Решение задачи синтеза системыавтоматического управления многосвязным объектом с запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 681.5

А. З. АСАНОВ, В. С. КАРИМОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Решается задача синтеза системы автоматического управления многосвязным объектом с запаздываниями по состоянию, управлению и выходу на основе технологии вложения систем и метода компенсации запаздываний. Синтез системы управления проводится по трем случаям: синтез по свободной составляющей, синтез по вынужденной составляющей, синтез по свободной и вынужденной составляющим движения замкнутой динамической системы. Для каждого случая найдены соотношения, определяющие множество решений, и условия существования этих решений. Показана эффективность синтеза системы управления приведенным способом на примере. Многосвязный объект управления; синтез системы автоматического управления; запаздывания; вложение систем; параллельная компенсация запаздываний; упредитель Смита

Во многих современных технических объектах управления (ОУ) можно наблюдать явление запаздывания, заключающееся в том, что с началом изменения сигнала на входе ОУ сигнал на выходе объекта начинает изменяться только через некоторый интервал времени.

Запаздывания делятся на сосредоточенные и распределенные, причем сосредоточенные запаздывания могут быть локализованы по управлению, состоянию и выходу ОУ [1]. Примером объектов с запаздываниями по управлению могут служить реактивные двигатели в переходных режимах [2], ленточные транспортеры, прокатные станы, процессы сушки и горения, по состоянию - процессы с рециклом, в частности, процессы в измельчительных машинах или процессы в химических реакторах [3, 4], по выходу - объекты управления с более инерционными датчиками измерения, чем сам объект [1].

Как правило, влияние запаздываний на процессы управления негативно. Поэтому методы синтеза систем управления для вышеперечисленных объектов, не учитывающие фактор запаздывания, оказываются малоэффективными. Проблема конструирования подобных систем управления еще более усложняется в случае, если объект управления является многосвязным.

К настоящему времени известно значительное количество работ, посвященных исследо-

Контактная информация: public.mail@ksu.ru Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-08-00536)

ванию систем автоматического управления (САУ) с запаздыванием по управлению с одним входом и одним выходом [1, 4, 5]. Многомерным (многосвязным) системам управления с запаздываниями посвящено небольшое количество научных работ [1].

Недостаточно освящены в научной литературе вопросы синтеза систем управления с запаздываниями по состоянию, а также синтеза систем с запаздываниями по управлению, выходу и состоянию.

Целью данной работы является аналитический синтез многосвязной системы автоматического управления объектом с запаздываниями по управлению, состоянию и выходу. Для решения задачи синтеза САУ с запаздываниями используется технология вложения систем и канонизация матриц [6, 7], а также методы параллельной компенсации запаздываний [1, 5].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть линейный многосвязный объект с сосредоточенными запаздываниями по управлению, состоянию и выходу может быть представлен дифференциально-разностными уравнениями:

*(*) = ЕАгХ(( ~Хг ) + ЕВ]и (( - 01 ),

г=0 1=0 (1)

У(*) = Е,СгХ(1 -^г ),

г=0

где т0 = 0, 0 < т1, т2,..., %1 - постоянные времена запаздываний в каналах состояния и выхода,

00 = 0, 0 < 01, 02,..., 0Г - постоянные времена за-

паздываний в каналах управления, г = 0,. ,1,1 = = 0,...,г, и(1)е Я* - вектор входных перемен-

т

ных, у(1) е Я - вектор выходных переменных,

х(1) е Яп - фазовый вектор объекта управления. В нашем случае, матрицы Аг имеют размер пхп, Сг - тхп, являются числовыми и соответствуют временам запаздывания тг. Матрицы В^ размера пх* также являются числовыми и соответствуют временам запаздывания 0у. Слагаемые Агх(1 -- тг) описывают запаздывания сигналов на время тг во внутренних каналах ОУ, В^ - 0^) -запаздывания сигналов на время 01 в каналах управления, Сгх(1 - тг) - запаздывания сигналов на время Тг в каналах выхода.

