CC BY
162
Задачи, теория и системы управления техническими
объектами.
Интеллектуальные системы обработки информации
и управления
УДК 512.83; 681.5
В.Н. Буков
ФГУП НИИ, г. Жуковский
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ МАТРИЧНЫХ
СИСТЕМ Введение
В первые дни 2006 года в издательстве научной литературы Н. Бочкаревой вышла монография [1] автора доклада, в которой обобщаются основные результаты развиваемого подход к моделированию, анализу и синтезу линейных и одного типа нелинейных (проективных) динамических систем, ориентированного на продвинутое аналитическое решение возникающих при этом математических задач. Исследование условий разрешимости и построение формульных представлений всего множества возможных эквивалентных решений опирается на специально , -( ), -, -независимые строки и столбцы этих матриц.
В число оригинальных результатов монографии, например, входят:
♦ в области теории матриц - так называемая трансформация матричного частного и условия параметризации алгебраического матричного уравнения Лурье - Риккати,
♦ в области теории систем - необходимые и достаточные условия устойчивости инвариантных систем и посткомпенсация выходных сигналов ди-
, -ровать желаемое изменение ее динамических свойств.
Сложившееся направление, названное «Технологией вложения систем», и его составные части в самых общих чертах иллюстрирует рисунок.
Название развиваемого направления обязано прежде всего названию раздела алгебры «Вложение некоммутативных колец в тела частных с единицей», на основе использования положений которого были получены принципиальные результаты. Можно дать и другое объяснение: формулируемые утверждения, так или иначе, сводятся к сопоставлению сложно организованных многосвязных систем с относи, . сложные (многосвязные) системы «вкладываются» в простые (заведомо разреши), . . .
Монография задумана в какой-то мере как справочное пособие. Многие положения и вопросы, используемые при изложении основного материала, с различной степенью краткости предварительно приводятся в начальных главах. В книгу включены двенадцать глав следующего содержания:
♦ избранные положения алгебры матриц и алгебры частных;
♦ линейные динамические системы;
♦ проматрицы и анализ линейных систем;
♦ технология вложения систем;
♦ специальные случаи вложения;
♦ управление линейными системами с полной определенностью;
♦ прикладные задачи анализа и синтеза системы управления летательного
;
♦ линейные инвариантные системы;
♦ посткомпенсация линейных систем;
♦ наблюдение состояния и управление в линейных системах;
♦ возмущение оптимальных систем;
♦ проективные системы и технология вложения.
Книга написана для специалистов в области прикладной математики и в области теории систем, включающей такие разделы, как оценивание, управление, оптимизация и адаптация в технических системах.
В докладе кратко излагаются некоторые моменты указанного подхода.
Метод канонизации матриц
С целью обеспечения аналитических исследования и решения матричных алгебраических уравнений разработан оригинальный метод [2], названный методом канонизации матриц и основанный на разложении матрицы произвольного размера и ранга г
А ^ (I1, Аь, Iя, Iя) (1)
на неединственную совокупность левого Л1 и правого ЛЯ делителей нуля максимального ранга, а также левого ЛЬ и правого ЛК канонизаторов, вместе удовлетворяющих тождеству
А [а 1
Ая =
¡г 0
0 0
(2)
При этом часто используемый сводный канонизатор вычисляется по формуле
(3)
А = А ЯАь.
Один из возможных вариантов практической канонизации матриц сводится к использованию элементарных преобразований строк и столбцов исходной матрицы по следующей схеме. Строится «планшет» путем дописывания слева и внизу единичных матриц. Элементарными преобразованиями этот планшет приводится к
,
единичной и тремя нулевыми блоками:
1 т А тхп
¡п
Аь
(т-г )хт
¡.
о
гх( п-г)
о
о
(т-г)хг (т-г)х(п-г)
аЯ
пх(п-г)
(4)
ь
Ь
ь
Тогда единичные матрицы уступят место матрицам, содержащим в качестве блоков искомые делители нуля максимального ранга и канонизаторы.
Возможности аналитического использования данного аппарата определяются, главным образом, тремя обстоятельствами. Первое из них связано с тем, что разработаны формулы повторной канонизации, когда объектами являются не исход, . сведены в табл. 1.
