CC BY
1
М Инженерный вестник Дона, №2 (2024) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n2y2024/9008
Алиасинг-граммы для экспресс-контроля адекватности выбора интервала дискретизации измеренного сигнала
А.В. Седов, О.О. Пушкарева
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, Новочеркасск
Аннотация: Предложен новый математический аппарат контроля адекватности выбора интервала дискретизации сигнала с точки зрения учета основных высокочастотных составляющих и выявления возможностей его увеличения. Он базируется на построении специальных алиасинг-грамм по измеренным отсчетам сигнала. Алиасинг-граммы представляют собой графики среднеквадратических отклонений амплитудных спектров условно эталонного дискретного сигнала, заданного с наибольшей частотой дискретизации и вспомогательных дискретных сигналов, полученных на том же интервале наблюдения, но с меньшими частотами дискретизации. Анализируя подобные графики, легко выявить частоты дискретизации, приводящие к появлению эффекта алиасинга в случае дискретизации, а, следовательно, к искажению спектра сигнала. Для ускорения и упрощения построения алиасинг-грамм предложено в качестве вспомогательных использовать сигналы, полученные из эталонного путем прореживания. Показано, что данный аппарат эффективен и в случае возникновения эффекта растекания спектра. Он может быть применен в самообучаемых измерительных системах.
Ключевые слова: интервал дискретизации, алиасинг, амплитудный спектр, алиасинг-грамма, прореживание отсчетов, растекание спектра.
Введение
Реализация технологий измерения сигналов x(t) в системах контроля, диагностики и управления в первую очередь связана с выбором адекватного процессу интервала измерения T = TJN отсчетов x\kf\ = x(kT) k = 0, N -1 сигнала. При этом зачастую сигнал x(t) рассматривают на фиксированном интервале наблюдения f, а отсчеты x\kf\ используют равноотстоящие, измеряемые с частотой f = 1/T [1,2]. Адекватность выбора интервала T определяется как возможностью точного восстановления исходного измеряемого сигнала x(t) по измеренным отсчетам x\kT\ k = 0, N -1, так и измерением минимально возможного числа отсчетов N , чтобы упростить процесс обработки и уменьшить объем измеренных избыточных данных [3]. Выбор интервала дискретизации T контролируют по возникновению
алиасинга или наложения частотных составляющих в спектре сигнала x\kf\ [3,4]. При этом на практике зачастую для оценки адекватности выбора T требуется минимальное число повторений измерений сигнала, а в ряде случаев повторения измерений вообще недопустимы [5,6].
Постановка задачи
Алиасинг можно трактовать, как возникающую неразличимость или наложение нескольких частотных составляющих в дискретном сигнале x\kf\ при конкретных значениях интервала T , которые в исходном измеряемом сигнале x(t) вполне различимы [6]. При этом искажается спектр сигнала x\kf\ и точное восстановление x(t) по дискретным отсчетам x\kf\ становится невозможным [6,7]. Искажение проявляется в полосах частот \2Л - fmx ± j ■ fs; /max ± j ■ fs \, j e Z, следующих друг за другом с интервалом fs по частоте [8]. В случае отсутствия искажений спектра значения амплитуд гармоник в указанных полосах частот являются условно нулевыми.
В качестве индикатора алиасинга возможно использование условий теоремы отсчетов [2,3]: T < 1/ (2 fmax), где fmax - граничная частота сигнала x(t),
то есть частота выше которой гармонические составляющие имеют условно нулевую амплитуду. Однако, при этом возникают трудности определения fmax , так как не всегда просто определить, какую амплитуду принять за
условно нулевую, особенно в случае, если имеется еще и эффект растекания спектра [9]. Этот эффект проявляется появлением в сигнале большого числа «фиктивных» ненулевых гармоник, из-за усечения интервалом T5 частотной составляющей сигнала x(t), период которой некратен T5 [10]. Данный эффект затрудняет выявление алиасинга и в случае анализа амплитуд гармоник в указанных выше полосах частот искажения спектра. В статье предлагается другой подход выявления алиасинга на основе построения алиасинг-грамм.
Теоретическая часть
Под алиасинг-граммой будем понимать график зависимости средней нормы разности (СНР) амплитудных спектров
АN = IIАN /) - А (/ /2)= А (/)- \ (/ )) 2 /N1/2)
от числа отсчетов N вспомогательного сигнала. В формуле приняты обозначения: Аы (/ ) = \хы (/ )/(М 2) - амплитудный спектр эталонного дискретного сигнала х\кТ\, полученного из х(:), с числом отсчетов N на интервале наблюдения Т и комплексным спектром Хд, (/); Ащ (/ ) = \хщ (/ У^/ 2) - то же, но вспомогательного сигнала х \кт\
полученного также из х^) при числе отсчетов N < N, измеренных на интервале наблюдения Т. В качестве условно эталонного сигнала х\кт\ используют тот, со значением N, для которого предположительно выполняется условие теоремы отсчетов.
Осуществим построение алиасинг-граммы сигнала х((), заданного на интервале наблюдения Т = 1 с, являющимся периодом. Амплитудный спектр сигнала х(() содержит 12 ненулевых гармоник, причем номер наивысшей по частоте птах=16, то есть граничная частота сигнала /тх = =16 Гц.
Исходя из условия теоремы отсчетов N > 2 /^Т, число отсчетов на интервале наблюдения должно быть больше 32, при этом будет отсутствовать алиасинг.
