CC BY
17
Аналитическая модель движения элементарных участков криволинейной поверхности дискового сошника зерновой сеялки
А.С. Путрин, д.т.н., профессор, Е.В. Большаков, инженер, ФГБОУ ВО Оренбургский ГАУ; М.И. Филатов, д.т.н., профессор, ФГБОУ ВО Оренбургский ГУ
В конструкциях сошников или их дополнительных устройствах современных зерновых сеялок используется существенное множество ротационных почвовоздействующих рабочих органов различных типов, видов и натурного исполнения. Это, как правило: плоские, сферические, гофрированные, вырезные, прорезные, зубчатые, игольчатые, но-жевидные и т.п. диски, а также другие изделия, совершающие при исполнении своего функционального назначения вращательное движение в пространстве.
Дисковые ротационные рабочие органы в настоящее время нашли широкое применение в механизации посева зерновых в РФ и за рубежом и являются перспективными на предстоящие десятилетия. Преимущество ротационных рабочих органов сошников заключается прежде всего в меньшей энергоёмкости целевого технологического воздействия на посевной слой, а также в способности работать на почвах повышенной влажности.
К положительным особенностям ротационных рабочих органов также относится и то, что ось вращения любого из возможных положений ротационного рабочего органа конструктивно может располагаться в одном из вариантов или их комбинаций: нормально к направлению поступательного перемещения и параллельно поверхности поля; нормально к направлению поступательного перемещения и параллельно поверхности поля; под углом к направлению поступательного перемещения и параллельно поверхности поля; под углом к направлению поступательного перемещения и под
углом наклона к поверхности поля, а также во всех промежуточных положениях (рис. 1).
Ввиду того, что потенциальные возможности таких рабочих органов изучены не в полной мере как в производственных условиях, так и на уровне научных исследований, актуальным является вопрос теоретического анализа сущности сложного перемещения элементарных участков исполнительной поверхности рабочего органа в момент взаимодействия с почвой.
Материал и методы исследования. Исполнительную поверхность любой сложности у ротационных рабочих органов в научных исследованиях можно представить совокупностью множества элементарных плоских участков. Каждый элементарный участок исполнительной поверхности ротационного рабочего органа в силу геометрического расположения перемещается по своей индивидуальной траектории.
Различия в кинематических характеристиках траекторий соседних элементарных участков обусловливают сложный характер совокупного воздействия сферического диска на смежные элементарные объёмы посевного слоя почвы. В настоящее время изучение процессов взаимодействия контактирующих элементарных участков поверхности ротационной составляющей сошника зерновой сеялки с почвенными частицами, а также почвенных частиц друг с другом находится в начальной стадии [1—3].
Для достоверного теоретического анализа механического взаимодействия исполнительной поверхности исследуемого ротационного рабочего элемента сошника с контактируемыми почвенными объёмами, а также их совокупного воздействия на архитектуру обрабатываемого слоя необходимо разработать репрезентативную аналитическую
Рис. 1
Варианты расположения сферических дисковых сошников зерновых сеялок относительно направления скорости поступательного перемещения
модель дифференцированной системы элементарных участков поверхности, отражающей реальную сложность компоновки криволинейной формы рабочего органа.
Это позволит реализовать продуктивные теоретические исследования такой сложной формы поверхностей рабочих органов, которой обладает сферический диск, являющийся исполнительным элементом дискового сошника зерновых сеялок, в том числе и для случаев использования на почвах повышенной влажности (рис. 2).
б
Рис. 2 - Пример расположения элементарного плоского участка на сферической исполнительной поверхности дискового сошника зерновой сеялки
Для достижения поставленной цели можно использовать теорию преобразования динамических декартовых координат в пространстве [4—7]. Поскольку любой элементарный плоский участок 5 сложной поверхности можно задать тремя точками (например, йв/) (рис. 3), рассмотрим необходимые, возможные и достаточные аналитические преобразования пространственной системы координат применительно к точке Б, которая может отождествлять любую из трёх точек й, в,/, выбранных нами на площадке 5 сферического диска В.й. В дальнейшем, при необходимости разработав функционал, связывающий координатной системой в трёхмерном пространстве три или более точки, принадлежащие сферической поверхности, можно определять положение всего диска как в статике, так и в динамике относительно рациональной системы координат с учётом текущего времени, в одно целое.
В рассматриваемом случае принято во внимание то обстоятельство, что точка Б, принадлежащая плоскости йв/ элементарного участка 5, совершает движение по специфической пространственной (эллипсо-спиральной, эллипсо-геликоидальной или по другой подобной) траектории.
Для уяснения сущности теории вопроса трансформации суперпозиций координат точек эле-
ментарного участка 5 сферической поверхности рабочего органа по траектории пространственной кривой воспользуемся системой аналитических зависимостей координат х, у, z точек й, в и / относительно комплекса целесообразных для исследования координатных систем.
Поскольку методика исследования включает многократное последовательное задание координат х, у, z точек й, в и / в предшествующей и последующей координатных системах ОХУ^ и ОХУ/, различающихся между собой положениями в пространстве, воспользуемся двумя координатными реперами о'1']'к' и оцк.
