CC BY
9
УДК 519.1
ББК 22.174.2
Б 18
Байрамукова З.Х.
Старший преподаватель кафедры математики Северо-Кавказской государственной гуманитарно-
технологической академии, Черкесск, тел. (8782) 293582, e-mail: [email protected]
Спектры предфрактальных графов с чередующимися в траектории затравками-звездами, затравками-циклами, затравками-цепями, сохраняющих смежность старых ребер
(Рецензирована)
Аннотация. Впервые исследуются вопросы определения характеристических многочленов и вычисления спектров предфрактальных графов с чередующимися затравками-звездами, с чередующимися затравками-циклами, с чередующимися затравками-цепями, сохраняющих смежность старых ребер в траектории. Доказаны теоремы, представляющие алгоритмы определения спектров рассмотренных графов.
Ключевые слова: спектр предфрактального графа с чередующимися затравками-звездами, с чередующимися затравками-циклами, с чередующимися затравками-цепями, сохраняющих смежность старых ребер в траектории.
Bayramukova Z.Kh.
Senior Lecturer of Department of Mathematics, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, ph. (8782) 293582, e-mail: [email protected]
Spectra of pre-fractal graphs with alternating in trajectory star-primings, cycle-primings and chain-primings saving out contiguity of old edges
Abstract. This paper examines for the first time the problems related to the characteristic polynom determination and spectra calculation of pre-fractal graphs with alternating star-primings, cycle-primings and chain-primings saving out contiguity of old edges in trajectory. The theorems representing spectra calculation algorithms of the considered graphs are proved.
Keywords: pre-fractal graph spectrum, alternating star-primings, alternating cycle-primings, alternating chain-primings, contiguity of old edges, trajectory.
Под спектром графа понимают множество, состоящее из собственных значений матрицы смежности, то есть нулей характеристического многочлена [1].
Предфрактальный граф [2-7] (т,Е)-граф GL= (VL,EL ) можно определить рекуррентно (по шагам), заменяя каждый раз в построенном на предыдущем шаге l е {l,2,...,L} графе Gl каждую его вершину n-вершинным графом-затравкой, где L - количество рангов (шагов), породивших (и^)-граф. Процесс порождения предфрактального графа GL , по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов G1 ,G2,...,GL , называемый траекторией. Для предфрактального графа GL ребра, появившиеся на /-ом, l е {l,2,...,L}, этапе порождения, будем называть ребрами ранга l. Новыми ребрами предфрактального графа Gl назовем ребра ранга L, а все остальные ребра назовем старыми.
Рассмотрим предфрактальный граф с чередующимися в траектории затравками-звездами. Пусть сначала по этапам траектории чередуются две затравки-звезды, то есть в качестве замещающей вершины затравки на нечетных этапах траектории используется звезда с n1 вершинами, а на четных с n2 вершинами. Причем на каждом этапе старые ребра соединяются с корневой вершиной затравки. На первом этапе траектории предфрактальный граф представляет собой граф-затравку, то есть звезду с числом вершин n1. Его характеристический многочлен мы нашли, применив алгоритм Гаусса [8, 9]:
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-07-
00231а.
