Аналитическая оценка двойного гибридного ВКБ-Галеркин решения нелинейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 61-74.

УДК 517.928

А. М. ПогРЕБицкля, С. И. Смирнова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ДВОЙНОГО ГИБРИДНОГО ВКБ-ГАЛЕРКИН РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В работе приведена аналитическая оценка двойного гибридного ВКБ-Галеркин решения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, возникающего в ряде задач математической физики. Доказан асимптотический характер полученного гибридного решения.

Ключевые слова: нелинейное уравнение второго порядка, гибридное ВКБ-Галеркин решение, асимптотичность приближенного решения.

Введение

Методы возмущений или асимптотические методы малого параметра для решения дифференциальных уравнений представляют собой один из наиболее мощных способов современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений достаточно сложных линейных и нелинейных краевых задач, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Как показано в работах у роботах [1],[2], одним из эффективных асимптотических подходов является гибридный метод, идея которого состоит в применении любого асимптотического метода (метода возмущений, ВКБ и других) и метода Га-леркина. Использование гибридного асимптотико-численного метода на базе двойного асимптотического разложения в нелинейных уравнениях является одним из новых направлений исследования задач математической физики. Основная идея этого подхода приведена в работе [3].

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами общего вида:

е2Т"(х) + а(х, е)Т'(х) - вЬ(х, е)Я(Т) = 0, (1)

^ = Б*, Т (/)= ^ *, (2)

ах

где е, в — малые параметры, а(х,е), Ь(х,е) — некоторые непрерывно дифференцируемые функции, причем а(х,е) = 0(е2), Ь(х,е) = 0(е2).

Функция Q(T) может быть целой рациональной, при условии, что наивысший показатель степени т > 2 — целое число, или раскладываться в ряд Маклорена.

Для получения замкнутого аналитического решения уравнения (1) используется метод двойного гибридного асимптотического разложения (см. [6]). Впервые гибридный ВКБ-Галеркин метод был предложен Грищаком В.З. (см. [2]). На первом этапе применения данного подхода, представляя функцию Т(х) в виде ряда по степеням параметра в:

Т(х, в) = То(х) + вТ1(х) + в2Т2(х) + ..., (3)

получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

е2Т00 + а(х)Т0 = 0, (4)

е2Т1 + а(х)Т1 = ЬШ(То). (5)

1. Построение аналитического решения линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

Согласно [3] гибридное ВКБ-Галеркин решение уравнения (4) имеет вид:

Тн(х) гО(х1 + гСШ- (6)

То(х) = С1 -Щх)+ С2 Ш, (6)

где

С1(х) = ехр ^! 5о1 д1 (т) йт^ , С2(х) = ехр ^^5о2д2 (т) йт^ , (7)

*>1Л = с±х/1 + С2, с = д(а) -д(/)

4/ д/д3(х) йх

а

х

Е(х) = ехр ^ У а(т) йт

V а /

Рассмотрим дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка (5). Построим гибридное ВКБ-Галеркин решение этого уравнения для случая, когда

функция а(х) дифференцируема на отрезке [й, ] и не обращается в нуль на этом отрезке. Пусть на концах отрезка выполняются условия

Т (й) = 0, ВД) = 0. (8)

Для получения решения неоднородного уравнения (5) используем метод вариации произвольных постоянных (см. аналогично [7]), т.е. решение Т(х) уравнения (5) будем искать в виде:

ТН (х)= к1(х) Ш + к2(х) Ш. (9)

Тогда решение уравнения (5) принимает вид:

тн(х) = - 2(А ^х))р() (/ Е(т)Ьгыъ Лт++

1 () £ ($02 - ¿0!)Е(х)\.1л л/д(У)С1(т) )

+ С2(х) (} Е(т)Ь(т)Я(То) + , , - ¿0!)Е(х) \ У л/д(т)С2(т) I

Определив функции Тн (х), Тн(х) и подставив их в ряд (3), получим приближенное аналитическое решение уравнения (1) в виде:

ТН (х)= С1 С2

+ в

С1(х) (г Е(т )ь(т МТо) йт + ,1, +

£2(§02 - ¿0!)Е(х) и л/д!Г)С1(т)

(X

? Е(т)Ь(т)Я(Т0) + , I /д{г)С2(т) + 2

(11)

2. Асимптотический характер гибридного ВКБ-Галеркин РЕШЕНИЯ

Двойное гибридное решение уравнения (1) строится на базе комбинации метода фазовых интегралов и метода Галеркина, поэтому можно ожидать, что при малых значениях параметра решение имеет асимптотический характер.

