Параметризация медленных инвариантных многообразий в модели распространения малярии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МЕДЛЕННЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ В МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

МАЛЯРИИ

© 2012 Е.А. Тропкина1

В работе рассмотрена модель распространения малярии Росса-Макдональ-да. Произведена редукция этой модели на основе параметрического задания медленного инвариантного многообразия, в результате чего построена упрощенная модель, которая с высокой точностью описывает поведение решений исходной системы.

Ключевые слова: инвариантные многообразия, сингулярные возмущения, асимптотическое разложение.

1. Параметрическое задание инвариантного многообразия

Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = / (х,у,е), (1.1)

£<~ж = 9{х,у,£), (1.2)

где х и у — векторы из евклидовых пространств Мт и М", £ € (—го, — переменная времени, е — малый положительный параметр, / и д — вектор-функции, определенные, непрерывные по совокупности переменных и достаточно гладкие при всех х € Мт, у € В С М", е € [0, ео]. Здесь В — некоторая область в пространстве М".

Положив е = 0 в (1.1), (1.2), получим вырожденную систему

пх

^ = /(х,у, 0), (1.3)

0 = д(х,у, 0). (1.4)

Во многих задачах невозможно найти корень уравнения д(х,у, 0) =0 в явном виде, поскольку это уравнение оказывается либо трансцендентным, либо полиномом высокой степени относительно у. Зачастую решение уравнения (1.4) удается записать в параметрической форме [1]

хТропкина Елена Андреевна (е1епа— [email protected]), кафедра дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

х = ХоМ, у = фоМ, (1.5)

где V € Кт, и имеет место тождество

д(хо(у),фо(у), 0)=0, V € Мт. (1.6)

В таком случае и медленные инвариантные многообразия целесообразно искать в параметрическом виде

х = Х^,е), у = ф^,е), (1.7)

где V € Кт, х(V, 0) = Хо, ф(и, 0) = фо. Движение по медленному инвариантному многообразию описывается уравнением

= Г ^,е), (1.8)

где функция Г(V, е) будет определена ниже.

Будем искать функции х, ф, Г в виде асимптотических разложений [4]

Х^,е) = хо(V) + ех1(V) + ... + ек Хк^) + ..,

ф(V, е) = фо(V) + еф1(V) + ... + екфк(V) + ..., (1.9)

Г ^,е) = Го^) + еГ1(V) + ... + ек Гк (V) + ...

с учетом (1.8) из уравнений

^Г = I (х,ф,е), (1.10)

^Г = д(х, ф, е). (1.11)

аю

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получаем

'ФоГо = I(Хо,фо, 0), д(хо, фо, 0) = 0,

Ф1 Г1 = Шо, фо, 0)Х1 + 1у (Хо, фо, 0)ф1 + 11,

Го = дх(хо,фо, 0)Х1 + ду (Хо,фо, 0)ф1 + д1. Здесь /1 = /е(хо, фо, 0), д1 = де(хо, фо, 0).

В уравнения (1.10), (1.11) входят неизвестные функции х, ф, Г. Следовательно, в зависимости от конкретной задачи можно считать одну из этих функций или какие-либо т компонентов функций х, ф и Г известными, а все остальные находить из уравнений (1.10), (1.11). Более того, можно на разных этапах определения коэффициентов разложений (1.9) считать известными коэффициенты разложений разных функций или различные т компонентов этих коэффициентов. Если правая часть имеет заданную структуру, а значит, Г можно считать известной функцией, то из уравнений (1.10), (1.11) можно найти коэффициенты разложений Х и ф. Если, например, заранее задать Х, из этих уравнений можно найти коэффициенты разложений ф и Г. В случае явного задания медленного инвариантного многообразия у = к(х, е) получаем соотношения

V = х, х = V, ф = к^,е), Г = I(v,h(v,е),е),

а (1.9) принимает вид

dh

£dvf V h,e) = g(v,h,e), h = h(v,e).

