CC BY
15
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ MATHEMATICAL AND INSTRUMENTAL METHODS OF ECONOMICS
УДК 368/369
DOI 10.17150/2500-2759.2019.29(4).686-694
АНАЛИТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В СТРАХОВАНИИ ЖИЗНИ
О.В. Леонова
Байкальский государственный университет, г. Иркутск, Российская Федерация
Информация о статье
Дата поступления 8 октября 2019 г.
Дата принятия к печати 10 декабря 2019 г.
Дата онлайн-размещения 20 декабря 2019 г.
Ключевые слова
Системный анализ; системный подход; таблицы смертности; кривая смертей; функция выживания; интенсивность смертности; коэффициент детерминации
Аннотация
В данной работе применяется системный подход к моделированию вероятностных характеристик продолжительности жизни. Работа посвящена моделированию таких вероятностных характеристик, как кривая смертей, функция выживания, интенсивность смертности. В статье данные таблиц смертности населения России для календарного года 2018 аппроксимированы некоторыми специальными функциями. Качество подгонки моделей протестировано с помощью коэффициента детерминации. Для вычисления по модели значения результирующего признака, определения коэффициента детерминации, построения графиков подбора была использована программа Microsoft Excel.
ANALYTICAL APPROXIMATION IN LIFE INSURANCE
Olga V. Leonova
Baikal State University, Irkutsk, the Russian Federation
Article info
Received Ocober8,2019
Accepted December 10, 2019
Available online December 20, 2019
Keywords
System analysis; system approach; mortality tables; deaths graph; survival function; mortality rate; determination coefficient
Abstract
In this paper, the systematic approach is used to model the probabilistic characteristics of life expectancy. The article is devoted to modeling of such probabilistic characteristics as death curve, survival function and mortality rate. In the article, the data on the mortality tables of the population of Russia for the calendar year 2018 are approximated with some special functions. The quality of models fitting was tested using the coefficient of determination. Microsoft Excel was used to calculate the value of the resulting feature, according to the model, and also to calculate the coefficient of determination and to construct the graphs of selection.
В настоящее время математико-ста-тистические методы и модели находят все большее применение в различных аспектах научных исследований. Например, в [1] автор с помощью методов оптимизации исследует инвестиции в нефтяные компании, в [2] с помощью регрессионного анализа рассматривает динамику экспорта нефти. В [3] автор оптимизирует расходы сбереже-
© Леонова О.В., 2019
ний, в [4] решает задачу оптимального распределения ресурсов. В [5] исследователи моделируют влияние таможенных органов на развитие регионов, в [6] с помощью статистических методов проводится анализ адвокатской деятельности.
В данной работе математическое моделирование используется для системного изучения и статистического анализа вероят-
ностных характеристик продолжительности жизни населения.
Страхование жизни — вид личного страхования, предусматривающий выплату страховой суммы по достижении определенного срока страхования, определенного возраста или с наступлением оговоренного в договоре страхования события [7]. При расчете тарифов в таких видах страхования следует учитывать вероятность наступления страховых событий, оговоренных в договоре страхования. Для определения этих вероятностей необходимо иметь модели законов распределений случайных величин, которые описывают те или иные процессы. Например, в [8] авторы моделируют процессы убытков страховой компании, в [9] исследователь аппроксимирует данные таблиц смертности классическими аналитическими законами.
Используемые в страховании жизни методы и модели применимы и к другим видам страхования. Пусть X обозначает продолжительности жизни, X. — продолжительность жизни /-го индивида. В других видах страхования под X можно понимать, например, время до наступления заболевания (клещевой энцефалит, травма позвоночника); время безаварийной работы оборудования; время до причинения ущерба имуществу и т.п. [10].
Неопределенность или непредсказуемость момента смерти, заболевания, аварии является основным источником случайности при страховании, что позволяет использовать случайные события, величины, процессы при математическом анализе различных аспектов страхования жизни, здоровья, автомобиля и т.п.
Основные понятия и вспомогательные результаты
Если использовать теорию вероятностей, можно говорить о продолжительности жизни как о случайной величине X, причем X > 0 [там же].
