CC BY
55
Теоретические основы движения элементарных участков исполнительных поверхностей ротационных почвообрабатывающих рабочих органов
A.С. Путрин, д.т.н., профессор, З.И. Избасарова, к.т.н.,
B.А. Слободяник, соискатель, П.П. Коняхин, аспирант, Ю.П. Классен, к.т.н., Оренбургский ГАУ
В процессах механизации обработки почвы используется множество ротационных рабочих органов различных типов, видов и конструктивного исполнения. Это, как правило, диски (плоские сферические, вырезные, прорезные, зубчатые, игольчатые, ножевидные и т.д.), фрезы,
катки (плоские, колёсные, дисковые, кольчатые, зубчатые, кольчато-шпоровые, спиральные, трубчатые, прутковые, планчатые и т.д.) и другие изделия.
Перспективные рабочие органы в настоящее время нашли широкое применение в механизации растениеводства РФ и за рубежом. К положительным особенностям ротационных рабочих органов относится и то, что ось вращения любого ротационного рабочего органа может
располагаться в одном из необходимых вариантов: нормально к направлению поступательного перемещения и параллельно поверхности поля; нормально к направлению поступательного перемещения и нормально к поверхности поля; под углом к направлению поступательного перемещения и параллельно поверхности поля; под углом к направлению поступательного перемещения и под углом наклона к поверхности поля и т.д. (рис. 1).
Но ввиду того, что потенциальные возможности таких рабочих органов изучены не в полной мере как в производственных условиях, так и проведёнными научными исследованиями, актуальным является вопрос теоретического анализа сущности сложного перемещения исполнительной поверхности рабочего органа в момент взаимодействия с почвой.
Исполнительную поверхность любого из ротационных рабочих органов в научных исследованиях можно представить совокупностью элементарных плоских поверхностей. Каждый элементарный участок исполнительной поверхности ротационного рабочего органа, сориентированного в заданном варианте, перемещается по своей индивидуальной траектории.
Различия в кинематических характеристиках траекторий соседних элементарных участков обусловливают сложный характер совокупного воздействия рабочего органа на смежные элементарные почвенные объёмы, что свидетельствует о существовании неизученных процессов взаимодействия контактирующих элементарных участков поверхности рабочего органа с почвенными частицами и почвенных частиц друг с другом [1].
Для эффективного теоретического анализа механического взаимодействия исполнительной поверхности репрезентативного ротационного рабочего органа с контактируемыми почвенными объёмами и их совокупного воздействия на
архитектуру обрабатываемого слоя необходимо создать достаточную аналитическую модель динамики системы элементарных участков поверхности, отождествляющей реальную сложность компоновки криволинейной поверхности рабочего органа. Это позволит реализовать теоретические исследования таких сложных форм поверхностей рабочих органов, которыми обладают зубчатые, игольчатые, сферические, конусные, гофрированные и тому подобные диски, а также геликоидальные, тороидальные, эллипсоидальные и прочие исполнительные элементы прикатывающих рабочих органов, в том числе и спирального пневматика сверхнизкого давления (рис. 2).
Для достижения поставленной цели можно использовать теорию преобразования динамических декартовых координат в пространстве [2—4]. Поскольку любой элементарный плоский участок £ сложной поверхности можно задать в пространстве тремя точками (например, dej), рассмотрим необходимые, возможные и достаточные преобразования применительно к одной точке (например, Б) диска Rd, а затем создадим функционал, связывающий три или более перемещающиеся одновременно точки в одно единое (рис. 3).
В рассматриваемом случае (рис. 3) точка Б, принадлежащая плоскости dej элементарного участка £, совершает движение по оригинальной пространственной (эллипсо-спиральной, эллипсо-геликоидальной или по какой-либо другой подобной) траектории. Для уяснения существа теории вопроса пространственной кривой воспользуемся двумя координатными реперами о'I']'к' и вцк.