Если dimx = dimy и в качестве параметра v взят y, получаем соотношение

ф = V и

£dhF = f(X'V'£)' eF = g(x,v,£).

Отсюда, в свою очередь, получаем уравнение для х

из которого при det() = 0 однозначно находим коэффициенты асимптотического разложения функции х-

2. Математическая модель распространения малярии

Малярия — это заразная болезнь человека, возбудители которых передаются кровососущими членистоногими (насекомые и клещи). Малярию вызывает паразит Plasmodium (род паразитических простейших, известно около двухсот видов, из них по меньшей мере десять паразитируют на человеке, прочие паразитируют на других позвоночных. В жизненном цикле плазмодиев два хозяина: позвоночное и комар). С этим паразитом человек сталкивается после укусов зараженных комаров-самок из рода Anopheles.

Малярия давно стала бедствием для людей. Исключительно высокий уровень смертности в некоторых регионах привел к естественному отбору, даже ценой повышенного риска потенциально смертельной деформации эритроцитов у некоторых потомков. В частности, гены, которые обеспечивают устойчивость к малярии, когда они появляются в гетерозиготных по S-гену особях, как известно, приводят к серповидно-клеточной анемии и другим заболеваниям крови, когда они появляются в гомозиготной по S-гену форме.

Тропическая малярия является ведущей причиной смертности во всем мире, и математические модели распространения малярии имеют долгую и богатую историю, начиная с Росса [2].

Пусть п\ и U2 обозначают плотность неинфицированных людей генотипа АА и генотипа AS соответственно. Кроме того, пусть vi, vi — плотность населения зараженных особей каждого генотипа, z — доля насекомых с плазмодием. Доля людей генотипа AS в популяции составляет w = U2+V2, где N = ui + vi + ui + + vi — численность населения. Частота S-гена q = w/2 и частота A-гена p = 1 — q. Предположим, что соотношение количества людей и комаров является постоянной величиной c. Обозначим через Pi долю людей, рожденных в популяции, каждого генотипа: Pi = p2, Pi = 2pq.

Передача малярии между человеком и комарами регулируются основными эпи-демилогическими показателями. Перечислим все переменные и параметры в таблице.

Изменения в плотности населения, связанные с определенным инфекционным статусом каждого генотипа, описываются набором из пяти обыкновенных диффе-

Таблица

Обозначение Описание

i = 1 Генотип ЛЛ

i = 2 Генотип ЛБ

Ui Количество неинфицированных людей генотипа г

Vi Количество зараженных людей генотипа г

xi Доля людей, которые заражены и имеют генотип г

yi Доля людей, которые не инфицированы и имеют генотип г

z Доля комаров с плазмодием

w Частота людей генотипа ЛБ

q Численность населения

Oi Вероятность человека генотипа г заразиться малярией

после укуса комара

Yi Скорость восстановления после малярии людей генотипа г

а Доля укусов комаров из расчета количества комаров

на человека

c Количество комаров на человека

ф Вероятность приобретения комарами плазмодия после укуса

человека генотипа г

S Средняя продолжительность жизни инфицированного комара

m Уровень естественной смертности населения

ai Уровень смертности людей генотипа г, вызванный малярией

v Уровень смертности людей от серповидно-клеточной анемии

b(N) Уровень рождаемости людей

Pi Доля людей, рожденных с генотипом ЛЛ

P2 Доля людей, рожденных с генотипом ЛБ

ренциальных уравнений [3]:

щ = Pib(N)N - miUi - aßiегщ + YiVi,

Vi = diaczUi - (mi + Yi + ai)vi, i = 1, 2, (2.1)

z =(1 - z)(api v + аф2N) - Sz,

где mi = m0, m2 = m + v.

Для удобства введем новые переменные xi = ui/N, yi = vi/N, а также w = = X2 + У2 = 2q, xi + X2 + yi + У2 = 1, xi + yi = 1 - w, ßhi = aOiC, ßvi = a^i, i = 1, 2.