Основной характеристикой случайной величины X является функция распределения F(x) = P{X < x}. В актуарной математике вместо функции распределения обычно используют функцию выживания s(x) = P{X > x} = = 1 — F(x), которая есть вероятность того, что человек доживет до возраста x лет. Функция выживания s(x) является основным из терминов в актуарной математике и обладает следующими свойствами: s(x) убывает; s(0) = 1, s(^) = 0; s(x) непрерывна справа.
Функция выживания s(x) связана с одной из основных характеристик lx общих таблиц смертности:
X = «х). 0)
Учитывая формулу (1), можно сделать выводы:
1. Кривая 1х изменяется в зависимости от возраста х аналогично функции выживания в(х) с точностью до множителя-константы 10.
2. б(х) = 1х / 10 — это средняя доля доживших до возраста х из рассматриваемой группы новорожденных.
При обработке большого количества данных удобно от точечного распределения перейти к интервальному распределению. В этом случае исходные данные будут сгруппированы и представлены в компактном и более удобном для исследования виде. Для этого введем для интервала возрастов (х, х + + /) случайную величину
Рх = L(x)-L(x + т) = £ 1(х < X, < х + т),
,=1
которая равна числу умерших в возрасте от х до х + / лет из фиксированной группы 10 новорожденных. Математическое ожидание этой случайной величины определяет еще одну из основных характеристик <таблиц смертности: < = М Р .
т х т х
Очевидно, что < = М р = М(Цх) - 1(х + + т)) = 1х - 1х + т = дах) - 5(х + т)), где 5(х) -- 5(х + /) = Р(х < X. < х + /) — вероятность смерти человека в промежутке (х, х + /].
Отметим, что индекс т = 1 обычно опускается, поэтому <<х = 1х - 1х + 1, т.е. <<х выражается через 1х и 1х + 1, имеющиеся в таблицах смертности. Тем не менее величина с<х также приводится в них в качестве основной характеристики.
Функция
f(x) = F(x) = - s(x)
(2)
называется плотностью распределения случайной величины X, и за ней в актуарной математике закреплен термин «кривая смертей» (the curve of deaths). Кривая dx от переменной возраста x изменяется приближенно как кривая смертей f(x) с точностью до множителя-константы /0, т.е. dx « l0f(x). Резюмируя, можно сказать, что кривая смертей в каком-то смысле является более тонкой характеристикой по сравнению с функцией выживания [10].
В свою очередь, по сравнению с кривой смертей более тонкой характеристикой будет функция интенсивности смертности
Цх)
Фо
s(x)'
(3)
1 -F(x)
которая представляет собой важную характеристику страховой математики. Величина
U ш ф о т S а
Б
В) 5<
X В)
1Г
о
о
о
о
а
В)
■о
0 т со ф
1 X
о
п
0
У
1 S
со ф
■о
о
S
т
ф т
О ^
(о
К)
Z
ю
б> 00 да
да
(о 4
<0
I
<о со <0
d а
0 с
ел
<N
1
ел ^
о
<N
Ф
а (О
(В
"Ü 10 ч-
о
1С
3 10
• / приближенно равна вероятности смерти человека возраста х лет в интервале (х, х + /).
Важность функции ух подтверждается и тем, что ее приближенное значение qx приводится в таблицах смертности также в качестве основной:
q*=t
l0s(x)
Функция интенсивности смертности обладает следующими свойствами: 1. Ух * 0.
Из этих свойств следует, что функция интенсивности смертности может быть использована как основная характеристика продолжительности жизни наряду с функцией распределения, функцией выживания и плотностью распределения [10].
Средняя продолжительность жизни
+00 +СО
то=МХ= | х^(х)с/х = | ¿(х)с/х (4) о о
является одним из важнейших показателей, с помощью которого сравнивают качество жизни населения разных стран.
Среднее остаточное время жизни человека в возрасте х лет определяется по формуле
1
т =
<х) t
| s(x)dx.
(5)
Аппроксимация статистических данных аналитическими законами
На рис. 1 представлена диаграмма рассеивания точек (х., у.), где х. — возраст человека, у. — количество людей, умерших в возрасте х лет, по данным таблицы смертности (прил.)