Используя определение ег-асимптотического решения (см. [10], с. 291), докажем асимптотичность гибридного ВКБ-Галеркин решения (6) уравнения (4) на отрезке [й, f ] с краевыми условиями

Т0 (й) = Б*, Т и ) = Б *. (12)

Теорема 1. Если существует единственное 'решение Т0(х,е) краевой задачи (4),(12), а функция а(х) = а(х,е) дифференцируема по х на отрезке [й,Д, не обращается в нуль на этом отрезке и удовлетворяет условиям а(х,е) = 0(е2),

а ^ л/д(х) ^ в на [а,/], а Ь(х) = Ь(х,е) дифференцируема по х на отрезке [й,/] и Ь(х,е) = 0(е2), тогда для любого х € [й, /] функция (6) является е-асимптотическим решением уравнения (4).

Доказательство. Вычисляя первую и вторую производные гибридного ВКБ-Галеркин решения (6) и подставляя их в уравнение (4), получаем, что Тн является общим решением уравнения

е2(ТН)" + ( а(х) - е2 (Щ + 2^)0^ (Т,Н)

аЩШ>+2^С;)ТН = 0• (13)

Используя способ, основанный в [10], обозначим

н

[0

и запишем уравнение (4) в виде

Бо = То - ТН (14)

^ + {а™ - е2 (Ц + 2^0) )Т° ~ ^ (Щ + 2 ^0) То =

2 (Ш ^о) Т - ^ (Щ +2^Шо) То. (15)

= -е7'..;;'--......V - 2

Обозначим

/ п'(х) ^

г=-(Ш+2^0)- (16)

Находя разность уравнений (15) и (13), используя (16), получим уравнение, которому удовлетворяет функция Бо:

е2Б^ + (а(х) + е2Г)Б> + ^ГБо = (е2Т> + ^То) Г. (17)

На концах отрезка [й, /] функция Бо удовлетворяет краевым условиям

Б0 (й) = 0, Бо (/) = 0. (18)

Уравнение (17) можно рассматривать как неоднородное уравнение относительно Бо. Тогда, согласно [11], в случае, когда соответствующая линейная однородная задача (17)-(18) имеет только тривиальное решение (это выполняется кроме

случая ехр(2^1/е2 + О2 / ^йх)= "), интегральное

представление решения линейной неоднородной задачи (17)-(18) имеет единственное решение

/

Бо = 10г(х, в) (е2ТЬ + ^То) Г йв, (19)

а

где 0г(х,в) — функция Грина задачи (17)-(18).

Функция Ст(х,в) определена при х € [й, и], 8 € (й, и) и при каждом § € (й, и) обладает следующими свойствами:

1) при х = в функция От(х, в) удовлетворяет соответствующему линейному однородному уравнению

е2Б1 + (а(х) + е2Б)Б0 + ^ Р°0 = 0; (20)

2) при х = й и х = и функция От(х, в) удовлетворяет краевым условиям (18);

3) при х = в функция От(х, в) непрерывна по х, а ее производная по х имеет разрыв первого рода со скачком, равным 1/е2, т.е.

Ст(в + 0, в) = Ст(в - 0, в), Ст'х(в + 0, в) - Ст'х(в - 0,в) = 1/е2.

Чтобы найти функцию Грина задачи (17)-(18), нужно построить решение Б0!(х) = 0 уравнения (17), удовлетворяющее только первому (х = й) условию (18), и решение Б)2 (х) = 0, удовлетворяющее второму краевому условию.

