Аналитические функции комплексного переменного с параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

_ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS_

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2019.90.12.002

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРАМИ

Научная статья

Алыбаев К.С.1' *, Нарымбетов Т.К.2

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1 2 Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Киргизская Республика

* Корреспондирующий автор (alybaevkurmanbek[at]rambler.ru)

Аннотация

В данной работе рассматриваются аналитические функции комплексного переменного с малыми параметрами порождаемые некоторыми операторами. Исследуется асимптотическое поведение функции, по малому параметру. Задача решена с использованиям линии уровня гармонических функции. Область аналитичности функции разделяется некоторыми линиями на части и в некоторых частях пределы (по малому параметру) существуют, а в других бесконечны или не существуют.

Ключевые слова: Аналитические функции; отображения пространств; линии уровня; параметры; пути интегрирования.

ANALYTICAL FUNCTIONS OF AN COMPLEX VARIABLE WITH PARAMETERS

Research article

Alybaev K.S.1, *, Narymbetov T.K.2

1 ORCID: 0000-0002-7962-534X;

2 ORCID: 0000-0003-0921-4542;

1 2 Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyz Republic

* Corresponding author (alybaevkurmanbek[at]rambler.ru)

Abstract

In this paper, we consider the analytic functions of a complex variable with small parameters generated by some operators. We study the asymptotic behavior of a function with respect to a small parameter. The problem is solved using line-level harmonic functions. The analytic domain of the function is divided by some lines into parts, and in some parts the limits (by a small parameter) exist, but in others they are infinite or do not exist.

Keywords: analytical functions; display spaces; level lines; options; integration paths.

Введение

Теория функций комплексного переменного имеют многочисленные приложения для решения задач гидро -аэродинамики, теории упругости, электростатистики, магнитных и тепловых полей и т.д. [1 ] , [2 ] , [ 3 ] . Следовательно развитие теории функций комплексного переменного для разработки новых методов решения различных математических и практических задач является актуальной.

Обозначения и вспомогательные понятия

• V, Д , С — соответственно множество натуральных, действительных и комплексных чисел;

• t = tx + i t2 — комплексная переменная, где tx, t2 — действительные переменные; i = V—1;

• е — малый положительный вещественный параметр, если функция зависит от е, "по е" будет обозначать е — 0;

• a (t) = a1 (tx, t2 ) + ia2(t1, t2 ) — комплекснозначная функция комплексной переменной, где afc ( tx , t2 ) (/с = 1 , 2 ) — вещетвеннозначные функции двух вещественных переменных;

• односвязная область в том смысле, что две любые ее точки можно соединить спрямляемой кривой;

• пространство аналитических комплекснозначных функций в ;

• пространство аналитических комплекснозначных функций в с параметром ;

• Множество (p/j) = { t 6 D \ a k( t^ t2 ) = p/ — с оns t] называется линией уровня функции a fc( t^ t2 ) ( 1 , 2 ) в области

;

• V t 6 D (a ( t) (P) — означает: для любого t из D функция a ( t) обладает свойством P:

Постановка задачи

Рассмотрим пространство <2£ (D ). Пусть z( t, е) 6 <2£ (D ).

Определение 1. Если для любого е 0 > 0 найдется S = S (е 0) такое, что при е < S для всех t 6 D (или на кривой

) имеет место неравенство

\z(t,e)-b(t)\ < е0

то будем говорить, что стремится при к функции равномерно относительно в области (или на

кривой ).

Далее согласно принятого определения исследуем задачу lim£ z (t, е). В частности к таким задачам сводятся исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений или систем в комплексных областях.

Решение поставленной задачи для произвольной функции комплексной переменной практически является неразришимой. Ограничимся рассмотрением некоторых аналитических функций комплексного переменного.

Пусть заданы пространства Q (D), QЕ (D) и оператор I Е переводящий элемент пространства Q (D) в элемент пространства Q £ (D ).

Если a(t) Е Q(D), то I£a(t) = z(t, е) Е Q£(D).