Начальные условия зададим с учетом задержек сигналов в ОУ, то есть будем формально рассматривать отрицательные моменты времени 1 < 0, предполагая, что в объекте происходили динамические процессы до начального момента времени:

х(0 = фх(1), ^-X < 1 < ^,

и(0 = Фи (0, Ч -0 < 1 < ^,

где т, 0 - наибольшие времена запаздываний по состоянию и по управлению соответственно.

Необходимо добавить, что объект управления с запаздываниями должен быть устойчивым, так как в случае неустойчивого объекта применение любого закона управления, как правило, ведет к неустойчивости всей системы управления [8].

Задачу синтеза управления объектом с запаздываниями можно разделить в нашем случае на две части. На первом этапе решается подзадача компенсации запаздывания по управлению и выходу многосвязного ОУ с запаздываниями. На втором этапе проводится синтез системы автоматического управления для ОУ с запаздываниями по состоянию на основе реализации некоторого закона управления.

2. КОМПЕНСАЦИЯ ВХОД-ВЫХОДНЫХ ЗАПАЗДЫВАНИЙ

Применение преобразования Лапласа к уравнениям (1) дает операторную форму описания объекта:

I Г

РХ(Р) = Е Аг-е-ТгРх(р) + ЕВ1 е- ]Ри(Р) +

г=0 1=0

+ Фх (Р) + Фи (Р), (2)

У( Р) = ЕСг-е-ТгРх( Р).

г=0

Объект управления, представленный уравнениями (2), имеет вид, изображенный на рис. 1, а его матричная передаточная функция (МПФ), полученная путем известных преобразований, может быть выражена следующим образом:

l l r 0

W (p) = E Ctc~x‘p (pin - E 4e"T'p )-1 E jP.

i=0 i=0 j=0

Для компенсации запаздываний по управлению и выходу в объекте используем основные идеи упредителя Смита [1, 5].

Упредитель Смита и его обобщение на многосвязный случай. Упредитель Смита (рис. 2) основан на принципе динамической компенсации запаздываний, который заключается в предварительной компенсации влияния запаздываний на переходные процессы в контуре упреждения. В случае полного упреждения этот контур включает в себя разность модели объекта управления без запаздываний и модели объекта управления с запаздываниями. Следовательно, задачу регулирования можно решать без учета фактора запаздывания.

Предположим, что в многосвязных (многомерных) системах для решения задачи аддитивной компенсации запаздываний по управлению и выходу можно использовать идею упреждения Смита.

Следуя этому принципу, добавим параллельно к объекту контур компенсации запаздываний по управлению R(p) и контур компенсации запаздываний по выходу H(p) (рис. 3).

Контур R(p), компенсирующий запаздывания по управлению, можно получить как разность модели объекта без запаздываний по управлению и модели объекта с запаздываниями по управлению. Контур H(p), компенсирующий запаздывания по выходу, можно получить как разность модели объекта без запаздываний по выходу и модели объекта с запаздываниями по выходу. Тем самым используется идея, предложенная в схеме Смита: компенсация запаздываний с помощью подсистем, представляющих собой разность моделей объекта без запаздываний и с запаздываниями.

Контур, компенсирующий запаздывания по входу (рис. 3), может быть представлен в виде МПФ:

R( p) = Ec.e-tip (pin - E^ )-1 X

i=0 i=0

rr

X (E Bj - E Bj-e-0 jp),

j =0 j =0

а контур, компенсирующий запаздывания по выходу:

l l l r

н(p) = (E C -E Qe-Tip)(pin - E Ai-e-Tip)-1 EBj.

i = 0 i = 0 i = 0 j = 0

Очевидно, что контуры компенсации R(p) и H(p) должны быть выбраны таким образом, что при их параллельном присоединении к объекту W(p) запаздывания по входу и выходу полностью компенсируются:

i

W (p) + R (p) + H (p) = E C.e~xip X

i = 0

l r q

X (pin - E Ae-*ip)-1 E Bje-0jp +

i = 0 j = 0

+ Ece-t'p(pin - Eae-T'p)-1 X

i = 0

i = 0

r r q l l

x (X Bj- E Bj e-q jP) + (E Ci -E Ci e-tiP) x

jj j=0 j=0

i=0 i=0

x (pIn - E AieiP)-1 E Bj.

i = 0 j = 0

После сокращения одинаковых компонент получим

W(p) + R(p) + H(p) =

i f і Xі r (3)

= EQ \pin - EAe~4 EBj.

i=0 V i=0 J j=0

В результате компенсации получили объект (3), МПФ которой перестала содержать запаздывания по входу и выходу.

