Аналитический вид решений и функции Грина задач параболического типа с нестационарным коэффициентом диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 204-218 Физика

УДК 530.145:517.95

Аналитический вид решений и функции Грина задач параболического типа с нестационарным коэффициентом диффузии

С.Е. Савотченко

Аннотация. Рассмотрены начально-краевые задачи основных типов для неоднородного параболического уравнения на полуоси, коэффициент диффузии в котором зависит от времени. Получены точные решения поставленных задач в явном аналитическом виде для широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени. Определены функции Грина соответствующих задач. Доказаны теоремы об ограниченности соответствующих интегралов Пуассона, для которых получены оценки. Доказаны теоремы о том, что соответствующие интегралы Пуассона определяют решения поставленных начально-краевых задач.

Ключевые слова: краевая задача, функция Грина, уравнение диффузии, коэффициент диффузии, временная зависимость.

Введение

Нестационарные задачи параболического типа для уравнений диффузии (теплопроводности) имеют большое прикладное значение [1-3]. Во многих технических приложениях возникает необходимость изучения процесса эволюции концентрации примесей, точечных дефектов, или температурного поля, когда соответствующий коэффициент переноса не является постоянным. Случаи, когда коэффициенты переноса зависят от пространственных координат, или искомого поля, хорошо описывают процессы в неоднородных и нелинейных средах, и они достаточно хорошо изучены [1].

Учет зависимости коэффициента переноса от времени необходим при моделировании, например, радиационно-стимулированной диффузии точечных дефектов, когда их неравновесный коэффициент диффузии зависит от дозы, накопленной в течение времени облучения материала [4]. Закономерности эволюции концентрации таких дефектов необходимы для вычисления предела

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта БелГУ (ВКГ 201-08).

текучести с целью изучения влияния облучения на прочностные характеристики и эффектов радиационного упрочнения материалов [5].

Кроме того, учет зависимости коэффициента диффузии от времени применяется для управления процессом установления стационарного распределения примесей в кристалле [6].

Непрерывное изменение коэффициента диффузии с течением времени можно получить непрерывно меняя температуру кристаллического образца, поскольку коэффициент диффузии зависит от температуры по экспоненциальному закону 0(1) = Ооех.р(—Еа/квТ(1)), где Т(1) — температура испытания; Е,ц — энергия активации диффузии и миграции; £>о = аи2, а иг/ — длина перескоков и собственная частота колебаний атомов; к в — константа Больцмана. Таким образом, управляя зависимостью температуры от времени Т(1), можно анализировать диффузионно-контролируемые процессы, имеющие большое значение для технологии создания жаропрочных сплавов [7].

Особое значение при рассмотрении подобных задач имеют, помимо вопросов существования, единственности и устойчивости решений, необходимость получения решений в явном аналитическом виде [1, 2]. При этом физически адекватное моделирование наиболее часто встречающихся ситуаций требует нахождения решения в полуограниченной области [3].

В данной работе будут получены аналитические выражения решений начально-краевых задач на полуоси для неоднородного параболического уравнения с зависящим от времени коэффициентом диффузии. Будут рассмотрены неоднородные краевые условия основных типов. Для сформулированных задач первого, второго и третьего типов будут определены функции Грина, с помощью которых построены решения соответствующих задач.

1. Первая начально-краевая задача

Пусть эволюция системы описывается одномерным скалярным полем и(ж, £), определенным на полуоси ж 6 3?+ при всех £ 6 3?+. Будем рассматривать неоднородное уравнение параболического типа на полуоси:

щ = 0(1)ихх-Аи +¡(ж,*), х > 0, ¿>0, (1)

в котором А > 0 — заданная постоянная; f(x,t) — заданная непрерывная функция при всех х > 0, £ > 0; 0(1) — нестационарный коэффициент диффузии.

Для функции 0(1) предполагаются выполненными следующие требования: 1) 0(1) 6 С(3?+), т. е. непрерывна при всех £ 6 3?+; 2) 0(1) > 0 при всех £ € 3?+; 3) 0(1) ограничена на любом конечном интервале £ 6 [0, Т], Т > 0.