Таблица 1
Сводка формул канонизации матриц
Исходная матрица Результат канонизации
Левый делитель нуля Сводный канонизатор Правый делитель нуля
Л А А ЯА ь Ак
Аь 0 ЛА к
Ак Л ЬЛ 0
Л i 0 л ьК
Л й л кЬ А ь А 0
Л Л кЬ А л ьК
Второе обстоятельство заключается в получении формул канонизации произведения матриц
АВ ЛВ1, (ЛБ)~, АБК ) =
BlAr BlA
В(In - Ar (BlAr)~Bl)a,
barblar
br
a =
{ ~Г7 Л al
А1
—— А
,А2, ar
V У
al
0
- a2 aR a2 a1 a2 aR
ar a ar
(In -[R([)~^12)Д aR(A2Ar)~
(5)
а третье - блочных матриц, например, с вертикально размещенными блоками
(6)
Аналогичные с учетом симметрии формулы получены для случая разбиения произвольной матрицы на блоки, размещенные по горизонтали.
Аналитическое решение уравнений теории систем
На основе канонизации матриц получены условия разрешимости и формулы исчерпывающего решения многих уравнений теории систем [2 - 4]. Наряду с традиционными линейными уравнениями большое внимание уделено билинейным уравнениям, практически обойденным вниманием специалистов. С необходимостью решения именно таких уравнений связывается задача синтеза системы управления при умышленном игнорировании реакции системы на ненулевые начальные , .
Говоря о решении матричного уравнения, всякий раз будем подразумевать две непременные составляющие:
♦ проверку условия разрешимости уравнения;
♦
решений (в случае удовлетворения условий разрешимости).
Некоторые билинейные уравнения с условиями разрешимости и решениями . 2.
2
Решение билинейных матричных уравнений
R
L
Уравнение Запись Условия разрешимости Формулы решения
Чистое XY = В n > rank В {X } п = [в R {Y }т,м = T _1 7t]T В lb м ,
С коэффициентами XAY = В rank А > rank В {X}n,p = [br n]rAL +pAL, {Y }r,M,,= А RTЯ"13] + Ar? L м J
Окончание табл.2
Уравнение Запись Условия разрешимости Формулы решения
Смешанное ХЛУ+хс=в п > ль гап / V кВ, "Вьв _ V БТ,; > - с У п,Ц'-= 0 {X }т, { }т ,^ = Л / Т - V вв д Вв" _ V _ п]т - с г, \ +Ляц }
Система ХЛУ+ хс= в, хлг= б ГС ль тк п > БТ, / Т- 4 п Б < г ї гапк N ,р, вв . V _ т=[ апк в, П,¥ \ -с Б1 л, = 0, //] IV {Х Ь { }Т,^ = Л , К,£ = ,п = / V AN [ввй вв . V _ -іГ Б к п -с Б ]т , \ +ЛКФ / +лк%
В формулах табл. 2 фигурными скобками обозначены множества эквивалентных элементов. При этом в нижнем индексе при этих скобках указаны элементы, произвольное варьирование которых порождает все элементы соответствующего .
Синтез управления по желаемой передаточной матрице
Рассмотрим практически важный, и вместе с тем один из наиболее сложных
,
вынужденной составляющей Е У ( р)
, -.
Решение такой задачи синтеза связано с решением системы матричных уравнений типа
пхВК(р) = С -пх(р1п - А\ яхВО(р) = Еу(р). (7)
Здесь введена вспомогательная дробно-полиномиальная матрица Пх = Пх (Р), которая наряду с передаточными матрицами регулятора К(р) и предкомпенсатора О(р) является неизвестной и подлежит определению, хотя может не представлять какого-либо интереса ни для заказчика, ни для разработчика системы. Результат в соответствии с последней строкой табл. 2 формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема. Задача синтеза динамического закона управления
в( р М р) = К (р) х( р) + и( р)
выходом объекта с моделью в пространстве состояний
рх(р) = Ах(р) + Ви( р) + х0, у (р) = Сх(р)
по желаемой передаточной матрице Еу (р) замкнутой системы разрешима в том и только в том случае, если выполняются следующие условия:
а) ранг передаточной матрицы Evy (р) не превышает ранга матрицы B:
rank Evy (p) < rankB ;
б) существуют произвольная матрица р дополняющая строчечный базис СLC матрицы C до размерности пространства состояний п, и произвольная обратимая матрица T(р) размером п X п, при которых выполняется условие
B
T-1( р)
C lc рр р)
(pIn - А)
= 0;
в) существуют произвольные дробно-полиномиальные матрицы ¥(р) « П( Р), дополняющие столбцовые базисы матрицы наблюдения С и желаемой передаточной матрицы Еу (р) до размерности пространства состояний п, а
также произвольная обратимая матрица N(р), при которых выполняются условия
п(р)р(р) = 0, [сск п(р)]т(р) = [е;(р)(б;(р))~л ^р)] N(р).