Тогда получим систему, эквивалентную системе (2.1), которая описывает важные эпидемиологические, демографические и генетические характеристики населения:

yi = ßhiz(1 - w - yi) - (mi + Yi + ai)yi - yiN/N, У2 = ßh2z(w - y2) - (m2 + Y2 + a2)y2 - y2N/N,

z = (1 - z)(ßviyi + ßv2y2) - Sz(2.2) w = P2b(N) - a2y2 - m2w - wN/N, N = N((Pi + P2)b(N) - mi(1 - w) - m2w - ay - a2y2).

Учтем, что Pi + P2 = 1 - w2/2, (1 - w)P2, b(N) = b(1 - N/K), где b — максимальная рождаемость, когда численность населения мала, K — коэффициент пропорциональности. Примем mi = eini, ai = ecii и b = eb, t = et, где e > 0 —

малый параметр. Тогда система (2.2) примет вид

£= - У1 - т) - лу! - еу1((гп 1 - т2)т + «1(1 - У1)-

-Ы2У2 + (1 - Щ2Ш)),

£= вы2г(т - У2) - 72У2 - £У2((т 1 - Ш2)(чи - 1) - Й1У1 +

+Й2(1 - У2) + (1 - ^)Ъ(К)), (2.3)

£^ = (1 - г)(ву1У1 + ву2У2) - 5г,

^ = (- w2(1 - Щ)Ъ(М) + (т 1 - т2>Ц1 - т) + а^ - ^(1 - ю)^, ™ = N((1 - ЩТ)Ш) - т 1(1 - т) - т2ю - йт - &2У2)-

Медленная поверхность описывается уравнениями 0 = - У1 - т) - 71У1,

0 = вы2г(т - У2) - 72У2, (2.4)

0 = (1 - г)(ву1У1 + в«2У2) - ¿г,

или

V = Тк1г(Я2-1-г(Я2 +ТН 2))

VI (1-2)(Й2-Й1+2(Д2Ть1-Й1Ть 2 )) '

Уо = ТН2г(1-Я1+г(Я1+ТН1)) (2 5)

У2 = (1-г)(Я2-Я1+г(Я2Тн1-Я1Тн2)) ' (2.5)

, = (1+Т^2г)(1-Д1+г(Д1+Тм)) Ю (1-2)(Д2-Й1+2(Й2Ть1-Д1Ть2)) '

где Ты = ^, Ты = ^вг.

В качестве параметров удобно выбрать переменные г, N и искать инвариантное многообразие в виде

У1 = У1(г^,£), У2 = У2(г, ^£), т = ю(г, N, £),

тогда уравнения инвариантности можно записать следующим образом:

(2.6)

£дг^ + £ШЩ- = вы1г(1 - У1 - т) - 71У1 - £У1((т1 - + «1(1 - У1)-

-Й2У2 + (1 - Щ-)Ъ(N)),

£+ £Ш^ = вы2г(т - У2) - 72У2 - £У2((Т1 - т2)(т - 1) - «1У1 + +Й2(1 - У2) + (1 - Щ2Ш)),

£Ш% + £Ш^ = (- т2(1 - Щ)Ъ(N) + (т1 - 1^(1 - т) + «1^1-

-«2(1 - т)У2,

из которых однозначно находим коэффициенты асимптотического разложения функций. С этой целью подставим асимптотические представления

У1 = У1 (г, N £) = У10(г, N) + £Уи(г, N) + £2У12(г, N) + £3..., У2 = У2(г, N. £) = У2о(г, N) + ^(г, N) + £2У22(г, N) + £3..., т = т(г, N. £) = т0(гN) + £т1(гN) + £2ю2(г, N) + £3...

в уравнения (2.6) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, найдем

У = ТН1г(Я2-1-г(Я2+ТН2))

У10 (1-г)(Я2-Я1+г(Я2Тм-Я1Ть2)) '

У = ТН2г(1-Я1+г(Я1+ТН1)) (2 7)

У20 = (1-г)(Я2-Я1+г(Я2Тн1-Я1Тн2)) , (2Л)

~ = (1+Ть2г)(1-Я1+г(Я1+Тм))

т0 (1-г)(Я2-Я1+г(Я2Тм-Я1Ть2)) .

