CC BY
1
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
Научная статья УДК 681.3:621.391.26
http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-1-12-18
Апостериорная оценка границ интервала дискретизации сигнала на основе моделирования и построения алиасинг-грамм
А.В. Седов, О.О. Пушкарева
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова,
г. Новочеркасск, Россия
Аннотация. Рассматривается способ оценки возможных границ изменения частоты дискретизации сигнала с точки зрения учета основных высокочастотных составляющих и возможных запасов по увеличению интервала дискретизации. При этом не требуется многократных повторных измерений сигнала с различными интервалами дискретизации. Используется однократное измерение сигнала с интервалом дискретизации, априори обеспечивающем выполнение условия теоремы отсчетов и применение прореживания отсчетов сигнала при моделировании спектра. Эффективным подходом в этом случае является построение предлагаемых в статье алиасинг-грамм. Подход выявляет наличие эффекта наложения частотных составляющих при прореживании как в случае периодического сигнала, так и непериодического и позволяет оценивать указанные границы. Случай непериодического сигнала при этом более сложен, так как приводит дополнительно к эффекту растекания спектра вследствие некратности периодов отдельных гармонических составляющих сигнала интервалу наблюдения.
Ключевые слова: алиасинг, алиасинг-граммы, преобразования Фурье, растекание спектра, интервал дискретизации, амплитудный спектр
Для цитирования: Седов А.В., Пушкарева О.О. Апостериорная оценка границ интервала дискретизации сигнала на основе моделирования и построения алиасинг-грамм // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2024. № 1. С. 12-18. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-1-12-18.
Original article
A posterior estimation of the bounds of the signal sampling interval based on modeling and construction of aliasing grams
A.V. Sedov, O.O. Pushkareva
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Abstract. We consider a method for assessing possible limits for changing the signal sampling frequency from the point of view of taking into account the main high-frequency components and possible reserves for increasing the sampling interval. In this case, multiple repeated measurements of the signal with different sampling intervals are not required. A single signal measurement is used with a sampling interval a priori ensuring the fulfillment of the conditions of the sampling theorem and decimation of signal samples when modeling the spectrum. An effective approach in this case is the construction of aliasing grams proposed in the article. The approach reveals the presence of the effect of superposition of frequency components during decimation, both in the case of a periodic signal and a non-periodic one, and allows one to evaluate the specified boundaries. The case of a non-periodic signal is more complicated, since it additionally leads to the effect of spectrum spreading due to the non-multiplicity of the periods of individual harmonic components of the signal with the observation interval.
Keywords: aliasing, aliasing-grams, Fourier transforms, spectrum spreading, sampling interval, amplitude spectrum
For citation: Sedov A.V., Pushkareva O.O. A posterior estimation of the bounds of the signal sampling interval based on modeling and construction of aliasing grams. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2024;(1):12-18. (In Russ.). http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2024-1-12-18.
© ЮРГПУ (НПИ), 2024
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
Введение
Измеряемые физические процессы условно можно рассматривать в форме функций времени //), заданных на конечном временном интервале наблюдения te [а, Ь], длиной Ts = Ь - а. При измерении и цифровой обработке /(О заменяют дискретными функциями / [кТ], представляющими собой выборку отсчетов
{/ [кТ] = / (а + кТ), к = 0, N -1}, как правило,
заданных с равномерным шагом дискретизации Т по времени [1].
При указанном переходе от /(1) к / [кТ] важно оценивать правильность выбора интервала Т или частоты измерения выборки отсчетов
| / [ кТ ]} сигнала [2]. С одной стороны, для сокращения объема данных и упрощения процесса обработки сигнала / [кТ] интервал дискретизации Т желательно брать по возможности большим [3]. При этом значительное увеличение Т приведет к невозможности точного восстановления исходного сигнала //) по отсчетам | / [ кТ и, по сути, к потере существенной информации в сигнале [3]. Последнее обстоятельство зачастую связывают с возникновением эффектов «наложения частот спектра» или али-асинга, а также возможном эффекте растекания спектра [4]. При этом на практике встречаются случаи, когда измерение сигнала можно осуществлять только однократно или с минимальным числом повторений измерений сигнала с разными интервалами дискретизации. Это значительно усложняет процесс выбора эффективного интервала дискретизации Т.