При этом все возможные эквивалентные решения определяются формулами
= B
Tр)
- (р1п - А)
{G( р)}n ,^= BN-х( р)
C LC р( р).
'(EV (р))~L Ey (р)
к( р)
+ BRtf( р), + BR{( р),
где $(р) и £(р) - произвольные дробно-полпномиальные матрицы подходящих размеров; к( р) - - ,
строчечный базис желаемой передаточной матрицы Е^ (р) до размерности пространства состояния п и удовлетворяющая условию
¥( р К( р) = 0,
а матрицы Т(р), N(р), (р(р), п(р) и ¥(р) принимают значения, удовлетворяющие условиям разрешимости.
Утверждение этой теоремы обладает универсальностью в том смысле, что она применима к любым постановкам задачи управлении, для регулярных и нерегулярных законов управления, для минимальных и неминимальных реализаций объекта управления, а также для циклических и нециклических матриц А в случае описания объекта в пространстве состояний.
Если же известно какое-либо решение задачи синтеза управления по вынуж-
денной составляющей K(р) и G(р), то можно построить множества эквива-
о
о
лентных решений, не используя порой сложные формулы приведенной выше теоремы.
Следствие. Если суженное множество (семейство) матриц, эквивалентных
о
матрице Пх(р) решения задачи синтеза линейного управления, описывается формулой
О О __Т
{х (Р)\ = Пх (Р)(К + БФ(Р) В ) ,
а передаточная матрица предкомпенсатора
[С(р)\_ 0(р)+п (р)В р(р)
такова, что выполняется условие 0(р) = 0, то множество передаточных матриц регулятора определяется формулой
{К (р)\,ц _ К (р )-Ф(Р) ВЬ (Р1п - А) + Пх (Р)В Кр) ■
(8)
Законы управления с обратимой матрицей предкомпенсатора, известные как , .
Пример
Рассмотрим в качестве объекта доступную для непосредственных проверок модель с передаточными матрицами для вынужденной составляющей движения
Рих (Р)
Пусть каким-либо образом выбран некаузальный (физически нереализуемый) регулятор
К(р) = [- р 1] , (9)
обеспечивающий замкнутой системе передаточную матрицу для вынужденной составляющей движения
р 1 -1 1 о 1 _ 1 '-1"
1 1 р 1 1 р2 +1 _ р -
ЕХ ( р) =
р 1
-1 р
1
[- р 1]
т р1 -1 1 -1
1 - р -1 р +1 1 р2 + 2 р +1 р
При этом свободная составляющая (от ненулевых начальных условий к со)
е0 (р) =
р 1 -1 _ 1 р +1 -1
- р -1 р +1 р2 + 2 р +1 р +1 р
(10)
Улучшение динамических свойств налицо: если Ех (р) - консервативная
Е Х (р ) - устойчивая с теми же числителями система. Однако невозможность физической реализации (9) представляет серьезный недостаток такого .
о
о
о
о
-1
+
: , -ных регулятору (9), и можно ли выбрать из этого множества каузальный закон?
Если преследовать цель обеспечения обеих передаточных матриц ЕХ (р) и
е0 (р) , то ответ будет отрицательным. Непосредственными вычислениями можно , -(9).
Теперь потребуем сохранения неизменной только передаточной матрицы вынужденной составляющей ЕХ ( р) (8),
р(р) _ 1. С учетом равенства ВК _ 0 вычисление дает
р 1 -1 р_
В этом случае новый регулятор примет каузальный вид
К* _ К (р) + Вь(рїп - А) _[- р 1]+[ 1]_[0 2].
,
(9)
Вь(ріп - А) _[1 0]
_[р 1].
ЕХ (р) _
Ґ р1 + в [0 2] -1 V р1 -1 0
V -1 р 1 У 1 -1 р + 2 1
1
р 2 + 2 р +1
, , -нение передаточной матрицы от начального условия к состоянию системы, которая теперь имеет вид
Е0 (р) =
р 1 -1 _ 1 р + 2 -1
-1 р + 2 р2 + 2 р +1 1р
Здесь по сравнению с (10) изменились постоянные времени в числителях и
структура матричного числителя в целом.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бук ов В.Н. Вложен не систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во науч. литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006. 720с.
2. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин ЕМ. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета. Сер. Физикоматематические науки. Вып. 1. 2002. С. 19-28.
3. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Зыбин ЕМ. Решение билинейных матричных уравнений
// . . -
науки. 2003. Вып. 2. С. 14-23.
4. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Сельвесюк НМ. Решение специальных матричных уравнений
// . . -
науки, # 8470. 2004. Вып. 3. С. 18-26.