Исходя из того, что в итоговой совокупности конечное положение и ориентация координатной системы ОХУ/ от исходного положения и ориентации координатной системы ОХУУ отличается заданным расстоянием между их центрами О' и О, а также девятью углами между осями ОХ и ОХ; ОХ и ОУ; ОХ и О/; О'У и ОХ; ОТ и ОУ; ОТ и О/; О'/' и ОХ; О'/' и ОУ; О'/' и О/, дозволительно общее преобразование координат как метод разработки аналитической модели для исследований сущности процесса перемещения площадки 5 использовать через трансформацию значений параметров регистрации рассматриваемой точки и дифференцировать по виду позиционирования.
Для реализации предложенного рассмотрим сначала серию из трёх простых последовательных перемещений в каждой из координатных плоскостей начала координат, а затем серию из трёх последовательных поворотов первой системы координат вокруг каждой из координатных осей второй системы координат.
Принимаем условие, что первая координатная система содержит начало О' с исходящими из него базисными векторами 1'}'к'. Вторая система координат определена началом О и базисными векторами г/к. Принятые системы координат необходимы для того, чтобы изначально задавать значения координат х', у' и z' и точки D относительно базисных векторов г / 'к', а затем определять координаты х, у и г этой же точки D относительно базисных векторов г/к-неподвижной системы координат.
Обеспечиваем следующее условие: геометрический образ сферического диска жёстко связан с репером о 'I / 'к', а базисный репер о1]к неподвижно зафиксирован на поверхности поля. В данном случае рабочее движение сферического сошника в виде качения диска в почвенном слое идентифицируется с перемещением репера о г / к по направлениям каждой из осей ОХ, ОУ, О/ и в поворот вокруг своего центра О'.
Таким образом, система координат о ' г / 'к ' жёстко закреплена на оси ротационного рабочего органа, динамична и её движение адекватно отождествляет движение самого диска, а система
Рис. 3 - Соотношение двух трёхмерных координатных систем и положение поверхности 5 сферического диска Яй в пространстве
координат оцк является статической в силу того, что принята зафиксированной в требуемом месте почвенного горизонта.
Учитывая, что каждый базисный вектор г", у" и к подвижной системы раскладывается по статическому базису гу'к, (принятому за неподвижный) с помощью коэффициентов а1т, где — индекс репера о 'I у к' I = 1,2,3 и индекс репера о1]к т =1,2,3, определим зависимости значений базисных векторов г у к ' по значениям цк с помощью коэффициентов преобразования I' = апг + а12 ) + а13к, )' = а21г + а22 j + а23к, к' = а31г + а32 j + а33к (1).
Распишем вектор О'В (рис. 3) через базисные векторы ук и определим зависимость параметров положения ОВ от вектора координат положения характеристической точки Б относительно начала и положения координатной системы о х 'у 'г ' относительно координатной системы охуг. Коорди-натно-векторную зависимость положения точки Б определяем относительно базисных векторов гук: XI + у) + гк = (а + а11 х'+ а 21 у '+а31г) + +(Ь + а12 х '+а 22 у '+а32 г')) + (2)
+(с + а13 х'+ а 23 у'+ а 33 г ')к.
После соответствующих преобразований получаются зависимости представления в неподвижной (второй) системе координат охуг значений х, у и г точки Б, первоначально заданной в подвижной (первой) системе координат о'х'у'г': х = а + апх '+а 21у'+ а317 у = Ь + а12 х '+а 22 у '+а 32 7(3) 7 = с + а13 х'+ а 23 у'+ а33 7'.
В результате умножения каждой из зависимостей (5) поочерёдно на единичные базисы г, у и к получаем следующие выражения для определения коэффициентов ат:
Рис. 4 - Геометрическая интерпретация углов преобразования координат точек d, e, f элементарного участка S сферического диска с помощью углов Эйлера
ап = cos(i'i); а12 = cos(i'у); а13 = cos (i' к ; а21 = cos (у' i);
а22 =cos (j' J ; а23 = cos(./''k ; (4)
а31 = cos (к' i ; а32 = cos (к' J ; а33 = cos (к' к).
Из анализа геометрической интерпретации зависимостей (3) следует, что если величины a = b = c=0, то начала первой и второй координатных систем совмещаются (рис. 4).
Преобразование координат точки Б элементарной участка S поверхности, заданной в первоначальной пространственной системе координат o'x'y'z', которая является подвижной, относительно другой также пространственной oxyz, но являющейся неподвижной, можно осуществить следующим вариантом.
Подвижную систему координат и неподвижную системы (рис. 4) совмещаем по началу и одноимённым базисам и начинаем, не изменяя положения центра координатной системы, последовательно поворачивать репер координатной системы o'x'y'z' вокруг оси oz(oz ) на угол р, затем вокруг оси ox' 1 (нового положения оси ox' после поворота на угол р) на угол у и затем вокруг оси z' 1 на угол ф. Углы р, у и ф называются углами Эйлера. Они позволяют обеспечить возможность отслеживать значения координат репрезентативной точки Б поверхности диска Rpo, заданных в подвижной системе координат o'x'y'z' относительно неподвижной системы координат oxyz.