Общий подход
Под алиасингом понимают неразличимость в сигнале двух или более частотных составляющих при определенном выборе шага дискретизации Т [5]. Так, если в аналоговом сигнале /(1) имеются две гармонические составляющие ф1(0 = со8(л(и + + ф) и ф2(0 = со8(л(и - + ф), где и ± <, ф - частоты и фазы составляющих, то в случае дискретизации сигнала /(1) с шагом Т = 1/и, полученные отсчеты в моменты времени t = кТ, к<а2 не позволят при вычислении спектра отдельно определить каждую из этих составляющих. Хотя при этом каждая из составляющих имеет различную частоту - <) и + <). Возникает наложе-
ние или неразличимость частотных составляющих сигнала. Этот эффект и приводит к искажению спектра сигнала при дискретизации, в дальнейшем не позволяющий реализовать точное восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам [6]. Эффект алиасинга проявляется при критическом увеличении шага дискретизации Т, когда перестает выполнятся условие теоремы отсчетов Котельникова [4]: Т < п/юшах , где юшах - круговая граничная частота сигнала /(1), т. е. частота, выше которой все составляющие сигнала имеют нулевую амплитуду или могут условно рассматриваться нулевыми. В случае алиасинга в спектре дискретного сигнала появляются области юе[4л/ Т - ] искажений спектра по
сравнению со спектром непрерывного сигнала, которые повторяются с периодом по частоте 2 л/Т [7].
Комплексный спектр конечного дискретного сигнала/[кТ] несложно оценить, используя формулу дискретного преобразования Фурье [8]:
N-1
к=0 (1)
юи = 2яи/Т, п = 0, N -1.
В практической деятельности [9] часто возникает задача определения возможного диапазона увеличения интервала дискретизации сигнала Т по измеренному уже дискретному сигналу /[кТ]. Казалось бы, рассчитав комплексный спектр Дю„) сигнала/[кТ] и проанализировав частотную область [ттш,;2%/Т] на нулевые
значения амплитуд, можно определить границы варьирования интервала Т. Однако зачастую отсутствуют нулевые значения амплитуд в указанной области и это объясняется эффектом растекания спектра конечного дискретного сигнала [10]. Данный эффект связан с наличием в сигнале /(1) частотных составляющих с периодами, некратными интервалу наблюдения Т [11]. В таком случае эффективным решением является использование алиасинг-грамм.
Теоретическая часть
Алиасинг-граммой назовем графическую зависимость среднеквадратических отклонений (СКО) условно эталонного амплитудного спектра AN (®п ) = (®п )|/(N2) дискретного сигнала /[кТ], Т = Ts/N и спектра
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
этого же сигнала, но
Л, () = |^ ()|/(¥,/2)
построенного для больших интервалов дискретизации Т = Т$ /М, то есть при N1 < N, но при постоянном интервале наблюдения Тх от самих значений N1. Величины FN (юп) и (юп) - отчеты комплексного спектра сигнала для указанных случаев интервалов дискретизации, вычисленные с помощью дискретного преобразования Фурье (1). Значения N1 при построении али-асинг-граммы могут выбираться произвольно, но главное должно выполняться условие N1 < N. В статье предлагается выбор N1 осуществлять по принципу прореживания отсчетов исходного эталонного сигнала, т.е.
N = {¥ 2 },{¥/ 3},{¥/ 4},{¥/ 5},..., где {...} - округление до целого.
Каждый отсчет алиасинг-граммы представляет собой значение средней нормы разности спектров измеряемого сигнала для чисел отсчетов N и N1:
Д* =|КК)-Лщ (шй)Ц2/(ЛУ2) =
72 / (2) = Л к )-л¥ ( ш„ )) !( N,12 ).
