CC BY
37
Атакищев Олег Игоревич - e-mail: [email protected]; г. Курск, проспект Хрущева, 5, кв. 71; тел.: 84712504800; кафедра программного обеспечения вычислительной техники;
- ; . . .; .
Скорняков Кирилл Сергеевич - e-mail: [email protected]; г. Курск, ул. Гагарина, 25а, кв. 27; тел.: +79513119161; кафедра программного обеспечения вычислительной техники; .
Заичко Валерий Александрович - 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94; тел.: 84712504800; .
Риое Аурелио Падайя - 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94; тел.: 84712504800; соис-.
Titenko Eugene Anatol’evich - Kursk "South-West State University"; e-mail: [email protected]; 16 - 71, Khrushchev Avenue, Kursk, Russia; phone: +79051588904; the department of computer science software; master of science; associate professor.
Atakischev Oleg Igorevich - e-mail: [email protected]; 5 - 71, Khrushchev avenue, Kursk, Russia; phone: +74712504800; the department of computer science software; pro-rector of the South-West State University; dr. of eng. sc.; professor.
Skornyakov Cyril Sergeevich - e-mail: [email protected]; 25a - 27, Gagarina street, Kursk, Russia; phone: +79513119161; the department of computer science software; student.
Zaichko Valery Alexandrovich - 94, 50 Years of October street; Kursk, 305040, Russia; phone: +74712504800; applicant.
Rios Aurelio Padayya - 94, 50 Years of October street, Kursk, 305040, Russia; phone: +74712504800; applicant.
УДК 629.7.05
B.B. Косьянчук
АЛГОРИТМ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИМИ
ЗАВИСИМОСТЯМИ*
Рассматривается алгоритм аппроксимации решения задачи синтеза многосвязных систем управления, приводимой к линейным уравнениям, аналитическими зависимостями. Вводится понятие приближенного условия разрешимости. Показывается, что в случае удовлетворения приближенного условия разрешимости решение задачи синтеза многосвязных систем управления аппроксимируется аналитическим решением. Это позволяет сохранить все достоинства аналитического решения и при заданной точности ап.
Аналитическое решение линейных матричных уравнений; условие разрешимости; приближенное условие разрешимости.
V.V. Kosyanchuk
APPROXIMATION ALGORITHM SOLUTION SYNTHESIS OF CONTROL SYSTEMS MULTIPLY ANALYTICAL FUNCTION
The article deals with the approximation algorithm for solving the problem of synthesis of multiply-control systems, reducible to linear equations, analytical dependences. The notion of approximate solvability conditions. It is shown that in the case meet the conditions for the solva-
*
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 12-08-00767.
bility of the approximate solution to the problem of synthesis of multiply connected control system is approximated by the analytical solution. This allows you to keep all the advantages of analytical solutions and to provide the required accuracy of approximation.
Analytical solution of linear matrix equations; the solvability condition; approximate solvability condition.
.
системами относится к классическим задачам, пережившим несколько периодов .
Традиционно анализ и синтез управления линейными системами осуществлялся на основе аппарата передаточных функций и ограничивался преимущест-
. 60- . пространства состояния системы, позволившее существенно продвинуться в изучении многосвязных (матричных) систем. В начале 70-х годов произошел новый толчок в развитии методов анализа и синтеза на основе матричных передаточных
, , -
.
90- -
рии систем, названный вложением систем [1] (в дальнейшем трансформировав-
),
сведения различных задач к решению линейных матричных уравнений, продемонстрированный в работе [2]. Несколько позже была предложена специальная про-
[3], -
пользуемая для получения аналитического решения различных задач многосвязного управления [4-16].
Аналитическое решение позволило:
1) , управления;
2)
управления для решения задачи управления;
3) -
чину неразрешимости задачи и на ее основе сформулировать направления для внесения изменений в систему, позволяющие добиться решения по;
4) ;
5)
управления от коэффициентов математической модели объекта, что существенно упростило настройку коэффициентов системы управления по режимам полета и реализацию в бортовом вычислителе.
Суть аналитического подхода состоит в том, что задача синтеза системы управления (регулятора, предкомпенсатора, матрицы реконфигурации и т.д.) сводится к решению уравнений вида
АХ = B , (1)
ХА = B , (2)
где А и B - числовые или символьные заданные матрицы параметров (коэффици-
ентов), Х - матрица с неизвестными действительными числовыми или символьны-.