Представление аналитических функций на линиях

Справедливо утверждение: Гармонические функции принимают каждое свое значение на некоторых линиях (линиях уровня) и совпадают с постоянными на линиях будучи торжественно не равными постоянной.

Пусть и .

Рассмотрим на .

Поскольку z (t) Е Q (D) Л (р) с D, то и z (t) Е Q (р).

Функция z (t) в целом на линии (р) представляется в виде

z(t) = Rez(t) + ilmz(t) , причем в каждой точке t Е (р) функция Rez(t) принимает значение р согласно утверждения. Выражение означает значение функции в некоторой точке .

В нащих дальнейщих исследованиях при рассматрение аналитических функций на линиях будем учитывать такие представления.

Решения задачи для некоторых операторов

Пусть скалярная функция.

I. Определим оператор I Е ( a ( t)) = zt (t,e) = eхр Пусть t0 Е D и её внутренняя точка, и выполняется следующее условие:

Ul. a (t0) = 0 и VtED (a'(t) Ф 0).

Из условия Ul вытекает, функция a (t) в области D не имеет кратных точек и 10 является простым нулем функции a (t) [ l , 2 , 3 ] .

Область полностью покрывается взаимно ортогональными линиями уровней функций

Для внесения ясности в топологию области в терминах линии уровня введем в рассмотрение линию { tED \ a1 (ti, t2) = 0 } . В силу условия Ul такая линия существует. Линия (р±0) проходит через точку t0 и область D делит на части где выполняются соотношения

Vt Е D1(a1 (t t2) < 0 v a1 (tit t2) > 0) и t E D2(a1 (tit t2) > 0 va1 (ti, t2) < 0 ) причем выполнения a1 (ti, t2) <0 (> одновременно в двух областях исключается. Для определенности возьмём

, причем равенства имеет место только на линии

Рассмотрим следующие случаи:

1. Пусть t произвольная точка принадлежащая (р±0). Рассмотрим функцию

z ^ t,e) = e Функция ах ( tг, t2) принимает значение 0.

Отсюда вытекает для функции zx ( t , е) в рассматриваемой точке 1 im Е_ 0 zx ( t , е) не существует, но она ограничена по модулю. Точка t произвольная из (v±0), тогда Vt Е (v±0) предел 1i m£ _ 0 (t , е) не существует, но она ограничена по модулю.

2. t Е D1. Введем на рассмотрение линию

(РГ£) = {t е | а^, t2) = eine}

и область, ограниченную линиями (рt 0), (p-tЕ) обозначим DtЕ, а оставшуюся часть Dt обозначим Dtt. Линию (рt Е) отнесем к области Dt

Если t Е (DtЕ) , то Ii тЕ _ 0 zt (t,e) не существует, но | zt (t,e) | < 1 . Если t Е (ptЕ), то zt(t,e) = ехр-(аt(tt, t2) + iа2(tt, t2)) причем аt (t t2) = eIne. Отсюда для t Е (ptЕ)имеем zt (t , e) _ 0 по e. Далее Vt Е Dtt (zt (t , e) _ 0 по e). 3. t Е D2. Рассмотрим линии

(p+) = {t 6 D21 ax (ti, t2) = -eine}

Область ограниченную линиями обозначим оставшуюся часть обозначим . Линию

отнесем к области D21. Далее, если t Е D2Е, то НтЕ _0 zt(t, e) не существует, но по мере приближения t к линии модуль растет по для и имеем по

Примечание. Если условие U заменить на следующее.

tri. a(t0) = 0, a'(t0),... (t0) = 0,a(n)(to) Ф 0

Vt £ DM ± t0 (a(t) ± 0),

то линия (р10) в точке t о разветвляется и област D разделяет на 2 п частей, причем ровно в 2 п областях (содержащие ветви (р 1 0) ) предел z(t , е) по е не существует, а в п областях Zi (t, е) ^ 0 или Zi ( t, е) — оо по е . Такие области чередуются. К примеру a (t) = t", п £ V. II. Пусть

г

z2(t,e) = /£(a(t),b(t)) = - I Ь(т)ехр

a(t) — а( т)

cZT

(1)

Пусть выполняются условия: ¿72 . а(£) £ (? (// ) А Ь (£) £ (? (//) ; из . а (£0) = 0 и V £ £ // (а '(0 * 0) . Согласно 72 г2 ( £,е) £ (? £ (//) .

