Алгоритмы экстраполяции участков экспериментальных кривых Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.62

ДАНИЛОВ В.В., заведующий кафедрой радиофизики и инфокоммуникационных

технологий (ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет») ТРЕТЬЯКОВ И.А., ассистент кафедры радиофизики и инфокоммуникационных

технологий (ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет») РУШЕЧНИКОВ Я.И., аспирант кафедры радиофизики и инфокоммуникационных

технологий (ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет»)

ШАЛАЕВ А.В., аспирант кафедры радиофизики и инфокоммуникационных технологий (ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет»)

Алгоритмы экстраполяции участков экспериментальных кривых

Danilov V., Head of the Department of Radiophysics and Infocommunication Technologies (DonNU)

Tretyakov I., Assistant Lecturer at Department of Radiophysics and Infocommunication Technologies (DonNU)

Rushechnicov Y., Postgraduate student at Department of Radiophysics and

Infocommunication Technologies (DonNU) Shalaev A., Postgraduate student at Department of Radiophysics and Infocommunication Technologies (DonNU)

Algorithms of extrapolation of sites experimental curves

Введение

Постоянно возрастающая сложность технологических процессов, сложность новых научных теорий и огромное количество информации в современном мире приводят к необходимости анализировать экспериментальные

данные исследуемого события, с учетом всевозможных воздействий на него. Возникает необходимость в исследовании события, в условиях воздействий на него других, не учтенных ранее факторов, то есть в прогнозировании. Прогнозирование является неотъемлемой частью анализа массивов экспериментальных данных. Анализируются случившиеся события, для того чтобы на основе определенной информации осуществлять прогнозы и принимать решения для формирования необходимого результата в дальнейшем. Большинство прогнозов осуществляется

на основе исследования уже случившихся в прошлом и настоящем устойчивых состояний анализируемого процесса, определения закономерностей их динамики и переносе их в будущее. Такой подход называется экстраполяцией [1,2].

Выделяют формальный и

прогнозный типы экстраполяции. Формальный тип основывается на предположениях о сохранении в дальнейшем уже случившихся

определенных состояний исследуемого процесса. Прогнозный тип, в свою очередь, базируется на предположениях о динамике анализируемого процесса с учетом влияния на него множества различных факторов.

Анализ публикаций

Экстраполяционные методы

прогнозирования широко распространены

и исследованы в ряде работ [3-6]. Все они основываются на исследовании динамических рядов - массивов наблюдений, полученных

последовательно во времени. Широко применяется метод математической экстраполяции, метод подбора функций, матричный метод. Все они с математической точки зрения

предполагают распространение

некоторого закона изменения функции из области ее определения в области, находящейся вне ее. Вводится некоторая функция, представляющая собой математико-статистическую модель

исследуемого события. В зависимости от характера и специфики поведения кривой, функция может быть линейного, гиперболического, логарифмического, экспоненциального и других типов. Линейная, например, применяется для исследования событий, равномерно изменяющихся во времени. В лингвистическом подходе [7] роль такой функции может выполнять функция сложности.

Цель работы

Целью данной работы является разработка экстраполяционных

алгоритмов экспериментальных кривых с применением функции сложности. В работе будут представлены алгоритмы экстраполяции формального и

прогнозного типов.

Основная часть

В работе [8] использован ряд алгоритмов идентификации переходных участков экспериментальных кривых с применением функции сложности (ФС). На основе этого представим общую идею алгоритма, прогнозирующего поведение кривой за границами ее определенных участков:

- определенная область экспериментальной кривой / (г) разбивается на ряд элементарных участков юу, у = 1,..., п одинаковой длины

/ (рисунок 1);

- вводится ФС [9] ф(/, ю) для оценки экстраполяционных свойств поведения кривой на граничащих участках (/+1);

- задается величина порога ошибки экстраполяции;

- идентифицируются такие участки кривой, на которых ФС принимает локально экстремальные значения;

- идентифицированные участки принимаются за искомые участки, по которым стоит прогнозировать поведение кривой на данных участках.

Учитывая вышесказанное,

представим два конкретных алгоритма такого типа далее.

Алгоритм прогнозного типа для экстраполяции кривых

стохастического характера. Пусть экспериментальная кривая / (г) изменяется случайным образом. Тогда такие участки, на которых характер ее поведения изменяется не значительно (простые, однородные), будут являться реализацией определенного случайного стационарного процесса. Такие процессы будем рассматривать как совокупность стохастических уравнений авторегрессии:

п

хг = С0 +Е СХ- + , (1)

г=1

где С -коэффициент авторегрессии (/

принимает значения от 0 до п),

п-порядок авторегрессии,

-последовательность независимых нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией,

¿-коэффициент

среднеквадратичного отклонение белого шума.