Рассмотрим постановку первой начально-краевой задачи для уравнения (1). Пусть требуется найти на полуоси ж > 0 при £ > 0 непрерывное решение и(ж, уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию при t = 0:

и(ж,0) = щ(х), ж > 0,

(2)

и краевому условию первого рода в точке ж = 0:

u(0,t) = u8(t), t > 0, (3)

где заданные функции щ(х) 6 С (9?+) — начальная функция и us(t) 6 С

Для существования ограниченного на бесконечности решения задачи (1)-(3) искомая функция должна быть ограниченной. Это означает, что начальная функция также должна быть ограниченной всюду при ж > 0 и t ^ 0: |«о(ж)| < М, где М > 0 — некоторая постоянная. Уточнение этих условий будет проведено далее. Если требуется найти гладкое решение задачи (1)-(3), то начальная и граничная функции дополнительно должны удовлетворять условию согласованности: «о(0) = us{0)-

Так как уравнение (1) является линейным, то решение задачи (1)-(3) по принципу суперпозиции представимо в виде

и( Ж, t) = Ul(x, t) + U2 (ж, t) + «з(ж, t). (4)

Здесь функция ui(x, t) является решением соответствующего однородного уравнения

щ = D(t)uxx — Аи, ж > 0, t > 0, (5)

удовлетворяющая неоднородному начальному условию (2) и однородному краевому условию 1-го рода:

и(0, t) = 0, t > 0. (6)

Функция «2 (ж, t) является решением однородного уравнения (5), удовлетворяющая однородному начальному условию

гг(ж,0) = 0, ж > 0, (7)

и неоднородному краевому условию 1-го рода (3).

Функция «з(ж, t) является решением неоднородного уравнения (1) и удовлетворяет однородному начальному условию (7) и однородному краевому условию (6). Решения указанных задач находятся в явном аналитическом виде для достаточно широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени.

Решение однородного уравнения (5) при условиях (2) и (6) определяется выражением

g -At РОО Х2+У2

Mx't] = 7W) L тя sh2mdy' (8)

где введено обозначение I(t) = f j D(s)ds.

Если начальное значение искомой функции является постоянным: щ(х) «о, где «о — число, то из (8) можно получить решение:

(9)

где егГ(^) = [ц е 3/2 с1у — функция ошибок.

Решение однородного уравнения (5) при условиях (3) и (7) определяется выражением:

rt -A(t-r)-- ~2

х Г е 4Д i(t,-r)

Mx’t)= v^/o D(tK(t) Al{t,T)W dT' (10)

где введено обозначение AI(t, т) = f* D(s)ds = I(t) — /(т).

Решение неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (7) определяется выражением

, . 1 /“* e-A(í_T) f°° - *2+у2 ху , ,

= 7mT)i fiv’T)e Wr)sh¿my)dydT- (11)

Для существования такого решения функция f(x,t) должна быть такой, чтобы несобственный интеграл в (11) сходился.

Если неоднородный член уравнения (1) не зависит от пространственной координаты, т. е. / = f(t), то внутренний интеграл в (11) вычисляется и получается выражение

"30M)=Í Пт)-кшегІ^хш,г))іт- (12)

Подставив (8), (10) и (11) в (4), получим общий вид решения первой начально-краевой задачи (1)-(3).

Решения начально-краевых задач для однородного уравнения (5) при условиях (2) и (6) и для неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (7) можно получить методом функции Грина.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция Gi(x,y,t, I(t)) называется функцией Грина первой начально-краевой задачи (1)—(3), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) функция Gi(x,y,t,I(t)) является непрерывной по переменным ж и у всюду при ж > 0, у > 0, t > 0, может быть за исключением точки ж = у: I = 0;

2) функция Gi(ж, у, t, I(t)) удовлетворяет по переменным ж и t однородному уравнению (5) всюду за исключением точки ж = у. I = 0. т. е.

G\t = D{t)G\xx — AG\]

3) функция Gi(x, у, t, I(t)) удовлетворяет однородному краевому условию

1-го рода (6) по переменной ж, т.е.

Gi(0,2/,MW) = 0.