Как и в предыдущем случае определим линию (р 1 0) и области //2 .

Для исследования функции г2 (£,е) по е определим пути интегрирования. Согласно 72 функция г2(£,е) £ <2£ (// ) . Следовательно пути интегрирования можно выбрать произвольными, но полностью принадлежащими // . Если , то путь состоит из части соединяющую точки и .

Если или , то путь состоит из части соединяющую точки и части линии

а 2 ( ¿1, £2 ) = Р 2_ с 0 ^ £} соединяющую точки £ £//1 или //2 . Линии (р1 о) , (р 2 ) порождаемые гармоническими функциями, а /с( £2) (/с = 1 , 2 ) являются аналитическими кривыми и их уравнения можно представит параметрически [1 ] , [2 ] , [ 3 ] . В качестве параметра возьмём длины кривых ^ 0) , (р2 ) . Пусть 5 длина кривой (Р]^ 0) отчитываемого от точки £0 до точки £, и т длина (р2) от точки £ до £. Уравнение кривой (р10) представим в виде

а уравнение кривой в виде

гг = ^(т), г2 = ь2(т), о < т < т < +оо,

где текущие координаты точек принадлежащие кривым .

С учетом выбранных путей интегрирования и их параметрическое представление, (1) представим в виде

1 fs

z2(t,e)=- b(r(s))exp £ J о 1 Г9

H— I b(j(a))exp

£ Je,

а(т(ст) — a(r(s))

dr(s) +

а(т(<т) — а(т(т))

(2)

dr (a).

Сначала рассмотрим случай t £ ^ 0) . Из (2) имеем

1

,(t,e) = jj b(r(s))exp

ilm a(j(&) — ilm a(r(s))

czt(s)

(3)

Интеграл (3) про интегрировав по частям получим

Ь( r(s)) Ь(т(0))

z2(t,e) = -

■ +

(i/m a(r(s))) ' (¿/та(т(0))) '

■ exp-

ilm a(r(s) — ilm а(т(0))

-r

-'o

b(r(s))

(¿/ma

ilm a(r(s) — ilm a(r(s)) exp-cZt(s).

(4)

В (4) интеграл в правой части имеет порядок е. Следовательно г 2( е) не имеет предела по е, но ограничена по модулю.

Пусть £ £ Из (2), интегралы в правой части проинтегрировав по частям, получим

+

b(т(§)) 1 ( , л , л\

z2(t,e) = —----г- ■ ехр — 1а[т(а)) - Ита{т(§)))

[ilm а(t(s))J е 4 У

b(r(s = 0)) 1 Г / ^чЛ / , чМ

+ -,-г- ■ ехр—[а(т(а)) — ilm a(r(s = 0)JJ —

(ilm a(r(s = 0))J ' e Ь(т(ст)) Ь(т(а = 0)) a(r(ff)) - а(т(ет = 0)) a'(т(ст)) а'(т(а = 0)) бХР e

ГЬ(т(<т)) '

-г

-'о

i'(T(<T))J

a(T(ff)) - а(т(а)) exp-ат(а).

В (5) а(т (сг = 0) ) = Ит а(т (5) , Ь(т (ст = 0) ) = Ь(т (5) , а интеграл имеет порядок е. Для значений 0 « & имеем Д е а (т (<г) ) «< 0 . Тогда

Ь(т(ор) Ь(0

г ( е) —--,) .„Л. =--7-г (6)

а (т(а)) а (О

Пусть £ 6 £>2. Рассмотрим линию (рх £ = — е /пе) с £>2. Линией (рх £) область £>2разделяется на части £>2 хи £>2 2-Если линия (Д еЛ (т (ст) ) = рх) 6 £>2 то 0 < рх < — е /пе . Если (рх) 6 £>2 2 , то — е /пе < рх. Тогда V £ 6 £>2 2 имеем ехр^Д еа (т (<г) ) — + оо по е. Отсюда следует ехр^Д е а (т (<г) ) — + оо по е. Из (2) имеем