Рис. 1. Принцип работы алгоритма экстраполяции участков экспериментальных кривых

Представим эту кривую / (г) как последовательность значений ее ординат /,/,..., расположенных равномерно с шагом А на кривой и разобьем ее на ряд элементарных участков

юу,у = 1,..., N равной длины I, каждый из

которых описывается моделью п-го порядка авторегрессии (1) с коэффициентами с- и Ь. Коэффициенты рассчитаем методом наименьших квадратов на каждом участке юу и при дополнительном условии г > у1 рассчитаем величину:

(юу ) = X (ю у )]- (г - у/),

изменении коэффициентов с- и Ь возникают систематические невязки gs (ю у) -1, соответственно st (ю у) станет

отлично от нуля в ту или иную сторону.

Введем в рассмотрение функцию сложности [9]

ф(ю у )= г0 (ю у ),

(2)

, л 1

где gs (юу ) =-Ь

s=I+1

с

л2

// - со -X /

-=1

Если данный участок будет стационарного поведения, то значение gs (юу) будет совпадать с квадратом

белого шума 2 и будет стремиться к единице, соответственно значение ^ (юу) будет стремиться к нулю. При

и зададим пороговое значение ошибки экстраполяции е. Вычислим такое минимальное значение го (ю у), при

котором модуль величины ^ (ю у)

превысит заданное пороговое значение е . С помощью данной ФС будут анализироваться экстраполяционные свойства участков ю у в одном

направлении и прогнозировать поведение кривой за границами участка следует по участкам с локальными минимумами ф(ю у). Учитывая сказанное данный

алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Исследуемая экспериментальная кривая разбивается на участки равной длины.

2. На каждом участке определяется набор коэффициентов уравнения

п

авторегрессии (1).

3. На каждом участке вычисляется величина st (ю у ).

4. Задается величина порога ошибки экстраполяции.

5. На кривой определяется последовательность значений ФС (2).

6. На кривой идентифицируются все участки, соответствующие локально минимальным значениям ФС.

7. Идентифицированные участки рассматриваются как искомые участки для прогнозирования.

8. Для каждого идентифицированного участка фиксируется его позиция на кривой и соответствующий вектор, характеризующий его форму.

Данный алгоритм будет

анализировать экстраполяционные

свойства кривой стохастического характера поведения только в одном направлении, а именно вправо за границы определенного участка.

Алгоритм формального типа для экстраполяции экспериментальных кривых с применением аппроксимации отрезком степенного ряда. Пусть исследуемая кривая /(г) представлена последовательностью значений ее

ординат /1, ,____ расположенных

равномерно с шагом А на кривой и разбита на ряд элементарных участков юу, у = 1, _, N равной длины /. И каждый

участок аппроксимируется отрезком

N

степенного ряда ЕС/У , где ^ является

г=0

порядковым номером точки на данном участке. Данный полином продолжается вправо (правая экстраполяция) и влево (левая экстраполяция) за границы участка. Введем в рассмотрение функцию сложности [9]

формализующую представление об изменчивости формы кривой, проверяя, сохраняет ли она свое основное направление в некоторой области текущего элементарного участка. Зададим пороговое значение е и определим длины

левого к1 и правого

интервалов

экстраполяции так, чтобы они не

превышали его:

к1 ( п

Е // -Е с{.

-=1 -14 г=0

< е

и

Е

-=1+1

// -Е су*

г=0

< е .

Учитывая сказанное

данный алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Исследуемая экспериментальная кривая разбивается на участки равной длины.

2. Исходные векторы значений ординат кривой, соответствующие участкам, нормируются.

3. На каждом участке определяется величина аппроксимирующего полинома.

4. На кривой определяется последовательность значений ФС (3).

5. Задается величина порога ошибки экстраполяции.

6. На кривой идентифицируются все участки, соответствующие локально минимальным значениям ФС.

7. Идентифицированные участки рассматриваются как искомые участки для прогнозирования.

8. Для каждого идентифицированного участка фиксируется его позиция на кривой и соответствующий вектор, характеризующий его форму.

Особенностью данного алгоритма является то, что он будет прогнозировать поведение кривой в обеих направлениях, а именно и вправо за границы определенного участка.

ф(ш у )= тп (кг, к1),

(3)

к

г

2

2

п

Выводы

В данной работе представлены два алгоритма экстраполяции

экспериментальных кривых. В частности, алгоритм прогнозного типа для экстраполяции кривых стохастического характера и алгоритм формального типа для экстраполяции экспериментальных кривых с применением аппроксимации отрезком степенного ряда. Достоинствами обоих алгоритмов является минимальная информация о характере исследуемой кривой и простота программной реализации. Именно программная реализация предложенных алгоритмов является целью дальнейших исследований авторов. От данных алгоритмов ожидается возможность получения прогнозов высокого качества.