Необходимо добавить, что компоненты

l Г

МПФ полученного ОУ E Ci и E Bj можно

i=0 j=0

найти, приравняв времена запаздываний нулю в

компонентах исходного ОУ E Cie

-tiP

Е В^е 0]Р . Они обозначают обыкновенные мат-

1=0

рицы входа и выхода, которые в дальнейшем мы обозначим как С и В соответственно.

Таким образом, в результате аддитивной компенсации запаздываний получили модифицированный объект управления, содержащий запаздывания только по состоянию, который можно представить в виде дифференциальноразностных уравнений:

I

Х (0 = Е А,х(1 -X) + Ви(1),

г=0 (4)

у(1) = Сх(1 ),

г I

где В = Е В1 , С = Е Сг .

1=0 г=0

3. КОМПЕНСАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИИ ПО СОСТОЯНИЮ И ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Пусть регулярный закон управления в общем случае описывается матричным уравнением

G( p) g (p) = K (p) y (p) + u (p), (5)

где G(p) - матричная передаточная функция (МПФ) предкомпенсатора размера s х s, K(p) -МПФ регулятора размера n х s, g(p) є Rs -вектор управления на входе системы.

Полученный после преобразования Лапласа скомпенсированный объект (4) может быть представлен в виде:

px(p) = EAe T'px(p)+EBjU(p)+jx(p),

j=0

(6)

y( p)=E Cx( p).

Для ОУ (4) и закона управления (5) необходимо найти МПФ предкомпенсатора О(р) и регулятора К(р) или условия, их определяющие, при которых поведение САУ (рис. 4) будет описываться желаемыми матричными передаточными функциями Е ^ (р) и/или Eg (р).

МПФ Е^х (р) от начального условия фх к

выходу у - это свободная составляющая движения замкнутой динамической системы, МПФ

Е^ (р) от управляющих воздействий g к выходу у - это вынужденная составляющая движения замкнутой динамической системы.

Для модифицированного объекта управления с запаздываниями по состоянию (4) проведем синтез системы управления с использованием технологии вложения систем [6, 7, 9].

С учетом уравнений (5), (6) проблемная матрица (проматрица) рассматриваемой задачи будет иметь вид:

W( p) =

sp 1 0 ч и 1 к 0 - E Bj 0

i=0 j=0

l - EC 1m 0 0

' 0 K (p) Is - G( p)

0 0 0 Is

Репроматрица (реверсивная проблемная матрица, обратная проматрице [6, 7]) системы в обобщенном виде представляется следующим образом:

2 = 0

i = 0

и

i=0

r

W-1( p) =

Ejx (p)

Eg ( p)

Ejx (p) * * Eg (p) Ejx (p) * * Eg (p)

0 0 0 T

Здесь ЕІ (р) - МПФ от параметра і к параметру у. Блоки, не представляющие особого интереса, отмечены звездочками.

Матрицы вложения а и в, используемые при вложении систем, имеют вид:

а = [1 „ 0 0 0]т, р = [0 I и 0 0] при ю = Еух (р);

а

= [о 0 0 I s ]т, ß = [о I m 0 0]

при w = Eg (p);

а =

I„

0

0 0 0 I, • b = [0 1 - 0 0]

при ю = [Eg (p) Ejx (p)], где œ - образ синтезируемой системы, то есть желаемая передаточная функция системы.

Общая схема решения поставленной задачи заключается в последовательном выполнении процедур технологии вложения [6, 7] - последовательной факторизации матриц Q = ЕЕ, а = = ES, ß = пЕ, œ = nS. Это позволяет получить уравнения, которым должны удовлетворять МПФ предкомпенсатора G(p) и регулятора K(p), для трех случаев: при синтезе по свободной составляющей Ejx (p), при синтезе по вынужденной составляющей Eg (p), при синтезе

по свободной Ejx (p) и вынужденной Eg (p)

составляющим движения замкнутой динамической системы.

