Алгоритм вычисления спектра предфрактального графа с полной четырехвершинной затравкой, старые ребра которого в траектории не пересекаются1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.178 ББК 22.161.68 Б 18

Байрамукова Зухра Халитовна

Старший преподаватель кафедры математики Северо-Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии, Черкесск, тел. (8782) 293582, e-mail: [email protected]

Алгоритм вычисления спектра предфрактального графа с полной четырехвершинной затравкой, старые ребра которого в траектории не пересекаются

(Рецензирована)

Аннотация. Впервые получены рекуррентная формула для определения характеристического многочлена и алгоритм для вычисления спектра предфрактального графа с полной четырехвершинной затравкой, старые ребра которого в траектории не пересекаются.

Ключевые слова: спектр предфрактального графа, старые ребра которого в траектории не пересекаются.

Bayramukova Zukhra Khalitovna

Senior Lecturer of Department of Mathematics, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, ph. (8782) 293582, e-mail: [email protected]

An algorithm for calculating the spectra of prefractal graph with full four-vertex primer, the old edges of which are not crossed in the trajectory

Abstract. For the first time a recurrent formula was obtained to determine a characteristic polynomial and an algorithm for calculating a range of the prefractal graph with a full four-vertex priming, the old edges of which aren't crossed in a trajectory.

Keywords: the spectrum, prefractal graph, the old edges, the trajectory.

В данной работе впервые исследуется задача определения характеристических многочленов и спектров [1-3] предфрактальных [4, 5] графов с полным [6, 7] четырехвершинным графом затравкой K4, старые ребра которых в траектории не пересекаются.

Требуется определить характеристический многочлен предфрактального графа Gl = (Vl , El ) с затравкой H = (W, Q) = K4, старые ребра [4] которого в траектории не пересекаются [3, 4]. Будем находить характеристические многочлены предфрактальных графов G1,G2,...,Gl , то есть последовательно по этапам траектории. Пусть /=1, тогда G1 = H -полный граф с n=4 вершинами. Его характеристический многочлен равен:

Pgi {x) = \xIX - A

X ß 8 ß

ß X ß 8

8 ß X ß

ß 8 ß X

(X-8)2 ((X + 8)2 - 4ß2).

(1)

Здесь и далее 11 - единичная матрица порядка 41, А/ - матрица смежности графа 01, /=1,...,Ь. Поскольку в формуле (1) (5--1, 5 = -1, получаем:

Рв1 (л)=(л +1)3 (Л-3).

Перейдем к определению характеристического многочлена предфрактального графа G2. Введем следующие обозначения:

С1 = 0.

f 0 1 0 0 > f 0 0 0 1 > f 0 0 1 01

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

B1 = , BT = , D =

1 0 0 0 1 ' 1 0 1 0 0 ' 1 1 0 0 0

V 1 0 0 0 V 0 0 1 0) V 0 1 0 0,

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-07-00231а.

ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 3 (226) 2018 Тогда характеристический многочлен графа G2 можно представить в виде:

PG1 (Л) = |Л12 - a2I

ЛI, + C,

ßI,

SI,

ßI,

Л I,

ßI,

SI,

ßI,

ßI, - Bi+SIi ЛI1 - d

ßI, - Bf +SIi ßIi

1

ßIi Л I1

(2)

Здесь Р = —\ 5 = -!. Приведем матрицу А/2 - А2 к нижнему квазитреугольному [8] виду, используя обобщенный алгоритм Гаусса. Для этого умножим сначала 4-ю блочную

строку на —-— и прибавим к первой и третьей, а ко второй - 4-ю строку, умноженную на

1 (В, — SI,). Выполнив указанные преобразования, получим:

Л

Pg2 (Л)=Л

ß2

-Л I, +Л/, + C,

"Л (В, + (Л - S)Ii) ЛS-ß2 _ Л 1

+(л- s) i, )

S-ß Л

I,

Л2-S2 -,

Л I, Л + Bf) |в,+ (л - s)i, )

ß(B ,в Л2-ß2

+ (л - s)i, )

Л

-I, - D

(3)

Чтобы далее продолжить процесс приведения к нижнему квазитреугольному виду, не-

обходимо найти обратную матрицу для матрицы ——-/ — Д. Найдем обратную для мат-

Л

рицы более общего вида

(Л ß S ß

ß Л ß S

S ß Л ß

U S ß Л

Л1, +ß(B, + Bf )+SD,.