Очевидно, что функция Грина, удовлетворяющая требованиям данного

определения, может быть найдена и записана в виде

2 , 2 At х +У

р 4/(i) rpq,

Gi(x,y,t,I(t))=-------.——— sh——. (13)

Видно также, что данная функция Грина удовлетворяет всюду при ж > О, у > 0, t > 0 свойству симметрии по первой паре аргументов:

Gi(x, у, t, I(t)) = Gi(y, ж, t,

С помощью функции Грина (13) решения (8) и (11) могут быть записаны в виде традиционных формул (интегралов) Пуассона соответственно:

РОС

ui(x,t)= u0(y)G1(x,y,t,I(t))dy, (14)

J о

ft poo

u3(x,t)= / f(y,r)Gi(x,y,t — t, AI (t, r))dydr. (15)

Jo Jo

Рассмотрим некоторые свойства формулы Пуассона (14), которые сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 1. Если начальная функция ограниченна всюду на полуоси ж 6 3?+ |«о(ж)| < М, где М > 0 — некоторая постоянная, то функция (14) также является ограниченной Уж > 0 и t > 0г причем справедлива оценка:

Шх,i)| ^ Me~Aterf( —^=^1 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Преобразуем функцию Грина (13) к виду:

e~At ( (х-у)2 (х+у)2 'S

с>{х'^т) = ^ЩГ)Г ,т -е~‘т}'

Используя это выражение, оценим модуль интеграла (14):

рос

\ui(x, i)| ^ М / |Gi(a;, у, t, /(i))| dy ^

Jo

e-At ( рос (x_y)2 ^ рос (x+y)2

< M-

f f°° (x-y)2 (x+y)2

<^J e «(*) dy — J e «(*) dy j .

2^irl(t) lio юм интеграле :

получим требуемую оценку. Полученная в оценке модуля интеграла (14)

Сделав в первом интеграле замену £ = У , а во втором — £ = ;

2y/(t) 2 y/(t)

функция е Ateri{x/2yjI(t)) является ограниченной при всех х > 0 и t > 0, так как по условию постановки задачи А> 0 и I(t) = fg D(s)ds ^ 0 Vi 6 3?+ в силу наложенных на функцию D(t) требований. Теорема доказана.

Теорема 2. Если начальная функция щ(х) 6 С(3?+) и ограничена, то формула Пуассона (14) представляет собой при х > 0 и t > 0 непрерывное решение однородного уравнения (5), при t = 0 удовлетворяет начальному условию (2) и при х = 0 удовлетворяет однородному краевому условию 1-го рода (6).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что формула Пуассона (14) удовлетворяет однородному уравнению (5) при ж > 0 и t > 0. Для этого достаточно показать, что производные от интеграла (14) можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Для возможности дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла.

Рассмотрим, например, производную

рос

/ uo{y)Glx{x,y,t,I(t))dy,

J о

где

e~At ( (х-у)2 (х+у)2 'S

G1,. (ж, У, t, I{t)) = ¿ц^гд^з/2 |1Ж ~ У\е 4/(t) -(Х + У)е 4/{t)|-

При нахождении других производных будет видно, что после дифференцирования под знаком интеграла возникают множители |ж — у\ и (ж + у) в положительной степени и множитель I(t) в некоторой степени, который выносится из-под знака интеграла. Таким образом, дифференцируя (14) несколько раз по ж и t, получим сумму интегралов вида

g -At roc (х-у)2 e-At roc (х-у)2

щ(у)\х-у\те 4/(t) dy, J^ щ(у)(х + у)те 4/(t) dy.

Сделав в первом интеграле замену £ = , а во втором — £ = ,

2 y/(i) 2y/(t)

нетрудно убедится, что подынтегральные функции в них мажорируются функцией вида М |£|та е-^ , которая интегрируема на всей числовой оси. Следовательно, условие равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла, выполнено. Поэтому интеграл Пуассона (14) является непрерывной функцией и имеет производные любого порядка по ж и t при ж > 0 и t > 0.

Так как по своему определению находящаяся под знаком интеграла функция Грина (13) удовлетворяет однородному уравнению (5) при ж > 0 и t > 0, то и интеграл Пуассона (14) удовлетворяет этому уравнению.

Покажем сначала, что интеграл Пуассона (14) удовлетворяет начальному условию (2), то есть щ(х,і) —>• «о(жо) ПРИ ^ ~^ и х —>• Ужо > 0. Для

этого представим (14) в виде:

Ul(x,t) =

0—At ( roo poo 's

\ I uo{£2\/l + ж)е“? d£ — І ио(£2л/1 — ж)е“? > =

U-*/2V7 Jx/2\fT J

t f roo roo

- \ mi%o) e~^d^ + [гг0(£2\/Т + ж) - «о(жо)]е_?2^

I J—x/2л/І J—x/2л/7

roo roo ^

«о(жо) e_?2d£ - [щ(£2л/1 - ж) - и0(ж0)]е-^2^ I =

Jx¡2-/Í Jx¡2-/Í J

C/2V7

Ji + J2 + J35

где

0—At

Jl

«о(жо)J

;/2уТ

-х/2лД

e ?2d^,

At roo

J2

h

/ОО

[«o(£2\/T + ж) - ио(жо)]е_?2^,

-х/2л/ї l~At roo

—¡= N(C2V7- ж) - «о(жо)]е ? d£.