Для решения матричных уравнений, которые будут получаться в результате применения процедур вложения, возможно применение аппарата канонизации матриц [10].

Таким образом, задача синтеза системы автоматического управления с запаздываниями по состоянию сводится к стандартной задаче, основанной на технологии вложения систем для трех случаев синтеза.

1. Синтез по свободной составляющей движения замкнутой динамической системы

Ejx (p).

В этом случае свободное движение системы, обусловленное начальными условиями объекта, не зависит от выбора предкомпенсато-ра, поэтому закон управления принимает вид

u( p) = -K ( p) y( p).

Применение технологии вложения при синтезе по свободной составляющей дает следующее уравнение для определения регулятора

К(р):

Ejx (p)ZBjK(p)Zc. = ZC. -Ejx (p)x

j=0 i=0 i=0

і

(Т)

x (pin - Z Aie~Z‘p ).

Из уравнения (7) с использованием результатов [6, 7] можно выразить множество регуляторов:

K (p)} = (Ejx (p) Z Bj )(Z Ci

j =0 i =0

- Ejx (p)(pIn - z Ae-t'p))(ZCi ) +

(S)

i=0

i=0

г I

+б;ух (р) еВ1 т(Р)+л(р)Е С ,

1=0 г=0

где п(р), М-(р) - произвольные дробно-полиномиальные матрицы соответствующих размеров. Условия разрешимости уравнения (7) при применении метода канонизации, а значит, и существования множества решений (8) имеют вид:

Ejx (p) Z Bj x

j=0

x

і

Z Ci - Ejx ( p)( pI n - Z A-e-t'p )

i=0

i=0

= 0,

(9)

Z Ci - Ejx ( p)( pI n - z Ae-t'p )

i=0

i=0

—R

C = 0,

или

(10)

Ес -Е^Х (Р)(р1 п -ЕАе-т'Р) =

г=0 г=0

=е^х (р) Ев; (е^ (р) Ев; ~ я х( р),

1=0 1=0

Ес -Е^Х (р)(р1п -ЕАе-т'Р) =

г=0 г=0

= С(Р)(ЕС ) " ЕС,

г=0 г=0

где £,(р), х(р) - произвольные дробно-полиномиальные матрицы соответствующих размеров.

2. Синтез по вынужденной составляющей движения замкнутой динамической системы

е* ( р).

Применение технологии вложения при синтезе по вынужденной составляющей дает следующие уравнения относительно искомых передаточных матриц О(р) и К(р):

* *

i =0

т

L

r l l

Р x ( p) E BjK (p)E C = E C -p x (p) X

j=0 i=0 i=0

x (pIn- E4e-Tip),

i=0

r

Px (p) E BjG( p) = Eg (p),

(11)

'Х ^ 1

1=0

где рХ (р) - вспомогательная дробно-полиномиальная матрица размера т х п.

Используя результаты [6, 7], множество регуляторов и предкомпенсаторов в этом случае можно описать формулами:

K(p)^ = [(E Bj ~(T-1(p) X

T,1,J j=0

x

(Ec ~£ Ec

i=0 i=0

i( p)

■(pin - E A-e-T'p))+

r l ~ l

+ EBj j(p)](EC) +c(p)EC

j =0 i =0 i =0

G(p)^ = (E Bj) N-1 (p) x

N,X,k j=0

-----R

(12)

x

(Eg (p))L Eg (p) k( p)

+ E Bj X(p),

j=0

удовлетворяющими условиям разрешимости:

а) ранг матрицы Е^ (р) не превышает ранга

г

матрицы Е В 1 :

j=0

rankEg (p) < rank E Bj;

j=0

б) существует произвольная матрица X, до-

i ~

полняющая строчечный базис (E C )

i=0

l l

E Ci матрицы E Ci до размерности простран-

i=0 i=0

ства состояний n, и произвольная обратимая матрица T(p) размера т х n, при которых выполняются условия