-1

i i

|z2(t,e)| >-ехр-Иеа(т(а))

\z2(t,e) |

Деа(т(*))|й(т(<т))|

, где

| z2 ( t, е) | ограничена, а интеграл имеет порядок е. Таким образом, V t 6 D2 2 | z2 ( t, е) | неограниченно по е. III. Рассмотрим векторные аналитические функции комплексного переменного. Определение. Пусть a(t) = (ax (t) , a2(t) , a^(t) 6 D(/ = 1 ,2 ) и

то будем говорить, что векторная аналитическая функция комплексного переменного с компонентами .

Пространство таких функций обозначим <22(D). Пространство функций z( t, е) = (zx ( t, е) , z2( t, е) ) обозначим

<22 (D ) .

Норму определим так

для .

Пусть: z ( t, е) = /£ (a (t) ) = ( ехр^,ехр^) , тогда z (С,е) 6 <2(D ) ; и выполняется условие

Í/2. аД t0) = 0 и V t 6 D ( a } Ф 0 ) , a х ( t) Ф - a 2( t) , / = 1 , 2 .

Из U2 вытекает, что функции a^( t) в D не имеют кратных точек и через каждую точку области D проходит единственная линия уровня функций Rе a^( t) , /ш a^( t) . В отличие от примера I в данном случае область D

покрывается линиями уровней двух пар (r е a7- ( t) , /ш a7- ( t) ) (/ = 1 , 2 ) и это затрудняет описание топологии области D в терминах линии уровня. Но согласно U 2 линии

(Р}о) = {t Е | fie üj(t) = 0 (J = 1,2)}

пересекаются в точке .

В общем случае линии (pj0) могут иметь несколько точек пересечения отличных от t0 и определить такие точки практически невозможно.

Для наглядности предположим:

U 3 . Линии (р|0) в области D не имеют других точек пересечения, кроме точки t0.

Тогда в силу область линиями разделяется на четыре части и только в одной части, эту часть

обозначим Dx, выполняются соотношения.

V t 6 Dx (R е a^ ( t) < 0 ) , причем равенства имеет место только на границе Dx, состоящее из частей линии (р}0) (рис.

1).

Рис. 1 - Деление области D линиями (р,-0 )

Заметим, если в условии ¿72 а х ( £) = — а 2( £) , то линии (р|0) (/ = 1 , 2 ) совпадают и область £> разделяется на две части, при этом не существует область, где одновременно выполняются неравенства Д е аД £) <0 (/ = 1 , 2 ) .

Линиями уровня (р|£ (+) ) = { t £ D \ R е а^ ( t) = + е Zn е) области Dfc(fc = 1 ,2 ,3 ,4) разделим на части D£m (m = 1, Д ..., 8, Dk0k=1, 2, 3, 4 (рис. 2).

Рис. 2 - Деление областей Dfc (/с = 1 ,2 ,3 ,4)

Далее исследуем предел

( 1 1 \ lim /£ (а (t)) = ( lim exp — ах (t), lim exp — а2 (t) j.

Если учесть результаты I, то

Vt £ D10 (lim£^0/£(a(t)) = (0,0)) ; Vt £ Dfc0(lim£^0/£(a(t)) = »),

Для областей D£m пределы lim £ _ 0 /£ ( a ( t) ) не существуют. IV. Пусть a (t) = (ax (t) ,a2 (t) ) , a,-(t) £ Ç (D ) ;

b(t) = (MOACO). b7-(t) £ Ç(D); rt ai(T) , ^ , rÙ аг(т)

/£(a(t),a(t)) = ( J exp-Ь, (t)gît, J exp-Ь2(т)с?т)

и выполняются условия 72 , 73 .

Для этого случая, учитывая вычисления проведенные в случаях II, III получим V £ £ / 0 (Нт£ _0/£ (а (£) , Ь (£) ) = 0,0,' О/еа, Ь=я,

а для областей пределы не существуют.