Обозначим два линейно независимых решения уравнения (13) Т^1 и Т^2:

ТН! = Ех) = Мх)е*Р ((С + /1/е2 + °2) 1/д(т~) йт ) , (21)

ТН = = ( (С - /1/е2 + С2)| /дМйт ) . (22)

Е(х) Е(х)

а

Тогда функции Б! и Б2 могут быть определены как

Б0! = ТН! - ТН2, (23)

Б02 = Т0Н! -

- ехр (2/1/£2Тс2[ /дмйх)и + уЛЕ+С5) - а(и)/2е2ТоН2 Р\ { I /ШС - /1/е2 + С2) - а(и)/2е2 0

(24)

Функцию Ст(х, в) будем искать в виде

С = I(р(в)Б0!(x), й ^ х ^ в,

ГХ,в =\ф(в)Б02(х), в < х < Ш.

Функции ^(в) и ф(в) выбираются так, чтобы выполнялись условия, накладываемые на функцию Грина, т.е., чтобы

Ы(в)Б02 (х) = <р(в)Б0! (х), \ф(в)П>02(х) - ф)^!(х) = 1/е2.

х

Отсюда

ф) = Б2 (в)

ф) =

e2(Do 1 (s)D>02(s) - DQг(s)Do2(s))'

_Do i (s)_

e2(Doi(s)D'02 (s) - DQi (s)Do2(s))'

Обозначив

P* = Do 1 (s)D'02 (s) - DQ1 (s)Do2 (s), f

e* = eM2VWTG i Vg(X) dx)+ ) - a(f )T2e2 = 1.

J ' VgÜ)(G - VW+G) - a(f )/2e2 = '

d

и учитывая (23)—(24), получим

p* = (TH1 - TH2) ((T0H1)' - e* (TH2)') - ((T0H1)' - (TH2)') (T0H1 - e*T0H2) =

= (T/H1 (TH2)' - (TH1 )'TH2) (1 - e*). Учитывая (21)—(22), и то, что

(TH1 У = tH1 ^ - aM + VM ( G + ßr+G^).

+ vMx)^G-yj 1 + G2^ .

№Hn/_ rpH2 a(x)

(To ) = To

имеем

p* = -2^ 1 + G2 VaiX)TH1 TH2(1 - e*) =

= -2^ 1 + С2 /д(х)(1 - е*) ЕЩехр (2^ у/д(1) й1 Тогда функция Грина примет вид

(й^х ^ ^

Ст(х,в) = (..< х , и

Запишем решение задачи (17)-(18) с помощью функции Грина

/

-2гг' + _

2

Do = j Gr(x. s) (e2To + ^T^j F ds =

d

(T0H1 (s) - e*TH2(s))E2(s) (e2TQ + ^To) Fds

H H X (TH1 (s) - e*To

= -(T0H1 (x) - TH2 (x))

■Jd 2eV 1/e2 + G2^/g(s)(1 - e*)exp 2Gf^g(tjdt

d

н н / (ТН1 (в) - ТН2(в))е2(в) (е2Т> + ^То} Гйв -(ТН1 (х) - е*Т0Н2(х)) -^-(-И-^

X 2е2/1/е2 + О2/д(д(1 - е*)ехр(20/ /дЩйЬ

V а

Сделаем некоторые оценки

|011 * тах{01,02} = Ь, |02| * тах{01,02} = Ь,

Г

/д(в)

20 +

д'(в)

2д(в)л/М

* 2|0| +

Шв)1

2 т1п |д3/2(з)|

= К,

Ь(х, е)

* В ехр ( 20 J /дЩйЬ I ^ ехр(20а(в - й)) ^ К,

где

N =

¡1, а > 0,

\ехр(20а(/ - й)), а< 0. Учитывая (25)-(28), можно записать

1

(25)

(26)

(27)

(28)

|Бо| *

2^1/е2 + О211 - е*|

ТН1 (х) - ТН2 (х)) ■

/

+(Т0Н1 (х) - е*Т0Н2 (х)) I

(ТН1 (в) - е*Т0Н2 (в)) Г ^Гт I а(в)

