CC BY
77
УДК 517.938
Н.И. Сельвесюк
ОБОБЩЕННЫЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ ТОЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОЖЕСТВ
ДОСТИЖИМОСТИ*
Приведен обобщенный аналитический метод синтеза множества регуляторов в обратной связи, обеспечивающих заданную точность управления регулируемыми параметрами в линейной многосвязной системе управления при действии различных классов внешних возмущений. В качестве множеств достижимости системы при действии возмущений используются минимальные инвариантные эллипсоиды, которые описываются с помощью соответствующих уравнений Ляпунова. Для получения множества регуляторов используются результаты аналитического решения матричных уравнений на основе канонизации матриц и параметризации уравнения Ляпунова. Условия разрешимости задачи синтеза представляются в виде линейных матричных неравенств для удобства их численного решения.
Линейный регулятор; ограниченные возмущения; линейное матричное неравенство;
.
N.I. Selvesyuk GENERALIZED APPROACH FOR ACCURACY MIMO-SYSTEMS CONTROL SYNTHESIS WITH USED SETS OF ATTAINABILITY
In article the generalized analytical method for synthesis of feedback regulator sets which provided given control accuracy of regulated parameters in linear MIMO control system by present the various classes of external disturbances is presented. For described the sets of attainability by action various disturbances the minimal invariant ellipsoids are used. They are described with corresponded Lyapunov equations. For receipted regulator sets the analytical approach for matrix equations decision based on matrix canonization and Lyapunov equation parametrization are used. The decidability conditions of synthesis task are presented in linear matrix inequalities form for facility numerical solution.
Linear regulator; limited disturbances; linear matrix inequality; matrix canonization.
.
актуальных в теории управления. Методы решения данной задачи определяются типом системы и классом действующих возмущений. В статье рассматривается три типа возмущений: стохастические возмущения с заданной интенсивностью; произвольные убывающие во времени возмущения (ограниченные в Z^-норме); произ-
( L - ).
В последнее время в различных постановках задачи подавления внешних возмущений указанных классов широко используются методы, основанные на понятии инвариантных множеств, которые являются некоторыми аппроксимациями
[1].
синтеза управления сводятся к однопараметрической задаче оптимизации с набо-
(LMI).
: , -ния, легкость численного решения с использованием пакетов системы MATLAB. Однако с практической точки зрения здесь имеются некоторые недостатки: использование интегральных по сути критериев оптимизации, которые затрудняют формулирование требований к качеству управления отдельными параметрами сис-
*
Работа выполнена при поддержке Гранта Президента РФ № МД-1248.2011.8.
темы в виде понятных инженерных показателей качества; получение единственного решения задачи синтеза, что ограничивает выбор структуры закона управления и возможность удовлетворения дополнительных требований синтеза.
В докладе для устранения указанных недостатков используется подход, описанный в работе автора [2]. Он предполагает аналитическое построение всего ,
.
регулируемого выхода системы и формализуются через элементы матриц, являющихся решением уравнений Ляпунова, описывающих инвариантные эллипсоиды.
1. Описание инвариантных эллипсоидов достижимости. Рассмотрим линейную непрерывную систему без управления:
х(0 = Ax(t) + Gw(t), х(0) = 0, г(0 = Dx(t), (1)
где хеЖПх - вектор состояния с начальным состоянием х0; н еЖПн - вектор
возмущений; геЖПг - вектор регулируемых параметров.
Положим матрицу Л гурвицевой, пару матриц (Л, О) - полностью управляемой, матрицу D - полного ранга. Тогда предельное множество достижимости системы (1) - это совокупность концов траекторий системы на отрезке t е [0, с) при действии любого из возмущений .
X = {хе ЖПх :х = х^), t > 0-решение (1),(2)прих(0) = 0} . (2)
В работе [1] в качестве удобной в вычислительном плане аппроксимации
(2) -
.
3х = {х еЖпх : хтР-1 х < 1}, Р > 0, (3)
называется инвариантным для системы (1) с возмущениями н^) , если из условия х(0) е 3х следует х0) е 3х для всех моментов времени t > 0 . Матрица Р называется матрицей эллипсоида 3х. Способ определения матрицы Р зависит от класса .