- _ ЙЛЯ2+ВТу2Тн1л-С(1-г)[5Я2 Ц^0 +П2Т21 ]-Тн1С(Тн2г+1) У11 _ 6(П2(ТК1г+1)-П1(Ти2г+1)) '

- _ 6ВК1 +ЛТу1Ть212-С(1-г)[бЯ1 Цзл- +Ту1Тн2 ^д!0 ]-Тн2С{ТН1г+1)

1/21 _ 6(П1(ТК2г+1)-П2(ТК1г+1)) ' (2 8)

- _ ЛТу1(ТН2г+1)+ВТу2(ТН1г + 1)-С(1-г)[Ту1(ТН2г+1) ^д^ +^2^2^+1) ^ ] + К '

+ С(ТН2г+1)(ТН1г+1) + г&(Я1(ТК2г+1)-Я2(ТК1 г+1)) >

_ 6Л1К2 + В1Ту2ТН1-11-С1{1-г)[5К2 Ц^0 +Ту2Тщ ]-ТН1С1{ТН2г+1)

1-12 _ &(П2(ТК1г+1)-П1(ТК2г+1)) ' (2

. _ ¿В1Я1 + Л1Ту1ТН212-С1(1-г)[бЯ1 +Ту1ТН2 ]-ТН2С1(ТН1г+1) ^ ^ > У22 _ &(П1(ТК2г+1)-П2(ТК1г+1)) '

где Ты _ ,

А _ -(ш1 - Ш2)й0у 10 - &1У10 - &1У1о(1 - у ю) + &2У10У20 - У10-(1 - К)(1 - ^0), В _ -(т1 - ш2)(йо - 1)У20 + &1У 10У20 - &2У20(1 - У20) - У20-(1 - К)(1 - ), С _ - 2 Ъй2(1 - К )(1 - ) + ™о(1 - йо)(т1 - Ш2) + аЛйоУ10 - 0-2(1 - йо)У20, С _ С/((1 - г)).

дг

Я - - 2 Т - Т - ^+

дую _ ТН1(Я2-Я1)(Я2-1)-2гТН1(Я2+ТН2)(Я2-Я1)

дг (1-г)2(Я2-Я1+г(Я2ТН1-Я1ТН2))2

+ г2ТН1(Я2(Я2-Я1 -ТН1+ТН2)-ТН1 (Т21 Я2-ТН2 Я1)) + (1-г)2(Я2-Я1+г(Я2ТН1-Я1ТН2))2 '

ду20 _ ТН2(Я2-Я1)(1-Я1) + 2гТН2(Я1+ТН1)(Я2-Я1) + дг (1-г)2(Я2-Я1+г(Я2ТН1-Я1ТН2))2 +

+ г2ТК2(Я1(-Я2 + Я1+ТК1-ТК2)+ТК1 (Т21Я2-Т22Я1)) + (1-г)2(Я2-Я1+г(Я2ТН1-Я1 ТН2 ))2 '

8ги0 _ ТН2Я2-ТН1Я1Я2-Я1ТН1 + Я2-Я1 + Я2Я1ТН1+2г[ТН1ТН2 (Я2-Я1 )+Я1Я2(ТН2-ТН1) + Я2ТН1] дг _ (1-г)2(Я2-Я1+г(Я2ТН1 -Я1Т22))2

