CC BY
151
Получено 17.10.12
УДК 621.396.965
С.А. Курбатский, нач. отделения, (4872) 21-16-85, [email protected] (Россия, Тула, ОАО ЦКБА),
А.В. Новиков, вед. инж., (4872) 56-00-39, [email protected] (Россия, Тула, ОАО ЦКБА),
Д.А. Хомяков, вед. инж. (495) 656-77-18 [email protected] (г. Москва, ОАО «Гликон»)
АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕКТОРА ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В АДАПТИВНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКЕ
Решена задача рекуррентного оценивания вектора весовых коэффициентов для адаптивной антенной решетки. Проведена оценка сложности реализации рекуррентного алгоритма с использованием последовательных (одноканальных) и параллельных (многоканальных) средств цифровой вычислительной техники.
Ключевые слова: адаптивные антенные решетки, весовые коэффициенты, корреляционная матрица помех.
В условиях разнообразной и случайным образом изменяющейся внешней обстановки, обусловленной мешающими излучениями (активными помехами), для обеспечения требуемой эффективности систем связи, многофункциональных РЛС все более широкое применение получают адаптивные антенные решетки (ААР) [1]. Основным их элементом является цифровой адаптивный фильтр, предназначенный для формирования коэффициентов Ж1,...,ЖМ, с которыми взвешиваются сигналы АР, предварительно преобразованные в цифровую форму в аналогово-цифровых приемных модулях.
Для цифровой адаптивной системы, у которой все элементы АР равноценны и параметры ожидаемого сигнала известны, формируется выходное напряжение, которое сравнивается с опорным. Их разность образует сигнал ошибки
е[к] = X0 [к] - ЖТ*У[к] = Х0 [к] - УТ* [к]Ж, (1)
п ||Т
где У[к] = |^1[к]У2[к]...Гда[к]...Ум[к] - вектор комплексных огибающих
т
сигналов АР в момент к, Ж = \\ЩЖ2...Жт ...Жм|| - вектор комплексных коэффициентов взвешивания; Т, * - знаки транспонирования и комплексного сопряжения; Ут[к] = Хт[к] + Ыт[к], т = 1,2,...,М; Хт[к] - выборка комплексной огибающей полезного сигнала; Ыт[к] - выборка комплексной огибающей помехи.
Сигнал ошибки в[к] поступает на вход адаптивного фильтра, где
решается задача вычисления математического ожидания квадрата этой ошибки (дисперсии сигнала ошибки).
Для вычисления оптимального по некоторому критерию вектора комплексных коэффициентов взвешивания используется уравнение Вине-ра-Хопфа [1]
Wopt = ]гм [к ], (2)
* Т
где Ям [к] = М(У [к]У [к]) - корреляционная матрица напряжений в каналах адаптивной АР, причем Ям [к] = Ямх [к] + Ямы[к], где: Ямх[к] - корреляционная матрица полезных сигналов; Ящ[к] - корреляционная матрица помех.
Учитывая, что помеховая обстановка на входе АР быстро и непрерывно изменяется из-за перемещения луча, целей и источников помех, вычислять новые значения весовых коэффициентов потребуется практически в каждом периоде Т посылок зондирующих сигналов. Поэтому, в известном методе оценивания и обращения корреляционной матрицы помех по фиксированной выборке сигналов [2], к адаптивному процессору предъявляются чрезвычайно высокие требования по быстродействию, что ставит под сомнение возможность реализации этого метода при больших М (в базовых системах адаптации).
Для преодоления вычислительных проблем обычно применяются рекуррентные методы при вычислении обратных корреляционных матриц
(ОКМ) помех Ям и вектора взаимной корреляции м, а также при непосредственном вычислении вектора весовых коэффициентов Ж.
Представляет определенный интерес задача оценки сложности (трудоемкости) реализации рекуррентного алгоритма оценивания весовых коэффициентов, с использованием последовательных (одноканальных) и параллельных (многоканальных) средств цифровой вычислительной техники.
Известно выражение для рекуррентного оценивания обратной корреляционной матрицы помехи, не изменяющейся за время оценивания (за I периодов временной дискретизации) [3]:
R ~1[/] = 1
(/ -1)
"1Г7 IWF 7WT *m П-1--
я-1{l_l} _ R [/ - 1]Y[/Y [/]R [/ -1]
iS—1
(3)
(/ — 1) + Y1 [/]R _1[/ — 1]Y [/]
Для рекуррентного оценивания вектора r[l] по аналогии с (3) получим
(/ — 1) 1 * r[/] = г[/ — 1] +1Y [/]U *[/], (4)
где Uz [l] - выборочное значение выходного сигнала ААР.
Задача рекуррентного оценивания может быть поставлена и решена
непосредственно для вектора весовых коэффициентов Ж, для чего подставим в (2) соотношения (3) и (4) для рекуррентных оценок матрицы Я _1[/] и
вектора г[/ ]. В результате несложных преобразований получим выражение для вектора весовых коэффициентов в виде
&[/] = щ, -1] + Я/ -1]У[/^] - &>Г[/ -1]У[/]). (5)
(/ -1) + У 1 [/]Я[/ -1]У [/]
Здесь и0 [/] - выборочное значение комплексной амплитуды сигнала основного канала.