PGi (Л ,Л)
Л' -1 -1
-1 Л 0
-10 л
-1 0
-1
0 0
л
= л
n -1
л* -
n1 -1
л
При Л = Л получаем:
PGi (Л) =Лп1-1
л-
n1 -1 Л
= ЛП1 - 2Л
n, -2
(1)
На втором этапе траектории предфрактального графа GL =(VL, EL) характеристиче-
ским многочлен имеет вид:
Pg2 (Л) =
Л1 - A1 -1 -1
-1 -1
-1 Л 0
0 0
-1 0
Л1
0 0
-1 0 0
0 0
-1 0 0
0 0
-1 0 0
л
0
-1 0 0
0
л
(2)
Определитель (2) отличается от первого определителя только порядком блочной матрицы и порядком ее элементов. Данный определитель имеет п2 блочных строк и столбцов. Каждый его элемент - квадратная матрица порядка п1, то есть матрица в формуле (2) инвариантна по форме матрице смежности звезды с п2 вершинами [9, 10]. Вычисления поэтому аналогичны. Полагая, что Л" = Л - А1, с учетом размерностей получаем:
Pg2 (л)=Л-2)n1 P
f Л2 - (n2 -1) 1
G1
л
(3)
Отметим, что порядок блочной матрицы влияет на количество шагов в обобщенном алгоритме Гаусса [8], а порядок элементов - на показатель степени множителя, выносимого из определителя. Порядок блочной матрицы на /-ом этапе траектории предфрактального графа равен числу вершин затравки, замещающей вершины. Порядок блоков равен порядку матрицы смежности А/-1 предфрактального графа G/-1, то есть произведению чисел вершин затравок, заместивших вершины на этапах 1,2,.. .,/-1 траектории предфрактального графа.
На третьем этапе имеем характеристический многочлен такого же вида, только Л = Л - А2. Блочная матрица имеет порядок п1, а ее элементы - матрицы порядка п1 • п2. После выполнения преобразований по алгоритму Гаусса получаем:
PG (Л) = Л(n-2)n 'n2 PG
Г 22
Л2 - (n1-1)
Л
Рассуждая аналогичным образом, для характеристического многочлена произвольного этапа траектории / (/=4,5,.,Ь) предфрактального графа при четном значении / имеем:
а при нечетных значениях l:
Р01(Л) = Л(П2-2)П12 ^ PG;1
Ра(л) = Л^-2^ ^ PG;1
i(л2 -(n2 -1)^
Л
( Л2 - (n1 -1) ^
Л
(4)
(5)
Рассмотрим задачу определения характеристического многочлена предфрактального
0
графа, сохраняющего смежность старых ребер в траектории, построенного следующим образом. На первом этапе траектории предфрактального графа используется затравка-звезда с щ, на втором этапе каждая вершина замещается затравкой-звездой п2, на третьем этапе вершины замещаются затравкой-звездой п3. Далее в траектории эти затравки последовательно повторяются в качестве замещающих вершины затравок. Понятно, что на первом этапе траектории характеристический многочлен определяется по формуле (1) при п = п1, а на втором - по формуле (3). На третьем этапе имеем характеристический многочлен вида (2), где X = X - А2. Блочная матрица имеет порядок п3, а ее элементы - матрицы порядка п1 • п2. После выполнения преобразований по обобщенному алгоритму Гаусса получаем:
Ра(Л)=Л( ^^ PG
f Л2 - (n3 -1) ^
1
(4)
Рассуждая аналогичным образом, для характеристического многочлена произвольного этапа траектории / (/=4,5,...,Ь) предфрактального графа при значении / = з(шоё3) имеем:
PGi (2)=2("з^^^ f1 -(пз -1) 1
при l = l(mod3):
при l = 2(mod3):
PGi(l)=1nl - 2)(П1 'n2 'n3 )l" PGii
1
f 1 - (n -1) ^
1
l-2 +1 l_-2 f ry2
PG(l)=1(n2 -2)П13 П23П33 P
12 - (n2 -1) 1
(5)
(6)
(7)
Перейдем теперь к рассмотрению более общего случая. Пусть в траектории предфрак-тального графа последовательно на этапах в качестве замещающих вершины затравок используются затравки-звезды с п1, п2,..., пк вершинами. То есть на этапах / = у(шоё к),
(/=1,...,к) используется затравка-звезда с nj вершинами. Характеристические многочлены
предфрактальных графов G1, G2, G3 определяются по формулам (1), (3), (4). Пусть
/=4,5,.,к. На этапе траектории / в качестве затравки используется щ -вершинная звезда.
