CC BY
17
Канд. техн. наук А. А. Попов
АЛГОРИТМЫ ДЛЯ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЭКОНОМИКИ РЕГИОНА
В статье рассмотрены задачи, решаемые программным модулем качественного исследования динамической системы для выдачи информации лицу, принимающему решения, о прогнозируемом состоянии экономического объекта при различных начальных условиях. Алгоритм предназначен для проведения проектировочных расчетов и выдачи рекомендаций для быстрого принятия решений.
Ключевые слова и словосочетания: экономика региона, алгоритм, динамическая система, фазовая траектория, качественное исследование, характеристическое уравнение, разбиение фазового пространства.
Прогнозирование состояния экономики региона представляет большой интерес. Одним из способов прогнозирования состояний экономических объектов является моделирование их деятельности как динамических систем, которые характеризуются последовательностью состояний (фазовых, изображающих или представляющих точек). Изменение состояний динамической системы изображается как движение фазовой точки по некоторой линии (фазовой траектории) в фазовом пространстве.
Существующее программное обеспечение ситуационных центров различного уровня в основном не имеет в своем составе программных модулей для моделирования поведения экономики региона, использующих в качестве модели системы дифференциальных уравнений. В основном используется программное обеспечение, реализующее OLAP-технологии и технологии Data Mining. Динамического моделирования не производится. Поэтому представляет интерес разработка программных модулей, позволяющих производить моделирование состояния экономических объектов с помощью систем дифференциальных уравнений.
В случае использования системы дифференциальных уравнений для моделирования экономики региона получение приближенных решений производится с помощью различных вычислительных методов. Данный круг вопросов может быть отнесен к количественному анализу состояния динамической системы, для которого используются стандартные методы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. Вопросы анализа количества состояний равновесия, наличия замкнутых траекторий (периодических решений), областей притяжения траекторий относятся к качественному исследованию динамической системы, результаты которого могут быть использованы для уменьшения объема последующего количественного исследования и помогут выделить фазовые траектории, представляющие интерес для исследования поведения динамической системы.
В данной статье рассматриваются вопросы разработки алгоритмов, входящих в состав программного модуля, реализующего качественный анализ динамической системы, а также задачи, которые должны решаться программным модулем для прогнозирования состояния экономических объектов, реализующим качественный анализ динамической системы. Качественный анализ позволяет исследовать закономерности поведения фазовых траекторий, не производя интегрирования системы дифференциальных уравнений.
В качестве экономического объекта рассматривается экономика региона Алтайского края. Предполагается, что движение фазовой точки описывается системой дифференциальных уравнений. Обычно количество параметров, характеризующих экономику региона, значительно больше трех, что не позволяет представить визуально фазовую траекторию. Поэтому при таком количестве параметров предлагается исследовать поведение проекций фазовых траекторий на фазовые плоскости.
Рассмотрим в качестве примера поведение некоторых проекций фазовых траекторий экономики Алтайского края. Результаты получены с использованием информации за 2008-2011 гг. с официального сайта Алтайского края altairegion22.ru и сайта Федеральной службы государственной статистики www.gks.ru. Каждому рассматриваемому году (2008, 2009, 2010, 2011) соответствует своя фазовая траектория. Фазовая траектория от точки 1 до точки 2 соответствует 2008 г.; от точки 2 до точки 3 - 2009 г.; от точки 3 до точки 4 -2010 г. и от точки 4 до точки 5 - 2011 г. Использованы значения параметров по месяцам каждого года. Проекции рассматриваются для определения наличия в фазовых плоскостях точек равновесия, их типов, периодических движений, областей притяжения точек фазовой траектории.
На рис. 1 приводится проекция фазовой траектории на плоскость «Индекс производства пищевой продукции (% к предыдущему периоду) - индекс родившихся (на 1000 человек)».
10,3 -I-.-.-.-Г—
9-1 96 101 106 111
ПшцПрод
Рис. 1. Проекция фазовой траектории на плоскость «Индекс производства пищевой продукции - индекс родившихся»
На рис. 2 приводится проекция фазовой траектории «Индекс производства газа, электроэнергии и воды (% к предыдущему периоду) - индекс вступивших в брак (на 1000 человек)».