В работе [3] доказано, что линейное матричное уравнение (1) разрешимо относительно матрицы Х тогда и только тогда, когда левый делитель нуля матрицы А
B :
ALB = 0, при AL Ф 0, B Ф 0, (3)
(1)
{ х }^ = Ав + Акм, (4)
—L —R
где ц - матрица подходящего размера с произвольными элементами; А , А -матрицы максимального ранга, удовлетворяющие тождествам
АЬА = 0 , аА = 0 , (5)
А - матрица, отвечающая условиям регулярности
АаА = А, ААА = А . (6)
, (4) -
(3). (3) (1)
совместно. Тем не менее зачастую встречаются случаи, при которых условие раз-
(3) , (1) .
(1)
|| АХ - B ^ min, (7)
и переход к решению, использующему псевдообратную матрицу. В этом случае решение существует всегда, но появляется ряд существенных ограничений, присущих задачам синтеза систем управления. Использование псевдообращения означает переход только к численным решениям, при этом утрачивается принципиальная возможность использования аналитического решения для настройки коэффициентов усиления по режимам полета, продемонстрированная в работе [5].
В связи с этим рассмотрим возможность аппроксимации решения задачи синтеза многосвязных систем управления, приводимой к линейным уравнениям (1), .
.
. (1) -
ключается в том, что нарушается ранговое условие Кронекера-Капелли, т.е.
rank А Ф rank [ А \ B]. (8)
В связи с этим представляется возможность перейти от точного аналитического решения (4), удовлетворяющего условиям разрешимости (3), к некоторому приближенному решению, также описываемому соотношением (4), но обеспечивающему не строгое равенство (3), а конечное отклонение АХ - B , которое может быть оценено некоторой нормой
II АХ - B <£. (9)
Введем понятие приближенного условия разрешимости
—L
А B Ф 0,
—L
А B
<£. (10)
Очевидно, что чем меньше £, тем ближе рассматриваемое произведение к нулю, т.е. условие (10) приближается к (3).
Вырожденность матриц можно оценивать сингулярными числами [17]. Чем меньше максимальное сингулярное число, тем ближе матрица к нулевой. Исходя
—ь
из этого для оценки близости произведения матриц А В к нулю, можно воспользоваться понятием спектральной нормы
—L
А B
= «MmJ I А B) I А^ , (11)
где Л - максимальное сингулярное число матрицы, определяемое на основе SVD (Singular Value Decomposition)^^^^^eHHA [17]. Тогда, анализируя спектральную
—L
норму (11), можно сделать заключение о близости А B к нулю.
2
В качестве нормы в (10) могут быть использованы норма Фробениуса, Евклидова норма I1, Евклидова норма 12 и т.д., по сути, не меняющие главное - оцен-
—ь
ку степени близости произведения А В к нулю.
(10), -(1), -
ние условий (9).
В основу выбора чисел £ и £ может быть положен анализ сингулярных чисел матриц А и В. Конкретные рекомендации по выбору £ и £ будут даны при решении практической задачи.
Алгоритм аппроксимации решения задачи синтеза многосвязных систем управления аналитическими зависимостями сводится к выполнению следующих шагов:
1. (3). ,
находится точное решение с использованием (4), если нет, осуществляется переход к следующему шагу.
Шаг 2. Проверяется приближенное условие разрешимости (10). Если условие выполняется, то для нахождения решения также используется (4).
Прагматический смысл этого заключается в следующем. При выполнении приближенного условия разрешимости (10) гарантируется, что задача синтеза сис-
(4) .
Это позволяет сохранить все достоинства аналитического решения, например настройку коэффициентов усиления по режимам полета и простоту реализации в СУ , .
Пример. В качестве примера рассмотрим решение задачи сохранения стереотипа управления летчика в случае отказа одного (из двух) отклоняемого вектора тяги и нескольких аэродинамических поверхностей.
Пусть объект управления представлен в виде
х = А(а, г)х + В(а, г)и , (12)
где х еЖ", и е Жт , А(а, г) - матричная функция векторного а и скалярного г аргументов, В(а, г) - матричная функция размера П X т, х - вектор состояния, и -.
В случае отказа нескольких органов управления, модель объекта примет вид х{ = А(а, г)х^ + В(а, г)¥и , (13)
где матрица Г представима в виде диагональной матрицы с единицами на главной
диагонали и нулями в местах /, ], к..., соответствующих отказавшему органу
.