V7r Jx/2VT

г

/С~ 2

е“? = -у/тг

-f

Очевидно, что, так как /(£)—>• 0 при £ —>• +0, то г*ш/2\/Т

I—х/2л/Т

при Ь —>• +0, и тогда ^ —>• «о(жо) при Ь —>• +0.

Покажем малость интеграла ,/2 при больших Для этого выберем число Л/’ таким большим, чтобы при t —> +0 выполнялась оценка е_^ ^

е/2, где е — малое положительное число. Тогда, учитывая ограниченность начальной функции и неравенство |«о(£2\/7 + ж) — «о(жо)| ^ 2М, оценим ,-Л* ( гК , _ ,

е~1;‘ё£ +

<

е~м Г /*" ^

J2 íí0(C2V7 + ж) - ио(жо)

v7r IJ-X/2VT

/ОО 'S

щ(£2л/1 + ж) — гго(жо) d£| <

э—At f rN roo 's

І І ио(£2л/1 + ж) — «о(жо) є“« d£ + 2М І є“« d£ > ^

IJ-X/2VT JN )

^ kJ—х/2л/Т -At rN

g-At rlv

< —j=- íí0(C2V7 + ж) - «о(жо)

V7r J-X/2V1

Отсюда, учитывая, что в силу непрерывности «о(ж) ПРИ всех £, достаточно близких к нулю, и £ ^ N справедливо |«о(£2\/7 + ж ) - «о(жо)| < е/2, то в пределе при £ —>• +0 и при больших N из последней оценки получаем | «/21 ^ § + | = £■ Это означает, что ,/2 —> 0 при I —>• +0. Аналогично показывается, что «/3 —^ 0 при £ —>• +0. Таким образом, и\{х, I) —>• «о(жо) при £ —>• +0 иж->жо Ужо > 0.

Выполнение краевого условия (6) очевидно, так как находящаяся под знаком интеграла функция Грина (13) удовлетворяет при ж = 0 однородному краевому условию 1-го рода (6). Теорема доказана.

2. Вторая начально-краевая задача

Рассмотрим теперь постановку второй начально-краевой задачи для уравнения (1). Пусть требуется найти на полуоси ж > 0 при t > 0 непрерывное решение u(x,t) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2) и краевому условию второго рода в точке ж = 0:

ux(0,t) =-q(t), t > 0, (16)

где q(t) 6 С(9?+) — граничная функция, характеризующая заданный поток на границе. Для остальных величин выполняются все требования, перечисленные в предыдущем пункте. Если требуется найти гладкое решение второй задачи (1), (2), (16) то начальная и граничная функции дополнительно должны удовлетворять условию согласованности: «¿(0) = —9(0)-

Решение второй начально-краевой задачи (1), (2), (16) по принципу суперпозиции также представимо в виде (4). В нем функция ui(x,t) является решением соответствующего однородного уравнения (5), удовлетворяющая неоднородному начальному условию (2) и однородному краевому условию

2-го рода:

ux{0,t) = 0, t> 0. (17)

Функция U2 (ж, t) является решением однородного уравнения (5), удовлетворяющая однородному начальному условию (7) и неоднородному краевому условию 2-го рода (16). Функция u$(x,t) является решением неоднородного уравнения (1) и удовлетворяет однородному начальному условию (7) и однородному краевому условию 2-го рода (17). Решения указанных задач находятся в явном аналитическом виде для достаточно широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени.

Решение однородного уравнения (5) при условиях (2) и (17) определяется выражением

g At roo _х2+у2 ХУ

Мх>*) = г-гт-г «о(у)е 4/{t> eh——dy. (18)

Если начальное значение искомой функции является постоянным: «о(ж) = «о, где «о — число, то из (18) следует:

иг(х, £) = ще~м. (19)

Это означает, что в случае постоянного начального значения искомого поля зависимость коэффициента диффузии от времени не влияет на эволюцию системы.