9
Э -1-,-,-1-,-,-г-1
85 90 95 t00 105 110 115 120
ГДзЭЭБОДЛ
Рис. 2. Проекция фазовой траектории на плоскость «Индекс производства газа, электроэнергии и воды -индекс вступивших в брак»
Из рис. 1 и 2 видно, что существуют области притяжения проекций фазовых траекторий (выделены овалами), через которые проекции фазовых траекторий проходят чаще всего. Судя по характеру движения внутри выделенных областей, в них могут содержаться точки, относящиеся, скорее всего, к сложным точкам равновесия (седлоузлам). Фазовые траектории, периодически заходя в области притяжения, находятся некоторое время там, а затем выходят из них. Это говорит об отсутствии точек равновесия типа «фокус» и «узел».
Поведение фазовых траекторий показывает, что на каждом рисунке одна область соответствует пессимистичному варианту развития ситуации, а другая - оптимистичному. Аналогичная картина наблюдается и по многим другим исследованным проекциям фазовой траектории.
В результате использования программного модуля качественного исследования динамической системы лицо, принимающее решение, должно получить информацию об условиях, при которых будет реализовано требуемое поведение динамической системы. Также производится обнаружение состояний равновесия, областей притяжения фазовых траекторий (ячеек) и определяются причины, приводящие к переходу от одной области к другой.
Информация для расчетов с указанных выше сайтов считывается в динамический двумерный массив исходных данных prv (r = 1, 2, ..., b; v = 1, 2, ..., *). Число строк массива равно количеству параметров, которые характеризуют экономику региона и по которым считывается информация. Количество столбцов соответствует количеству измерений. При этом количество столбцов не фиксировано. Поэтому массив является динамическим. Информация из массива исходных данных используется для проведения фактор-
ного анализа и получения факторов ^ (ы = 1, 2, ..., к) и факторной нагрузки РГК, (г = 1, 2, ..., Ь). Каждый элемент факторной нагрузки рассматривается как коэффициент влияния ы-го фактора на изменение значения параметра рг. Кроме факторной нагрузки, могут быть получены значения факторных переменных Ъ1^ (ы = 1, 2, ..., к) для тех же моментов времени ги (и = 1, 2, ..., g),
для которых считываются значения параметров рг. Предполагается, что факторы (по аналогии с силами, действующими в технике) действуют на экономический объект и вызывают изменение значений параметров.
При разработке программного модуля предполагалось, что система дифференциальных уравнений с учетом результатов факторного анализа будет иметь следующий вид:
(п к
-Т- = йг (Р1, Р2,..., Рь) = Е (^ • 01 (Р1, Р2,..., Рь)), г = 1, 2,..., Ь, (1) йг
где рг - параметры, характеризующие экономику региона.
Значения факторных переменных Ъ1^ в моменты ги (и = 1, 2, ..., g) могут быть получены с помощью функций О^ (р1, р2, ..., рЬ). При этом
0"К (р1, ри,..., р1) = Ъик и риг = Рг (и). Эмпирические функции Рг (и) могут быть получены с использованием значений параметров рг в моменты времени
и
Вид функций и их параметры должны обновляться через промежуток времени Лгобн по мере появления новых значений параметров (в том числе и
значений факторных переменных Ъ1^) за счет считывания информации с указанных выше сайтов в момент времени г+1. В промежутке между обновлениями виды функций и параметры остаются неизменными.
Для существования точек равновесия Н (р°, р°) в фазовой плоскости рйр. (й Ф s; й, .. = 1, 2,..., Ь) необходимо, чтобы выполнялись соотношения
ал (Р1, Р2,..., РЬ ) = 0, е. (Р1, Р2,..., РЬ ) = 0. (2)
В случае выполнения равенств (2) и условия
А( Р0,Р0) =
ер/ р, Р.) ер/ р, р.) (р0,Р0) аг(Р0,Р0)
ф 0,
динамическая система имеет изолированное простое состояние равновесия. Если же условие не выполняется, то состояние равновесия является сложным.
Координаты точек равновесия в фазовой плоскости находятся с помощью алгоритма, реализующего один из методов приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Далее происходит анализ окрестностей простых состояний равновесия. Главную роль при этом играет исследование корней характеристического уравнения:
ар/ (р0, р0) - * ар" (р0, р0) арл (р0, р0) еР" (р0, р0) - *
в = ( р 0, р0)+ар" (р 0, р0).
