Научная статья на тему 'Алгоритм вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса для времени отклика системы облачных вычислений с гистерезисным управлением'

Алгоритм вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса для времени отклика системы облачных вычислений с гистерезисным управлением Текст научной статьи по специальности «Автоматика. Вычислительная техника»

CC BY
95
13
Поделиться
Ключевые слова
ОБЛАЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ / ВРЕМЯ ОТКЛИКА / ГИСТЕРЕЗИСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / ДИНАМИЧЕСКОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ / ПОРОГОВАЯ СИСТЕМА / ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА-СТИЛТЬЕСА

Аннотация научной статьи по автоматике и вычислительной технике, автор научной работы — Самуйлов Константин Евгеньевич, Гайдамака Юлия Васильевна, Сопин Эдуард Сергеевич, Горбунова Анастасия Владимировна

С развитием технологий сетей связи последующих поколений системы облачных вычислений превратились в высокопроизводительную вычислительную среду. Они обладают хорошей масштабируемостью и простотой в обслуживании, что приводит к быстрому росту числа облачных приложений и поставщиков облачных услуг. Правильное определение нужного количества ресурсов, необходимого для выполнения задачи с учетом текущей рабочей нагрузки и технических требований в рамках соглашения о качестве услуг является сложной задачей. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, выделение большего числа виртуальных машин, чем необходимо, ведет к большим затратам для пользователя, а с другой стороны, выделение меньшего, чем требуется, объема ресурсов, ведет к нарушению соглашения об уровне обслуживания (англ. Service Level Agreement, SLA). Таким образом, поскольку для поставщиков облачных услуг важным показателем производительности системы является энергоэффективность, для уменьшения числа срабатываний системы управления масштабированием применяется в том числе и гистерезисный подход. Для анализа показателей производительности модели системы облачных вычислений с динамическим масштабированием в статье рассмотрена многолинейная система массового обслуживания с гистерезисным управлением количеством включенных приборов на основе порогов длины очереди и немгновенным подключением дополнительных приборов, для которой разработан рекуррентный метод вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса распределения времени пребывания заявки в системе и времени ожидания начала обслуживания.

Похожие темы научных работ по автоматике и вычислительной технике , автор научной работы — Самуйлов Константин Евгеньевич, Гайдамака Юлия Васильевна, Сопин Эдуард Сергеевич, Горбунова Анастасия Владимировна,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Алгоритм вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса для времени отклика системы облачных вычислений с гистерезисным управлением»

Самуйлов К.Е.1, Гайдамака Ю.В.2, Сопин Э.С.3, Горбунова А.В.4

1 Российский университет дружбы народов, г. Москва, д.т.н., профессор, заведующий кафедры

прикладной информатики и теории вероятностей, ksam@sci.pfu.edu.ru

2 Российский университет дружбы народов, г. Москва, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной

информатики и теории вероятностей, ygaidamaka@mail.ru

3 Российский университет дружбы народов, г. Москва, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной

информатики и теории вероятностей, esopin@sci . pfu. edu. ru

4 Российский университет дружбы народов, г. Москва, аспирант кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, avgorbunova@rambler.ru

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА-СТИЛТЬЕСА ДЛЯ ВРЕМЕНИ ОТКЛИКА СИСТЕМЫ ОБЛАЧНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ГИСТЕРЕЗИСНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ10

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Облачные вычисления, время отклика, гистерезисное управление, динамическое масштабирование, пороговая система, преобразование Лапласа-Стилтьеса.

АННОТАЦИЯ

С развитием технологий сетей связи последующих поколений системы облачных вычислений превратились в высокопроизводительную вычислительную среду. Они обладают хорошей масштабируемостью и простотой в обслуживании, что приводит к быстрому росту числа облачных приложений и поставщиков облачных услуг. Правильное определение нужного количества ресурсов, необходимого для выполнения задачи с учетом текущей рабочей нагрузки и технических требований в рамках соглашения о качестве услуг является сложной задачей. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, выделение большего числа виртуальных машин, чем необходимо, ведет к большим затратам для пользователя, а с другой стороны, выделение меньшего, чем требуется, объема ресурсов, ведет к нарушению соглашения об уровне обслуживания (англ. Service Level Agreement, SLA). Таким образом, поскольку для поставщиков облачных услуг важным показателем производительности системы является энергоэффективность, для уменьшения числа срабатываний системы управления масштабированием применяется в том числе и гистерезисный подход. Для анализа показателей производительности модели системы облачных вычислений с динамическим масштабированием в статье рассмотрена многолинейная система массового обслуживания с гистерезисным управлением количеством включенных приборов на основе порогов длины очереди и немгновенным подключением дополнительных приборов, для которой разработан рекуррентный метод вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса распределения времени пребывания заявки в системе и времени ожидания начала обслуживания.

