Верхние границы максимального отклонения траектории в линейных дискретных системах: робастная постановка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕРХНИЕ ГРАНИЦЫ МАКСИМАЛЬНОГО ОТКЛОНЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ: РОБАСТНАЯ ПОСТАНОВКА1

Квинто Я. И.2, Хлебников М. В.3

(ФГБУН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

Исследуется практически важный эффект максимального отклонения траектории в линейных динамических системах при ненулевых начальных условиях. Исследование переходного процесса является актуальным и практически значимым направлением в изучении линейных систем. В качестве основного способа получения оценок в настоящей работе используется построение общей квадратичной функции Ляпунова для семейства систем с неопределенностями, а также метод инвариантных эллипсоидов. Все полученные результаты остаются справедливыми также для случая нестационарной неопределенности, поскольку единственное требование к ней - это ее ограниченность в спектральной норме. Поставлены и решены задачи анализа и синтеза, а также получены верхние оценки отклонений для линейных дискретных систем, содержащих структурированную матричную неопределенность. Полученные результаты сформулированы в виде задач полуопределенного программирования, легко решаемых численным образом с помощью стандартных программных пакетов. Применение техники линейных матричных неравенств позволило минимизировать величину отклонений при стабилизации системы с помощью статической линейной обратной связи по состоянию. Результаты численного моделирования демонстрируют низкую степень консерватизма полученных оценок и обладают большим потенциалом для обобщений.

Ключевые слова: линейная дискретная система, максимальное отклонение, структурированная матричная неопределенность, линейные матричные неравенства, функция Ляпунова.

1. Введение

Изучение переходного процесса, т.е. поведения всей траектории хк устойчивой дискретной линейной системы

(1) хк+1 = Ахк, хк е Мга, А е Мгахга,

1 Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект №18-08-00140).

2Яна Игоревна Квинто, к.т.н. ([email protected]).

3Михаил Владимирович Хлебников, д.ф.-м.н. ([email protected]).

с ненулевым начальным условием х0, является актуальным и практически значимым направлением. При этом одной из важнейших характеристик переходного процесса является величина максимального отклонения траектории системы от нуля:

£(жо) = тах , к= 1,2,... |ж0|

где | ■ | — некоторая векторная норма.

В работах [3, 6] исследовался эффект больших отклонений траекторий при ненулевых начальных условиях для непрерывных систем, в том числе с неопределенностями или при наличии внешних возмущений. В частности, было показано, что техника линейных матричных неравенств [7,9] позволяет синтезировать законы управления, минимизирующие максимальное отклонение траектории в системе, а также дает простые, но достаточно точные оценки верхней границы максимального отклонения. Задачи синтеза для дискретных систем с различного вида неопределенностями рассматривались, например, в [2,4].

Настоящая статья является естественным развитием идеи, предложенной в [3] для непрерывных динамических систем. А именно, в разделе 2 будут получены верхние оценки отклонений в дискретной системе, содержащей структурированную матричную неопределенность (задача анализа). В разделе 3 будет рассмотрена задача минимизации отклонений в дискретной системе управления при помощи статической линейной обратной связи по состоянию (задача синтеза). В разделе 4 рассматривается результаты численного моделирования.

В качестве основного способа получения оценок используются построение общей квадратичной функции Ляпунова для семейства систем с неопределенностями, а также метод инвариантных эллипсоидов [5]. В дальнейшем изложении все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц.

2. Задача анализа

Рассмотрим линейную динамическую систему в дискретном времени

(2) xk+l = (А + F АН )хк,

с заданными матрицами А е Rraxra, F е Мгахр, Н е М9Хга, фазовым состоянием хк е Мга, ненулевым начальным условием хо и матричной неопределенностью

А е Rpxq: ||А||2 < J.

Единственное требование к матричной неопределенности А — ее ограниченность по норме. Таким образом, все полученные ниже результаты остаются справедливыми и для случая нестационарной неопределенности A(i).

Матрица А системы (2) предполагается шуровской, т.е. все ее собственные значения лежат внутри единичного круга.