V. Пусть а (£) £ <2 (// ) , г ( £, е) £ <£ (// ) и а (£) , г (£, е) — скалярные функции;

/£ (а ( £) , г ( £, е) ) = г0ехр ^ + Г4 ехр а(0"а(т) г (т, е) йт, где (7)

£ £

константа не зависящая от . Далее будем рассматривать пространство с множеством Н = { £ £ // | | г (£, е) | < М0 — некоторая положительная не зависящая от е} Пусть выполняется условия . Решим задачу при каких условиях

Va(£) £ <2 (// ) л Vг( £, е) £ <£(// ):/£ (а (£),г (£,е) ) £ <£(// ) с множеством Н. Для решения этой задачи как и в I определим линию (р 1 0) и области //2.

В (7) пути интегрирования определим как и в случае II и используем их параметрическое представление. Пусть £ £ (р —0) . Тогда из (7) имеем

/ л а(1(§)

г*{р,е) = 1Ла{р),г{1, е)) = г0ехр--Ь

е

+ [ г(т(5),е)ехр-( ( ) ¿т(5) (8)

Л е

где R е а ( t (s) ) = О, R е а (т (s) ) = О

Поведение интеграла в (8) при е — О, имеющимися сведениями о функции z(т (s) , е) невозможно определить, но этот интеграл ограничен. Наличие первого слагаемого показывает, в рассматриваемом случае, предел

не существует. Из(8) переходя к модулю получим

|z*(t,£)| = \lE{a{t),z{t,e))\ < \z0 \ +M1s,

где

Отсюда при

\z"(t,e)\ = \lE(a(t),z(t,e))\ < M0, |z„| < M0 Теперь рассмотрим случай t 6 . Для этого случая из (7) имеем

. , . . . Rea(t(a)) + ip2

z {t.e) = IE(a{t),z{t,£)) = z0exp--

e

(Rea(t(a)^ + ip2 ilma(r(s)>)

_ £ eXp (Rea(t(g£)) + ^ - '/ma(T(S))j ■ z(t(.), e)dT(s) + (10)

Rea(t(ß)) - Rea(x(S))

s

Jo

где

В (10) проведем следующее преобразование

\ Rea(t(a)) ip2

z {t,£)= exp-1 z0exp--Ь

£ £

Г5 Ф? — Ита( Т(Б))

+ г(т(а), £)ехр—-^-^сВД] +

}о е

Г9 Rea(t(a)) - Rea(т(a))

+ г(т(а), е)ехр--■ с/т (а).

■Iо е

В (11) выражение содержащееся в [ . . . ] даёт функцию г* (£, е) . Учитывая это (11) перепишем в виде

Rea(t(a)) Г9 Rea(t(a)) - Rea(т(a))

£ X, £

(11)

(12)

Если t 6 £ (определена в I), то из (12) вытекает

z» ( t, е) | < z*exp R е а ( t (g) ) + М0М0 2 £ У" (t _ R ^ (т (*> ^т, (13)

где

К интегралу (13), применяя метод интегрирование по частям (функция Д е а ( £ (а) ) строго монотонна вдоль линии , что и обеспечивает такую возможность) получим

Г9 Rea(t(a)) - Rea(t(a))

exp--------da < M03£,

Jo £

где 0 < М0з — некоторая постоянная не зависящая от е. Таким образом

I г** ( £,е)| < | г* (£,е) | ехр^р^ + М4е, где М4 = М0М02 М0з.

По определению Если то

\г"(С,£)\ < е)| + М4е < М^ + М4е,

Отсюда при условии 5 < ——— < ———, следует неравенство

|z"(t, е)| < М0.

_ _ Rea(t(cг)) ,

Если t £ Dx то ехр—^—- = о (е') , n £ N.

В этом случае V t £ Dx х ( | z * * ( t,e) | < М0)

Пусть t £ D 2 = D 2 £ UD 2 (11) представим в виде

z"(t, e) = ехр fiea^(-g'-)) jz*(t, e) + f^ г(т(а), e) -exp fiea(t(g'-)) dr(cr)j.

Если t £ D2£, то | z * * ( t, е) | — органичена.