(Ec ~L Ec

E Bj (t~1(p)

j=0

-(pin - E A-e-T'p)) = 0

i=0 i=0 1( p)

"¡p'i

K(p)^ = [(E B, )(T-1(p) x

t,i,j j=0

x

(Ec ~£ Ec

i =0 i =0

l( p)

- (pi n - E 4-e-t'p)) +

i =0

+ E b, J(p)]E C = 0;

j=0

i=0

в) существуют произвольные дробно-полиномиальные матрицы у(р) и п(р), дополняющие

I

столбцовые базисы матрицы Е Сг и желаемой

г=0

передаточной матрицы Е^ (р) до размерности

пространства состояний п, а также произвольная обратимая матрица Щр), при которой выполняются условия

h( p)i( p) = 0, EC (Ec )R h(p)

i=0 i=0

T( p) =

= [е I (р)(Е£ (Р)~й у( Р)К Р), где Ф(р), £,(р), х(р) - произвольные дробнополиномиальные матрицы соответствующих размеров, к(р) - произвольная дробно-полиномиальная матрица, дополняющая строчечный

базис желаемой МПФ Е^ (р) до размерности

пространства состояний п и удовлетворяющая условию

у(р)к(р) = 0 ,

матрицы Т(р), Щ(р), 1(р), п(р) и у(р) принимают значения, удовлетворяющие условиям разрешимости а), б), в).

3. Синтез по свободной Е^Х (р) и вынужденной Е^ (р) составляющим движения замкнутой динамической системы.

Применение технологии вложения при синтезе по вынужденной и свободной составляющим дает следующие уравнения относительно искомых передаточных матриц О(р) и К(р):

Ejx (p) E BjK (p)E C = E C - Ejx (p) x

j=0

i=0

i=0

x (pIn- E Aie~x‘p),

i=0

r

Ejx (p) E BjG( p) = Eg (p).

j=0

r

R

R

i=0

i=0

Рис. 1. Многосвязный объект управления с запаздываниями по входу, выходу и состоянию

Рис. 2. Скалярная система автоматического управления с упредителем Смита

Рис. 3. Параллельная компенсация запаздываний многосвязного объекта по управлению и выходу

Рис. 4. Система автоматического управления многосвязным объектом с запаздываниями по состоянию

Из уравнений (13) множество регуляторов и предкомпенсаторов может быть выражено следующим образом:

і

К(ри = (Е^ (р) £ Ву )(£ С, -

3 ■

у=0 і=0

і

- Е^ (р)(р1 п - £ Де-Т'р))(£ С,) +

і=0

і=0

+е; (р)£Ву т(р)+л(р)£С, ,

3 =0

(14)

¡о(р)1 = (е; (р) £ Ву ~ е g (р) +

3=0

+е;* (р) £Ву с(р),

3 =0

где п(р), М-(Р), х(р) - произвольные дробно-полиномиальные матрицы соответствующих размеров. Условия разрешимости уравнений (13) и получения множества решений (14) имеют вид:

-------------------ь

Г

е;* (р) £ Ву х

3 =0

х

£с,. - е;* (р)( рі п - £де-т-р)

і=0 і=0

= 0,

£с,. -е;* (р)(ріп -£д.е-^)

і=0 і=0

х

(15)

-Е

х £ С, = 0,

і=0

Г

-Ь

е;* (р) £ Ву Еg (р) = 0

у=0

или

£с, - е; * (р)( рі п - £де-т'р) =

і=0 і=0

Г Г ~

= (е;* (р) £ Ву )(е; (р) £ Ву)Е Х(р),

у=0 І=0

£с,. - е;* (р)( рі п - £де-т'р) =

і =0 і =0

= 1( р)(£с. ~Ь £с,,

і=0 і=0

(16)

е g (р) = (е; (р) £ в у) х

1 =0

г ~

х (Е^Х (Р) Е В;.)й к(р),

1=0

где Цр), £(р), к(р) - произвольные дробно-полиномиальные матрицы соответствующих размеров.