Для дискретной системы максимальное отклонение траектории представляется выражением

£ = max £(А) = max max max |хь|2 = ||Д||2<7 УДУ2^7^=1,2,... |х0|2 = Г

= max max ЦАк||2. ||A||2^7fc=1,2,...

Получение оценок величины £ представляет собой весьма сложную задачу [6]. Ниже мы получим простые и пригодные для практического применения верхние оценки отклонения путем построения общей квадратичной функции Ляпунова с применением техники линейных матричных неравенств.

Как хорошо известно, достаточное условие робастной квадратичной устойчивости семейства (2) состоит в наличии общей квадратичной функции Ляпунова. А именно, выполнение неравенства Ляпунова

(3) (А + FAH)Р(А + FАН)Т - Р < 0

с некоторой матрицей Р У 0 при всех допустимых значениях неопределенности А означает, что у семейства (2) есть общая квадратичная функция Ляпунова

V (х) = хтР-1х.

Последовательно применяя лемму Шура и лемму Питерсе-на [11], представим матричное неравенство (3) в виде эквивалентного линейного матричного неравенства относительно скалярной переменной е и матричной переменной Р >-0:

/Р - ej2 FFТ АР 0 \ (4) I РАТ Р РНТ I > 0.

\ 0 HP ei )

Таким образом, разрешимость неравенства (4) является достаточным условием робастной квадратичной устойчивости семейства (2), см. подробнее [7]. Далее, рассмотрим эллипсоид

Е = {х е Мга: хТР-1х ^ 1}

с матрицей Р, удовлетворяющей условию (4). Эллипсоид Е является инвариантным, т.е. траектория системы (2), начинаясь в нем (ж(0) е Е), будет оставаться в этот эллипсоиде во всех моменты времени 1 Следовательно, если эллипсоид Е содержит единичный шар

В = {х е Мга: |ж|2 < 1},

то для любого начального условия из шара В траектория системы не покинет эллипсоид Е, и в каждый момент времени для ее 2-нормы верна оценка

max (р) = VWh.

Условие ВСЕ эквивалентно требованию Р I, следовательно, получаем задачу

min ||Р112

при ограничениях

Р - ej2FFТ АР 0 \

РАТ Р РНТ I > 0, Р ^ I, 0 HP ei )

где переменными являются матрица Р = РТ е Мгахга и скаляр е. Итак, установлен следующий результат.

Теорема 1. Пусть Р — решение задачи выпуклой оптимизации

min ||Р||2

при ограничениях

Р - ej2FFТ АР 0 \

РАТ Р РНТ I у 0, Р ^ I,

0 HP ei )

относительно матричной переменной Р = РТ £ Мгахга и скалярной переменной е.

Тогда для решений системы (2) при всех допустимых неопределенностях А справедлива оценка отклонения

£ < VÄ

Задача, сформулированная в теореме 1, представляет собой задачу полуопределенного программирования, легко решающуюся численно.

В рамках рассматриваемого подхода нетрудно вычислить радиус квадратичной устойчивости семейства (2), т.е. максимальный размах 7max неопределенности А такой, что при всех 7 < 7тах у семейства (2) имеется общая квадратичная функция Ляпунова:

7max = sup(7: (А + FАН)Р(А + FАН)Т - Р -< 0

при некотором Р и всех А: ||А|| ^

Соответствующий результат дается следующим утверждением, см. [7].

Лемма 1. Пусть р — решение задачи полуопределеного программирования

max р

при ограничениях

Р-pFFТ АР 0 \

РАТ Р РНТ I у 0, Р у 0,

0 HP I ) 74

относительно матричной переменной Р = РТ е Мгахга и скалярной переменной р. Тогда радиус квадратичной устойчивости семейства (2) равен

7max = Vf.

3. Задача синтеза

В этом разделе мы зададимся целью поиска стабилизирующей обратной связи для линейной дискретной системы управления. По сравнению с предыдущим разделом немного усложним постановку и рассмотрим систему управления вида

(5) xk+i = (А + F AiH + М A2N )хк + Вик,

с заданными матрицами А е Мгахга, F е Rnxp, Н е Rqxn, М е Rraxr, N е Rsxm, В е Rraxm, фазовым состоянием хк е Мга, ненулевым начальным условием xq, управлением ик е Мт и матричными неопределенностями Ai и А2 такими, что

Ai е Rpx: ||Ai||2 <71,

А2 е Rrxs : ЦА2У2 <72;

пара (А, В) предполагается управляемой.