Найдем алгебраические дополнения элементов этой матрицы: A„ = Л22 = A33 = A44 = (A-S)(A(A + S)- ip2),

A12 = A21 = A14 = A41 = A23 = A32 = A34 = A43 = -P (A - S) ,

A13 = A31 = A24 = A42 = (A-S)(2P2 -S(A + S)). Учитывая формулу (1), получаем:

(ai1 +p(b1 + b\ )+sd)-1 =

= A(A + S) - 2P2 - P (B ) + 2P2 - S(A + S) (A-S)((A + S)2 -4P2) 1 ((A + S)2 -4P2)) 1 lJ (A-S)((A + S)2 -4p2) Отсюда следует, что

D,.

(4)

(Л-ß2

Л

I, - D,

I, +-

Л2

л(лл -ß2)

(л2-ß2)2 -Л2'1 1 (л2-ß2)2-Л

D,.

А по формуле (!)

Л2 -ß2

Л

■I, - D,

((Л2 -ß2)-л2)2 Л4

В определителе в формуле (3) третью блочную строку умножим на матрицу

-Xö + ß2 (я2-ß2

Я

Y1

X

/i - Di

-Ä(( +(x-ö)/i)

fX2-ß2

и прибавим к первой строке; умножим на матрицу

Y1

X

/1 - D1 и прибавим ко второй строке.

В результате получим:

где

раг (я)=я

(-Xö + ß2 )2 (Я2-ß2) + ß

((Я2 -ß2)-Я )

X4

aii ai2

a21 a22

(5)

(-Xö + ß2 )2

x((-ß2 )2-X2) 'X'"f1 1 (x2-ß2 )2-X

+ — + Я

/1 +

-D1 + C1 = l11/1 + d11D1 + C1:

ß Я

a21 =ß

ff

vv ff

(ö+ßf- ß2)+1] /14e+(xö),

(я2-ß2 )2-Я

(я2-ß2 )2-Я2

(-Xö+ß2)(-ß2)+Л / + x(-xö+ß2)

(я2-ß2 )2-я2 J 1 (я2-ß2 )2-я^1

У ]

(( +(X-ö)/1).

/1 +

Так как матрицы В\, В\Г, Д, /\ попарно перестановочны, то перестановочны также любые их линейные комбинации. Учитывая справедливость следующих равенств:

В\ • ВТ -1\, В\ • В\ -В\т • В\т -Д, В\ • Д -Д • В\ -В\т, В\т • Ц -Д • В\т -В\,

получаем:

Л2-32 -1 р2((Л-5)2 + 1)(Л2-р2)

ч л л(( -р2 )2 -л'

-3 + р2(л-5)(л2 -Р2)^ л л((лл2-р2)2 -л2) (л2-р2)2-л

- /11 + ъ(( + ВТ)+ёД.

Упростив соответствующие выражения, получим для /, Ъ и ё:

_ (л2 - 52 - 1)(л2 - 2Р2 - 1)л + 2(л - 5)р4 - ((л - 3)2 + 1)р2 л

- (л2-р2 )2 -л2

-лд + 5 + р2 - р2 ((л-3)2 +1)

л2-р2 -л ' - (л-р2)2-л2.