Первая координатная система содержит начало о' с исходящими из него базисными векторами I']' к'. Вторая система координат определена началом о и базисными векторами 1]к. Системы координат используем для того, чтобы
Рис. 1 - Варианты расположения ротационных рабочих органов почвообрабатывающих машин относительно поверхности поля и направления собственного поступательного перемещения
Рис. 2 - Примеры разновидностей формы исполнительной поверхности ротационных рабочих органов почвообрабатывающих машин
О'Б = х’і’+у’і’+2' к’, (1)
а координаты х, у и 2 этой же точки Б во второй координатной системе оху2 соответствуют координатам вектора ОБ в разложении его по базису 1]к:
ОБ = хі + у] + 2к . (2)
Для связи координатных систем между собой обозначаем в общем виде координаты начала о'х'у'2' первой системы во второй через символы а, Ь и с. В данном случае начало первой системы координат в координатах второй системы в векторной форме будет записываться в виде:
ОО = аі + Ъ] + ск . (3)
Векторное значение координат точки Б во второй пространственной системе координат представляется выражением:
Рис. 3 - Соотношение двух трёхмерных координатных систем и исследуемой точки D поверхности плоского диска ЯС в пространстве
изначально задавать значения координат х', у и 2 точки Б относительно базисных векторов і']' к', меняющих своё положение во времени (идентифицируют движение рабочего органа), и затем определять координаты х, у и 2 этой же точки относительно базисных векторов і]к — неподвижной системы координат, то есть почвы. Принимаем условие: система координат
о' і']' к' «жёстко закреплена» на оси ротационного рабочего органа, отображает движение самого диска; система координат оі]к зафиксирована в требуемом месте почвенного горизонта.
Координаты х', у и 2 точки Б в первой координатной системе о'х 'у'2' соответствуют координатам вектора О' Б в разложении его по базису і']' к':
ОБ = О’Б + ОО'. (4)
Учитывая, что каждый базисный вектор г, ] и к' первой системы раскладывается по второму базису 1]к с помощью коэффициентов а£т (принимаем £ =1, 2, 3; т = 1, 2, 3), определим зависимости значений базисных векторов г']' к' по значениям 1]к с помощью коэффициентов преобразования:
/' = аи/ + а12 ] + а13к,
.1 = а2\1 + а22j + 23 к,
к' = а31/ + а 32 j + а 33к.
(5)
Распишем вектор О’ Б через базисные векторы ік и определим зависимость параметров положения ОБ от вектора координат положения точки Б относительно начала и положения координатной системы о 'х 'у'2' относительно координатной системы оху2. Реализуется это
в следующей последовательности: в базисное выражение О' Б (1) вводим значения х', у и z'; в зависимости (5) векторные символы заменяем на координатно-базисные значения (2), (3) и (4); координатно-векторную зависимость положения точки Б определяем относительно базисных векторов і]к'.
хі + у’] + zk = (а + аих'+а 21у'+а3^')/ +
+ (Ь + а12х'+а 22у '+а32z') у + (6)
+ (с + а13х'+а 23у '+а333г' )к.
После соответствующих преобразований получаются зависимости представления в неподвижной (второй) системе координат oxyz координат х, у и z точки Б, первоначально заданной в подвижной (первой) системе координат о' х' у' z':
х = а + а11х'+а 21у'+а3^', у = Ь + а12х'+а 22у'+а3^(7) z = с + а13х'+а 23у'+а 33z'.
В результате умножения каждой из зависимостей (5) поочерёдно на единичные базисы
і, ] и к получаем следующие выражения для определения коэффициентов а 1т: а11 = ео8(і' і):
а
= сов(і' у); а13 = сов(і' к)
а21 = ^0''і); а22 = соКЇ у)
а 23 = соб( у' к); а31 = соб( к' і); а32 = соБ(к'у); а33 = соБ(к'к).
(8)
32 33
Из анализа геометрической интерпретации зависимостей (8) следует, что если величины а = Ь = с = 0, то начала первой и второй координатных систем совмещаются (рис. 4).