Как показано в [7], размах неопределенностей Ai и А2 можно считать общим за счет масштабирования «обрамляющих» матриц F, Н, М и N; обозначим его 7:

||Ai||2 <7, i = 1,2.

Итак, будем искать стабилизирующую статическую линейную обратную связь по состоянию

(6) ик = Кхк, К е Rmxra, минимизирующую величину максимального отклонения в замкнутой системе.

Замкнув систему (5) обратной связью (6), приходим к замкнутой системе

(7) xk+i = (А + ВК + F AiH + М A2N )хк.

Построим квадратичную функцию Ляпунова для семейства (7) такую, что ее матрица минимальна по спектральной норме. При этом нам придется иметь дело с условием

(А + ВК + РД1Н + М Д2 Ы)Р х

х (А + ВК + ^ДгН + МД2Ж)т - Р ^ 0,

поэтому нам понадобится модификация леммы Питерсена на случай нескольких неопределенностей, см. [7], справедливую в достаточной части. Приведем её в следующей формулировке.

Лемма 2 (Лемма Питерсена для нескольких неопределенностей).

Пусть С = Ст е мгахга, Мг е Мгахк, Щ е М^хга, г = 1,... ,1 £сли существуют числа £1,...,£1 такие, что

(С - £ 1=1 егМгМг

т

М1т £11

т т\ 0

£(1

У 0,

то матричное неравенство

С + ^2(МгДгт + МгтДгтМгт) У 0

г=1

справедливо для всех Дг е : ||Д||2 ^ 1, г = 1,... ,1

Воспользовавшись леммой 2, приходим к условию

(Р - т + е2ММт) (А + ВК)Р 0 0 \

Р (А + ВК )т Р РНт РтЫт

0 НР £11 0

\ 0 МР 0 £21 )

0.

Введя вспомогательную матричную переменную У = КР и следуя идее доказательства теоремы 1, окончательно приходим к задаче:

*

*

0,

min ||PЦ2

при ограничениях

(P -72(eiFFТ + Е2ММТ) AP + BY 0 0 \

РАТ + Y ТВТ P PHТ P ТNТ

0 HP eil 0

0 NP 0 £21 J

P > I,

относительно матричных переменных P, Y и скалярных переменных i, 2.

При этом в силу Р > 0 матрица регулятора К восстанавливается единственным образом:

К = YP-i.

Итак, получено следующее утверждение. Теорема 2. Пусть Р, Y — решение задачи выпуклой оптимизации

min ||Р||2

при

> 0,

(Р -l2(eiFFТ + е2ММТ) АР + BY 0 0 \

РАТ + Y ТВТ Р РНТ РТ NТ

0 HP ej 0

V 0 NP 0 £21 J

P > I,

относительно матричных переменных Р = РТ е Rraxra, Y е Kmx" и скалярных переменных ei, е2.

Тогда для решений системы (5), замкнутой регулятором (6) с матрицей

К = YP-i,

справедлива оценка отклонения

е <

при всех допустимых значениях неопределенностей Д1 и Д2.

Сделаем важное замечание: при используемом подходе, безусловно, необходимо обращать внимание и на иные показатели качества системы (накладывая на них при необходимости дополнительные ограничения). В рамках настоящей статьи такие ограничения не рассматриваются, однако авторы планируют исследовать этот аспект в последующих публикациях.