а ехр [20 ]л/дЩ йЬ

(Т( (в) - ТН2 (в)) Г _2,./ , а(в)

^Е2 (в)[ То + ^То) йв+

Н2

ехр( 20 / л/дЩйЬ

„т Е2{в)У Т 1 *

*

(1011 + |02|)(|01| + е*|02|)

2/1/е2 + О211 - е*Е2(х)

Ь2е 1 + е*

Г Е(в)(Е(в)То)' йв

ехр (20/лДЩ йЬ

а

*

*

N у/1 + е202

Обозначив

получим

или

|Б | *

С=

Се

1 - е* Ь2К

N

К

Е (г)

1 + е*

/

(Е(в)То)' йв

1 е*

Е(х)у/1 + е202

\Е(/)То(/) - Е(й)ТоШ ,

|Б | *

Се

у/1+ е202

|То(/) - То(й)/Е(/)|.

2

е

х

/

Функция

С

Ф) = /1+£202 Т(/) - То(й)/Е(/)|

ограничена при е ^ 0.

Таким образом, обозначив

С

м = Т(/) - То(й)/Е(/)1

имеем оценку

Т - ТН \ * е ■ м, (29)

что и доказывает е-асимптотичность гибридного ВКБ-Галеркин решения (6), (9) уравнения (4).

Теорема доказана. □

Оценим точности аналитического решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (5), что даст возможность оценить в целом точность приближенного гибридного асимптотического решения задачи (1), полученного в работе [6].

Теорема 2. Если существует единственное 'решение Т1 (х,е) краевой задачи (5),(8), а функция а(х) = а(х,е) дифференцируема по х на отрезке [й, /], не обращается в нуль на этом отрезке и удовлетворяет условиям а(х,е) = 0(е2), а * л/д(х) * в на [й, /], а Ь(х) = Ь(х,е) дифференцируема по х на отрезке [й, /] и Ь(х,е) = 0(е2), тогда оценка отклонения гибридного ВКБ-Галеркин приближения решения (9) от точного решения имеет вид:

Щх) - ТН(х) | * е ■ Я.

Доказательство. Подставляя первую и вторую производные гибридного ВКБ-Галеркин решения (10) в уравнение (5), получаем, что Т1Н является общим решением уравнения:

-2{ггН\II I I „/„Л _2 I а \-/ I 2Л

е2(ТНУ1 + (а(х) - е2(^ + ) (ТН)-

- ^{Щ) + 2/9М0) ТН = Ь(х)Я(ТН). (30)

Как и при доказательстве асимптотичности гибридного решения Т Н в теореме 1, обозначим

Б1 = Т1 - Т1Н (31)

и запишем уравнение (5) в виде

Л? + («(*) - е2 (+ 2/Ф)°)) Т - ^ (2/дх>0) Т1 =

= -е2{Ш + 2/^С^) Т1 - Щ™ + 2/МО) Т1 + Ь(х)Я(Т0). (32)

Находя разность уравнений (32) и (30), используя (31) и (16), получим уравнение, которому удовлетворяет функция

е2Б'{ + (а(х)+ е2Г)Б'1 + ^т = (е2Т[ + ^Т^ Б + Ь(хШП) -Я(Т0Н)). (33)

На концах отрезка [й, и] функция Б удовлетворяет краевым условиям

Б1(й) = 0, Б! и)=0. (34)

Уравнение (33) будем рассматривать как неоднородное уравнение относительно Б1. Тогда интегральное представление решения линейной неоднородной задачи (33)-(34) имеет единственное решение:

/

Б1 = ! Ст(х,в)( (е2Т[ + ^ТУ1) Б + Ь(вШП) - Я(Т0Н^ йв, (35) а

где Ст(х,в) — функция Грина задачи (33)-(34).