((1 + Bf D1 =

V1 } (я2-ß2)2-я2

b = -

Приведем определитель в формуле (5) к нижнему квазитреугольному виду:

a12 a21a22 + a11

Pq2 (x) = ((ä-ß2)-X)2|a

Найдем |a22|. С учетом формулы (1) получаем:

|a22| = (l - d)2 ((l + d)2 - 4b2 ) = [( - ö2 -1 (Я +1) - 2ß2 (Я - ö) ((Я - ö)2 - 1)((X - ö - 1)(X -1)- 2ß2 )((X + ö + 1)(X -1)- 2ß2)

(6)

(-ß2 )2 -X

Вычислим произведение:

a11

ai2a2l ß

(-ß2)(ä-ö)-äj + -Äö + ß2 D

(л2-ß2)2 -л2 1 (л2-ß2)2 -л2 1

2

(( + (л - ö)/ )((i + (л - ö)/]

J

=-ß

22 ((л2-ß2)(л-0)-Х \ + ]L + 2((-ß2)(л-ö)-л)(-Лö + ß2)

/ + 2^---^-^ D1

^ (—2 — А2) ——2 ^ К—2 —А2)2 ——2^ 1 ((—I2 — р2)2 -А2)2

X (((— — 5)2 + 1)/! +(— — 5)(( + в!" )) = /^ + к (( + вг )+ ^ц. Отсюда получаем:

/1 =—р2 ((— — 5)2 + 1)((— +(-—5 + Р' )2 ,

((—2 —р2) — — )

»= Р (— 5)(— —А1 ^—¿Ул—м+Р1 )2

Ь1=-р(—-5) (А)—) '

= — 2 р2 ((— — 5)2 +1)((—2 — р2)(— — 5)——)(— —5 + Р)

1 ((—2 —А2) - —2) '

Найдем . Учитывая (4), после упрощения выражений получаем:

а—1 = /2 /1 + к (в + в\)+а2 ц,

где

_ l (l + d)-2b2 _ 2 _( - d))( + d)2 - 4b2) _

_ [(л2 - ö2 - 1)) - 2ß2 - 1)л + 2(л - ö)ß4 - ((А- ö)2 + l)ß2 л]- [(л2 - ö2 - 1))л -1)- 2ß2 (л - ö)] __ _ [(л2 - ö2 - 1)(л +1)- 2ß2 (л - ö)j[( - ö)2 -1)((л + ö - 1)л -1) - 2ß2 )((л + ö +1)(/l -1) - 2ß2)]

i^ö + ö + ß2 )2 (л2- ß2 -л) _

л - ö)2 -1) + ö- 1)(n -1)- 2ß2 )((л + ö ■+ 1)(n -1)- 2ß2)],

_ b _ (-Лö + ö + ß2 )(л2-ß2-л)_

2 _ ( + d)2 - 4b2 _ ((л - ö)2 -1)((л + ö- 1)(л -1) - 2ß2 )((л + ö + 1xh-1)-2ß2)'

_ 2b2 - d(l + d) _ 2 _(-d)((( + d)2 - 4b2) _

_ 2 (- ^ö + ö+ ß2 )2 ( - ß2 - л+ß2 ((л - ö)2 + 1)((л^ - ö2- 1)(л -1)- 2ß2 (л - ö)) _ [(- ö2- 1)(л +1)- 2ß2 (л - ö)][ - ö)2 - 1)((л + ö- 1)(лл — 1)- 2ß2 )((л + ö + 1)(H-1) - 2ß2)]^

Таким образом,

- «12^a-1 _ (I1L1 + b1 (b + Bf)+dxD1 )(l2/1 + b2 (b + B1T)+d2D1) _

_ ((2 + 2b 1b 2 + dxd2 + ln )/1 +(/1b2 + bxl2 + bxd2 + dxb2 )(B + Bf)+

+ (l1d2 + 2b1b2 + d1d2 + d11 )x1 .

Следовательно, из (6) следует:

PG1 (л,ß,ö) _ [(л2 -ö2 - 1)(л +1)- 2ß2(л - ö)]2 X x ((л - ö)2 -1)((л + ö - 1)(л -1)- 2ß2 )((л + ö + 1)(H -1)- 2ß2 )x

x л/1 +ß1 (B1 + Bf )+ö1 D1 + Cj.

ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 3 (226) 2018 Здесь:

Я = // + 2blb2 + djd 2 + /и =Я(Я,Р,8), Р = /1b2 + bj/2 + bjd2 + djb2 = Р (Я,Р,5), = /,d2 + 2b, b2 + dxd2 + du =öx (Я, Р, . Учитывая, что С, = 0, получаем по (1):

(Я) = [(Я2 -- 1)(Я +1)-2Р2(Я - ((Я -¿)2 - 1)((Я + S- 1)(Я -1)-2Р2)х

х((Я + £ + 1)(яя- 1)-2Р2)2((^)2 -4Р!2)

Спектр предфрактального графа G2, то есть его собственные значения [8] находятся как корни характеристического уравнения

PGl (Я) = 0.