В качестве условно эталонного спектра Л (®„ ) используют тот, со значением N для которого предположительно выполняется условие теоремы отсчетов Котельникова.
Поясним использование алиасинг-граммы на примере. Сигнал /(/) задан на интервале Т = 1 с и измерены три группы отсчетов / \кТ\ этого сигнала: эталонная при N = 40 и две группы по N1 = 14 отсчетов, одна с шагом, рассчитанным Т = Т/14, другая - полученная прореживанием эталонной с шагом 3 (рис. 1).
Отличие групп отсчетов сигнала для N1 = 14 состоит в том, что в первом случае требуется к эталонной группе дополнительные измерения отсчетов сигнала, во втором - таких измерений не требуется.
Амплитудный спектр рассматриваемого сигнала /(/) низкочастотный и содержит 12 гармонических составляющих (рис. 2), номер наивысшей по частоте Пшах=16. Граничная частота сигнала /шах ПшахТ = 16 Гц. Исходя из условия теоремы отсчетов Котельникова число отсчетов N на интервале наблюдения должно быть больше 32 или 2птах, при этом будет отсутствовать алиасинг.
16 14 12 ш ю
cd
I 8
Е
а , u б, <и s
g 4 ц-
rz
en 2 0 -2 -4
- -
1-
□ исходный сигнал отсчеты с рассчитанным шагом
* отсчеты прореженные
- - - -
0.2
0.4 0.6
Время, с
0.8
Рис. 1. Измеряемый сигнал f (t) и дискретные отсчеты f [kT] при N1 = 14
Fig. 1. Measured signalf (t) and discrete samplesf [kT] at N1 = 14
Рис. 2. Амплитудный спектр сигнала, рассчитанный для N = 40 отсчётов
Fig. 2. Amplitude spectrum of the signal, calculated for N = 40 samples
Для наглядности, в качестве эталонного рассмотрим спектр сигнала f [kT] заданного N = 100 отсчетами на интервале наблюдения Т = 1c. Осуществим расчет алиасинг-граммы (рис. 3, а), задавая для групп f [kT] число отсчетов N1 от 45 до 5 отсчетов с шагом 5 на интервале наблюдения. При этом для каждого N1 будем пересчитывать шаг дискретизации Т = Ts/Ni , осуществляя дополнительные измерения отсчетов. Как видно из рис. 3, а, при N1 от 45 до 35 алиасинг эффект не проявляется и средняя норма разности спектров равна нулю (что соответствует условию теоремы отсчетов, граница по 32 отсчетам 2«max). Вывод - число отсчетов сигнала можно уменьшить до 32 на интервале наблюдения без потери точности восстановления.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
При построении алиасинг-граммы для каждого нового N1 требовался пересчет шага Т и дополнительный повтор измерений сигнала в других узлах. Это затратно и, зачастую, не всегда возможно. Поэтому предложено не осуществлять повтор измерений, а число отчетов изменять путем прореживания отсчетов эталонного сигнала.
15 20 25 30 35 Число гармоник спектра а
0.3
g 0.2
I
о 0.1
и
и
—О--АГ по допол нительным измерения?. —АГ по прорежен ним отсчетам
об отсутствии эффекта алиасинга для N1 > 35, что совпадает с выводом, сделанным по классической алиасинг-грамме с повторными измерениями (рис. 3, а). Таким образом, имеем достаточно точную оценку алиасинг-граммы без дополнительных измерений сигнала в иных узлах. Кроме того, такая оценка имеет более монотонный убывающий вид, как и классическая али-асинг-грамма.