Обозначая
ия] = ] - Ж1 [/ - 1]У[г], К[/] =-к![1 ~1]У[/]-, (6)
(/ - 1)У Т [/]Я [/ - 1]У[/]
получим
Щ/] = Щ! -1] + К[/]иЕ[/]. (7)
Введя обозначения
Л[/] = я "1[/ - 1]У [/],
2 [/] = У *Т [/] Л[/ ], Ь[/ ] = ^[/ ] + 2 [/])-1,
С1[/] = (/ /(/ -1)), С2[/] = (/ -1),
формулы рекуррентного алгоритма адаптивной пространственной обработки записываются в окончательном виде:
ие[/] = ио[/] - &*Т[/ - 1]У[/], Я "1[/] = С1[/](я "1[/ -1] - Ь[/] Л[/] Л*Т [/]) (8)
щ[/] = щ[/ -1] - Ь[/]Л[/]иЕ[/].
Представляя комплексные числа в квадратурах (Ц[/]) = ис[1] + у'иД/]), формульную схему алгоритма (7) нетрудно записать в виде
и2с [/] = иос [/] - ЩСТ [/ - 1]Ус [/] + ж! [/ - 1] у [/], и^ [/] = и о, [/] - ЩСТ [/ - 1]У, [/] + ж! [/ - 1]Ус [/], Лс [/] = Яс_1[/ - 1]Ус [/] - Я*_1[/ - ЧУ [/], Л [/] = Яс_1[/ - 1]У [/] - Я5_1[/ - 1]Ус [/], Яе 2 [/] = Яе (У *Т [/] Л[/]) = УСТ [/] Лс [/] + УТ [/] Лв [/], Ь[/] = (с2[/] + Яе 2 [/])-1.
Для упрощения вычислений по формуле (6) алгоритма (8) принято использовать только реальную часть выражения для 2[/\:
я- [I ] = с! [I ][я;1 [I -1] - Ь[1 ]{лс [I ] лТ [I ]+л5 [I ]лТ [I ]), я;1 [I ] = С1 [I ][я;1 [I-1] - ь[1 ]А [I ] лТ [I ]+Л; [I ] лТ [I ]),
К [I ] = Жс [I-1]+Ъ[1 ](Лс [I ]и^с [I ]+Л; [I ]и* [I ]),
К [I] = К; [I -1] + Ъ[!](Л; [!]и^с [I] + Лс [1]и* [I]).
Вещественные скалярные величины и0с[/\, и0з[/\, Цес[/\, ЦД/], а также вещественные вектор-столбцы Ус[/] и У3Щ вводятся в вычислительную систему в каждой итерации (в каждом интервале временной дискретизации). Вещественные матрицы Я--1], Я-\1 -1] размерностью М*М и вещественные вектор-столбцы Жс[/-1], ^[/-1] размерностью М*/ вычисляются на предыдущей итерации и хранятся в памяти вычислителя. В памяти вычислителя формируются и запоминаются также текущие значения чисел с1[/] и с2[/\.
В дальнейшем предполагается также, что время, затрачиваемое на пересылку данных из ОЗУ в процессор и обратно, пренебрежимо мало по сравнению со временем выполнения арифметических операций.
При сделанных предпосылках оценим алгоритм (9) по числу требуемых арифметических операций сложения и умножения сначала при его реализации на однопроцессорном вычислителе (ЭВМ), а затем на многопроцессорном вычислительном комплексе, структура которого максимально приспособлена для реализации алгоритма (9).
Результаты расчетов по каждой из формул (от 1 до 10), входящих в выражение (8), сведены в таблицу.
Число требуемых операций
Последовательная Параллельная
№ реализация реализация Примечания
формулы умно- сложений умно- сложений
жений жений
1 2М 2М 2 2]1ов2М[ + 2 \х[ - наибольшее целое X
2 2М 2М 2 2]1ов2М[ + 2
3 2М 2 М(2М - 1) 2 2]1ов2М[ + 1
4 2М 2 М(2М - 1) 2 2]1ов2М[ + 1
5 2М 2М - 1 2 2]1ов2М[ + 1
6 1 1 1 1
7 3М 2 2М 2 4 2 Без учета
8 3М 2 2М 2 4 2 эрмитовости
9 3М 2М 3 2
10 3М 2М 3 2
Из таблицы следует, что для реализации одного шага итерации на
Л
однопроцессорной ЭВМ необходимо выполнить 12М + 12М+1 операций умножения и 8М +8М операций сложения действительных чисел. Следовательно, если в каждом такте работы ЭВМ выполняется одна арифметическая операция (время выполнения операций умножения и сложения
предполагается одинаковым), то на выполнение одного шага итерации поЛ
требуется 20М + 20М+1 тактов работы ЭВМ.
При этом потребуется несколько ячеек памяти.
1. Для записи входных данных и0с[/], и0[/], УСЩ, с1 [/], е2[1] и выходных данных и^Щ, и^/]
01 = 2М + 6.