Постановка задачи
1. Проанализировать возможность ис-
пользования функции s(x) = 1--, 0 < x <
V 110
< 110, в качестве функции выживания для статистических данных, приведенных в таблице смертности населения России для календарного года 2018 (прил.).
2. Определить вид соответствующих кривой смертей f(x), функции распределения F(x), интенсивности смертности ¡Jx. Определить среднюю и остаточную продолжитель-
o o
ность жизни mo, mx .
3. Найти вероятность того, что 30-летний мужчина умрет в течение ближайшего года.
Решение
1. Проверим свойства, которым должна удовлетворять функция выживания: s(0) = 1, s(1) = 0,995 444 ^ s(x) — убывающая функция; s(0) = 1, s(w) = 0; lim s(x) = 1, lim s(x) = 1 ^ s(x) — не-
x—>0_ x—0+
прерывна слева. Таким образом, функция 0 < x < 110 может быть ис-
110'
пользована в качестве функции выживания.
Графики подбора модельных значений эмпирическим данным представлены на рис. 2-4.
s(x) = j1-
£ 3 000
2 500
3
ф
5
>
о ш
% 2 000
s ц
о
1 500
1 000
500
20
40
60
80
100 120 Возраст, лет
Рис. 1. Зависимость смертности от возраста
0
Оценим качество построенной модели (см. рис. 2) с помощью коэффициента детерминации R2 = 0,374 7 ^ качество подгонки плохое и модель плохо аппроксимирует исходные данные.
2. Определим кривую смертей по формуле (2):
л/МО
220л/1Ю-Х'
0 <х <110.
2 v 110
к ц
о *=Z
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
3
с^ ф
ш
>
к ц
о *=Z
0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0
g 1,2
1
110
1
220J1-
110
Оценим качество построенной модели (см. рис. 3) с помощью коэффициента детерминации R2 = 0,552 8 ^ качество подгонки плохое и модель плохо аппроксимирует исходные данные.
Функцию распределения определим по формуле
20 40 60 80
Рис. 2. График подбора функции выживания
100 120 Возраст, лет
20 40 60 80
Рис. 3. График подбора кривой смертей
100 120 Возраст, лет
20
40
60
80 100 120 Возраст, лет
Рис. 4. График подбора интенсивности смертности
(*) Я (d о
4
5 а
Б
&>
5<
Я &>
S V
О
я о
о
о
а
■о
0
4 Я (d
1 I о п
0 У
1
5 я (d ■о о
S ч
(d ч
.
2 О
2 ,
Z
ю
б) 00 б)
6 (о 4
да
<?
(О 00 (О
а. а
0 с
Сй N
1 Сй
0
N
J*
•ы
1
с
з
ф «
(0
"is £
"¡5 а
ч-
0 С
3
во
Р(х) = 1- ^х).^-—, 0 < х < 110.
Интенсивность смертности определим по формуле (3):
Оценим качество построенной модели (см. рис. 4) с помощью коэффициента детерминации & = 0,339 ^ качество подгонки плохое и модель плохо аппроксимирует исходные данны е.
Среднюю продолжительность жизни определим по формуле (4):
mr
= MX = J f(x)dx = J Jl-?10dx =
110
= -110 J M-
110 I 110
220
3 \
1-
110
220 3
73,3 года.
По таблице смертности это значение равно 65,26 года. Превышение предсказанного над табличным значением составляет 8,04 года.
Остаточную продолжительность жизни определим по формуле (5):
1 ш 1 110 и
m = адi5(u)du=Т=ГJ гти^"=
1-
110
110
1-
г /1—^d = [1-J V 110 I 110 J з I
X 110
110
если мужчине 30 лет, то средняя продолжительность предстоящей жизни
220 ( 30 ^ „ _ т30 = | | = 53,3 года.
3
110
По таблице смертности это значение равно 37,54 года. Превышение предсказанного над табличным значением составило 15,76 года.
3. Найдем вероятность того, что 30-летний мужчина умрет в течение ближайшего года, используя гипотетическую функцию выживания:
1--3!
= 5(30)- 5(31) 5(31) = у 110 430 5(30) 5(30)
110
0,006 269 7,
используя гипотетическую хме р тносх и:
=) _ 1
s(x) 220-2-30
интенсивность
1
160
0,00625.