Различия в графиках на рис. 3, б определяются использованием разных отсчетов дискретного сигнала/\кТ\, полученных либо при пересчете Т и дополнительном измерении отсчетов, либо при прореживании. Это проиллюстрировано на рис. 1. В свою очередь из-за этого не совпадают и их амплитудные спектры, показанные на рис. 4.
m
s Ei 2
10 15 20 25 30 35 40 45 Число гармоник спектра б
Рис. 3. Алиасинг-граммы сигнала f (t) в случае отсутствия эффекта растекания спектра: а - классическая али-асинг-грамма (АГ), построенная по дополнительно измеренным, либо по прореженным отсчётам сигнала на одном интервале наблюдения; б - алиасинг-граммы, построенные по дополнительно измеренным, либо по прореженным отсчётам сигнала на одном интервале наблюдения
Fig. 3. Aliasing-grams of a signal f (t) in the absence of spectrum spreading effect: a - is a classical aliasing-grams (AG) constructed from additionally measured or thinned signal counts in one observation interval; б - these are aliasing-grams constructed from additionally measured or thinned signal counts in one observation interval
Например, выбираем следующие значения N\: 50 (каждый второй отсчет); 34 (каждый третий отсчет); 25 (каждый четвертый отсчет); ...; 10 (каждый десятый отсчет). Алиасинг-грамма для этого случая приведена на рис. 3, б. Для сравнения приведены две алиасинг-граммы для указанных значений Ni: для случая пересчета шага дискретизации с дополнительными измерения (более точный, но не всегда выполнимый; отмечены «o») и для случая прореживания эталонного сигнала без повторных измерений (более удобный и простой; отмечены «квадратами»).
Несложно заметить, что оба графика имеют близкий вид и позволяют сделать вывод
г :
s
я
о
S I <
S
ч с
s <
—амплитудный спектр & случае прореженных отсчетов 1 -в—амплитудный спектр в случае дополнительных измерений . /
■W 60 M
Номер гармоники
wo
120
Рис. 4. Амплитудные спектры сигналов f [kT] при Ni = 14 отсчетов
Fig.4. Amplitude spectra of signals f [kT] at Ni = 14 samples
Однако, как показывают проведенные исследования, замена дискретного сигнала f [kT], полученного путем повторных измерений с пересчитанным шагом дискретизации Ti на сигнал, полученный путем прореживания отчетов исходного эталонного, практически не изменяет выводов о возможности изменения (увеличения) интервала дискретизации сигнала не приводящего к искажению спектра (появлению али-асинга) и не исключающего точного восстановления сигнала f (t).
Более сложный случай оценки возникает, если при измерении сигнала проявляется еще и эффект растекания спектра [4, 12]. Он возникает, если в сигнале имеются гармонические составляющие с частотами, не кратными интервалу наблюдения Ts [13]. При вычислении спектра в
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
этом случае число гармоник с ненулевыми амплитудами может быть бесконечным, хотя в сигнале фактически имеется конечное число гармонических составляющих с известной граничной частотой /шах (см. рис. 2) [14, 15]. Для сигнала (см. рис. 1) увеличим интервал наблюдения Т8 с 1 до 1,4 с. При этом проявится эффект растекания и амплитудный спектр сигнала при N1 = 70 дискретных отсчетах /\кТ\ примет вид рис. 5. У спектра отсутствуют нулевые гармонические составляющие, хотя в сигнале фактически 12 ненулевых гармоник и граничная частота сигнала /шах= 16 Гц.
изменения частоты дискретизации сигнала али-асинг-грамм.
В качестве эталонного в этом случае возьмем сигнал /\кТ\, содержащий на интервале наблюдения Т = 1,4 число N=140 отсчетов. Осуществим расчет алиасинг-граммы (рис. 6, а), изменяя для сигнала / \кТ\ число отсчетов N1 от 65 до 5 с шагом 5 на интервале наблюдения. При этом для каждого N1 пересчитаем шаг дискретизации Т = .