Функция Ст(х,в) определена при х € [й, и], в € (й, и) и при каждом в € (й, и) обладает следующими свойствами:

1) при х = в функция Ст(х, в) удовлетворяет соответствующему линейному однородному уравнению

е2В'( + (а(х) + е2Р)Б1 + а(х) т = 0; (36)

2) при х = й и х = и функция Ст(х, в) удовлетворяет краевым условиям (34);

3) при х = в функция Ст(х, в) непрерывна по х, а ее производная по х имеет разрыв первого рода со скачком, равным 1/е2, т.е.

Ст(в + 0, в) = Ст(в - 0,в), Стх(в + 0,в) - Ст'х(в - 0,в) = 1/е2.

Для нахождения функции Грина задачи (33)-(34), нужно построить решение Б1! (х) = 0 уравнения (36), удовлетворяющее условию Б1! (й) = 0, и решение Б12 (х) = 0, удовлетворяющее условию (и) = 0.

Обозначим два линейно независимых решения уравнения (30) Т1Н! и ТН2:

ТН! = Еху = Ех)еХР ((С + /1/е2 + С2) /Ш Л) , (37)

ТН2 = С2(х) = 1 1 Е(х) Е(х)

ехр ((С - /1/е2 + С2) I /Щ йИ . (38)

Тогда функции Б^ и Б12 могут быть определены как

11 = Т1Н1 - Т1Н

Б12 = ТН1 -

D\1 = ТН - ТН2, (39)

- exp [2VW+G2Î VgX) dx)f + - a(f)/2e2 Tf2. (40)

p J ) лШ)(С~л 1/е2 + G2)- a(f)/2e2 1 " J

„ , V.ЖГ)(0 -V 1/е2 + 02) - а(/)/2е2

а /

Функцию 0г(х, в) будем искать в виде

- , „ \Ф(в)Б1-, (х), й * х * в, , ч

0г(х,в) = ; 111 ' (41)

\ф(в)Б12(х), в * х * /.

Функции ф(в) и "ф(в) выбираются так, чтобы выполнялись условия, накладываемые на функцию Грина, т.е., чтобы

Шв)Б12 (х) = ф(в)Б11 (х), \ф(в)Б[2(х) - ф(в)Б[ 1 (х) = 1/е2.

Отсюда

D12 (s)

if(S) = e2(Dii (s)D'i 2 (s)- D| i (s)Di2 (s)) ' ( 3)

^P(s) = лл п, ^(sL ^ ,^ . (44)

Обозначив

e2(Dii(s)D[2(s) - D|i(s)Di2(s))'

P* = Dii (s)D'i2 (s) - D[i (s)Di2 (s) f

e* =exp«VWTG2f ^„ (G + ^; - af ^ =1

d

и учитывая (39)—(40), получим

P * = (ТН - тН2 )((THi y - е*(тН2 )') - ((ТН )I - ((ТН2 )')(THi - e*TH2 ) =

= (ТН(ТН2)' - (ТН)'ТН2)(1 - e*). Учитывая (37)—(38), и то, что

(ТН У = W - 0^ + уШ( G + fl

пН2\I _ грИ2 I a(x)

(ТН )I = Т(

+ Vgîx)^ G + 1 + G2^ , + Vgïx)^G1 + G2^ ,

2е2 1 vvw p y е2

имеем

' 1

P* = -2^11 + G2^ШтНТН2(1 - e*) =

(45)

= -2^ 1 + С2/Щ(1 - е*)Щ)ехр (2^ /Щ йг) .

а

Тогда функция Грина примет вид

Б1! (х)Б12 (в)

е2Р

й < х < в,

С«*') = \ и^вРкм , < х < ш (46)

е2Р* , < < и. Запишем решение задачи (33)-(34) с помощью функции Грина

/

Б1 = I Ст(х,в)( (е2Т1 + ^Т^ Б + Ь(в)(Я(Т0) - д(Т0Н))) йв =

а

= -(ТН! (х) - ТН2 (х)) X (ТН! (в) - е*ТН2(в))Е2(в) ((е2Т{ + ^Т1) Б + Ь^ШП) - Я(Т0Н))) йв