В докладе рассматривается три класса возмущений, для которых возможно определение матрицы эллипсоида путем решения алгебраических уравнений Ля:
1) если вектор возмущений ) представляет собой стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним и матрицей интенсивности О, то
(1)
, Р
определяется из уравнения Ляпунова вида
АР + РАТ + ОООТ = 0, Р > 0;. (4)
2) при действии на систему (1) ограниченных в Ь2 -норме возмущений
II м2 с Т
1н212 = ] Н2 (t)w2(t)Л < 1, множество достижимости также совпадает с эллипсои-0
дом достижимости. Матрица Р представляет собой грам иан управляемости систе-
, (4)
РА + АТР + ОООТ = 0, Р > 0;. (5)
3) при действии на систему (1) произвольных, ограниченных в L„ -норме возмущений ||w3(t)||< 1, Vt >0, эллипсоид (3) является некоторым «консервативным» приближением множества достижимости. Матрица эллипсоида P = P(a) при x(0) = 0 также удовлетворяет уравнению Ляпунова
AP + PAT +aP + a-1GGT = 0, P > 0, (6)
при значении параметра 0 < a < -2max ReXi(A), где Xi(A) - собственные значе-A.
Множество достижимости в виде инвариантного эллипсоида для регулируемого выхода имеет вид
3z = {z еЖ^ : z T(DPDT)-1 z < 1}, P > 0. (7)
(7)
возмущений на траекторию системы и использовать для оценки степени влияния возмущений w(t) на регулируемые параметры z(t).
В качестве такой оценки можно рассматривать функцию следа f(P) = trace[DPDт]. Тогда для отдельного элемента регулируемого выхода
z, = dtx, i = 1, nz, где d - i-я строка матрицы D, инвариантный эллипсоид (7) вырождается в отрезок
|z,.| <(diPd,T f. (8)
(8)
к точности управления:
♦ при действии стационарных гауссовских случайных возмущений w1(t) -
ограничения на величину СКО О ;
♦ L2 - w2 (t) -
на величину установившейся ошибки ez;
♦ при действии ограниченных в l„ -норме возмущений w3(t) - ограничения на максимальные значения (с определенной степенью консерватизма) регулируемых параметров maxmaxl z, (t)|.
t >0 |W||<1
2. Постановка задачи синтеза. Рассмотрим линейну ю непрерывную управляемую систему
X(t) = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t), x(0) e3x , z(t) = Dx(t), (9)
где u e Жn - вектор управления Пара матриц (A, B) является стабилизируемой,
A .
Задача синтеза заключается в аналитическом описании множества матриц передачи K в форме статической линейной обратной связи по состоянию
u(t) = -Kx(t), (10)
который стабилизирует замкнутую систему
x(t) = (A - В K) x(t) + Gw(t) (11)
и обеспечивает заданную точность управления по вектору z e Ж"z.
Другими словами, замкнутая система (11) должна удовлетворять одному из
(4), (5) (6) -
P, -
(8).
Синтез статического регулятора вида (10) рассматривается в докладе только с целью упрощения решения задачи. Предлагаемый подход позволяет также получить аналитическое описание множества динамических регуляторов низкого по-( ).
В приведенной постановке задачи методика синтеза управления аналогична для всех классов рассматриваемых возмущений. В докладе методика синтеза рассмотрена на примере ограниченного в l„ -норме возмущения. В этом случае уравнение Ляпунова (6) для замкнутой системы (11) приобретает вид
(A - BK)P + P(A - BK)т + aP + a-1GGT = 0, P > 0. (12)
3. Решение задачи синтеза. В качестве методической основы синтеза используются методы аналитического решения линейных матричных уравнений на
, [3],
результаты параметризации уравнения Ляпунова [4]. Решение для возмущения w3(t) дается теоремой.
Теорема. Заданная матрица инвариантного эллипсоида P(a) > 0 замкнутой системы (11) является реализуемой с помощью статической обратной связи по состоянию (10) с передаточной матрицей K, если и только если выполняется условие
BL(AP + PAT + aP + a GGT)(BL)T = 0, a> 0. (13)
При этом все множество регуляторов, обеспечивающих заданное значение P,
{K}^ = B(H -ц)P-1 + B % , (14)
где матрица H определяется выражением H = AP + -2- aP + ^a GGT, ц - любая из множества кососимметрических матриц
ц = HT(BL)T -BLH + BLHT(BL)T + BpBT;
- ; - -
вольная матрица подходящего размера.
В большинстве практических задач матрица эффективности управления B
имеет полный строчечный ранг. Для такой матрицы BR = 0, B = BL и выражение (14), ,
{K}^= B L (H -ц)P-1.
(14), -
дается кососимметрической матрицей ц из некоторого сложным образом органи.
,
множество регуляторов (14) являются стабилизирующим.
4. Решение задачи достижимости. Условие реализуемости (13) является ли-
P, .
могут быть использованы численные методы выпуклой оптимизации, итерационные рекурсивные алгоритмы с целью последовательного снижения порядка модели, либо аналитические методы решения алгебраических уравнений. Однако наличие варьируемого параметра a в условии (13) делает более предпочтительным использование численных методов решения задачи реализуемости.
