны, то Р(С) = Р(С1) + Р(С2) . Вероятность события С1 рассчитывается также как и в случае одноместного БВК: Р(С1) = Ро • Русл ,

где Р0 - вероятность того, что 1-ая цель-заявка будет принята к обслуживанию;

Русл - условная вероятность того, что цель-заявка, принятая к обслуживанию,

фактически будет обслужена.

В случае эрланговского закона распределения:

р, = М1М2 '

усл

(М1 +у1)(у1 +М2) О2 + У2)(У2 +

Событие С2 также представляет собой сложное событие.

Для того чтобы 2-ая цель-заявка была обслужена, необходимо совмещение следующих событий:

- БВК не должен обслужить 1 -ю цель-заявку;

- 2-ая цель-заявка должна быть в очереди на обслуживание и не уйти из системы вплоть до момента обслуживания.

Таким образом, Р(С2 ) = Р1 • , где

Р1 - вероятность того, что 2-я цель-заявка будет принята в систему (место в очереди свободно);

Русл - условная вероятность того, что цель-заявка, находящаяся в очереди, будет

фактически обслужена (1-ая цель-заявка уйдет из системы не обслуженной, а 2-ая цель-заявка не уйдет из системы за время обслуживания).

Найдем эту условную вероятность по интегральной формуле полной вероятности. Сделаем гипотезу, состоящую в том, что время обслуживания 2-ой цели-заявки попало на участок от ' до ' + & ; вероятность этой гипотезы приближенно равна g(')&', где g (')- плотность распределения времени обслуживания. Условная вероятность того, что 1-ая цель-заявка уйдет из системы за время ' , равна:

Р1(') = [Н2(')& = (е""1' -е№ = 1 -е--^-е).

^ V -V 1/ — 1/ V — V

----------V' 1 / -У ^

V - V, -V V -V

0 0 2 1 2 1 2 1

В случае эрланговского закона распределения времени пребывания заявки в системе условная вероятность того, что 2-ая цель-заявка не уйдет из системы за время ' равна:

г г

- . .. .„, _______-V1f - е V2t ^ =-^2_е-V1f___е V2t

2 '

* V - V V - V V - V

0 0 2 1 2 1 2 1

Р2(') = 1 - [ И2 (')& = 1 - [ (е - е & = е

V - V V

Тогда

Русл = [ )Р2(')g('=

= [I 1--^еее--^-е^ (е-е&

V^-Vl У-У л V -V к2 - к

V - V V - V

0V К2К1 К2К1 /V2 К1 К2К1 У

Интегрируя, получаем

( .. .. -.2

Р // = ^1^2

усл

V -V1

V V1 V

(V1 + А1 )(V1 + к) (V2 + А )(У2 + к) (У2 - V1 )(2V1 + А )(2П + ^2 )

- +

О 2 Л

+ 2 V1V2 V1

(V2 - V1 XV + V2 + )(V1 +V2 +^2 ) (V2 - V1 )(2 V + к )(2V2 + ^2),

Итак, Р(С ) = Р0 • Русл, Р(С2 ) = Р1 • РУ1. Следовательно, относительная пропускная способность равна

ц = Р(С) = Р0 • Русл + Р1 Ру! .

Абсолютная пропускная способность определяется следующим образом: А = Лц , где Л =

Л + Л2

Зная эти характеристики и время боевых действий БВК в боевом вылете, легко вычислить математическое ожидание числа пораженных целей в объеме боевого вылета

Я1Л2

рассматриваемой задачи по формуле М = А • ТБд • ^ПТУРС, где А = ~ ~ •q, ТБд -

время боевых действий, ^ПТУРС - вероятность поражения цели при одном выстреле.

Представленные примеры аналитического моделирования действий БВК естественно не исчерпывают все возможные сценарии боевых действий вертолетов в ходе огневой поддержки войск на поле боя. Они служат цели демонстрации возможностей предлагаемой методики создания аналитических (математических) моделей боевых действий БВК, сводящихся к не-марковской модели массового обслуживания Понятно, что при изменении сценария действий БВК, модель может быть легко изменена.

В заключение отметим, что предлагаемая в данной статье методика является достаточно универсальной для аналитического моделирования не только боевых действий вертолетов, но и многих других боевых операций авиации, сводящихся к не-марковским моделям массового обслуживания.

Библиографический список

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. М. «Советское радио», 1972, - 552 с.

2. Медынский М.М. Методы теории массового обслуживания в задачах оценки эффективности оснащения ЛА: Учебное пособие.- М.: 1987, -50 с.

Сведения об авторе

Медынский Михаил Михайлович, доцент Московского авиационного института (национального исследовательского университета), к.т.н. МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, ГСП-3, 125993; тел.: +7-916-617-05-91, e-mail: medmm 1950@gmail. com