Его характеристический многочлен имеет вид:
PGi (1) = |1 - A_
1* I -I -I -1 •• -I -I -I
-1 1I 0 0 •• 0 0 0
-1 0 1I 0 •• 0 0 0
-I 0 0 0 •• 0 1I 0
-I 0 0 0 •• 0 0 1I
где Л = AI - Al_j. Здесь блочная матрица имеет порядок nl, а ее элементы - матрицы по-
i _1
рядка ^ ni . Повторяя рассуждения по алгоритму Гаусса и учитывая что Л = AI - Al_1,
i=1
приходим к формуле:
(n-2)1тт'п ( о,2 _/ч, _ n'A
,„ч (n_-2)nn, f 1 - (п, - 1)^
PGi(l)=1 = Pg_1 1
Пусть l = .(modк), (J=1,...,k):
.ы+
KJ
/ч (nj-2)(Я")к "(п.к fl2 -(n. -1)^ pg(x) = X 1 ) ) PG К J J
-G-
,-1 Л
V
(9)
/
Рекуррентная формула (9) позволяет определить характеристические многочлены любых предфрактальных графов рассматриваемого вида. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Характеристический многочлен предфрактального графа с к последовательно повторяющимися в траектории затравками-звездами с п1,п2,...,пк вершинами, смежность старых ребер которого не нарушается, определяется по рекуррентной формуле:
(n.-2)( п n, l к |П
PG(X)=X u ) V,=L ) P
+ V Г 2 л
J ' Л2 - (n L -1) ^
X
Здесь l = y(modk), (/'=1,...,£), (/=1,2,.,L). Доказанная теорема является обобщением формул (1), (3)-(7).
Теорема 1 позволяет нахождение собственных значений (спектра) предфрактального
графа вершинами с чередующимися затравками-звездами с
п n
L' t Л Пп
V i=L )
l-L
вершинами, то
есть задачу решения алгебраического уравнения степени
-1 ^i f t #
п ni
П nL сводить к решению
V i=L )
I квадратных уравнений.
Перейдем теперь к определению характеристических многочленов предфрактальных графов с чередующимися затравками-циклами в траектории, сохраняющих смежность старых ребер.
Пусть в траектории предфрактального графа чередуются затравки-циклы СП1 и СП2.
Матрицы смежностей таких предфрактальных графов инвариантны по форме [10] матрице смежности графа-затравки последнего этапа траектории:
РСп (л ' , Л) = ~((Дп-2 - 1)2 + Дп-1 (л' - Дп-3 )) =
= - Дп-1 л *-(Дп-2 - 1)2 + Дп-^Дп-3. Здесь А0 = -I, А1 = -Л1, Ак = ЛАк-1 - Ак-2. Полагая Л = Л1 - А1 и учитывая особенности операций с блочными строками, имеем:
PG
( )= (д )n1 p f Дп2-1л - дп2 -1дп2-3 + {дп2-2 - l)
. \л) = \^n2 -1j PG1 Д •
V Дп2-1 У
Пусть l = 1(mo d2), то есть l - нечетное. Например, пусть 1=3:
P (л)= ( ) n2 ) P Д -1л ~ Д -Д -3 + Д - 2 ~ 1)2 ^
2 V дП, -1
При произвольном нечетном l получается:
PGl (л)= (-1 ^
При четном l, то есть l = 2(mod2):
Д -1 л - Д -Д-3 + Д-2 - 1)
Д -1
l - J
l -1
к
i=1
i=1
Po, (л )= (( _,)
ni n2—
Po
Jl-1
Д 1 л - Д 1Д 3 +(д 2 -1)
^П2~1 ^П2-^^П2-3 V^ni-2 /
Д 1
n2 1
(11)
Пусть имеем три затравки-цикла СП1, СП2 и СП3, чередующиеся в траектории. При значении / = 3(шоё3):
' Дщ-1Л-Дщ-Лъ-3 +(Д!3-2-1)2 ^
Po, (Л)= (Цз-1 )П1
n2/3 n33 p 3-^ oi-1
ДП3 -1
при I = 1(mod3):
Po, (л)= (Дщ-1 )
ni n2 n3 )3 p Дп1-1Л Дп1-1Дп1-3 +(Д,1-2 1)2
o
l-1
V
Дщ-1
(12)
(13)
при I = 2(mod3):
Po, (л)= ((,2-1 )n1
+1 —
Г+ (n2 n3 )T
Po
l-1
Л2- 1л-ДПг-1ДПг-3 + (Д2-2 - 1)2
Дг,-1
(14)
Пусть имеется к затравок-циклов С;., 7=1,2,.,к, /=1,2,...,Ь и / = у(тоёк), периодически повторяющихся в траектории. Тогда
xi-2 ^
^ 1 ' 1 ' ' Д,(-,Л-Д„+
Po,(л)-)Н [ПН Poi-,
rij-v «2
-1
Г
Дп , -1
(15)
Таким образом, получена
Теорема 2. Характеристический многочлен предфрактального графа с к последовательно повторяющимися в траектории затравками-циклами C j, j=1,2,...,k, l=1,2,...,L,
l = j(modк), смежность старых ребер которого не нарушается, определяется по рекуррентной формуле:
P
, (л)- -1 )П
1 J ^ 1^ Дп,-1л-Дп,-Д,-Ъ +Дп,-2-1)
П,
Po
Jl-1
Дп,-1
где Л0 = -1,4 = -MI, Лk = МЛ^1 - Л^2.