о ~ т> т 1 1 -.2 г т> т2 | т> Т"2 1 т> т> /т т \ I Ф Т1 / т> т т> т

(1-г)2(Я2-Я1+г(Я2ТН1-Я1ТН2))2

А1 _ -дГ (1 - г)(вг1У11 + вг2У21) - ШN(Ъ(1 - К)(1 - $) - ^1(1 - йо)-

-Ш2йо - &1У 10 - &2У2о) - (т1 - Ш2)(й1У10 + йоУн) + &1У11(2У 10 - 1) +

+&2(У 10У11 + У20У11) - Ъ(1 - К)((1 - )У 11 - 1У 1ойой1),

В1 _ -Ц?Г(1 - г)(^1У11 + р*2У21) - ШN(Ъ(1 - К)(1 - $) - ^1(1 - йо)-

-Ш2йо - &1У 10 - &2У2о) - (т1 - Ш2)(й1У20 + йоУ21) + &2У21(2У20 - 1) +

+ а1(У20У11 + У21У10) - Ъ(1 - К )((1 - ^40 )У21 - 11 У20й0 й1),

С1 _ -(1 - г)(в*1У11 + в*2У21) - ^N(Ъ(1 - К)(1 - ^) - Ы1 - й0)-

-Ш2й0 - 0-1У 10 - &2У20) - (т1 - Ш2)й1(2й0 - 1) + 0-2(У20й1 - (1 - й00У 10)) +

+а1(й0У 11 + й1У 10) - 2Ьй0(1 - К)(2й1 - 4й0й1),

С1 _ С1/((1 - г)).

ду11 _ г дА Я2 + дВ Ту2Т2111-( дС (1-г)-С)[&Я2 Ц10- +П2Т21 ^д2?- +Т21(Т22г+1)] дг 8(Я2(Т21г+1)-Я1(Т22г+1))

С [(1-г)(гЯ2 ^ )+Ту2Т21 ^ +Т21Т22] (ЙЛЯ2+ВТу2Т21^1)(Я2Т21-Я1Т22)

6(Я2(Т21г+1)-Я1Т22г+1)) 6(Я2(Т21г+1)-Я1(Т22г+1))2

(С(1-г) [6Я2 ^дЮ +Ту2Т21 ^дтт]+Т21 С(Т22г+1))(Я2Т21 -Я1Т22 ) 5(Я2(Т21г+1)-Я1(Т22г+1))2 '

ду21 _ г дВ Я1 + дА Ту1Т2212-( дС (1-г)-С)[бЯ1 Ц?- +Ту1Т22 +Т22(Т21г+1)] дг г(Я1(Т22г+1)-Я2(Т21г+1))

С [(1-г)(гЯ1 ^ +ТУ1Т22 ^ ПТ21Т22} (ЙВЯ1+ЛТу1Т22^2)(Я1Т22-Я2Т21)

6(Я1(Т22г+1)-Я2Т21г+1)) 6(Я1(Т22г+1)-Я2(Т21г+1))2

(С(1-г)[бЯ1 Ц20 +Ту1Т22 д;0 ]-Т22С(Т21г+1))(Я1Т22-Я2Т21)

&(Я1(Т22г+1)-Я2(Т21г+1))2

dwi _ dA Tvi(Th2Z+l) + dB Ty2(Thlz + l)-dC (l-z)[T„i(Th2Z+l) ^j0-+T„2(Thiz + l) ^j^j0 ] + dz zS(Ri(Th2Z+1)-R2(Thiz + 1)) +

+ - dC (Th2Z+1)(ThlZ+1) + ATvi+BTv2 + C(Tvi(Th2Z+1) +Ty2 (Thi z+1) gjj0 ) + CThl(Th2Z+1) + + z5(Ri(Th2Z+1)-R2(Th!Z+1)) +

-C(1-z)( Tvi(Th2Z+1) dj0 +Tv2 (Thi z+1) ^djf1 +TvlTh2 ^fe0 + T„2Thi дЙ0) +CTh2(Thiz+1)

+ zS(Ri(Th2Z+1)-R2(Thiz+1)) +

+ (AT„i(Th2Z+1)+BT„2(Thiz+1))(Ri(2Th2Z+1)-R2(2Thiz+1)) + + z2S(Ri(Th2 z+1)-R2 (Thi z+1))2 +