Рассмотрим теперь предфрактальный граф G3 и определим его характеристический многочлен:

Р12 SI2 РI2

Я12

где

=

^ (Л) = |Л/з -4

f 0 /j 0 0 1 0 0 /, 0

Л/ 2 + C 2

Р/ 2 5/ 2

Р/ 2

Р/ 2

- B +5/2

Р- 2 Р/ 2

Л/2 - А

- B2 +5/ 2

Р/ 2

Л /2

(7)

0 0 0 /j

V/j

000

J

C2 =

B2 =

f Cj 0 0

f0 0 /j 0

0 /j 1 00

V

0 /j 0 0

00 /j 0J

0 0 0 1

0 0 - Bj

0 - D 0

- BT 0 0J

D2 =

f 0 0 /j 0 1

0 0 0 /j

/j 0 0 0

V 0 /j 0 0 у

Очевидно, что матрица в формуле (7) такого же вида, что и в формуле (2), только состоит из блоков 16-го порядка, а в формуле (2) - блоки 4-го порядка. Следовательно, чтобы найти определитель (7), надо повторить преобразования, выполненные для определителя (2), учитывая размерность блоков [3]. Таким образом,

PGj (Л, р, 8) = [(/t2 - 82 - 1)(Л +1) - 2р2 (Л- 8 j ((Л - 8)2 -1)4 ((Л + 8- 1)(Л -1) - 2р2 )4 х

х ((Л + 5 + 1)Л -1)- 2Р2 )4|/12 + р (b2 + BT2 )+ 81D2 + С21. Можно заметить, что

Л + c P1I1 81I1 P1I1

Р111 Л P1I1 - B1+81I1

8111 P1I1 Л111 - D1 P1I1 P1I1 - BT +8111 P1I1 Л -812-1))Л1 +1)-2P2(Л1 -81КЛ -81 )2 - 1) +81 - 1))Л -1)-2P2)х х(( +81 + 1)(Л -1)-2P12) л2 I1+P ((1 + BT )+82 D + cj,

Л/2 + Р ((2 + BT2 )+5jD2 + C

так как этот определитель получается из определителя (2), если заменить Л, (, 8 на Л, (, 81, соответственно. Здесь

Л2 =Л(Л,Д,8), (2 =(1 (Л,(1,81), 82 =81 (л, (1,81).

В результате получаем

PG3 (Л,ß,5) = [(л2 - 52 - 1)(Л +1)-2ß2(Л-5)f X х ((Л -5)2 -1)4(л + 5 -1)(Л -1)-2ß2)4((Л + 5 + 1)(ЛЛ -1)-2ß2)4 х x [( -$2 -1)) +1)-2ß2(Л! -5!)(( -5)2 -1) + 5 -1)(Л -1)-2ß2)х х (( +51 +1)( -1)-2ß12)( -52)2(( +52)2 -4ß2). Очевидно, аналогично можно рассуждать и в случае l=L. Определим характеристиче-

ским многочлен

pGl (Л)=|ЛД - Al\ =

ЛЬ-1 + CL-1 ßIL-1 5 Il-1 ßIL-1

ß ILI Л IL-1 ß Il-1 - Bl-1 +5Il-1

5Il-1 ßIL-1 Л Il-1 - Dl-1 ßIL-1

ß Il-1 - BT-1 +5Il-1 ß Il-1 Л4-1

Л1Ь + ß(( + BTL )+5Dl + Cl

Здесь положено

Dl-1 =

Bl-1 =

Г 0 0

Г о Il-2 0 0 1

0 0 Il-2 0

0 0 0 Il-2

v IL-2 0 0 0 J

0 Il- 20 Л

BL-1 =

Г0 I

L-2 0 0

0 0

L-2

0I

0 0 0

I

L-2

0 0

v 0 il-2

0 0 0

0 0

Г с

C L-1 =

L-2 0

0

0

0 0 0

- BT

L-2 0 0

- D

Il-2 Л 0 0 0

L-2

0

0 Л

Bl -2

0

0 J

Приведением этого определителя к нижнему квазитреугольному виду получаем: Рв1 (Л) = \Л1Ь + ((вь + ВТ)+ 8ВЪ + С =