4. Пример

Рассмотрим задачу о цепочке поставок, аналогичную приведенной в [8]: в месяц с номером к (к = 1, 2,...) предприятие Б закупает количество продукции (сырья) типа 1, доля ¿1 которого затем отбрасывается как отходы, а доля а1 отправляется на предприятие Р для производства продукции типа 2. Далее Р отправляет долю а2 своей продукции предприятию К, выпускающему продукцию типа 3, а долю 52 составляют отходы. Предприятие К ежемесячно отправляет производителю Р долю продукции типа 3, а долю 73 продает сторонним предприятиям.

| 51X1(к)

| 62x2{к)

и(к) Ь' С11Х1 (к) Р СХ2Х2(к) _

( 03X3(к)

XI (к)

Х2(к)

Рис. 1. Цепочка поставок

Я

хз(к)

"1зхз (к)

Пусть Хгк - объемы продукции типа г в месяц с номером к, г = 1, 2, 3, к = 1, 2,... (см. рис. 1). Объемы продукции, имеющиеся на предприятиях Б, Р и К к началу расчетного периода, обозначим как х^о, г = 1, 2, 3 соответственно. Тогда получаем мо-

дель поставок в виде дискретной линейной системы

Xi,k+1 = (1 - ai - öi)xik + Uk,

X2,k+1 = aiXik + (1 - (12 - Ö2)X2k + ßsXsk,

X3,k+i = a2X2k + (1 - ßs - ъ)хзк.

Предположим, что ежемесячные объемы отходов ¿1 и соответственно в пунктах S и Р известны неточно, и будем трактовать это в виде наличия неопределенностей Ai и в описании системы:

xi,k+i = (1 - - (¿1 + Ai))xik + ик, (8) X2,k+i = aiXik + (1 - ^2 - (Ö2 + A2))Х2к + ßssXsk,

X3,k+i = а.2Х2к + (1 - ßs - ls)xsk.

Обозначив вектор фазового состояния

Хк = (xik Х2к Xsk кТ, получим матричную запись системы (8):

xk+i = (А + FAiH + М Д2 N)xk + Вик

с матрицами

А =

ai - ¿i Q Q

ai 1 - a2 - §2 ßs

Q 0:2 1- ■ßs

F = ( Q 1, H = (1

Q

t Q \

M = (-1), N = (0

Q

В =

1

vQy

где хк е М3 — состояние объекта, ик е М — управление, Д^ М — скалярные неопределенности. При этом

A2

0 < 1 - ßs - 7з < 1,

(9) ai + öi + Ai < 1, i = 1, 2.

Целью управления является минимизация резких скачков объемов продукции в пунктах S, Р и R соответственно.

Примем ai = 0,7, ¿i = 0,1, = 0,5, ö2 = 0,2, ßs = 0,85, 73 = 0,15. Тогда из (9) получаем

|A| < min(|1 -a^ - öil, lau + ü|), i = 1, 2,

т.е. |Ai| < 0,2, |A2I < 0,3. Поэтому в качестве 7, максимального допустимого одновременно для Ai и A2, выберем наименьшее из вычисленных ограничений: 7 = 0,2.

Применяя теорему 2, с помощью пакета cvx [10] в среде MATLAB находим матрицу

/ 1,3863 -0,1522 -0,3593\ Р = 1-0,1522 1,7217 -0,1387 1 \-0,3593 -0,1387 1,4529 )

квадратичной функции Ляпунова, соответствующую матрицу

К = (-0,2868 -0,1667 -0,1053)

регулятора (6) и верхнюю оценку

£= 1,3343

максимального отклонения. При этом

max\\xk у = 1,2581, k

что свидетельствует о низком консерватизме полученной оценки.

На рис. 2 жирной линией показана динамика величины \\xk \\, а тонкими линиями — изменения фазовых координат замкнутой системы при некотором начальном условии xo из единичного шара и неопределенностях

Aj = 0,2sign(sin( k/2)), A2 = 0,2 sign(cos(2fc)), k = 1,2,...

Рис. 2. Отклонения траекторий для системы с цепью поставок между тремя пунктами

5.. Заключение

В статье продолжено изучение эффекта больших отклонений траекторий линейных систем с ненулевыми начальными условиями. Опираясь на ранее полученные результаты, установлены простые оценки отклонений для дискретных линейных систем при наличии структурированных матричных неопределенностей в матрице системы. Предложен подход к робастной минимизации отклонений в линейных дискретных системах управления при помощи статической линейной обратной связи по состоянию.

В дальнейшем авторы планируют рассмотреть и иные постановки задач, в частности, при наличии внешних ограниченных возмущений.

Литература

1. БАЛАНДИН Д.В., КОГАН М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2007. - 280 с.