Преобразование координат точки Б элементарной участка £ поверхности, заданной в первоначальной пространственной системе координат о' х' у' z', которая является подвижной, относительно другой также пространственной oxyz, но являющейся неподвижной, можно осуществить следующим способом. Подвижную систему координат и неподвижную системы (рис. 4) совмещаем по началу и одноимённым базисам и начинаем, не изменяя положения центра координатной системы, последовательно поворачивать репер координатной системы о' х' у' z' последовательно вокруг оси оz (оz') на угол в, затем вокруг оси ох'1 (нового положения оси ох после поворота на угол в) на угол у и затем вокруг оси z '1 на угол ф. Углы в, У и ф называются углами Эйлера. Они позволяют обеспечить возможность отслеживать значения координат точки Б поверхности диска Яро, заданных в подвижной системе координат о'х'у'z' относительно неподвижной системы координат oxyz.
Рис. 4 - Геометрическая интерпретация углов преобразования координат точки D элементарного участка 5 плоского диска с помощью углов Эйлера
Если обеспечить возможность дополнительно к поворотам координатной системы о ’х'у'2' отслеживать и динамику координат её центра, то данную математическую схему преобразования координат можно использовать при описании аналитической модели движения ротационных почвообрабатывающих рабочих органов любой по сложности формы, совершающей любое сложное движение в пространстве.
Координатную систему о'х'у'2' «жёстко закрепляем» на поверхности ротационного рабочего органа, что даёт возможность однозначно определить координаты любой точки этой поверхности в системе координат о' х' у' г'. Неподвижную систему координат охуг размещаем в необходимом месте, а положение центра координатной системы о'х'у'г' в координатной системе охуг характеризуем величинами а, Ь и с. Значения параметров положения центра подвижной системы координат а, Ь и с могут быть выражены соответствующими по необходимости функциями, отображающими перемещение его в плоскости или пространстве.
Для определения коэффициентов с
учётом углов Эйлера можно использовать зависимости [2—4]:
ап = со8усо8ф- зтусо808тф;
а12 = БтусоБф + созусоз08тф;
а13 = 8т0зтф;
а21 = - со8усо8ф - 8тусоз0созф; а22 = -Бтузтф + со8усо80со8ф; а23 = зт0созф; а31 = 8тузт0; а32 = -со8усо80; а33 = со80.
Получив аналитические зависимости изменения координатх, VII г (7) в неподвижной системе координат для каждой из трёх точек (с1, е и /) криволинейной исполнительной поверхности исследуемого ротационного рабочего органа в процессе его технологического перемещения, включаем их в математическую модель [4] элементарной динамической плоскости
х-ха 7-К/ 2-2с1
Хе-Хй Уе - Ус! 2е-2с1 X/ -Хс1 У/ -Ус! 2/-2с1
: О,
(10)
где Хс1, ..., 2/ соответственно абсцисса, ордината и аппликата заданных точек с1, е и / элементарной поверхности исследуемого ротационного рабочего органа, что обеспечивает широкие возможности изучения необходимых структурных характеристик воздействия элементов рабочего органа на элементарные объёмы почвенного слоя.
Выводы. Аналитические модели движения точки в пространстве позволяют создать аналитические модели перемещения элементарных участков исполнительных поверхностей ротационных рабочих органов почвообрабатывающих машин.
Аналитическая модель перемещения элементарного участка рабочего органа в пространстве
может быть использована для технологических и энергетических характеристик воздействия исполнительной поверхности ротационного рабочего органа на почвенный горизонт.
Исполнительную поверхность ротационного рабочего органа любой формы можно разбить на сколь угодно элементарные участки и с необходимой точностью исследовать его структурные технологические и энергетические процессы взаимодействия с почвой.
Ввиду того что ротационные рабочие органы оказывают комбинированное воздействие на обрабатываемый почвенный слой, необходимы дифференцированные методы системного анализа и параметрической оптимизации технологически совершенных и энергетически эффективных рабочих органов.
Литература
1. Сабликов М.В. Сельскохозяйственные машины: основы теории и технологического расчёта. М.: Колос, 1968. 296 с.
2. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 512 с.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия / под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 232 с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 832 с.