Для построения численного алгоритма решения задачи реализуемости предлагается использовать аппарат линейных матричных неравенств (LMI). Мощные численные процедуры решения данных неравенств содержит пакет LMI Control Toolbox системы Matlab, а также пакеты SeDuMi, YALMIP, cvx.
Для использования предлагаемого подхода решение матричного уравнения (13) вида ^(X) = 0 с условием X = Хт > 0 заменим решением линейных матричных неравенств вида F(X) < 0 , X = Хт > 0, первое из которых вытекает из требования устойчивости системы.
Тогда уравнению (13) с учетом преобразований по лемме Шура [1] соответствует линейное матричное неравенство
B L (AP + PA T +aP)(B L )T G T(B L )T
B lg
-aI
< 0,a>0.
(15)
Для учета ограничений на диагональные элементы матрицы Р, формализующих требования к точности управления, вводится дополнительная система матричных неравенств вида
diPdJ < cf, i = 1,nz
(16)
где c - действительные числа, характеризующие заданную точность управления.
Неравенства (15)-(16) при фиксированном параметре а описывают выпуклые однопараметрические множества, и их решение относится к классу задач по-луопределенного программирования (SDP).
Пример. В качестве примера рассмотрим задачу управления «двойным маятником», описанную в [5]. Непрерывная модель возмущенных колебаний двойного маятника описывается системой уравнений
*2 = v2,
v2 = х1 - х2 - W,
(17)
где х1, х2 - координаты первого и второго тела; у1, у2 - скорости первого и второго тела; и - управление, прикладываемое к первому телу; н - возмущение, действующее на второе тело.
Возмущение н(ї) является ограниченным в ь„ -норме, т.е. удовлетворяет
условию ||н(?)|| < 1, V? > 0. В качестве регулируемых параметров рассматриваются координата и скорость второго тела, на которое действует возмущение, т.е. г(?) = [х2 ^2 ]Т.
В векторно-матричной форме (9) модель (17) будет иметь следующие значения матриц:
A =
^0 1 0 0 0 0 0"
-1 0 1 0 1 0 0
, B = , G = , D =
0 0 0 1 0 0 1
1 0 -1 0 0 -1 0
(18)
Матрица A модели неустойчива, пары (A,B) и (A, G) полностью управляе-
Сначала решим задачу минимизации эллипсоида достижимости замкнутой системы f (P) = trace(P) ^ min, матрица которого удовлетворяет условию реализуемости (13). Численное решение данной задачи с использованием пакета cvx [6] дает следующее значение матрицы P при а = 0,55:
1
1
v1 = - х1 + х2 + и
.
Р
4,44 -1,22 0,96 - 3,29
-1,22 10,37 2,77 -1,67
0,96 2,77 4,47 -1,23
- 3,29 -1,67 -1,23 4,18
Множество регуляторов, обеспечивающих данное значение матрицы Р, в соответствие с формулой (14) имеет вид
{К} =[4,81-0,27ц 1,95 - 0,2ц 0,11ц-0,46 3,75 - 0,26ц]
(19)
где ц - произвольное действительное число.
Пусть на систему действует гармоническое возмущение, удовлетворяющее ограничению ||и<0| ^ 1, график которого приведен на рис. 1. Результаты моделирования регулируемого выхода гЦ) замкнутой системы с регулятором (19) при ц = 0 и нулевом начальном состоянии приведены на рис. 2. Полюса замкнутой системы имеют значения
Х(Л - ВК0) = {- 0,49 ± 2,18 ] - 0,48 ± 0,79 ]}.
ІЛІ И м № " и
у М і м к М м р
10 20 30
Рис. 1. График возмущения
Рис. 2. Траектория выхода системы с регулятором (19)
Теперь рассчитаем матрицу передачи статического регулятора, который
обеспечивает уменьшение влияния возмущения на регулируемый выход в 42 раз
(19),
вдвое диагональных элементов р33 и р44 матрицы Р. При определении реализуемой матрицы Р дополнительно потребуем минимизации функции /(Р) = 1;гасе(Р), так как требования к части ее диагональных элементов не заданы.
Численное решение задачи реализуемости с использованием пакета сух дает следующее значение матрицы Р при а = 0,55:
Р
4,46 -1,28 0,43 - 2,09
-1,28 30,32 1,85 - 3,06
0,43 1,85 2,23 - 0,61
- 2,09 - 3,06 - 0,61 2,09
Множество регуляторов, обеспечивающих данное значение матрицы Р, в соответствие с формулой (14) имеет вид
{к}ц= [12,63 - 0,11ц 2,39 - 0,05ц 0,02ц-0,69 14,29 - 0,16ц], (20)
где ц - произвольное действительное число.