Введение

Под облачными вычислениями (англ. cloud computing) обычно понимается предоставление пользователю компьютерных ресурсов и мощностей в виде интернет-сервиса [1]. Системы облачных вычислений применяются для хранения и обработки данных, для распределенных вычислений при решении научных и коммерческих задач. Современные облачные системы проектируются, как правило, масштабируемыми, что позволяет системе справляться с высокой нагрузкой и иметь возможность снизить энергопотребление в периоды снижения нагрузки.

Проблема недостаточного использования ресурсов возникает вследствие того, что их распределение обычно происходит в соответствии с пиковой нагрузкой, которая может длиться только в течение короткого периода времени. Затем происходит переход в состояние простоя, но

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

10 Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 14-07-00090, 1507-03051, 15-07-0360.

при этом потребляемая мощность может по-прежнему составлять около 50% от пиковой, что вызывает значительные потери энергии.

Вообще говоря, методы повышения энергетической эффективности и энергосбережения можно условно разделить на три категории: изменение рабочей нагрузки, влияние на поведение пользователей, перенастройка ресурсов. Идея первого заключается в использовании дополнительного устройства между сервисом и пользователем, которое изменяет интенсивность входящего трафика посредством буферизации: увеличивает продолжительность «спящего» режима и удлиняет периоды высокой загрузки [13]. Если же говорить о втором подходе, то положительный опыт внедрения мер стимулирования потребителей к энергосбережению имеется, в частности, у энергетических компаний. Применение системы тарификации, предполагающей значительное снижение стоимости электроэнергии в периоды низкой активности, например, ночью, побуждает потребителей к использованию электричества хотя бы отчасти в ночное время, что в свою очередь, приводит к выравниванию рабочей нагрузки. Однако у этих методов имеется существенный недостаток, который заключается в снижении качества оказываемых услуг, что является нарушением SLA.

Одним из способов реализации третьего подхода является динамическая активация виртуальных машин [5,14,15]. Иными словами, регулируется количество ресурсов (серверов, машин) в зависимости от текущей нагрузки [7-10,16]. При анализе таких систем применяются модели с пороговым управлением обслуживанием, в том числе, с гистерезисным управлением количеством включенных приборов [4, 6]. При этом основной проблемой при моделировании облачных систем с помощью методов теории телетрафика является высокая вычислительная сложность получаемых в результате алгоритмов [2,11,12]. В [6] исследована система с гистерезисным управлением обслуживанием для анализа предоставления услуги видео по требованию, стационарные характеристики системы получены с помощью матричных методов, которые не применимы для анализа современных облачных платформ из-за высокой вычислительной сложности. В [14, 15] система с гистерезисным управлением обслуживанием применена для анализа облачных систем с конечным числом приборов, а для случая трех приборов получен эффективный вычислительный алгоритм расчета стационарных характеристик функционирования облачной системы, имеющий линейную сложность. Данная статья является развитием работ [14, 15], а также продолжением работы [3], в которой был разработан эффективный алгоритм вычисления стационарных вероятностей и показателей качества функционирования системы.

Математическая модель

Рассматривается система облачных вычислений с гистерезисным подключением и отключением дополнительных виртуальных машин в виде многолинейной системы массового обслуживания с K приборами, часть которых может быть не активна, и конечной емкостью системы R. На систему поступает пуассоновский поток заявок с параметром X . Считаем, что приборы являются однородными, время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром [3].