= [(л2 _ 82 _ 1)(Л +1) _ 2(2 (Л _ 8)'4 _2 ((Л _ 8)2 _ 1) ((Л + 8 _ 1)(ЛЛ _ 1) _ 2(2 ) х

х((Л + 8 + 1)(Л_ 1)_ 2(2 )1^/£_1 +(1 (Вь_1 + ВТ_1 )+8А_1 + Таким образом, мы получили рекуррентную формулу. Применив ее Ь-1 раз, имеем:

Реь(Л,(,8)=П[2 _82 _ 1)(Лг +1)_2(((л _8)Г2_' П ((Л _8)2 _ 1Р' х

I=0 I=0

Ь_2 Ь_2

хП((Л +8 _ 1)(Л _1)_2(2РП((Л +8 + 1)(Л _ 1)_2(2Р х

=0 =0

х \л _1/1 + ( _1 ((1 + вТ)+ 8 _1^1 + С11.

Здесь Л0 = л , (0 = ( , 80 = 8 , ЛЬ_1 = Л (ЛЬ_2 , (Ь_2 , 8Ь_2 ) , (Ь_1 = (1 (ЛЬ_2 , (Ь_2 , 8Ь_2 ) , 8Ь_1 =81 (ЛЬ_2,(Ь_2,8Ь_2 ).

Вычислив по формуле (1) определитель 4-го порядка, имеем:

L-2

pgl(л,ß,ö)_n[2 -ö2 - 1)(л +1)-ß(л -ö)] -п((л -ö)2 - 1Г' X

i=0 i=0 L—2 L—2

хПКлл +ö - 1)(л -1)-2ßßX П( +ö + 1)(hi -1)-2ßßX

i_0 i_0

x(ЛL-1 -öl-1X(1 +öl-1 )2 -4ßl 1 ). И таким образом, доказана

Теорема. Характеристический многочлен предфрактального графа GL с четырех-вершинной полной затравкой, старые ребра которого не пересекаются в траектории, определяется по рекуррентной формуле

pgl(л,ß,ö)_n[2 -ö - 1)(л +1)-ß(л -ö)] П((л -ö)2 -1Г х

i _0

П ((Hi +ö - 1)(л -1)-ißß )4L-2-i П ((Hi +ö + 1)(л -1)-ß Г

i_0 i_0

x(ЛL—1 -öl-1 )2 ((Hl-1 +öl-1 )2 - 4ßL2-1),

где

Ä0 _1, ß0 _ß_-1, ö0 _ö_-1, ÄL-1 _Ä1 (ÄL-2,ßL-2,öL-2 ] ßL-1 _ ß1 (ÄL-2 , ßL-2 , öL-2 ] , öL-1 _ ö1 (/L-2 , ßL-2 , öL-2 ]

при

Л _ l1l2 + 2bb2 + d1d2 +111 _ Л (л, ß, ö), ß1 _ l1b2 + b1l2 + b1d2 + d1b2 _ ß1 (Ä,ß,ö), ö1 _ l1d2 + 2b1b2 + d1d2 + d11 _ ö1 (ä, ß, ö)

l1 _-ß2 ((ä-ö)2 + 1)((л2-ß2 )(Ä-ö)-^)2+(:Äö+ß2 )2

((л2-ß2 )2-Л2 X

1 _-ß2 (ä-ö)((ä2-ß2)(Ä-ö)-Ä-Äö+ß2 )2

((л2-ß2 )2-Л2 X

_ - 2ß2 ((Л - ö)2 + 1)((л2 - ß2 )(л - ö)- л)(- Äö + ß2)