Список литературы:

1. Попова Н. Л. Экстраполяция как средство научного познания и интегративный фактор в науке. Киев: Наук. думка, 1985. 111 с.

2. Абушенко В.Л. Экстраполяция. Гуманитарная энциклопедия [Электронный ресурс] // Центр гуманитарных технологий, 2002-2018 (последняя редакция: 16.03.2018). URL: http://gtmarket.ru/concepts/6997

3. Шугунов Т.Л. Анализ и экстраполяция значений временного ряда среднегодовой температуры / Т.Л. Шугунов, Л.Ж. Шугунов, Г.В. Куповых // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2011. - №1(114). - С. 244-248.

4. Дмитриев В.А. Моделирование СВЧ транзисторов методом экстраполяции S-параметров / В.А. Дмитриев, А.М. Осипов // Вестник Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. -2004. -№26. - С. 74-77.

5. Жиляков Е.Г. Метод экстраполяции речевых сигналов на основе частотных представлений / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец, А. А. Голощапова., В.А. Черноморец // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Экономика. Информатика. - 2009. - №9 (64). -С. 93-102.

6. Кузнецов Ф.И. Адаптивный метод экстраполяции оцифрованных значений датчиков физических величин с ограниченным форматом данных / Ф.И. Кузнецков // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2011. - №5(118). - С.142-145.

7. Моттль В.В. Лингвистический анализ экспериментальных кривых / В.В. Моттль, И.Б. Мучник // ТИИЭР. - 1979. -Т.69. - №5. - С. 12-39.

8. Алгоритмы идентификации переходных участков экспериментальных кривых / И.А. Третьяков, В.В. Данилов // Материалы международной научно-практической конференции «Социально-гуманитарные и естественно-технические науки и вызовы современности» -Ставрополь: АНО ВО СКСИ, - 2017. - С. 824-828.

9. Третьяков И.А. Функции сложности для выделения и распознавания характерных участков экспериментальных кривых / И.А. Третьяков, В.В. Данилов // Вестник Донецкого национального университета. Серия А: Естественные науки. - 2017. -№2. - С.101-107.

Аннотации:

В настоящей работе показана необходимость прогнозирования в анализе массивов экспериментальных данных,

рассмотрены существующие методы

экстраполяции. Предложена формальная постановка задачи экстраполяции участков экспериментальных кривых. Представлена

общая идея алгоритма, осуществляющего прогнозирование поведения кривой за границами определенных участков, основываясь на использовании функции сложности в качестве математико-статистической модели кривой. Разработаны два алгоритма, формального и прогнозного типа, экстраполяции

экспериментальных кривых.

Ключевые слова: экспериментальные кривые; лингвистический подход; экстраполяция; функция сложности.

In this paper, we show the necessity of predicting experimental data in the analysis of arrays,

and the existing extrapolation methods are considered. A formal formulation of the problem of extrapolation of sites of experimental curves is proposed. The general idea of an algorithm that predicts the behavior of a curve beyond the boundaries of certain sites, based on the use of the complexity function as a mathematical-statistical model of the curve are present. Two algorithms, of a formal and predictive type, of extrapolating experimental curves are developed.

Keywords: experimental curves; linguistic approach; extrapolation; complexity function.

УДК 681.5:669

ЧЕРНЫШЕВ Н.Н., доцент (Донецкий национальный технический универсистет) ВОЛУЕВА О.С., ассистент (Донецкий национальный технический универсистет),

Алгоритм настройки параметров регуляторов для стационарных и нестационарных режимов работы технологических установок

Chernyshev N.N., Аssistant professor (DonNTU) Volueva O.S., Lecturer assistant (DonNTU),

Controller parameters tuning algorithm for stationary and non-stationary operation modes of process units

Введение

В настоящее время эффективное управление технологическими

процессами возможно только в результате сочетания определенных свойств системы управления, обеспечивающей работу в области допустимых режимов и, в то же время, восприимчивой к управляющим воздействиям и робастной по отношению к изменению параметров аппаратов и режимов функционирования.

Вследствие того, что

экспериментальные исследования связаны с большими материальными затратами, все большую актуальность приобретают математические методы, позволяющие

уточнять структуру и параметры математической модели технологического процесса, с целью дальнейшего ее использования анализа поведения системы в различных режимах работы, синтеза структуры и алгоритмов управления, автоматизированной

настройки параметров регуляторов.

Одним из наиболее часто применяемых промышленных

регуляторов является пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор (ПИД) и его вариации, поскольку использование таких регуляторов в системе управления позволяет обеспечить требуемые показатели качества переходных