2. ДОРОФЕЕВ Ю.И. Применение линейных матричных неравенств в задаче синтеза оптимального управления запасами при наличии структурных ограничений // М1жвщомчий науково-техшчний зб1рник «Адаптивш системи автоматичного управлшня». - 2015. - №1(26). - С. 13-25.

3. КВИНТО Я.И., ХЛЕБНИКОВ М.В. Верхние оценки больших отклонений в линейных системах при наличии неопределенности // Проблемы управления. - 2018. - № 3. - С. 2-7.

4. КОГАН М.М., КРИВДИНА Л.Н. Синтез многоцелевых линейных законов управления дискретными объектами при интегральных и фазовых ограничениях // Автоматика и телемеханика. - 2011. - №7. - С. 83-95.

5. ПОЛЯК Б.Т., ТОПУНОВ М.В., ЩЕРБАКОВ П.С. Идеология инвариантных эллипсоидов в задаче о робастном подавлении ограниченных внешних возмущений // Стохастическая оптимизация в информатике.-2007.-Т. 3, №1-1.-C. 51-84.

6. ПОЛЯК Б.Т., ТРЕМБА А.А., ХЛЕБНИКОВ М.В., ЩЕРБАКОВ П.С., СМИРНОВ Г.В. Большие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях // Автоматика и телемеханика. - 2015. - № 6. - С. 18-41.

Англ.: POLYAK B.T., TREMBA A.A., KHLEBNIKOV M.V., SHCHERBAKOV P.S., SMIRNOV G.V. Large Déviations in Linear Control Systems with Nonzero Initial Conditions // Automation and Remote Control. - 2015. - Vol. 76, No. 6. -P. 957-976.

7. ПОЛЯК Б.Т., ХЛЕБНИКОВ М.В., ЩЕРБАКОВ П.С. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. - М.: ЛЕНАНД, 2014.

8. BEMPORAD A. Discrete-Time Linear Systems. Lecture Notes on "Automatic Control". Part 1. - University of Tremo, 2010. - URL: http://cse.lab.imtlucca.it/ ~bemporad/teaching/ac/pdf/04a-TD_sys.pdf.

9. BOYD S., EL GHAOUI L., FERON E., BALAKRISHNAN V. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. -Philadelphia: SIAM, 1994.

10. GRANT M., BOYD S. CVX: Matlab Software for Disciplined Convex Programming, Version 2.1. - URL: http://cvxr.com/cvx/.

11. PETERSEN I.R. A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Linear Systems // Systems and Control Letters. -1987. - Vol. 8. - P. 351-357.

UPPER BOUNDS OF LARGE DEVIATIONS IN LINEAR DISCRETE-TIME SYSTEMS: THE ROBUST STATEMENT

Yana Kvinto, V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Senior Researcher, Ph.D ([email protected]).

Mikhail Khlebnikov, V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Laboratory Head, Doctor of Science ([email protected]).

Abstract: The paper is devoted to the study of the important effect of large deviations in linear dynamical systems with nonzero initial conditions. The study of transients is actual and practically significant direction in the linear systems theory. The common Lyapunov quadratic function for the family of systems with uncertainties and the invariant ellipsoids approach are used in the article as main technical tools. All the results obtained are also applicablefor non-stationary uncertainties: the only condition for an uncertainty is its spectral norm constraint. The analysis and design problems are considered, and the upper bounds of deviations for linear discrete-time systems with structured matrix uncertainties are obtained. The obtained results have the form ofsemi-definite programs, which are easy to solve numerically via standart software packages. Using the technique of linear matrix inequalities, the problem of minimization the magnitude of deviations while stabilizing the system via the linear static state feedback was investigated. Numerical simulations demonstrate the low degree of conservatism of the obtained approach. The results have a great potential for generalizations.

Keywords: linear discrete-time system, large deviations, structured matrix uncertainty, linear matrix inequalities, Lyapunov function.

УДК 519.7 ББК 32.965

DOI: https://doi.org/10.25728/ubs.2019.77.4

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии И.Б. Фуртатом.

Поступила в редакцию 28.08.2018. Дата опубликования 31.01.2019.