По табшце смертности это значение рав3о 0,004 92, здесь расхождение предсказанного и табличного значений небольшое — 0,001 33.
Вывод
Таким образом, исследуемая функция улавливает некоторые черты реальной функции выживания. Однако наблюдаются большие превышения предсказанных значений основных вероятностных и числовых характеристик над табличными значениями, низкие значения к-эфф ициентов детерминации также чвидетeльcтвуют о пл000м качестве построенных моделей.
В заключение отметим, что определенным преимуществом аналитических законов является то, что для них вероятностные характеристики продолжительности жизни можно легко вычислять по небольшому числу параметров. Это может оказаться полезным и в тех случаях, когда доступные статистические данные немногочисленны.
Приложение. Таблица смертности населения России для календарного года 2018 (мужчины)
Возраст х лет (полное число исполнившихся лет) Коэффициент смертности в возрасте х лет Вероятность смерти qx в интервале возрастов от х до х + 1 Число доживших до возраста х лет /(х) Число умерших с1(х) в возрасте х лет Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни т°х в возрасте х лет
0 0,008 27 0,008 20 100 000 820 65,26
1 0,000 72 0,000 72 99 180 71 64,80
2 0,000 45 0,000 45 99 108 45 63,84
3 0,000 40 0,000 40 99 064 39 62,87
4 0,000 36 0,000 36 99 024 36 61,90
5 0,000 29 0,000 29 98 988 29 60,92
6 0,000 31 0,000 31 98 960 30 59,94
0
Продолжение таблицы
Возраст х лет (полное число исполнившихся лет) Коэффициент смертности в возрасте хлет Вероятность смерти qx в интервале возрастов от х до х + 1 Число доживших до возраста х лет /(х) Число умерших <(х) в возрасте х лет Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни т"х в возрасте х лет
7 0,000 28 0,000 28 98 929 27 58,95
8 0,000 27 0,000 27 98 902 27 57,97
9 0,000 25 0,000 25 98 875 25 56,99
10 0,000 29 0,000 29 98 851 29 56,00
11 0,000 32 0,000 32 98 822 31 55,02
12 0,000 34 0,000 34 98 790 34 54,03
13 0,000 39 0,000 39 98 757 39 53,05
14 0,000 50 0,000 50 98 718 49 52,07
15 0,000 68 0,000 68 98 669 67 51,10
16 0,000 91 0,000 91 98 602 90 50,13
17 0,001 07 0,001 07 98 512 106 49,18
18 0,001 26 0,001 26 98 406 124 48,23
19 0,001 43 0,001 42 98 282 140 47,29
20 0,001 78 0,001 78 98 142 175 46,36
21 0,002 07 0,002 07 97 967 203 45,44
22 0,002 15 0,002 14 97 765 210 44,53
23 0,002 35 0,002 35 97 555 229 43,63
24 0,002 61 0,002 61 97 326 254 42,73
25 0,002 91 0,002 91 97 072 282 41,84
26 0,003 30 0,003 30 96 790 319 40,96
27 0,003 66 0,003 66 96 471 353 40,09
28 0,003 82 0,003 81 96 118 366 39,24
29 0,004 06 0,004 05 95 752 388 38,39
30 0,004 93 0,004 92 95 364 469 37,54
31 0,005 44 0,005 43 94 894 515 36,72
32 0,005 86 0,005 85 94 379 552 35,92
33 0,006 19 0,006 17 93 828 579 35,13
34 0,006 47 0,006 45 93 249 601 34,35
35 0,007 27 0,007 24 92 648 671 33,57
36 0,007 78 0,007 75 91 977 713 32,81
37 0,007 91 0,007 88 91 264 719 32,06
38 0,008 10 0,008 07 90 545 730 31,31
39 0,007 97 0,007 93 89 815 713 30,56
40 0,008 50 0,008 46 89 102 754 29,80
41 0,008 42 0,008 39 88 348 741 29,05
42 0,008 76 0,008 73 87 607 764 28,29
43 0,008 87 0,008 83 86 843 767 27,54