*2 - в • * + А = 0,
(3)
В случае простого состояния равновесия корни характеристического уравнения должны быть ненулевыми. Алгоритм, реализующий нахождение корней характеристического уравнения (3), является широкоизвестным. Значительно больше сил потребует разработка алгоритма, реализующего определение частных производных функций а,1 (р1, р2, рь) и а., (р1, р2, -., рь).
Результаты решения уравнения (3) используются алгоритмом анализа состояний равновесия для определения типа простых состояний равновесия.
Для качественного исследования динамической системы необходимо разработать алгоритм разбиения фазового пространства на траектории и исследования их устойчивости. Орбитно-устойчивые траектории являются неособыми, а орбитно-неустойчивые - особыми.
Орбитно-устойчивыми (неособыми) являются траектории, стремящиеся при t ^ +го и t ^ -го к узлам и фокусам, при t ^ +го (t ^ -го) - к узлу, при t ^ -го (t ^ +го) - к предельному циклу, а также при t ^ +го и t ^ -го - к предельным циклам. В случае если траектория неособая, то близкие к ней траектории имеют аналогичную конфигурацию. Точка М, лежащая на траектории, делит ее на две полутраектории. Полутраектория динамической системы, находящаяся внутри некоторой замкнутой области, может быть состоянием равновесия, полутраекторией, стремящейся к состоянию равновесия, частью замкнутой траектории, полутраекторией, стремящейся к замкнутой траектории, а также полутраекторией, стремящейся к некоторому состоянию равновесия и траекториям, отличным от состояний равновесия, но стремящимся к ним при t ^ и t ^ -го .
Полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия и заходящая в окрестность е состояния равновесия, орбитно-неустойчива в том случае, если при t ^ +го выходит из окрестности е состояния равновесия. Аналогично и для t ^ +го. Траектория считается сепаратисой состояния равновесия, если хотя бы одна из орбитно-неустойчивых полутраекторий стремится к состоянию равновесия. Особые траектории разбивают фазовое пространство на области (ячейки). Каждая ячейка заполнена неособыми траекториями, полутраекториями и дугами траекторий. Если проекции фазовых траекторий внутри ячейки образуют петли, то петли вложены друг в друга. Траектории внутри ячейки могут быть не замкнуты. В этом случае ячейки могут быть односвяз-ными или двусвязными (рис. 3).
В качестве примера алгоритмов, определяющих движения проекций фазовой траектории, указанные на рис. 3, можно рассмотреть алгоритмы для анализа поведения фазовой траектории, в котором производится оценка наличия кратных неподвижных точек и неподвижных точек с переменной кратностью.
По результатам перебора начальных условий и анализа поведения проекций фазовых траекторий, соответствующих различным начальным услови-
ям, производится разбиение фазового подпространства на области (ячейки). Вместе с тем анализируется продолжительность нахождения проекций фазовых траекторий в ячейках.
Односвязная ячейка Двусвязная ячейка
Рис. 3. Возможное поведение траекторий, стремящихся к состоянию равновесия. Поведение незамкнутых траекторий внутри ячеек
Для работы с программным модулем предназначен интерфейс, с помощью которого пользователь программного модуля сможет (с помощью выпадающего меню) выбрать исследуемую фазовую плоскость. Осуществив выбор, пользователь получит визуализированную с помощью графики картину поведения фазовой траектории и разбиения фазового подпространства на траектории.
Список литературы
1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М. : Наука, 1966.
2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -М. : Наука, 1966.
3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М. : Наука, 1967.
4. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М. : ОГИЗ, 1947.
5. Попов А. А. Алгоритмы для качественного исследования динамической системы при моделировании экономики региона // Известия РЭУ им. Г. В. Плеханова : электронный журнал. - 2011. - № 1 (1). URL: http:// www.rea.ru/UserFiles/654321/izvestia/Известия%20РЭУ%20номер%201.pdf
6. Попов А. А. Основы проведения факторного анализа социально-экономического развития региона с использованием программного комплекса SPSS (на примере Алтайского края) // Вестник Российской экономической академии имени Г. В. Плеханова. - 2010. - № 5 (35).
