CC BY
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И То м V 1974
№ 6
УДК 629.78.015.076 8.525.7
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ АБЛИРУЮЩИХ ТЕЛ ПРИ ИХ ДВИЖЕНИИ В АТМОСФЕРЕ СО СВЕРХКРУГОВЫМИ СКОРОСТЯМИ
В. Г. Коняев
На основе энергетической модели абляции сублимирующего теплозащитного покрытия выводится уравнение изменения формы аблирующих тел, обобщающее известные ранее аналогичные результаты. Рассматривается решение этого уравнения при предельном законе распределения величины полного теплового потока вдоль по поверхности тела.
1. При выводе уравнения изменения формы аблирующего тела используем обобщенную модель аэродинамического обгара теплозащитного покрытия (ТЗП), изложенную в [1]. Будем считать, что теплозащитное покрытие тела состоит из сублимирующего материала, теплофизические свойства которого характеризуются двумя основными параметрами — эффективной энтальпией ЛЭф и плотностью теплозащитного покрытия ртзп- В общем случае Лэф и рТзп зависят как от параметров набегающего потока и времени, так и от формы тела и координат точки на его поверхности. Будем также полагать, что вследствие разрушения и уноса ТЗП перемещение произвольного элемента поверхности тела за достаточно малый промежуток времени происходит в направлении внутренней нормали п к этому элементу поверхности. Такое предположение допустимо, если сублимирующий теплозащитный материал имеет низкий коэффициент теплопроводности и перемещениями произвольного элемента поверхности из-за теплового расширения материала можно пренебречь. Далее, считая, что в момент разрушения и уноса ТЗП теплообмен с внешней средой в каждой точке поверхности квазистационарен, для произвольной точки поверхности можно записать три скалярных уравнения [1]:
йх Лу йг
= Апх', = Апу’> = Апг- (!)
Здесь х, у, г — координаты точки в декартовой системе координат Охуг, связанной с телом, начало которой находится в критической точке, а ось Ох направлена по вектору скорости набегающего потока; пх, пу, пг — проекции нормали п на соответствующие оси;
А =-------Ц±------ (2)
Ртзп «эф
где <72 — величина удельного (на единицу площади и в единицу времени) теплового потока, идущего на разрушение ТЗП в данной точке.
Совокупность поверхностей, в которые последовательно превращается исходная форма тела в процессе аэродинамического обгара, есть семейство поверхностей, зависящее от одного параметра — времени t. Будем считать, что уравнение этого семейства разрешимо относительно переменной г и для него допустима запись г = г(х, у, *). Фиксируем некоторую точку поверхности тела г-1 = г (ле1р ух, <) и пусть она за малое время М отображается в точку г2 поверхности г — г (х, у, I + М), т. е. г2 = г (х2, У2, £ + ДО- Тогда в соответствии с пер-
выми двумя уравнениями (1) с точностью до величин второго порядка малости, можно записать:
дг дг дг
*2 = г (хи уи 0 + Апх Ы + Апу М + М.
Но в силу последнего уравнения из (1)
г2= г (хи уи () + Апг М.
Приравнивая правые части этих уравнений, после деления на Д< и перехода к пределу при М -> 0, получим
» / &г дг \ дгп
Л[дх Пх+ ду пУ _ Пг) + М = °- (3)
Поскольку в выбранной системе координат проекции внутренней нормали есть дг/дх дг/ду
[1+(дг1дх)*+(дг1ду)2}112 ’ у~ [\+(дг/дх)ъ+(д2/ду)2]'12 ’
— I
(4)
г [1 +(дг/дх)2 + (дг/ду)2]1!2' уравнение (3) преобразуется к виду:
А [1+(<?г/д.*)2 + (дг/ду)3]112 + дг/д( = 0. (5^
Полученное уравнение описывает изменение формы аблирующих тел при условии выполнения всех принятых выше допущений энергетической модели абляции. Тип его может быть различным в зависимости от того, каким образом величина А из (2) зависит от х, у, г, Ь, дг/дх, дг/ду, дг/дt, д2г/дх2, д2г/ду2, д2г/дхду и т. д. В частности, если А есть функция только переменных х, у, г, дг/дх, дг/ду, дг/дЬ, то (5) будет уравнением первого порядка и его решение может быть выписано в радикалах с помощью метода характеристик Коши [2].
Следует подчеркнуть, что (5) является обобщением полученных ранее аналогичных результатов. Так, например, для осесимметричного случая при частном виде зависимости А (5) может быть сведено к уравнению абляции из работы [3].