44 0,008 94 0,008 90 86 076 766 26,78
45 0,009 98 0,009 93 85 310 847 26,01
46 0,010 47 0,010 41 84 463 880 25,27
47 0,011 48 0,011 41 83 583 954 24,53
48 0,011 45 0,011 39 82 629 941 23,81
49 0,012 34 0,012 27 81 689 1 002 23,08
50 0,013 77 0,013 67 80 687 1 103 22,36
51 0,014 43 0,014 33 79 583 1 140 21,66
52 0,015 10 0,014 99 78 443 1 176 20,97
53 0,015 77 0,015 65 77 267 1 209 20,28
54 0,017 22 0,017 07 76 058 1 299 19,59
55 0,019 25 0,019 07 74 759 1 425 18,92
56 0,020 57 0,020 36 73 334 1 493 18,28
Ф
п н
01
ш
5<
а
л т
п *
о
о
о
а ^
о ч
я ф
X X
о
п О У X
ф ^
п
5
н
ф
ч
2
О 2
,
Z О
С)
6
ев
О)
6 (О 4
Продолжение таблицы
Возраст х лет (полное число исполнившихся лет) Коэффициент смертности в возрасте х лет Вероятность смерти qx в интервале возрастов от х до х + 1 Число доживших до возраста х лет /(х) Число умерших С(х) в возрасте х лет Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни т0 в возрасте х лет
57 0,021 74 0,021 50 71 841 1 545 17,65
58 0,023 63 0,023 35 70 296 1 642 17,03
59 0,025 60 0,025 27 68 654 1 735 16,42
60 0,028 58 0,028 18 66 919 1 886 15,84
61 0,030 38 0,029 93 65 034 1 946 15,28
62 0,033 10 0,032 56 63 087 2 054 14,74
63 0,033 26 0,032 71 61 033 1 997 14,22
64 0,035 39 0,034 77 59 036 2 053 13,68
65 0,040 26 0,039 46 56 983 2 249 13,16
66 0,036 91 0,036 24 54 735 1 984 12,68
67 0,046 08 0,045 04 52 751 2 376 12,13
68 0,041 92 0,041 06 50 375 2 068 11,68
69 0,044 51 0,043 54 48 307 2 103 11,16
70 0,049 84 0,048 63 46 203 2 247 10,65
71 0,048 58 0,047 43 43 956 2 085 10,16
72 0,064 36 0,062 36 41 872 2 611 9,65
73 0,061 50 0,059 66 39 261 2 342 9,25
74 0,067 32 0,065 13 36 918 2 404 8,81
75 0,077 44 0,074 56 34 514 2 573 8,39
76 0,076 64 0,073 81 31 941 2 357 8,02
77 0,084 41 0,080 99 29 583 2 396 7,62
78 0,091 07 0,087 11 27 187 2 368 7,25
79 0,096 91 0,092 43 24 819 2 294 6,90
80 0,099 77 0,095 03 22 525 2 141 6,55
81 0,110 09 0,104 35 20 384 2 127 6,18
82 0,121 60 0,114 63 18 257 2 093 5,84
83 0,126 96 0,119 38 16 165 1 930 5,54
84 0,137 96 0,129 06 14 235 1 837 5,22
85 0,146 73 0,136 71 12 398 1 695 4,92
86 0,162 66 0,150 42 10 703 1 610 4,62
87 0,174 50 0,160 50 9 093 1 459 4,35
88 0,190 00 0,173 52 7 634 1 325 4,08
89 0,206 86 0,187 47 6 309 1 183 3,83
90 0,231 31 0,207 33 5 126 1 063 3,60
91 0,245 86 0,218 94 4 063 890 3,41
92 0,262 83 0,232 30 3 174 737 3,23
93 0,275 74 0,242 33 2 436 590 3,05
94 0,328 23 0,281 95 1 846 521 2,87
95 0,314 04 0,271 42 1 326 360 2,80
96 0,334 74 0,286 75 966 277 2,66
97 0,356 10 0,302 28 689 208 2,52
98 0,378 05 0,317 95 481 153 2,40
99 0,400 50 0,333 68 328 109 2,29
100 0,423 39 0,349 42 218 76 2,18
101 0,446 60 0,365 08 142 52 2,08
102 0,470 06 0,380 60 90 34 1,99
103 0,493 64 0,395 92 56 22 1,91
104 0,517 25 0,410 97 34 14 1,83
105 0,540 79 0,425 69 20 8 1,76
106 0,564 15 0,440 03 11 5 1,70
9
ев
«о во «в
а
л *
о
9 N
§
0
N
£ ё
1
С
э
ф
*
п *
(О
13 £
« СО
®
15 со
Возраст x лет (полное число исполнившихся лет) Коэффициент смертности в возрасте xлет Вероятность смерти qx в интервале возрастов от x до x + 1 Число доживших до возраста x лет l(x) Число умерших d(x) в возрасте x лет Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни т"х в возрасте х лет