Таким образом, получены соотношения (8), (12), (14) с условиями существования этих решений (9) или (10), условиями а), б), в) при соотношении (12), условиями (15) или (16) соответственно, которые позволяют найти множество регуляторов и предкомпенсаторов, удовлетворяющих закону управления (5).

4. ПРИМЕР

Рассмотрим синтез САУ для некоторого объекта с запаздываниями по состоянию, управлению и выходу.

Пусть устойчивый объект управления задан следующими дифференциально-разностными уравнениями:

Х\(1) = - х1(1 ) - 0.5 х1(1 -1) - 3х3(1) + и1 (1 -1),

Х2 (1) = -2 х2 (1) + 2и2 (1) + и3(1 - 2),

Х3 (1) = -2 х2 (1) - х3 (1) - х3(1 -1) + и3 (1) + и1(1 -1),

У1 (1) = Х (1), У2 (1) = 2 х2 (1), У3 (1) = *3(1 -1).

Г

Е

Ь

і=0

П

Е

Следовательно, ОУ можно представить матрицами в пространстве состояний:

-1 0 - 3" - 0.5 0 0" "0 0 0"

= 0 0 2 - 0 , А, = 0 0 0 В о = 0 2 0

0 -2 -1 0 0 -1 0 0 1

"1 0 0" "0 0 0" "1 0 0"

в = 0 0 0 , в2 = 0 0 1 , С0 = 0 2 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

С =

0 0 0 0 0 0 0 0 1

с запаздываниями т1 = 1 с, т2 = 2 с.

На первом этапе введем в параллельную цепь объекта контур компенсации запаздываний по управлению:

1

К( р) = -

(р +1 + е у)

-х

(2(р + 1 + е Р) - 6)(1 - е Р) (2р + 2 + е-Р)

0

е-Р (1 - е-Р)

12(1 - е 2Р)

0

(2Р + 2 + е 'ХР + 2) 2(1 - е-2Р)(Р + 1 + е-Р)

(Р + 2)

- 2е-Р (1 - е-2Р)

(Р+2)

Я(р) можно представить в пространстве состоя-

1 0 - 3"

0 - 2 0 0 - 2 -1

ний матрицами А0 =

"- 0,5 0 0 " 2 "1 0 0" "0 0 0"

А = 0 0 0 , X в = 0 2 1 , в0 = 0 2 0

0 0 -1 -=0 1 0 1 0 0 1

"1 0 0" "0 0 0" "1 0 0"

в = 0 0 0 , в2 = 0 0 1 , С0 = 0 2 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

"0 0 0"

С = 0 0 0 с запаздываниями = 1с

0 0 1

Контуру компенсации запаздываний по выходу 1

Н ( р) =

х

0

0

1 - е

Р + е- Р +1

х

-р - 4(1 - е Р) - 2(1 - е Р) + (1 - е Р )(р + 2)

(Р + 2)

(Р+2)

можно поставить в соответствие матрицы в пространстве состояний

А =

X в =

-=0

" 3 - 0 -1 і 1 О 5 0 0 "

0 - 2 0 , А = 0 0 0

0 - 2 -1 0 0 -1

"1 0 0" 1 "1 0 0" "1 0 0"

0 2 1 , 'X С. = 0 2 0 , С0 = 0 2 0

1 0 1 г=0 0 0 1 0 0 0

С =

000

000

001

с временем запаздывания т1 = 1 с.

После применения компенсации получается ОУ в пространстве состояний, имеющий вид (4) и содержащий только запаздывания по состоянию:

1 1 0 - 3 1 1 5 0 0 "

А0 = 0 - 2 0 , А = 0 0 0

0 - 2 -1 0 0 -1

"1 0 0" 1 "1 0 0"

0 2 1 , 'X С. = 0 2 0

1 0 1 г=0 0 0 1

X в- =

-=0

величина запаздывания составляет т1 = 1 с.