2. В качестве примера рассмотрим предельное распределение [4]:
Яг = Яг, п3х, (6)
где — величина теплового потока в критической точке. Распределение (6) было получено для случая очень больших скоростей набегающего потока, когда основным тепловым потоком, идущим на разрушение ТЗП, является радиационный тепловой поток. Считая теперь, что Ртзп> ^эф и <7^ зависят только от времени Ь и обозначив величину А из (1) в критической точке через А ((), с учетом (1) и (4) преобразуем уравнение (5) к виду
. А (0 (дг/дх)ъ [1+(дг/дх)2 + (дг/ду)2] дгШ = 0. (7)
Пусть в начальный момент ^ = 0, л: = $,, у=в2, г = г0(з1, *2). Поскольку (7> не зависит явно от х, у, г, его решением будет [2]:
* <»„ »„ о - А<3+А+у»> Г ж
(1+Р?0 + -Р20)2 </
ч •6//10/'20 (* — у (®1. *2> 0 — ~ т\ : 2 | 2 \2 1 А (0 "Ь 11 -Т Р10 + Р20) 8
2Рю Г-
г яа, о = ——2 ,—2^2 А № + г° ^1*
(* -ГР 10 + Рто) й
где через рю, р2о обозначены дг01дя 1 и соответственно. В осесимметрич-
ном случае, когда при / = О, х = в, у = у0 (я) и йу^йэ = рд, из (8) имеем:
•* («. О =
У («, О ■■
Ро (3 + Ро)
(1 +Ро)2
^ А (£) сИ + в;
2Р1
(1+Ро)2
(9)
Можно показать, что характеристиками уравнения (7) являются прямые линии. В частности, если в осесимметричном случае ввести углы <р и ф — углы наклона к оси Ох исходной образующей и произвольной характеристики, то между f л ф имеет место связь:
, / 2вт у сое <р \
Ф = «гс‘8( 1+2С08Ч )■ (10>
изображенная на фиг. 1. Характерно, что (10) является немонотонной функцией у, достигающей своего максимума ^шах = 30°, когда ^ = 60° и обращающейся в нуль при 9 = 0 (точка образущей, где местная нормаль ортогональна вектору скорости набегающего потока) и при ср = 90° (критическая точка). Это
значит, что участок исходной образующей затупленного тела вращения, где 60° ер ^ 90°, в процессе абляции будет отображаться на некоторое однозначное семейство кривых у — у (х, /), заключенных между осью Ох и характеристикой, исходящей из точки образующей, где <р = 60° (точка 5 = 5* на фиг. 2). В то же время для произвольной точки на участке образующей, где ? <60° (см. фиг. 2), угол наклона ^ характеристики, исходящей из этой точки, будет меньше, чем 4> (в*), причем он будет уменьшаться с уменьшением значения <р. Поэтому характеристики этого второго участка образующей у = Уо(з) имеют тенденцию
0 х-
Фиг. 2
к сгущению и могут при определенных условиях пересечься. Следовательно, при наличии распределения (6) для затупленных тел вращения, имеющих участок образующей с углом наклона к оси Ох меньше 60°, в процессе абляции может наступить момент, начиная с которого на теле образуется острая кромка, симметричная относительно оси вращения тела.
В частности, если исходное тело — полусфера с начальным радиусом Я0, ее уравнение можно записать как
*Ь(5) = Яо(1-5). Л (5) = *0/1=6*. 6= 1—«//го-
В этом случае (9) преобразуется к виду
*(6, t) = R0 [l-g+ e6t(3-2p)], y{4,t)=Rо/Т=6Ч1+2с63), (И)
где величина ® (*) = 0,5 11 определяет собой относительное изменение ра-
диуса затупления /? в критической точке тела. Можно показать, что в данном случае излом образующей будет иметь место, как только с станет больше значения 0,5, а положение точки излома определяется решением системы нелинейных уравнений (11) для двух значений параметра 6:
х (Si, t)=x (62, t), у (Si, t) = у (62, t) •с учетом того, что и 62 удовлетворяют неравенствам
0<6i< cos
л 1
т + т
arccos
1
cos
2a
(12)
(13)
■Семейство (11) в плоскости (х/я0, у!И0) представлено на фиг. 3. При а>0,5 значения 61 и 62 определялись путем численного решения системы (12) с учетом (13), после чего участки образующей с 0<£<б1 и 62<6<1 строились независимо друг от друга.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коняев В. Г. Дифференциальные уравнения изменения формы космического летательного аппарата вследствие его обгара при движении в атмосфере на сверхкруговых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 1476, 1973.
2. Эл ьс гольц Л. Э. Дифференциальные уравнения. М., Госиздат Технико-теоретической литературы, 1957.
3. МурзиновИ. Н. О форме тел, разрушающихся под действием интенсивного нагревания при движении в атмосфере. „Известия АН СССР”, Механика № 4, 1965.
4. Коняев В. Г. Энергетическая оценка потерь массы теплозащиты летательного аппарата при торможении в атмосфере со сверх-круговой скоростью. .Ученые записки ЦАГИ-, т. IV, № 6, 1973.
Рукопись поступала 25j VI 1973 г.