107 0,587 22 0,453 94 6 3 1,64
108 0,609 92 0,467 39 3 2 1,59
109 0,632 15 0,480 33 2 1 1,55
110+ 0,653 84 1,000 00 1 1 1,53
Ф
п н
01
и
5<
а
л г
п *
о
о
о
а
а* ^
о ч
я ф
X X
о
п
о
у
X
ф ^
п
5
н
ф
ч
2 О
2
Z о
о
да
ев О)
6 (О 4
Источник: The Human Mortality Database. Russia. Life tables by year of death (period), 1959-2018, 1x1, male // Демоскоп Weekly. URL: http://www.demoscope.ru/weekly/ssp/rus_lt.php?year=50.
female,
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антипина Н.В. Оптимизация инвестиций в основные фонды нефтяной компании / Н.В. Антипина. — DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(2).262-272 // Известия Байкальского государственного университета. — 2019. — Т. 29, № 2. — С. 262-272.
2. Антипина Н.В. Регрессионный анализ динамики экспорта нефти Российской Федерации / Н.В. Антипина // Интеллектуальный и ресурсный потенциалы регионов: активизация и повышение эффективности использования : материалы 5-й Всерос. науч.-практ. конф., Иркутск, 16 мая 2019 г. — Иркутск, 2019. — С. 15-21.
3. Аксенюшкина Е.В. Решение задачи оптимизации расхода сбережений на основе принципа максимума / Е.В. Аксенюшкина // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. — 2018. — № 1. — С. 3-18.
4. Аксенюшкина Е.В. Решение одной задачи оптимального распределения ресурсов / Е.В. Аксенюшкина // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. — 2019. — № 1. — С. 3-12.
5. Волченко Л.Ю. Моделирование влияния деятельности таможенных органов на социально-экономическое развитие и инвестиционную активность регионов / Л.Ю. Волченко, Н.В. Мамонова, Е.О. Завьялова // Инновационное развитие экономики. — 2017. — № 6 (42). — С. 16-26.
6. Мамонова Н.В. Анализ нарушения гарантий независимости адвокатов сотрудниками правоохранительных органов при защите личности в уголовном судопроизводстве / Н.В. Мамонова // Адвокатская практика. — 2019. — № 2. — С. 45-51.
7. Актуарные расчеты в страховании жизни и пенсионном страховании : учеб. пособие / Н.В. Звездина, А.В. Иванова, М.А. Скорик, Т.А. Егорова. — Москва : Евраз. открытый ин-т, 2012. — 485 с.
8. Леонова О.В. Моделирование процессов убытков страховщика с помощью вероятностных распределений на примере страховой компании РОСГОССТРАХ / О.В. Леонова, П.Г. Сорокина. — DOI: 10.17150/2411-6262.2017.8(4).27 // Baikal Research Journal. — 2017. — Т. 8, № 4. — URL: http://brj-bguep.ru/reader/article. aspx?id=21915.
9. Леонова О.В. Моделирование смертности населения с помощью аналитических законов на примере России / О.В. Леонова. — DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(1).95-106 // Известия Байкальского государственного университета. — 2019. — Т. 29, № 1. — С. 95-106.
10. Кошкин Г.М. Основы страховой (актуарной) математики : учеб. пособие / Г.М. Кошкин. — Томск : Том. гос. ун-т, 2012. — 116 с.
REFERENCES
1. Antipina N.V. Optimization of Investment into Fixed Funds of an Oil Company. Izvestiya Baikal'skogo gosudarst-vennogo universiteta = Bulletin of Baikal State University, 2019, vol. 29, no. 2, pp. 262-272. DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(2).262-272. (In Russian).