Результаты моделирования регулируемого выхода ) замкнутой системы с регулятором (20) при ц = 0 и нулевом начальном состоянии приведены на рис. 3. Полюса замкнутой системы имеют значения
Х(Л - ВК0) = {- 0,35 ± 3,44 ] - 0,58 ± 0,78 ;}.
Результаты моделирования демонстрируют выполнение предъявляемых тре. (19)
u1 и регулятора (20) и2 приведены на рис. 4.
Рис. 4. Графики сигналов управления
регулятором (20)
Заключение. Предложенный в работе единый подход позволяет получить аналитическое описание всего множества регуляторов в обратной связи, обеспечивающих заданную точность управления при действии возмущений различных классов. Наличие варьируемых параметров множества дает возможность удовлетворить дополнительные требования синтеза или выбрать структуру регулятора. Условия разрешимости задачи синтеза представлены в виде линейных матричных неравенств. Это позволяет использовать хорошо проработанные численные методы на базе системы MATLAB для расчета реализуемой матрицы инвариантного .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002.
2. Сельвесюк Н.И. Синтез ковариационных регуляторов на основе технологии вложения систем // АиТ. - 2005. - № 6. - С. 126-137.
3. Буков Б.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Изд-во научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.
4. Буков Б.Н., Рябченко Б.Н., Сельвесюк Н.И. Параметризация уравнения Лурье-Риккати // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. - № 4. - С. 64-71.
5. . ., . ., . .
помощью метода инвариантных эллипсоидов // АиТ. - 2007. - № 3. - С. 106-125.
6. Grant M., Boyd S. CVX: Matlab software for disciplined convex programming, version 1.21. http://cvxr.com/cvx, April 2011.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н. С Л. Казарин.
Сельвесюк Николай Иванович - Военный учебно-научный центр ВВС «Военновоздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»; e-mail: selvesyuk@yandex.ru; 125167, г. Москва, ул. Планетная, д. 3; тел.: 84992311812; кафедра « , - »; -федры; д.т.н.; доцент.
Selvesyuk Nikolay Ivanovich - Air Force military educational-scientific center «Zhukovskii and Gagarin Air Force Military Academy»; e-mail: selvesyuk@yandex.ru; 3, Planetnay street, Moscow, 125167, Russia; phone: +74992311812; the department «the system analysis, the instrument and optico-electronic equipment»; the chief of department; dr. of eng. sc.; associate professor.
УДК 629.73.02; 681.5.01
A.M. Шевченко, Б.В. Павлов, Г.Н. Начинкина
МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВЗЛЕТА САМОЛЕТА ПРИ НАЛИЧИИ ВЫСОТНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ
С целью снижения рисков на этапе взлета воздушных судов в работе предлагаются алгоритмические методы оценивания текущего и прогнозирования будущего движения с использованием энергетического подхода к управлению полетом летательных аппаратов. На основе полученных оценок рассчитывается положение воздушного судна на взлетно-,
.
различных вариантах загрузки и при наличии высотных препятствий по курсу взлета на разном удалении от конца взлетно-посадочной полосы.
Управление полетом; взлет; энергетический подход; принятие решения.
A.M. Shevchenko, B.V. Pavlov, G.N. Nachinkina
METOD OF AIRCRAFT TAKEOFF FORECASTING IN THE PRESENCE OF HIGH-ALTITUDE OBSTACLES
For the purpose of risks decrease at a stage of flying vehicles takeoff the algorithmic method of an estimation of current state and forecasting of future movement are offered in work. Method is based on the energy approach to flight control. On the basis of these estimations the aircraft position from which probably to reach a desirable final state at a takeoff stage is calculated. Results of modeling of the passenger aircraft takeoff under various loading and in the presence of highaltitude obstacles ahead on different distances from the runway are presented.
Flight control; takeoff; energy approach; decision-making.
.
взглядов на управление в классе терминальных алгоритмов с фиксированной .
В данной работе находятся условия достижимости конечного состояния и определяется резерв времени или дальности по траектории до возникновения .
В процессе выполнения полета любого летательного аппарата имеются два этапа, характеризующиеся как интенсивным маневрированием, так и ограниченностью ресурсов управления для достижения некоторых терминальных состояний.
, -полосы и набрать достаточную высоту исходя из требований норм летной годности или при наличии препятствий по курсу полета. С другой стороны, на конечном этапе посадки требуется погасить скорость до уровня, пригодного для рулежки. При неблагоприятных условиях, таких как удаленная точка приземления, укоро-