Решение однородного уравнения (5) при условиях (16) и (7) определяется выражением

1 Г* е_"4(*_Т)_4Д/(4,т)

и2{ х,г)=-= £>(т)д(т)---- —¿Т. (20)

утг Уо л/А1(г,т)

Решение неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (17) определяется выражением:

1 — ГОО се2 + ц2 пру

= <21>

Для существования такого решения функция /(ж, ¿) должна быть такой, чтобы несобственный интеграл в (21) сходился.

Если неоднородный член уравнения (1) не зависит от пространственной координаты, т. е. / = /(£), то внутренний интеграл в (21) вычисляется и получается выражение:

«3 (ж,*)= Г/(т)е-А(‘-т^т. (22)

Jo

Если /(£) = /о, где /о — число, то из (22) следует, что

и$(х,г)=^(1-е~м). (23)

Это означает, что в случае постоянного значения неоднородного члена в уравнении (1) зависимость коэффициента диффузии от времени не влияет на эволюцию системы.

Подставив (18), (20) и (21) в (4), получим общий вид решения второй начально-краевой задачи (1), (2), (16).

Решения начально-краевых задач второго типа для однородного уравнения (5) при условиях (2) и (17) и для неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (17) можно получить методом функции Грина.

Определение 2. Функция С?2(ж, у, £, /(£)) называется функцией Грина второй начально-краевой задачи (1), (2), (16), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) функция С?2(ж, у, /(¿)) является непрерывной по переменным ж и у всюду при ж > 0, у > 0, £ > 0, может быть за исключением точки ж = у: I = 0;

2) функция С?2(ж, у, /(¿)) удовлетворяет по переменным ж и £ однородному уравнению (5) всюду за исключением точки ж = у, £ = 0, т. е.

С?2* = -СК£)С?2шш — ^4^2;

3) функция С?2(ж, у, /(£)) удовлетворяет однородному краевому условию

2-го рода (17) по переменной ж, т. е.

двг

дх

= 0.

ш=0

Функция Грина С2, удовлетворяющая требованиям определения 2, может быть найдена и записана в виде

т.2 л.»,2

—At—

G2{ж, у, t, Щ) = е ^ ch-|^. (24)

л/TTlit)

Отсюда следует, что функция Грина G2 удовлетворяет всюду при ж > О, у > 0, t > 0 свойству симметрии по первой паре аргументов:

G2{ж, у, t, I{t)) = G2{y, ж, t, /(i)).

С помощью функции Грина (24) решения (18), (20) и (21) могут быть записаны в виде интегралов Пуассона соответственно:

РОС

ui(x,t)= u0(y)G2(x,y,t,I(t))dy, (25)

J о

U2{x,t)= [ D(T)q(T)G2(x, 0, t — т, AI(t, r))dr, (26)

Jo

ft poo

«з OM) = / / f(y,T)G2(x,y,t-T,AI(t,T))dydT. (27)

Jo JO

Рассмотрим некоторые свойства интеграла Пуассона (25), которые сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 3. Если начальная функция ограниченна всюду на полуоси ж 6 3?+ |«о(ж)| < М, где М > 0 — некоторая постоянная, то интеграл Пуассона (25) также является ограниченным Уж > 0 и t > О, причем справедлива оценка:

\иг{х, i)| ^ Me~At.

Доказательство. Преобразуем функцию Грина (24) к виду

е~м Г (*-у)2 (*+у)2 ~)

С2{х'у'*'т = ^дщ\е ‘т +е }'

Используя это выражение, оценим модуль интеграла (25):

РОС

|«1(ж, t)| < М / |С?2(ж, у, t, I{t))\dy <

J о

e-At ( roo {х_у)2 roo (х+у)2 -s

----. < е «{*) dy+ е «« dy}.

2^ЩГ) [Jo Jo J

Сделав в первом интеграле замену £ = , а во втором — £ = ,

2y/(í) 2 y/(í)

получим требуемую оценку. Теорема доказана.

Теорема 4. Если начальная функция щ(х) Є С(9Ї+) « ограничена, то формула Пуассона (25) представляет собой при ж > 0 и і > 0 непрерывное решение однородного уравнения (5), при Ь = 0 удовлетворяет начальному условию (2) и при х = 0 удовлетворяет однородному краевому условию 2-го рода (17).

Доказательство этой теоремы полностью аналогично приведенному доказательству теоремы 2.