2е2/1/е2 + С2/дЩ(1 - е*)ехр(2С } /дЩйг

а

- (ТН! (х) - е*ТН2 (х)) / (тНи _

" -8! - Т1 \8!!Е \8! \ I е Т1 + ~Т / 1 + Ь\в)\Ч\Т0) - )) \ й8

(47)

(ТН!(в) - ТН2(в))Е2(в)[ (е2Т[ + ^П) Б + Ь(вШП) - Я(ТН))) йв

X 2е2^/ 1/е2 + С2лД(8)(1 - е*) ехр 2С/ уШйг

V а

Учитывая (25)-(28), можно записать

'А'< - е*| К(х) - ТН{х))

О? (8) - еТ(8)) Б М (( + а(8) Т\ + ^<ЖТ0) - Я(Т«)) )

X

а ехр(2С|ш* > ^(8)

+(ТН!(х) - е*ТН2(х))-

/

т^^ ^ // ф^Д _ Ь(в) ) - Q(T°H)) ) йв ' <

(ТН! (в) - ТН2 (в)) Б (в) Е2(я){/V + а(в) \ + Ь(в) ехр (2С йг) ШЕ (в)У Г1 + / +

р(в) е(в) ((Е(в)пу + ЕЩ?тп) - Q(т°н))) йв

< ('С1' + 'С2|)('С1' + е*'С2')

< 2^/1/е2 + С2'1 - е*'Е2(х)

а

ехр^2С } /Ш)йг)

<

*

Ь2К

^ 1/е2 + 02

1 + в*

1- в*

Е(х)

(Е (в)Т1)1 йв

+

В

Е2(х)

Е2(в)

Р (в)

(Я(Т) - Я(ТН)) йв

Обозначив, как и ранее,

С=

Ь2К N

а также учитывая оценку (29), получим

1 + в*

1 в*

|Б1| *

Се /Щ/)Т1(/) - Е^ПШ

Е(х)у/1 + е202 V

+

ВМе Щх)

Е(х) I

+

Е2(в),

Р (в)

((Я(То) - Я(ТН))/(То = ТН)) йв

Н

или, учитывая оценку

Е2 (х)

Е 2(в)1 Р (в)

((Я(То) - Я(ТН))/(То = ТН)) йв

Н

* Т,

Се

Б| * 7Т+Ш Ш-/) - Т1(й)/Е(/)| + еВМТ).

Функция

¡1(х) =

С

у/1 + е202 ограничена при е ^ 0.

Таким образом, обозначив

С

(|Т1 (/) - Т1(й)/Е(/)| + е ВМТ)

Я =

№(/) - Т1(й)/Е(/)| + еВМТ)

(48)

у/1 + е202

имеем оценку

Т - ТН\ * е ■ Я,

что и доказывает е-асимптотичность гибридного ВКБ-Галеркин решения (9)- (8) уравнения (5).

Теорема доказана. □

Оценки (29) и (48), полученные в теоремах 1 и 2, дают возможность оценить в целом точность приближенного гибридного асимптотического решения (11) задачи (1).

Действительно, так как

ТН = ТН + вТН

и при этом доказано, что

^о(х) - ТН(х)| * е ■ М, Ш(х) - ТН (х)| * ■Я

Н

I

1

I

1

тогда TH(x) можем оценить следующим образом:

IT (x) - TH (x) I < е- (M + ßQ).

Это доказывает е-асимптотичность гибридного ВКБ-Галеркин решения уравнения (1).

Таким образом, доказано, что решение (10) имеет асимптотический характер, то есть сделана оценка влияния параметров и коэффициентов на гибридное решение (10) уравнения (1).

В заключение заметим, что рассматриваемое в работе уравнение (1) возникает в задачах математической физики и описывает процессы теплообмена в конструкциях с переменной геометрией. Так, например, если положить в (1) a(x) = 1/x, b(x) = -е2, Q(T) = eT, то уравнение (1) описывает процесс распространения температуры в цилиндре при е = 1 ив сфере при е = у/2/2 (см. [4]). А также, при определенных значениях переменных коэффициентах [5], данное уравнение описывает сложный теплообмен излучением кольцевых ребер трапецеидального сечения. Ребра различного сечения (трапеция, прямоугольник и треугольник) используются в аэрокосмических установках. Гибридный подход к каждому конкретному случаю был рассмотрен в работах [3], [6], а асимптотичность гибридного решения задачи сложного теплообмена в кольцевых ребрах доказана в работах [8],[9].