Доказанная теорема является обобщением формул (10)-(14).
Далее будем искать характеристические многочлены предфрактальных графов с чередующимися затравками-цепями в траектории, сохраняющих смежность старых ребер.
Пусть в траектории предфрактального графа чередуются затравки-цепи с п1 и п2 вершинами. При замещении вершин затравками на каждом этапе траектории старые ребра соединяются с висячей вершиной цепи-затравки. Матрицы смежностей таких предфрактальных графов инвариантны по форме [9, 10] матрице смежности графа-затравки последнего этапа траектории:
Po1 (л* м)- Лп-2 -МЛп-1 =-Ли .
Здесь Л0 = -I, Л1 = -М. Обозначим Лk = МЛk-1 - Лk-2. Полагая ММ = MI - A1 и учитывая особенности операций с блочными строками, имеем:
Po2 (л)-((-1 ) Po1
Д,2 V Дп2-1 J
2
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 3 (206) 2017 Пусть l = l(mo то есть l - нечетное. Например, пусть 1=3. Тогда
PGi М = (-1 )-2
При произвольном нечетном l получается:
Д V Дп1-1)
PGl (л)= (-1 )-n2PGu1
При четном l, то есть l = 2(mod2):
f Д Л
V Дп1-1)
(16)
, ч l_ l_± f Д ^
PGl (л)= ( -1 ^ Pgi-1 ^
V Дп2-1 )
(17)
Пусть имеем три затравки-цепи с п1, п2 и п3 вершинами, чередующиеся в траектории. При значении I = 3(то
/. ( и \
PG, (л)= (-1 )
n2 >3 n33
Pg
JI-1
Дпг
V Дп3 -1 )
(18)
при l = 1(mod3) :
при l = 2(mod3):
P^ (л)= ( -1 )n1n2 n3 )l 31 Pc
1-1
PGl (л ) = (дП2-1)
3 + (n2'n3 )3 P G
Д'г1
V Дп1 -1 )
Д1г2
(19)
i-1
V Дп2-1 )
(20)
Пусть имеется k затравок-цепей с nj вершинами, j=1,2,...,k, l=1,2,...,L, периодически повторяющихся в траектории и l = j (mod k). Тогда
. l L i1 i L f \ PGl (л)= (-1 )niП.)k Pgi-1 Д
ДП]
V ДL -1 )
(21)
То есть имеет место
Теорема 3. Характеристический многочлен предфрактального графа с k последовательно повторяющимися в траектории затравками-цепями с n1 ,n2,...,nk вершинами,
l=1,2,...,L, l = j(mod k), j=1,2,...,k, смежность старых ребер которого не нарушается, определяется по рекуррентной формуле:
P
, (л)= -1 )П
bj+W sti f
к
L-1 \t' f к ) к
" nni 1 Pg
JI-1
Дп,-1л - Дп] -Л2-3 +
- 1
Л
Дп,-1
где Ао = -I, А1 = - Л, А к = ЛА к-1 - А к-2.