3. Третья начально-краевая задача

Рассмотрим теперь постановку третьей начально-краевой задачи для уравнения (1). Пусть требуется найти на полуоси ж > 0 при £ > 0 непрерывное решение и(ж,£) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2) и краевому условию третьего рода в точке ж = 0:

их(0, г) - 7«(0,г) = -д(£), ¿>0, (28)

где 7 — постоянная величина. Для остальных величин выполняются все требования, перечисленные в предыдущем пункте. Если требуется найти гладкое решение третьей задачи (1), (2), (16), то начальная и граничная функции дополнительно должны удовлетворять условию согласованности: «о(0) - 7«о(0) = -д(0).

Решение третьей начально-краевой задачи (1), (2), (28) по принципу суперпозиции также представимо в виде (4). В нем функция их(х,Ь) является решением соответствующего однородного уравнения (5), удовлетворяющая неоднородному начальному условию (2) и однородному краевому условию

3-го рода:

«х(0, £) — 7«(0, £) = 0, * > 0. (29)

Функция «2 (ж, ¿) является решением однородного уравнения (5), удовлетворяющая однородному начальному условию (7) и неоднородному краевому условию 3-го рода (28). Функция и$(х,1) является решением неоднородного уравнения (1) и удовлетворяет однородному начальному условию (7) и однородному краевому условию 3-го рода (29). Решения указанных задач находятся в явном аналитическом виде для достаточно широкого класса зависимостей коэффициента диффузии от времени.

Решение однородного уравнения (5) при условиях (2) и (29) определяется выражением:

е Г°° . . Г жу

Mx’t) = 7W)l “о(9)Г 27(7) -

- 7v^T(í)e^'W+^-+»)erfc (I+2gJ-jlf(t)) I (30)

где erfc(z) = 1 — erf(z).

Если начальное значение искомой функции является постоянным: «о(ж) = «о, где щ — число, то из (30) следует:

4)=Ь (^)+e7,,(‘,+7*erfc (w1)}' (31)

Решение однородного уравнения (5) при условиях (7) и (28) определяется выражением:

{а:2

р 4AI(t,r)

/АТ/, •. + у/AI(t, т)

+ 7V^ÍMe7aAÍ(ílT)+7Ierfc I dr. (32)

Решение неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (29) определяется выражением:

rt р—А(Ь—т) poo f cc2+v2 'г?/

7шш1

1 ft p—A(t—T) foо f

из(х, t) = —= I f(y,r) \ e~ 4А/(*-^ ch o д *y ^ - (33)

V71" Л) уАI(t, r) Jo I

- 7л/тгA/(i, r^^’^+^+^erfc I dydr.

Для существования такого решения функция f(x,t) должна быть такой, чтобы несобственный интеграл в (32) сходился.

Подставив (30), (32) и (33) в (4), получим общий вид решения общей неоднородной третьей начально-краевой задачи (1), (2), (28).

Решения начально-краевых задач третьего типа для однородного уравнения (5) при условиях (2) и (29) и для неоднородного уравнения (1) при однородных условиях (6) и (29) можно получить методом функции Грина.

Определение 3. Функция G$(x,y,t, I(t)) называется функцией Грина третьей начально-краевой задачи (1), (2), (28), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) функция Gz(x,y,t, I(t)) является непрерывной по переменным ж и у всюду при ж > 0, у > 0, t > 0, может быть за исключением точки ж = у: I = 0;

= 0.

ш=0

2) функция Gз(ж, у, t, I(t)) удовлетворяет по переменным ж и t однородному уравнению (5) всюду за исключением точки х = у. I = 0. т. е.

Gzt = D{t)Gzxx - AGz]

3) функция Gз(ж, у, i, /(i)) удовлетворяет однородному краевому условию

3-го рода (17) по переменной ж, т. е.

(£-*•

Функция Грина Gз, удовлетворяющая требованиям определения 3, может быть найдена и записана в виде

0 At С х2-\-у2 д* у

-7\/ii(t)eT2',‘)+T<*+‘')erfc ) | . (34)

Отсюда следует, что функция Грина С'з удовлетворяет всюду при ж > О, у > 0, t > 0 свойству симметрии по первой паре аргументов:

Gz(x, у, t, /(i)) = G$(y, ж, t, /(i)).