Список литературы

[1] Geer J.F. A hybrid perturbation-Galerkin technique with combines multiple expansions /J.F. Geer, C.M. Andersen // Rep. NASA, Hempton, Virginia, USA. -1989. - P. 1-36.

[2] Грищак В.З. Пбридт асимптотичт методи та техтка гх застосування /Грищак В.З. - Заш^жжя: Заш^зький нащональний ушверситет, 2009. - 226 с.

[3] Погребицкая А.М. Приближенное аналитическое решение задачи о распространении тепла, сводящейся к нелинейному сингулярному дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами / А.М. Погребицкая // Вестник, Казахский национальный педагогический университет имени Абая. Серия: фиизико-математические науки.

- 2008. - Т.22,№2. - С.130-134.

[4] Na T.Y. A method for the solution of conduction heat transfer with non-linear heat generation /T.Y. Na, S.G. Tang // ZAMM. - 1969. - № 49. - P. 45-52.

[5] Келлер Х. Лучистый теплообмен кольцевых ребер трапецеидальной формы /Х. Келлер // Труды Амер. об-ва инженеров-механиков, сер.С, Теплопередача. - 1970. - № 2.

- С. 118-121.

[6] Gristchak V.Z. On approximate analytical solution of nonlinear thermal emission problems /V.Z. Gristchak, A.M. Pogrebitskaya // Technische mechanik. - 2011. - V.31, № 2. - P. 112-120.

[7] Грищак В.З. Подвгйний асимптотичний розклад у проблемг променевого теплообмгну кыьцевих ребер трапецегдальног форми /В.З. Грищак, Г.М. Погребицька // Матема-тичш методи та ф1зико-мехашчш поля. - 2009. - № 52. - Вип.3. - С. 217-223.

[8] Погребицкая А.М. К вопросу о точности приближенного аналитического 'решения нелинейной задачи теплоизлучения /А.М. Погребицкая, С.И. Смирнова // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". - 2009. - Т.22(61). - № 1. - С. 93-102.

[9] Погребицкая А.М. Об оценке точности аналитического гибридного решения задачи теплопереноса /А.М. Погребицкая, С.И. Смирнова // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия "Физико-математические науки". - 2010. - Т.23(62). - № 2. - С. 113-123.

[10] Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. /Н.Н. Моисеев -Москва: Наука, 1982. - 400 с.

[11] Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференщальт р1вняння в задачах: Навчальний посгбник. /А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, М.О. Перестюк-К.: Либщь, 2003. - 504 с.

Анал1тичного оцшка подвшного пбридного ВКБ-Гальоркш розв'язку нелшшно-го однородного диференщального р1вняння 3i змшними коефщ1ентами

В роботг наведено аналгтичну оцгнку подвшного ггбридного ВКБ-Гальоркгн розв'язку нелгнгйного диференцгального ргвняння другого порядку, що виникае у рядг задач математичног фгзики. ДОведено асимптотичний характер отриманого ггбридного розв'язку. нелгнгйного диферен-цгального ргвняння другого порядку, що описуе математичну модель про-цесу теплоперенесення.

Ключовi слова: нелшшне рiвняння другого порядку, пбридний ВКБ-Гальоркш розв'язок, асимптотичшсть наближеного розв'язку.

An analytical estimate of the double hybrid VKB-Galerkin solution for the nonlinear homogeneous differential equation with the variable coefficients

In this paper the analyUcal estimate of an double hybrid WKB-Galerkm solution for the nonlmear second order dгfferentгal equatwn, arismg гп some mathematical physгcs problems, is presented. AsymptoUc character of correspondгng hybrid soluUon is proved.

Keywords: second order nonlinear equation, hybrid WKB-Galerkin solution, approximate solution's asymptotic property.