0.4
£ 03 о
г
о 0.2
с у
о
И o,i
-огибающая хшсннг-граммы О расчетные точки
20 30 40 50 60
Число гармоник спектра а
10 20 30 40 50
Номер гармоники Рис. 5. Эффект растекания амплитудного спектра сигнала f[kT] при N1 = 70 отсчетах
Fig. 5. The effect of spreading of the amplitude spectrum of the signal f [kT] at N1 = 70 samples
Изменение интервала наблюдения Ts привело к изменению (уменьшению) шага по частоте А/ = 1/ T в амплитудном спектре (см. рис. 5). Именно поэтому произошло растекание (распределение) фактических гармоник (их в сигнале 12) по диапазону от нулевой частоты до гармоники, наиболее близкой к граничной частоте сигнала fmax= 16 Гц, т.е. по «max = 23 гармоникам. Сравнение рис. 2 и рис. 5 показывает, что диапазон номеров гармоник от нулевой до ближайшей к fmax изменился от 0-16 (см. рис. 2) на диапазон 0-23 (см. рис. 5), как раз в Ts раз. Кроме того, растекание спектра привело к появлению в амплитудном спектре новых гармоник с ненулевыми амплитудами, которые фактически в сигнале отсутствуют, что затрудняет использование теоремы отсчетов для контроля правильности выбора интервала дискретизации сигнала, так как усложняется определение граничной частоты fax. Проверим, возможно ли в этом случае применение для оценки границ
0.5
£0.3 5
5 0.2
и 0.1
о
9
L
О АГ по лоиашнюнпшм измерениям -в—ДГ но прореженным отсчетам
H Юъ ■■-,..................;
20 30 40 50 60 70
Число гармоник спектра б
Рис. 6. Алиасинг-граммы сигналаf (t) в случае эффекта растекания спектра: а - классическая алиасинг-грамма, построенная по измерениям одного сигнала с разными интервалами дискретизации на одном интервале наблюдения; б - алиасинг-граммы, построенные по дополнительно измеренным, либо по прореженным отсчетам сигнала на одном интервале наблюдения Fig. 6. Aliasing-grams of a signal f (t) in the case of the spectrum spreading effect: а - is a classical aliasing gram based on measurements of a single signal with different sampling intervals in one observation interval; б - these are aliasing grams based on additionally measured or thinned signal samples in one observation interval
Как видно, при N1 от 65 до 40 алиасинг отсутствует, и средняя норма разности спектров равна нулю (что соответствует условию теоремы отсчетов, граница по 46 отсчетам 2«max). Число отсчетов сигнала можно уменьшить практически до 40 на интервале наблюдения без потери точности восстановления.
При построении алиасинг-граммы по эталонному сигналу с прореживанием отсчетов дополнительные измерения сигнала в других узлах не требуются. При этом были выбраны следующие значения N1: 70 (каждый второй отсчет);
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
47 (каждый третий отсчет); 35 (каждый четвертый отсчет); ...; 10 (каждый четырнадцатый отсчет). Алиасинг-грамма этого случая приведена на рис. 6, б.
Для сравнения приведена алиасинг-грамма указанных значений N1 и для случая пересчета шага дискретизации и повторного измерения (отмечена «кружочками») и для случая прореживания эталонного сигнала без повторных измерений (отмечена «квадратами»).
Несложно сделать вывод, что и в случае растекания спектра сигнала алиасинг-граммы можно по однократно измеренному сигналу и с применением прореживания оценивать возможные границы изменения частоты дискретизации сигнала, опираюсь на измеренный сигнал, как на эталонный.
Таким образом, имеем практически повторение результата оценки границ изменения частоты дискретизации сигнала с точки зрения учета основных высокочастотных составляющих и возможных запасов по увеличению интервала дискретизации, как в случае периодического сигнала/\кТ\ (рис. 3), так и в случае непериодического с возникающим эффектом растекания спектра (рис. 6).
Заключение
В статье предложен эффективный апостериорный способ оценки возможных границ изменения частоты дискретизации сигнала, базирующийся на однократном измерении сигнала с дальнейшим спектральным анализом его прореженных копий. Реализуется построение али-асинг-грамм, по которым и делаются основные выводы. Термин «алиасинг-граммы», возможно, впервые предложен в данной статье.
Список источников
1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб., 2002. 608 с.
2. Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. М., 2012. 1048 с.
3. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. М., 2006. 656 c.
4. Седов А.В. Моделирование объектов с дискретно-распределенными параметрами. М., 2010. 438 с.