С помощью функции Грина (33) решения (30), (32) и (33) могут быть записаны в виде интегралов Пуассона соответственно:

рос

ui{x,t)= u0{y)G3{x,y,t,I{t))dy, (35)

J о

U2{x,t) = [ £>(т)д(т)С?з(ж, 0, t - т, AI(t, r))dr, (36)

Jo

pt poo

u3(x,t)= / f(y,T)G3(x,y,t - r, AI(t,r))dydT. (37)

Jo Jo

Рассмотрим некоторые свойства интеграла Пуассона (35), которые сформулируем в виде следующих теорем, доказательство которых аналогично доказательствам теорем 1 и 2.

Теорема 5. Если начальная функция ограниченна всюду на полуоси ж 6 3?+ |«о(ж)| < М, где М > 0 — некоторая постоянная, то интеграл Пуассона (35) также является ограниченным Уж > 0 и t > 0г причем справедлива оценка:

м*. 01 « Me- {ы (^) + e^'M+^erfc (£±М*>) }.

Доказательство. Сделав преобразования, аналогичные проведенным при доказательстве теоремы 1, получим требуемую оценку интеграла Пуассона (35). Отметим лишь, что полученная в данной оценке модуля интеграла

Пуассона (35) функция является ограниченной Уж > 0 и £ > 0, так как по правилу Лопиталя:

Теорема доказана.

Теорема 6. Если начальная функция щ(х) Є С(9Ї+) и ограничена, то формула Пуассона (35) представляет собой при ж > 0 и і > 0 непрерывное решение однородного уравнения (5), при Ь = О удовлетворяет начальному условию (2) и при ж = 0 удовлетворяет однородному краевому условию 3-го рода (29).

Доказательство этой теоремы полностью аналогично приведенному доказательству теоремы 2.

В работе были рассмотрены постановки задач первого, второго и третьего типов на полуоси для параболического уравнения с нестационарным коэффициентом диффузии. Найдены решения сформулированных задач в явном аналитическом виде. Введены определения функций Грина начальнокраевых задач на полуоси и указаны их явные выражения. С помощью данных функций записаны решения рассмотренных задач в виде формул Пуассона. Показано, что для второй начально-краевой задачи при постоянном начальном значении искомой функции и постоянном неоднородном члене уравнения зависимость коэффициента диффузии от времени не оказывает влияния на эволюцию процесса. Найденные решения задач и функции Грина с зависящим от времени коэффициентом диффузии переходят в хорошо известные решения и функции Грина соответствующих задач с постоянным коэффициентом диффузии [8]. Получены оценки для интегралов Пуассона, определяющих решения начально-краевых задач для однородного параболического уравнения с неоднородным начальным условием и однородными краевыми условиями первого, второго и третьего типов. Доказаны теоремы о существовании решений этих начально-краевых задач.

1. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк, 2001. 550 с.

2. Кудинов В.А., Карташев Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. М.: Высш. шк., 2005. 430 с.

lim е72/^+7Жег

Заключение

Список литературы

3. Kaur I., Mishin Y., Gust W. Fundamentals of Grain and Interphase Boundary Diffusion. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 1995. 512 p.

4. Физика радиационных явлений и радиационное материаловедение / А.М. Паршин [и др.] Белгород: БелГУ, 1998. 378 с.

5. Панкратов E.JI. Управление динамикой диффузионных процессов временным изменением коэффициента диффузии // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып.1. С.115-119.

6. Колобов Ю.Р. Диффузионно-контролируемые процессы на границах зерен и пластичность металлических поликристаллов. Новосибирск: Наука, 1998. 184 с.

7. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: МГУ, 1998. 350 с.

Поступило 06.10.2009

Савотченко Сергей Евгеньевич (confer_ipk@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра теоретической и математической физики, Белгородский государственный университет.

The analytical view of solutions and Green’s functions of parabolic type problems with non-stationary diffusion coefficient

S.E. Savotehenko

Abstract. The initial-boundary problems of main types for inhomogeneous parabolic equation with the time-dependent diffusion coefficient are considered. The exact solutions of the problems are derived for the wide class of dependences of diffusion coefficient from time. The Green’s functions of considered problems are determined. The theorems about the Poisson integrals limitation are proved. The theorems declared that the Poisson integrals determine the solution of the initial-boundary problems considered are proved.

Keywords: boundary problem, Green’s function, diffusion equation, diffusion coefficient, time dependence.

Savotehenko Sergey (confer_ipk@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretic and mathematical physics, Belgorod State University.