2. Antipina N.V. Regression Analysis of Petroleum Exports Dynamics of Russian Federation. Intellektual'nyi i re-sursnyi potentsialy regionov: aktivizatsiya i povyshenie effektivnosti ispol'zovaniya. Materialy 5-i Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii, Irkutsk, 16 maya 2019 g. [Intellectual and Resource Potential of the Regions, Activation and Enhancement of Efficiency of Their Use. Materials of the 5th All-Russian Scientific and Practical Conference, Irkutsk, May 16, 2019]. Irkutsk, 2019, pp. 15-21. (In Russian).
3. Aksenyushkina E.V. Solution of the Problem of Optimal Consumption and Saving Based on the Maximum Principle. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika = Bulletin of the Buryat State University. Mathematics, Informatics, 2018, no. 1, pp. 3-18. (In Russian).
4. Aksenyushkina E.V. Solution for a Problem of Optimal Allocation of Resources. Vestnik Buryatskogo gosu-darstvennogo universiteta. Matematika, informatika = Bulletin of the Buryat State University. Mathematics, Informatics, 2019, no. 1, pp. 3-12. (In Russian).
5. Volchenko L.Yu., Mamonova N.V., Zav'yalova E.O. Modeling of the Customs Activities Influence on the Social and Economic Development and Investment Activities of the Regions. Innovatsionnoe razvitie ekonomiki = Innovative Development of Economy Journal, 2017, no. 6 (42), pp. 16-26. (In Russian).
6. Mamonova N.V., Gavrilova E.A. An Analysis of Violation of Attorney Independence Guarantees by Employees of Law Enforcement Authorities in the Protection of an Individual in Criminal Proceedings. Advokatskaya praktika = Advocate's Practice, 2019, no. 2, pp. 45-51. (In Russian).
7. Zvezdina N.V., Ivanova A.V., Skorik M.A., Egorova T.A. Aktuarnye raschety v strakhovanii zhizni i pension-nom strakhovanii [Actuarial Calculation of Life Insurance and Pension Insurance]. Moscow, Eurasian Open Institute Publ., 2012. 485 p.
8. Leonova O.V., Sorokina P.G. Modeling the Insurer's Loss Processes with the Help of Probability Distributions in Terms of ROSGOSSTRAKH Insurance Company. Baikal Research Journal, 2017, vol. 8, no. 4. DOI: 10.17150/2411-6262.2017.8(4).27. Available at: http://brj-bguep.ru/reader/article.aspx?id=21915. (In Russian).
9. Leonova O.V. Population Death Rate Modeling by Means of Analytical Laws Illustrated by the Example of Russia. Izvestiya Baikal'skogo gosudarstvennogo universiteta = Bulletin of Baikal State University, 2019, vol. 29, no. 1, pp. 95-106. DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(1).95-106. (In Russian).
10. Koshkin G.M. Osnovy strakhovoi (aktuarnoi) matematiki [Fundamentals of Actuarial Mathematics]. Tomsk State University Publ., 2012. 116 p.
Информация об авторе
Леонова Ольга Васильевна — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и информатики, Байкальский государственный университет, г. Иркутск, Российская Федерация, e-mail: olga.olgaleonova@yandex.ru.
Для цитирования
Леонова О.В. Аналитическая аппроксимация в страховании жизни / О.В. Леонова. — DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(4).686-694 // Известия Байкальского государственного университета. — 2019. — Т. 29, № 4. — С. 686-694.
Author
Olga V. Leonova — Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematics and Computer Science, Baikal State University, Irkutsk, the Russian Federation, e-mail: olga.olgaleono-va@yandex.ru.
For Citation
Leonova O.V. Analytical Approximation in Life Insurance. Izvesfiya Baikal'skogo gosudarstvennogo universiteta = Bulletin of Baikal State University, 2019, vol. 29, no. 4, pp. 686-694. DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(4).686-694. (In Russian).
»
to
<0 eo <o
a a
да
N
§
О
N
I
S
Э
Ф
4*
n
W «
£ «
CO
® 15
CO