Введем матрицу Кр (а, г), обеспечивающую компенсацию последствий отказа путем перераспределения управляющих сигналов по исправным управляющим ( ). ,
х{ = А(а, г)х^ + В(а, г)ГКр (а, г)и . (14)
Пусть
Кр (а, г) = I + Я(а, г). (15)
, -
жения, что соответствует совпадению начальных условий х(г0) = х/ (г0), равенство векторов состояния до и после отказа х = х/ достигается при выполнении тождества, записанного в виде линейного матричного уравнения [4]:
В(а, і)¥ Щ(а, і) = В(а, і) - В(а, і)¥ .
(16)
АХ В
В результате задача реконфигурации сводится к разрешению матричного уравнения (16) относительно неизвестной матрицы *(а, г). Матрица *(а, г) вычисляется по формуле
* (17)
Щ(а, і) = В (а, і) ¥ (В (а, і) - В (а, і) ¥ ) + В (а, і) ¥ ц . при выполнении условия разрешимости
В (а, і) ¥ В (а, і) = 0.
Подставляя (17) в (15), получим
(18)
Кр (а, г) = I + В(а, г)Г(В(а, г) - В(а, г)Г) + В(а, г)Г ^. (19)
Используем соотношения (19), (18) для обеспечения отказоустойчивости в случае отказа одного (из двух) отклоняемого вектора тяги и нескольких аэродина-.
В качестве модели будем использовать модель маневренного ЛА, описанную
[18] .
Пусть вектор состояния и управления имеют вид
и =
где о ,о ,о
^ Х ’ V ’ 7
х = [®Х со Ю1 а/Зу^,
[ф„. Ф 3„„ 3 £
пр Ф '''ф.пр ^фл '^'н.пр ^«.л ^П.Г.О. ^ОВТпр
угловые скорости крена, рыскания и тангажа; а, у, З
- углы ата-
8ОВ'Гпр , 3Ш7'л
ки, тангажа, крена и скольжения; фпр,ф, 8.^,8.,, 8фпр,8ф11,8п углы отклонения от балансировочного положения правых и левых стабилизаторов, , ( ), отклоняемого вектора тяги (ОВТ) соответственно.
Пусть на одном из режимов полета матрица эффективности органов управления имеет следующее числовое значение
В =
-0.47 0.472 -0.298 0.298 -0.021 -0.021 0 -0.21 0.21
0.013 -0.013 0.012 -0.012 -0.046 -0.046 0 0.004 -0.004
-0.170 -0.170 -0.001 -0.001 0 0 0.057 -0.09 0.09
-0.003 -0.003 -0.001 -0.001 0 0 -0.0003 0 0
0 0 0 0 -0.0008 -0.0008 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рассмотрим одновременный отказ правого ОВТ Зжг , правого стабилизатора р , правого флаперона Зф и ПГО Зп го .
Проверим условие разрешимости (18). Условие разрешимости не выполняется, следовательно, в соответствие с (10) проверим приближенное условие разрешимости
В(а, і)¥ В(а, і) ф 0, В(а, і)¥ В(а, і)
Определим спектральную норму (11)
< є.
(20)
Т
В(а, і)¥ В(а, і)
Определим норму Фробениуса
= 6 -10-
В(а, г) Г В(а, г) = УУ В (а, г) Г В(а, г), = 6-10-6.
Г V ■■=1 1=1
Значения норм совпадают, но вычисления нормы Фробениуса существенно .
Для определения допустимой точности £ рассмотрим значения максимальных сингулярных чисел матриц В(а, г) и В(а, г)Г , которые соответственно равны 0,79 и 0,58. Будем считать, что допустимая точность £ должна на 2-3 порядка быть меньше этих чисел.
Следовательно, условие (10) выполняется и можно производить вычисления
(19).
Кр =
1 0 0 0 0 0 0 0 0
-2.2 1 -2 0 0 0 -0.6 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
6.2 0 4.9 1 0 0 1.4 0 0
-0.3 0 -0.3 0 1 0 -0.07 0 01
-0.3 0 -0.3 0 0 1 -0.07 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
-6.1 0 -3.8 0 0 0 -0.5 -1 1
(21)
. 1 -6
( ) ( ). . 1, 2
, . 3, 4 ,
. 5, 6 - .
Рис. 1. Графики переходных процессов, продольный канал, отклонение ручки по
тангажу
2
! !
0 2 4 5 6 7 9 10
. !