Если t £ D2£, то е xp^^—^ — oo а выражение содержащееся в [ . . .] ограничена по модулю. Следовательно | z * * ( t, е) | не ограничена.

Выводы

Таким образом доказано, что аналитические функции (скалярные или векторные) с малыми параметрами обладают рядом специфических свойств. В частности существуют линии делящие области на части и на таких линиях и областях примыкающих к данным линиям пределы функции по малому параметру не существуют, а в других

областях бесконечны или существуют и в последнем случае предельная функция принадлежит к пространству или Q(D ) (D' с D ).

При рассмотрении операторов отображающих элементы из пространства и

с множеством элемент только при определенных условиях

принадлежит пространству с множеством

Конфликт интересов Conflict of Interest

Не указан. None declared.

Список литературы / References

1. Евграфов М.А. Аналитические функции / М.А. Евграфов. - Москва: Наука, 1991. - 448 с.

2. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - Москва: Наука, 1973. - 739 с.

3. Федорюк М.В. Метод перевала / М.В.Федорюк. - Москва: Наука, 1977. - 368 с.

4. Алыбаев К.С. Метод линий уровня исследования сингулярно возмущенных уравнений при нарушении условия устойчивости / Алыбаев К.С. // Вестник КГНУ. - Серия 3, Выпуск 6. - Бишкек, 2001. - С. 190-200.

5. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями /К.С. Алыбаев, К.Б. Тампагаров //Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. № 10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. - С.59-66.

6. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных /М.А.Шишкова//Доклады АН СССР. - 1973. - Т. 209, № 3. - С. 576-579.

7. Алыбаев К.С. Построение областей притяжения при вырождении сингулярно возмущенных уравнений /К.С. Алыбаев, А.Б. Мурзабаева // Международный научно-исследовательский журнал. № 9 (75). Екатеринбург, 2018. - С. 711.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Evgrafov M. A. Analiticheskie funkcii [Analytical functions]/ M. A. Evgrafov. - Moscow: Nauka, 1991. - 448 PP. [in Russian]

2. Lavrentiev M. A. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions of a complex variable] / M. A. Lavrentiev, B. V. Shabat. - Moscow: Nauka, 1973. - 739 p [in Russian]

3. Fedoryuk M. V. Metod perevala [The method of the pass] / M. V. Fedoryuk. Moscow: Nauka, 1977. - 368 p. [in Russian]

4. Alybaev K. S. Metod linij urovnya issledovaniya singulyarno vozmushchennyh uravnenij pri narushenii usloviya ustojchivosti [Method of level lines of the study of singularly perturbed equations in violation of the conditions of stability] / Alybaev K. S. // Vestnik KNU. - Series 3, Issue 6. - Bishkek, 2001. - Pp. 190-200. [in Russian]

5. Alybaev K. S. Metod pogranslojnyh linij postroeniya regulyarno i singulyarnyh oblastej dlya linejnyh singulyarno vozmushchennyh uravnenij s analiticheskimi funkciyami [Method of boundary-layer lines of regular and singular domains construction for linear singularly perturbed equations with analytical functions] /K. S. Alybaev, K. B. Tampagarov //Natural and mathematical Sciences in the modern world: collection of articles based on XLVII international scientific-practical conference. No. 10 (45). Russia, Novosibirsk: Sibak, 2016. - Pp. 59-66. [in Russian]

6. Shishkova M. A. Rassmotrenie odnoj sistemy differencial'nyh uravnenij s malym parametrom pri vysshih proizvodnyh [Consideration of one system of differential equations with a small parameter at higher derivatives] /M. A. Shishkova/ / Reports of the USSR Academy of Sciences. - 1973. - Vol. 209, No. 3. - Pp. 576-579. [in Russian]

7. Alybaev K. S. Postroenie oblastej prityazheniya pri vyrozhdenii singulyarno vozmushchennyh uravnenij [Construction of regions of attraction at degeneration of singularly perturbed equations] / K. S. Alybaev, A. B. Murzabaeva / / international scientific research journal. No. 9 (75). Ekaterinburg, 2018. - Pp. 7-11. [in Russian]