5. Katayama T., Sugimoto S. Statistical Methods in Control and Signal Processing. New York, 1997. 573 p.
6. GirodB., Rabenstein R., Stenger A. Signals and Systems. New York, 2009. 592 p.
7. Gan W.-S., Kuo M.S. Embedded Signal Processing with the Micro Signal Architecture. New York, 2007. 507 p.
8. Kuo M.S., Lee B.H. Real-Time Digital Signal Processing. New York, 2001. 503 p.
9. Mitra S.K. Digital signal processing. A Computer-Based Approach. New York, 2000. 879 p.
10. Proakis J.G., Manolakis D.G. Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, and Applications. New York, 2000. 518 p.
11. Kay S.M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice-Hill, 1993. 303 p.
12. Kumar B.P. Digital signal processing laboratory. Milton Park, 2005. 252 p.
13. Buck J.R., Daniel M.M., Singer A.C. Computer Explorations in Signals and Systems. Using Matab. Prentice-Hill, 1997. 218 p.
14. Sedov A.V. The concept and the principle of the diagnostic observability of the object in problems of monitoring and non-destructive testing // IOP Conference, 2017. Vol. 177, № UNSP 012034. P. 115-120.
15. Sedov A.V. Algebraic Polynomial Dependence of Change of the Spectral Characteristics of Aggregate Signal of Control Systems on Its Compression or Stretching in Time // SUMMA 2020, № 9280729, pp. 65-70.
References
1. Sergienko A.B. Digital signal processing. Sankt-Petersburg. 2002. 608 p. (In Russ.)
2. Oppenheim A., Shaffer R. Digital signal processing. Moscow. 2012. 1048 p. (In Russ.)
3. Lyons R. Digital signal processing. Moscow. 2006. 656 p. (In Russ.)
4. Sedov A.V. Modeling of objects with discretely distributed parameters. Moscow. 2010. 438 p. (In Russ.)
5. Katayama T., Sugimoto S. Statistical Methods in Control and Signal Processing. New York. 1997. 573 p.
6. Girod B., Rabenstein R., Stenger A. Signals and Systems. New York. 2009. 592 p.
7. Gan W.-S., Kuo M.S. Embedded Signal Processing with the Micro Signal Architecture. New York. 2007. 507 p.
8. Kuo M.S., Lee B.H. Real-Time Digital Signal Processing. New York. 2001. 503 p.
9. Mitra S.K. Digital signal processing. A Computer-Based Approach. New York. 2000. 879 p.
10. Proakis J.G., Manolakis D.G. Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, and Applications. New York. 2000. 518 p.
11. Kay S.M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice-Hill. 1993. 303 p.
12. Kumar B.P. Digital signal processing laboratory. Milton Park. 2005. 252 p.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2024. No 1
13. Buck J.R., Daniel M.M., Singer A.C. Computer Explorations in Signals and Systems. UsingMatab. Prentice-Hill. 1997. 218 p.
14. Sedov A.V. The concept and the principle of the diagnostic observability of the object in problems of monitoring and non-destructive testing. IOP Conference. 2017;177(UNSP 012034):115-120.
15. Sedov A.V. Algebraic Polynomial Dependence of Change of the Spectral Characteristics of Aggregate Signal of Control Systems on Its Compression or Stretching in Time. SUMM4.2020;(9280729):65-70.
Сведения об авторах
Седов Андрей Владимировичя - д-р техн. наук, доцент, кафедра «Автоматика и телемеханика», sedov07@list.ru
Пушкарева Ольга Олеговна - аспирант, кафедра «Автоматика и телемеханика», kulikova058@mail.ru Information about the authors
Andrey V. Sedov - Dr. Sci. (Eng.), Associate Professor, Department «Automation and Telemechanics», sedov07@list.ru
Olga O. Pushkareva - Graduate Student, Department «Automation and Telemechanics», kulikova058@mail.ru
Статья поступила в редакцию / the article was submitted 26.12.2023; одобрена после рецензирования / approved after reviewing 11.01.2024; принята к публикации / accepted for publication 15.01.2024.