+ (-C(1-z)[Tvi(Th2 Z+1) +Ty2 (Thi z+1) dz0 ] + C(Th2Z+1)(ThiZ+1))(Ri (2Th2Z+1)-R2(2ThiZ+1)) + z25(Ri(Th2Z+1)-R2(Thiz+1))2 •

dyii _ $ §w R2 + dB T„2Thi7i-Щ (1-z)[^R2 4Z0-+Tv2Thi ^dzr ]-gW Thi(Th2Z+1) dN S(R2(Thiz+1)-Ri(Th2Z+1)) '

Зу21 _ $ §w Ri + dA T„iTh272-ff (1-z)[$Ri ^fj0 +TviTh2 ]-ff Th2(ThiZ+1) dN $(Ri(Th2Z+1)-R2(Thiz+1)) '

dwi _ Ш Tvi(Th2Z+1) + ff Ty2 (Thi z+1) Щ (1-z)[Tvi(Th2Z+1) ^jj0+T„ 2 (Th i z+1) gfj0 ] + dN z$(Ri(Th2Z+1)-R2(Thiz+1)) +

+

z$(Ri(Th2Z+1)-R2(Thiz+1))'

d C

(Th2Z+1)(ThiZ+1)

д2ую _ 2Thi(R2-Ri){[(RiTh2-R2Thi)(R2-1)-(Th2 + 1)(R2-Ri )]+3z(R2-1)(R2Thi-RiTh2)} + dz2 (1-z)3(R2-Ri + z(R2Thi-RiTh2))3 +

+ 2Thi(R2Thi-RiTh2){-3z2(R2-Ri)(R2+Th2) + Z3[R2(R2-Ri+Th2-Thi)+Th2(RiTh2-R2Thi)]} + (1-z)3(R2-Ri + z(R2Thi-RiTh2))3 '

02У2о _ 2Th2(R2-Ri){[(RiTh2-R2Thi)(1-Ri) + (Thi + 1)(R2-Ri)]+3z(1-Ri)(R2Thi-RiTh2)} + dz2 (1-z)3(R2-Ri+z(R2 Thi-RiTh2))3 +

+ 2Th2(R2Thi-RiTh2){3z2(R2-Ri)(Ri+Thi)+z3[Ri(-R2 + Ri+Thi-Th2)+Thi(R2Thi-RiTh2)]} + (1-z)3 (R2-Ri+z(R2Thi-RiTh2))3 '

d2Wp _ 2(R2-Ri)2(Th2 + 1)(Thi + 1) + 2(R2Thi-RiTh2)[(Thi + 1)(Ri-R2) + (1-R2)Ri(Thi-Th2)] + dz2 (1-z)3(R2-Ri+z(R2Thi-RiTh2))3 +

+ 6(R2Thi-RiTh2)[z((R2-Ri)(1+Thi)-Ri(1-Ri)(Thi -Th2)) + z2(R2Thi(1-Ri+Th2)-RiTh2] + + 2 (1-z)3(R2-3Ri + z(R2Thi-RiTh2))32 2 2+ 2

I 2( R2 Th i Ri Th2 )[3z RiTh2 (R2 Thi ) + Z (RiR2 (Thi -Th2 ) +R2T)1 - R1T)2—Th1T h2 Ri R2+Th2Rj )]

+ (1-z)3(R2-Ri+z(R2Thi-RiTh2))3 -

dAA _ -im 1 - mm2)(Wo + ^1°) - й1 dt (1 - 2У10) + ^(Ую^Г + У20)+

+Ь(1 - f)(2y/1°WodW0 - (1 - w2)d-t-),

^ _ -(mm 1 - m2)(^(wDo - 1) + ^У20) - a^(1 - 2У20) + ЭДюd-f0 +

+У20 ^Г) + ь(1 - f)(1 ^0 ^ - (1 - f) ^r),

dCC _ -b(1 - f)dW0W,(1 - 3W0) + (m 1 - m^)d0(1 - 2W0) + Й1(г&0+ У10dW0Ь -a2(dzr(1 - W0) - dW0У20),