1 ((л2-ß2 )2 -л2 X '

l2

( - ö2 -1)(ä2 - 2ß2 -1)ä + l -ö)ß4 - ((Л - ö)2 + 1)ß2Ä]-[(Ä2 - ö2 - 1)(Ä -1)- 2ß2 (Ä - ö)]

[( -ö2 -1 (ä + 1)- 2ß2 (ä-ö)] ((Ä - ö)2 -1)((ä + ö -1 (ä -1)- 2ß2 )((ä + ö + 1)(ä -1)- 2ß2)

Ц- Äö + ö + ß2 )2 ( - ß2 - ä)

-^2 - 1 (Л

+1) - 2ß2 (ä - ö)][((Ä - ö)2 - 1)((ä + ö -1 (ä -1)- 2ß2 )((ä + ö + 1)(ä -1)- 2ß2)

_ (-Äö + ö + ß2)(л2-ß2 -л)_

2 _ ((л - ö)2 - 1)((ä + ö - 1)(л -1)- 2ß2 )((л + ö + 1)(л -1)- 2ß2)'

d _ 2(-Äö + ö + ß2)2(ä2 -ß2 -Ä)+ß2((Л-ö)2 + 1)((ä2 -ö2 - 1)(Л-1)-2ß2(Л-ö)) 2 _ [( - ö2 -1 (Л +1)- 2ß2(Л -ö)][ - ö)2 - 1)((ä + ö- 1(Л -1)- 2ß2)((ä + ö + 1)(Л -1)- 2ß2)],

ln _-

r(-Äö+ß2)2(л2-ß2)+ ß+ Л d _ (-Hö+ß2)2

л((л2 -ß2)2 -Л2) + л+ÄJ, d11 (л2-ß2 )2-л2'

i _0

и

С увеличением этапа траектории предфрактального графа задача определения его характеристического многочлена, а следовательно, и его спектра сильно усложняется. Доказанная теорема дает алгоритм решения этой задачи. Спектр предфрактального графа GL -его собственные значения находятся решением уравнения PG (Л) = 0.

Примечания:

1. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов: теория и применение. Киев: Наукова думка, 1984. 384 с.

2. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры пред-фрактальных графов с затравками - циклами, сохраняющих смежность старых ребер // Научный журнал КубГАУ. 2012. № 81 (07). С. 93-102.

3. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М., Хапаева Л.Х. Алгоритм вычисления спектров предфрактальных графов с полной трехвершинной затравкой, старые ребра которых в траектории не пересекаются // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно- математические и технические науки. 2016. Вып. 1 (176). С. 25-32. URL: http//vestnik.adygnet.ru

4. Кочкаров А. М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998. 170 с.

5. Кочкаров А.А., Кочкаров Р.А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфракталь-ном графе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 6. С. 1147-1152.

6. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980. 336 с.

7. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич. М.: Наука, 1990. 384 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

References:

1. Cvetkovich D., Doob M., Sachs H. Spectra of graphs: theory and application. Kiev: Naukova Dumka, 1984. 384 pp.

2. Bayramukova Z.K., Kochkarov A.M. Spectra of pre-fractal graphs with the priming cycles, keeping edges of old contiguity // Scientific Journal of KubSAU. 2012. No. 81 (07). P. 93-102.

3. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M., Khapaeva L.Kh.. An algorithm for calculating the spectra for prefractal graphs with the full three-vertex primers with the non-crossed path old edges // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 1 (176). P. 25-32. URL: http://vestnik.adygnet.ru

4. Kochkarov A.M. Recognition of fractal graphs. An algorithmic approach. Nyzhny Arkhyz: RAS SAO, 1998. 170 pp.

5. Kochkarov A. A. Kochkarov R.A. Parallel algorithm for finding the shortest path on the prefractal graph // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2004. Vol. 44, No. 6. P. 1147-1152.

6. Ore O. Theory of graphs. M.: Nauka, 1980. 336 pp.

7. Lectures on the theory of graphs / V.A. Emelichev, O.I. Melnikov, V.I. Sarvanov, R.I. Tyshkevich. M.: Nauka, 1990. 384 pp.

8. Gantmakher F.R. Theory of matrices. M.: Nauka, 1988. 552 pp.