Если обеспечить возможность дополнительно к поворотам координатной системы o'x'y'z' отслеживать и динамику координат её центра, то данную математическую схему преобразования координат можно использовать при описании аналитической модели движения ротационных
почвообрабатывающих рабочих органов любой по сложности формы, совершающей любое сложное движение в пространстве.
Для определения коэффициентов aím с учётом углов Эйлера можно использовать зависимости [2—4]: au = cos в cos ф — sin в cos у sin ф; а12 = sin в cos ф + cos в cos у sin ф ; a13 = sin у sin ф ; а21 = — cos в cos ф — sin в cos у cos ф ; а22 = — sin в sin ф + cos в cos у cos ф ; а23 = sin у cos ф ; а31 = sin в sin у ; (5)
а32 = — cos в cos у ; а33 = cos у .
Получив аналитические зависимости изменения значений x, y и z (5) в неподвижной системе координат для каждой из трёх точек (d, e и f), принадлежащих криволинейной исполнительной поверхности исследуемого сферического диска в процессе его технологического перемещения, включаем их в математическую модель [5] элементарной динамической плоскости S, представленную уравнениями:
AXd + BYd + CZd + D = 0 - AXe + BYe + CZe + D = 0 (6)
AXf + BYf + CZf + D = 0
или матрицей:
X Y Z 1
Xd Yd Zd 1
Xe Ye Ze 1
Xf Yf Zf 1
= 0,
(7)
где Хй, ..., X/ — соответственно абсцисса, ордината и аппликата заданных точек й, в и / элементарной поверхности сферического диска с конкретными конструктивно-эксплуатационными параметрами.
Результаты исследования. Закономерности движения характеристических точек й, в и/представлены параметрическими уравнениями [2]:
Хг 0) = /хг (гсф , Гс1, Р, П А, Ю г, ХЮ )
Уг (г) = /уг (гсф , Гс1, P, П Ю г, Уг0 ) , (8)
Ъ) = Лг (гсф, Гй, p, п к ю, X, гю) где г — индекс координаты точки, принадлежащей исследуемой элементарной плоскости сферического диска (индекс авторизуется символами й, в или /);
/Х1 — функционал абсциссы точек й, в и /; /п — функционал ординаты точек й, в и /; /г — функционал аппликаты точек й, в и /; гсф — радиус сферы диска;
— рабочий радиус сферического диска; Р — угол установки плоскости вращения диска к направлению поступательного движения; "Л — коэффициент скольжения рабочего органа; к — глубина внедрения сферического диска в почву;
ю — угловая скорость диска;
t — текущее время процесса; Хц, yi0 и Ziü — соответственно абсцисса, ордината и аппликата рассматриваемой точки поверхности сферического диска в канонической системе декартовых координат. Параметрические уравнения (8) позволяют отслеживать динамические, кинематические и геометрические характеристики движения элементарной плоскости S сферического диска, идентифицируемой трёхгранному клину d, e, f дискового сошника, воздействующего на почву, склонную к налипанию по причине повышенной влажности.
Предложенная аналитическая модель сложного движения элементарных участков криволинейной исполнительной поверхности, идентифицирующей ротационный рабочий орган, обеспечивает возможность выявления рациональных интервалов значений динамических, кинематических и геометрических параметров сферического диска, используемого в качестве сошника зерновой сеялки, и позволяет исключить залипание технологической поверхности бороздообразующего рабочего органа на почве с текущей повышенной влажностью.
Выводы. Использование теории преобразования координат и дифференциальной геометрии в пространстве позволяет получить аналитическую модель, обеспечивающую возможность исследования и оптимизации параметров динамических процессов перманентного воздействия дискретных элементарных участков рабочей поверхности сферического диска на почвенный слой при посеве зерновых.
Предложенная аналитическая модель сложного движения элементарных участков криволинейной исполнительной поверхности, идентифицирующей ротационный рабочий орган, обеспечивает возможность выявления рациональных интервалов значений динамических, кинематических и геометрических параметров, обеспечивающих самоочищение от налипшей почвы сферического диска, используемого в качестве сошника зерновой сеялки, на почве с текущей повышенной влажностью.
Литература
1. Сабликов М.В. Сельскохозяйственные машины: основы теории и технологического расчёта. М.: Колос, 1968. 296 с.
2. Путрин А.С. Основы проектирования рабочих органов для рыхления почв, находящихся за пределами физически спелого состояния: автореф. дисс. ... докт. техн. наук. Оренбург Оренбург, 2003. 44 с.
3. Путрин А.С., Избасарова З.И. Уплотнение надсеменного слоя почвы повышенной влажности пневматическими спиральными катками сверхнизкого давления: монография. Оренбург: ОГАУ, 2009. 142 с.
4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979. 512 с.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. М., 1981. 232 с.
6. Ушаков Ю.А., Нейфельд Е.В. Математика: учеб. пособ. Оренбург: Издат. центр ОГАУ, 2015. 92 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1978. 832 с.