0 2 4 5 6 7 9 10
! !
0 2 4 5 6 7 9 Ю
:
0 2 4 5 6 7 9 Ю
0123456789 10
Рис. 2. Графики переходных процессов, боковой канал, отклонение ручки по
тангажу>
01 23456789 10
01 23456789 10
01 23456789 10
01 23456789 10
Рис. 3. Графики переходных процессов, продольный канал, отклонение ручки по
крену
0123466789 10
01 23466789 10
0123456789 10
01 23456789 10
Рис. 5. Графики переходных процессов, продольный канал, отклонение педалей
0123456789 10
0123456789 10
0123456789 10
0123456789 10
П пь...■...........>..■.|.I.■.I.■.I.-I
'ЗЙЫ............... . . .■-
0123456789 10
Рис. 6. Графики переходных процессов, боковой канал, отклонение педалей
, (18) ,
(20),
компенсировать последствия отказа с высокой точностью. Это подтверждает работоспособность и эффективность рассмотренных процедур.
Выводы. Алгоритм аппроксимации решения задачи синтеза многосвязных систем управления аналитическими зависимостями позволяет в случае неразрешимости задачи по критерию получения точного решения гарантировать приближение фазовых координат с точностью до некоторого £, при выполнении приближенного условия разрешимости. Например, в задаче реконфигурации выполнение приближенного условия разрешимости гарантирует совпадение переходных процессов штатной системы и системы с отказом и реконфигурацией с точностью до некоторого £, а аналитическое решение позволяет выполнить настройки коэффициентов реконфигурации в условиях нестационарное™ и получить простые в , .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Буков В.Н., Кулабухов B.C., Максименко И.М., Рябченко В.Н. Вложение систем // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 8. - С. 61-73.
2. Косьянчук В.В. Вложение систем. Управление с редуцированным наблюдателем // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 6. - C. 23-35.
3. . ., . ., . . . -
ний методом канонизации // Вестник Киевского университета. Сер. “Физикоматематические науки”. - 2002. - № 1. - С. 19-28.
4. Зыбин ЕМ., Косьянчук В.В. Аналитический синтез многосвязных отказоустойчивых
// . -
темы управления. - 2010. - № 1. - С. 108-117.
5. . ., . .
инвариантных к режимам полета // Авиакосмическое приборостроение. - 2010. - № 11.
- С. 18-26.
6. Zybin E.Yu., Kos’yanchuk V.V. Analytical Synthesis of MIMO Fault-Tolerant
7. Control Systems with Simplified Circuit Implementation // Journal of Computer and Systems Sciences International (A Journal of Optimization and Control). - 2010. - Vol. 49. - № 1.
- P. 105-114.
8. . ., . ., . ., . .
// .
Изд-во «Машиностроение». - 2011. - № 2. - С. 36-45.
9. . . -
дов управляющих поверхностей летательных аппаратов с механической проводкой
// . - 2007. - . 9. - . 37-42.
10. . ., . . -
// - .
- 2008. - № 2. - Т. 6. - С. 5-8.
11. . . -
// . . - 2004. - 1. - . 67-76.
12. . ., . ., . . .
наблюдением // Автоматика и Телемеханика. - 2001. - № 3. - С. 15-30.
13. . ., . . -
нове технологии вложения // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 8. - С. 22-36.
14. . ., . ., . . .
информации // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 8. - С. 3-20.
15. . ., . ., . // III-
« ». доклады, Москва, ИПУ, 28-30 января 2004 г. - М.: Изд-во ИПУ РАН. - 2004. - С. 77-99.
16. Косьянчук В.В., Буков В.Н., Горюнов С.В. и др. Основы интеграции систем авиационного оборудования / Под ред. В.В. Косьянчука. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 2007.
17. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. - М.: Мир, 1989. - 450 с.
18. . . . - .: . . . -ковского, 2009. - 520 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н. С Л. Казарин.
Косьянчук Владислав Викторович - Военно-воздушная академия проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина; e-mail: [email protected]; 125190, г. Москва, ул. Планетная, 3; тел.: 84997590069; кафедра электронной автоматики; начальник кафедры; д.т.н.; профессор.
Kosyanchuk Vladislav Viktorovich - Zhukovskii and Gagarin Air Force Military Academy; e-mail: [email protected]; 3, Planetnaya strreet, Moscow, 125190, Russia; phone: +74997590069; the department of electronic automation; head of department; dr. of eng. sc.; professor.