На втором этапе осуществляется синтез САУ по вынужденной и свободной составляющим движения замкнутой динамической системы. Устойчивые желаемые МПФ в этом случае зададим в виде:

1

Е =

Еу ~

Е8 = Еу

р +1 0

0

1

р +1 0 1

р + 3 2

(Р + 3)(Р +1) Р +1

р + 3 2

р +1 (р + 3)(р +1) р +1

Выполним проверку существования множества решений регуляторов и предкомпенсато-ров по формулам (15), предварительно вычислив левый делитель нуля произведения

Г

(р) £ В у и правый делитель нуля матрицы

]=0

I

£ с помощью программных средств [11]:

2 = 0

-=0

0

0

х

0

2

ь

к

г =0

Следовательно, условия разрешимости

уравнений (15) полностью выполняются.

Значения регулятора и предкомпенсатора, удовлетворяющие закону управления (5) по формулам (14) при п(р) = 0, ц(р) = 0, %(p) = 0:

K (p) =

- 0,5e-

0

- 3

■0,25e-p 1.25 0.5(e-p - 3)

- 0,5e-

-2

3 - e-

G( p) =

10

0

0 0,5 - 0,5 0 0 1

Из анализа переходных характеристик следует, что МПФ полученной системы управления полностью соответствует желаемым МПФ.

Результаты имитационного моделирования подтверждают компенсацию запаздываний по состоянию, управлению, выходу и достижение желаемых процессов в системе управления.

Необходимо отметить, что полученный регулятор и предкомпенсатор несложно представить в виде цифровых моделей, реализованных в качестве алгоритмов, которые легко программируются на ЭВМ.

ВЫВОДЫ

После выполнения параллельной компенсации запаздываний и процедур технологии вложения систем получены формулы для регуляторов и предкомпенсаторов, а также условия существования множества решений регуляторов и предкомпенсаторов. Выражения для регуляторов и предкомпенсаторов были выведены для трех случаев синтеза: по свободной составляющей Е^х (р), по вынужденной составляющей Е^ (р), по свободной Е ^ (р) и вынужденной Е ^ (р) составляющим движения замкнутой динамической системы.

Предлагаемый в работе способ дает точное аналитическое решение задачи синтеза системы управления с запаздываниями по управлению, состоянию и выходу. Особенностью представленного подхода является то, что объект управления изначально является многосвязным (многомерным).

На числовом примере показывается эффективность применения предлагаемого способа решения задачи синтеза.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филимонов А. Б. Спектральная декомпозиция систем с запаздываниями. Компенсация запаздываний. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2002. 288 с.

2. Черкасов Б. А. Автоматика и регулирование

воздушно-реактивных двигателей. М.: Машино-

строение, 1988. 360 с.

3. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978, 416 с.

4. Алгоритмизация управления объектами с запаздыванием / Л. П. Мышляев [и др.]. Кемерово: Кемеровск. гос. ун-т. 1989. 83 с.

5. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 327 с.

6. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во науч. лит-ры Н. Ф. Бочкаревой, 2006. 720 с.

7. Асанов А. З. Технология вложения систем и ее приложения. Уфа: УГАТУ, 2007. 227 с.

8. Кирьянен А. И. Устойчивость систем с последействием и их применения. СПб.: СПбГУ, 1994. 236 с.

9. Асанов А. З., Каримов В. С. Применение технологии вложения в задаче синтеза САУ для многосвязного объекта с запаздываниями по состоянию // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 9. С. 13-19.

10. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации / В. Н. Буков [и др.] // Вестник Киевского университета. Вып. 1. 2002. С. 19-28.

11. Асанов А. З., Ахметзянов И. З. Канонизация матриц произвольного размера средствами МАТЬАВ // Тр. 2 всероссийск. науч. конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде МА^АВ». М.: ИПУ РАН, 2004. С. 796-804.

ОБ АВТОРАХ

Асанов Асхат Замилович, проф. каф. ПМиИ КГУ. Дипл. инж. по радиофизике и электронике (КГУ, 1972). Д-р техн наук по системн. анализу, управление и обработке информации (УГАТУ, 2004). Иссл. в обл. системн. анализа и теории управления.

Каримов Валерий Сергеевич, асс. той же каф. Дипл. инж. по автоматизации технол. процессов и производств (КамПИ, 2004). Иссл. в обл. теории автоматическ. управления, многосвязн. систем с запаздываниями.

p