f- _ (dzd-t - C( dZ0 (1 - z)+dW0))/(dW0 (1 - ^

dA _ _b_ (1 W0 ) dN К(1 4

dB _ _b_ (1 W2 ) dN К(1 4 )'

dC _ ,r,2(i wo )

dN _ 2 К w0 (1 2 )' _ dC 1/dwa 1

dC _ dC/( dW0 (1 z))2 dN _ dN/ ( dz (1 z)) •

Таким образом, построено первое приближение инвариантного многообразия

У1 _ У10 + £У11 + O(e2),

У2 _У20 + ey21 + O(e2), (2.10) w _ W0 + ег&1 + O(e2),

движение по которому описывается уравнениями

§ _ (1 - г)ЦЗУ1У 11 + в*2У21) + е(1 - г)(в*1У 12 + в*2У22) + 0(е2), ^ _ N[(1 - §)Ъ(1 - N/K) - т1(1 - й0) - т2й0 - &1у 10 - &2У20]+ (2.11) +№[-2й0й1 Ъ(1 - N/K) + Ш1й1 - Ш2й1 - &1уи - &2У21] + 0(е2),

где функции У10, Ущ, у 12, .20, У21, У22, й0, й определены в (2.7), (2.8) и (2.9).

Ниже приведены иллюстрации компонент решения задач (2.3), (2.10) и (2.11) на плоскости (Ь,г(Ь)) и (I)) соответственно при е _ 0,1 (рис. 2.1) и при е _ _0,01 (рис. 2.2)

Рис. 2.1. Проекции компонент решения задачи (2.3) и задачи (2.10), (2.11) на плоскости (Ь, и (^N(1)) соответственно при е = 0,1

Рис. 2.2. Проекции компонент решения задачи (2.3) и задачи (2.10), (2.11) на плоскости (t,z(t)) и (t,N(t)) соответственно при е = 0,01

В итоге произведена редукция динамической модели. В результате получена упрощенная модель, которая описывает поведение решения пятимерной сингулярно возмущенной системы (2.3).

Литература

[1] Соболев В.А., Щепакина Е.А. Редукция моделей и критические явления в макрокинетике М.: Физматлит, 2010. 319 с.

[2] Ross R. The Prevention of Malaria. London: John Murray, 1911.

[3] Feng Z., Smith D.L., McKenzie F.E., Levin S.A. Coupling ecology and evolution: malaria and the S-gene across time scales // Mathematical Biosciences. 2004. № 189.

[4] Sobolev V.A. Decomposition of control systems with singular perturbations // Proc. 10th Congr. IFAC. Munich, 1987. V. 8. P. 172-176.

[5] Гольдштейн В. М., Соболев В. А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1988.

[6] McKenzie F.E. Why model malaria? // Parasitol. Today. 2000. № 16. P. 511.

[7] Кононенко Л.И., Соболев В.А. Асимптотическое разложение медленных интегральных многообразий // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35. № 6. С. 1264.

[8] Соболев В.А., Тропкина Е.А. Асимптотические разложения медленных инвариантных многообразий и редукция моделей химической кинетики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 1. С. 81-96

Поступила в редакцию 15/ VII/2012;

в окончательном варианте — 15/ VII/2012.

PARAMETERIZATION OF SLOW INVARIANT MANIFOLDS IN THE MODEL OF THE SPREAD

OF MALARIA

© 2012 E.A. Tropkina2

In the paper the Ross Macdonald model of the distribution of malaria is considered. The order reduction of this model on the basis of parametric slow invariant manifolds is realized. As a result a simplified model which describes with a high accuracy the behavior of the solution of the original system is obtained.

Key words: invariant manifolds, singular perturbation, asymptotic expansion.

Paper received 15/ VII/2012. Paper accepted 15/ VII/2012.

2Tropkina Elena Andreevna ([email protected]), the Dept. of Differential Equations and Control Theory, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.