2. Для хранения вычисляемых векторов ЖС[/-1], ^[/-1] и обратных корреляционных матриц -1], - 1]
02 = 2М (М +1).
3. Для записи промежуточных результатов Ас[/], Л3[1\, 7\1], Ь[/] и другой информации не менее оперативной памяти
0з = 2(М +1).
Рассмотрим теперь возможности распараллеливания вычислений при реализации алгоритма (9), имея основной целью уменьшение времени решения задачи за счет увеличения объема оборудования и выбора оптимальной архитектуры вычислительного комплекса.
Как видно из формульной схемы алгоритма (8), основными типами сложных операций в этом алгоритме являются
скалярное произведение векторов;
умножение вектора на число;
умножение матрицы на вектор;
умножение матрицы на число;
умножение вектора-столбца на вектор-строку (умножение Мх1 матрицы на 1 хМ матрицу).
Таким образом, основными операциями алгоритма являются операции линейной алгебры.
Для параллельного решения задач линейной алгебры наиболее подходит вычислительная система, содержащая М элементарных процессоров (при размерности матриц МхМ), каждый из которых предназначен для выполнения арифметических операций над двумя, подаваемыми на его вход числами [4]. Связь элементарных процессоров (ЭП) с общей оперативной памятью и между собой осуществляется специальным коммутационным устройством. Упрощенная схема вычислительной системы изображена на рис.1.
Рис. 1. Параллельная вычислительная система для реализации алгоритма (8)
При реализации на рассматриваемой вычислительной системе алгоритма (9) временные затраты определяются "высотой" параллельной формы соответствующих частных алгоритмов, под которыми понимается число операций, которые должны выполняться последовательно. Так, например, при умножении М*Мматрицы Я-] на М-мерный вектор Ус[/\, получается вектор ^с[/] с элементами
м .
Ас[1 ] = I УрМ I ^ У = 12,..., м. (10)
р=1
Для параллельного вычисления элемента Яф[1] на вход 1 всех ЭП
ус\
'У
>-1
подаются элементы матрицы ЯуС[!] на входы 2 процессоров ЭПу, ЭП2]-,...,
ЭПщ подаются числа У]с[/\ ( = 1, 2,..., М) и вычисляется Мпроизведений
Яу^иУс[I] за один шаг, затем перечисленные процессоры коммутируются
для сложения полученных чисел, например, по схеме сдваивания, условно изображенной на рис. 2. Это позволяет получить значение Агс[/] за ]1о§2М[ операций, где ].[ означает большее целое число.
Рис. 2. Схема сдваивания вычислений в параллельной системе
Таким образом, для вычисления Aic[l] потребуется одна операция умножения и ]1о§2М[ операций сложения. "Высота" параллельной формы алгоритма в этом случае равна h = ]1о§2М[ + 1. Другие элементы вектора Ac[l] вычисляются аналогично и одновременно с вычислением элемента Aic[l]. Элементы вектора As[l] вычисляются по рассмотренной схеме после вычисления вектора Ac[l].
Если теперь рассмотреть выполнение всех других операций алгоритма (9) на параллельной вычислительной структуре, изображенной на рис. 2, получим результаты, приведенные в таблице (колонка - параллельная реализация). Из таблицы следует, что в рассматриваемом случае параллельной обработки для реализации одной итерации алгоритма (9) необходимо последовательно выполнить 24 операции умножения и 10]log2M[+16 операций сложения. "Высота" рассматриваемого алгоритма (снова при условии одинакового времени выполнения операций умножениями сложения), т. е. число шагов, которые необходимо выполнить последовательно, в данном случае
hp = 10[log2 M ] + 41.
Проведены вычисления для сравнения числа операций при выполнении одной итерации алгоритма (8) на последовательной и параллельной вычислительных структурах. Из результатов следует существенное преимущество параллельной реализации алгоритма рекуррентного вычисления вектора весовых коэффициентов при адаптации АР.
В заключение отметим, что при параллельной обработке необходимо увеличить на М2 числа ячеек оперативной памяти для хранения результатов промежуточных вычислений.
Список литературы
1. Монзинго П.А., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки: введение в теорию. М.: Радио и связь, 1986. 448 с.
2. Вендик О.Г., Парнес М.Д. Антенны с электрическим сканированием. Введение в теорию // под ред. Л.Д. Бахраха. 2001. 250 с.
3. Воскресенский Д.И. Антенны с обработкой сигнала. М.: Сайнс-Пресс, 2002. 80 с.
4. Wanielik G. Signaturuntersuchungen an einem polarimetrischen Pulsradar // Fortschr. Ber. VDI Reihe 10. Nr. 97; VDI - Verlag. Dusseldorf, 1988.
Kurbatskiy S.A., Novikov A.V., Khomyakov D.A.
ALGORITHM OF WEIGHT VECTOR CALCULATION IN ADATIVE ANTENNA
ARRAY
The problem of weight vector recurrent estimation for an adaptive antenna array was solved. Estimation of recurrent algorithm realization complexity was conducted with using sequential (single-channel) and parallel (multichannel) digital computing devices.
Key words: adaptive antenna arrays, weight coefficients, correlation matrix of interference.