В качестве эталонного выберем сигнал х\кТ\ при N=100 отсчетов. На рис.1-а представлена классическая алиасинг-грамма для случая изменения N от 5 до 45 отсчетов с шагом 5 на интервале наблюдения. При изменении N от 35 до 45 алиасинг не проявляется, так как значение алиасинг-граммы равно нулю (что соответствует и условию теоремы отсчетов). Следовательно, число отсчетов сигнала х\кТ\ можно без потери точности восстановления уменьшить до 32-35 на интервале наблюдения, то есть, в три раза.
а) Классическая алиасинг-грамма
ф-—в
-огибающая алиасинг-граммы
расчетные точки
—<Ь (!) С
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Число отсчетов сигнала
Ь) Алиасинг-граммы (АГ), построенные по прореженным отсчетам сигнала
0.3 -1-1-1-1-1-1-1-
10 15 20 25 30 35 40 45
Число отсчетов сигнала
Рис. 1. - Алиасинг-граммы сигнала х(г) При построении классической алиасинг-граммы рис.1 ^ для каждого нового N осуществлялся пересчет шага Т и дополнительно проводились измерения сигнала с новым шагом в других узлах. Это резко затрудняло процесс построения алиасинг-граммы. Поэтому предложено не осуществлять дополнительные измерения ^ \кт\, а формировать ^ \кт\ из эталонного сигнала путем прореживания отсчетов эталонного сигнала с N = {N/2}, {м/ 3}, {м/ 4}, {N/5},..., где {...}- округление до целого. Алиасинг-грамма в случае прореживания отсчетов приведена на рис. 1-Ь. Для подтверждения возможности использования такой замены приведены два графика для указанных значений для случая построения классической алиасинг-граммы с дополнительными измерениями и для случая прореживания эталонного сигнала без дополнительных измерений.
Оба графика на рис.1 -b имеют близкий вид и позволяют сделать вывод об отсутствии эффекта алиасинга для М>35, что совпадает с выводом, сделанным по классической алиасинг-грамме с повторными измерениями рис.1-а. Таким образом, имеем достаточно точную оценку классической алиасинг-граммы без дополнительных измерений сигнала в иных узлах. Кроме того, такая оценка имеет монотонный убывающий вид, как и классическая алиасинг-грамма. Эффективность алиасинг-грамм сохраняется и в случае растекания спектра сигнала.
Данный подход контроля адекватности выбора интервала дискретизации сигнала может быть применен в адаптивных обучаемых системах измерения.
Литература
1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.:Питер, 2002. 608 с.
2. Седов А.В. Моделирование объектов с дискретно-распределенными параметрами. М.:Наука, 2010. 438 с.
3. Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2012. 1048 с.
4. Girod B., Rabenstein R., Stenger A. Signals and Systems. New York, John Wiley, 2009. 592 p.
5. Gan W.-S., Kuo M.S. Embedded Signal Processing with the Micro Signal Architecture. New York, John Wiley, 2007. 507 p.
6. Kuo M.S., Lee B.H. Real-Time Digital Signal Processing. New York, John Wiley, 2001. 503 p.
7. Mitra S.K. Digital signal processing. A Computer-Based Approach. New York, McGraw-Hill, 2000. 879 p.
8. Proakis J.G., Manolakis D.G. Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, and Applications. New York, Prentice-Hill, 2000. 518 p.
9. Sedov A. V. The concept and the principle of the diagnostic observability of the object in problems of monitoring and non-destructive testing. IOP Conference,
2017. Vol. 177. # UNSP 012034. Pp. 115-120.
10. Buck J.R., Daniel M.M., Singer A.C. Computer Explorations in Signals and Systems. Using Matab. Prentice-Hill, 1997. 218 p.
References
1. Sergienko A.B. Tsifrovaya obrabotka signalov [Digital signal processing]. SPb.: Piter, 2002. 608 p.
2. Sedov A.V. Modelirovanie ob"ektov s diskretno-raspredelennymi parametrami [Modeling of objects with discretely distributed parameters]. M.: Nauka, 2010. 438 p.
3. Oppengeym A., Shaffer R. Tsifrovaya obrabotka signalov [Digital signal processing]. M.: Tekhnosfera, 2012. 1048 p.
4. Girod B., Rabenstein R., Stenger A. Signals and Systems. New York, John Wiley, 2009. 592 p.
5. Gan W.-S., Kuo M.S. Embedded Signal Processing with the Micro Signal Architecture. New York, John Wiley, 2007. 507 p.
6. Kuo M.S., Lee B.H. Real-Time Digital Signal Processing. New York, John Wiley, 2001. 503 p.
7. Mitra S.K. Digital signal processing. A Computer-Based Approach. New York, McGraw-Hill, 2000. 879 p.
8. Proakis J.G., Manolakis D.G. Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, and Applications. New York, Prentice-Hill, 2000. 518 p.
9. Sedov A. V. The concept and the principle of the diagnostic observability of the object in problems of monitoring and non-destructive testing. IOP Conference, 2017. Vol. 177. # UNSP 012034. Pp. 115-120.
10. Buck J.R., Daniel M.M., Singer A.C. Computer Explorations in Signals and Systems. Using Matab. Prentice-Hill, 1997. 218 p.
Дата поступления: 28.12.2023 Дата публикации: 7.02.2024