Доказанная теорема является обобщением формул (16)-(20).
Теоремы 2 и 3 позволяют нахождение собственных значений (спектра) предфракталь-
ного графа с чередующимися затравками-звездами с | 'П1 n
i f. а Ч
П nj
V i=J )
вершинами, то есть за-
дачу решения алгебраического уравнения степени уравнений степени п^, ]=1,2,.,к.
i=1
Л—+1 Г k \
j-1 1k А
П n I ДД nj
\ '=J J
сводить к решению l
Примечания:
1. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов: теория и применение. Киев: Наукова Думка, 1984. 384 с.
2. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998. 170 с.
3. Кочкаров А.А. Структурная динамика: свойства и количественные характеристики предфрактальных графов. М.: Вега-Инфо, 2012. 120 с.
4. Кочкаров А. А., Кочкаров Р. А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфракталь-ном графе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 6. С. 1147-1152.
5. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Алгоритм вычисления определителей предфрактальных графов с полными затравками, сохраняющих смежность старых ребер // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ. 2013. № 87 (03). С. 1-11.
6. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М., Хапаева Л.Х. Алгоритм вычисления спектров предфрактальных графов с полной трехвершинной затравкой, старые ребра которых в траектории не пересекаются // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно- математические и технические науки. 2016. Вып. 1 (176). С. 25-32. URL: http//vestnik.adygnet.ru
7. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры пред-фрактальных графов с чередующимися затравками // Перспективные системы и задачи управления: материалы Десятой науч.-практ. конф. Таганрог, 2015. С. 300-308.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
9. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Определение спектров предфрактальных графов определенных структур для принятия управленческих решений // Перспективные системы и задачи управления: материалы Девятой науч.-практ. конф. Таганрог, 2014. С. 326-335.
10. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры пред-фрактальных графов с затравками - циклами, сохраняющих смежность старых ребер // Научный журнал КубГАУ. 2012. № 81 (07). С. 93-102.
References:
1. Cvetkovic D., Doob M., Sachs H. Spectra of graphs: theory and application. Kiev: Naukova Dumka, 1984. 384 pp.
2. Kochkarov A.M. Recognition of fractal graphs. An algorithmic approach. Nyzhny Arkhyz: RAS SAO, 1998. 170 pp.
3. Kochkarov A.A. Structural dynamics: properties and quantitative characteristics of prefractal graphs. M.: Vega-Info, 2012. 120 pp.
4. Kochkarov A.A. Kochkarov R.A. Parallel algorithm for finding the shortest path on the prefractal graph // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2004. Vol. 44, No. 6. P. 1147-1152.
5. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Algorithm for calculating the determinants of prefractal graphs with the full primers, keeping old edges contiguity // Poly-tematic Network Electronic Scientific Journal KubSAU. 2013. No. 87 (03). P. 1-11.
6. Bayramukova Z.K., Kochkarov A.M., Khapaeva L.Kh. An algorithm for calculating the spectra for prefractal graphs with the full three-vertex primers with the non-crossed path old edges // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 1 (176). P. 25-32. URL: http://vestnik.adygnet.ru
7. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Spectra of pre-fractal graphs with alternating primers // Perspective systems and control problems: proceedings of the 10th scient. and pract. corf. Taganrog, 2015. P. 300-308.
8. Gantmakher F.R. Theory of matrices. M.: Nauka, 1988. 552 pp.
9. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Definition of spectra in pre-fractal graphs of certain structures for taking control decisions // Perspective systems and control problems: proceedings of the Ninth scientific and practical. conf. Taganrog, 2014. P. 326-335.
10. Bayramukova Z.K., Kochkarov A.M. Spectra of pre-fractal graphs with the priming cycles, keeping edges of old contiguity // Scientific Journal of KubSAU. 2012. No. 81 (07). P. 93-102.
i-j
k