В пустой системе активным, т.е. готовым при поступлении заявки мгновенно начать ее обслуживание, является один прибор. При поступлении заявок в систему активация приборов происходит не мгновенно, при этом количество активных приборов определяется числом заявок в очереди, в которой установлены парные пороги, заданные значениями векторов

H = (H1 ,H2 ... ,HK_1) , H 1<H2<...<HK_1 и L = (L1 ,L2...,Lk-) , L1 <L2<...<LK- , где

Lt+1< Hi < L+2, i = 1, K — 1 . Очередь имеет дисциплину FCFS (First Come First Served). При поступлении на прибор заявка сохраняет место в очереди. Правила работы системы следующие:

1.Если в системе уже есть Ht заявок, то при поступлении новой заявки активируется

Рис. 1. Многолинейная система массового обслуживания с порогами H и L

(подключается) один (i +1) -й дополнительный прибор, но не мгновенно, а через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение с параметром а ;

2.Если в системе находится Li заявок и при этом одна заявка обслужилась, то (г +1) -й

прибор мгновенно отключается, либо, если он не был активен, останавливается процедура его активации.

Функционирование системы описывается Марковским процессом X (Г) с множеством состояний

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

О < л < Я,, * = 1,1 = 1

< п <Нк, А: = 2,К-1 г = 1, Г-1 }■, Ьк_х <п<Я,к=К,1 = ЪК

где k - необходимое количество приборов; i - количество активированных приборов; п -количество заявок в очереди. Для выбранного расположения пороговых значений относительно друг друга диаграмма интенсивностей переходов для системы с И=4 приборами представлена на рисунке 2.

На диаграмме выделены состояния системы (1)-(^, для которых различаются соответствующие формулы вычисления стационарных вероятностей в случае выбора описанного выше расположения порогов.

Алгоритм вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса времени отклика системы Для того чтобы составить объективное мнение о поведении времени отклика системы, недостаточно знать только среднее значение этой случайной величины. Для всей полноты картины, а также для решения актуальных практических задач наряду с математическим ожиданием желательно иметь представление о значениях дисперсии и квантили. В этой связи

5 =

(к,и п)

определение функции распределения времени отклика - в нашем случае в терминах преобразования Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) - приобретает особую важность.

Обозначим V™л п( s) - ПЛС времени ожидания т-й в очереди заявки, если система находится в состоянии (к, /, п) . В случае, когда т<1 , время ожидания равно нулю, а значит

^.„<^ = 1, М < /. (1)

В остальных случаях справедливы следующие рекуррентные соотношения:

Vм — (— — Vт (с 1

Я — к/1 к/1 — 5 Я + к/1 Я + я (2)

1 < к <К, Ьк_х < п < Нк,

Vм Гя1 - км к'и Ут~1 Ы-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л Л КК1к_1+1(х\ 2 < к < К;

Я - к/1 Я + 5 ки к/1 Л — к/1 к/1-5

Ук^нк ) = Т^Г- ■ Г— О) +

- ■ Т^ 1 <к < К-1:

Я - к/1 Я - 5

К/1 т, т-1

М = - ■ ' , ■ — _,(*) +

А - ¡ и - (к - 1)а (к -1)а — ^

1 < к < К - 1,1 < г < к;

(3)

(4)

,, ^к.К.Я-Л5): (5)

X// + 5

ут (ж1 =_1Л___1'и ут~1 с\ 1 -и

Л + 111 + {к-1)а га - 5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л А -Vт +

Л + 1/1 - {к- ¿)а Л+з ^ (6)

(к - г)а__(к-Г) а

Л + 1.и + {к-1)а {к - 1)а + 1 < к < К, 1 < г < к, Ьк_х < п < Нк;

Л - 1/1 - (к - г )а га-з

' -УС,:.

Л - 1/1 - {к - 1)а Л +(7) (к-¿)а__(к-ра

а ' /1

Л — га — {к — 1)а (к - 1)а + 5 2 < к <К, 1 </ < к;

Щ___Щ „ш-Х

Л - 1/1 - (к - г)а 1/1 - 5

_^__Л ,

Л-1/1-{к-1)а Я + 5 К (8)

(к-1~)а (к — 1)а

KJJt {S) = —-— ■ Г'^-i (s) -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

iu + {K — i)a ill + s

(K-i)a (K-i)a . .. „

+ "T-——— ■——--F^+i^O), 1-^kK.

iLt-{K-i)a {K - i)a - s

На основе рекуррентных соотношений (1)-(9) может быть составлен алгоритм для

вычисления ПЛС Vm i n(s) , с помощью которого можно найти ПЛС V (s) времени ожидания и

П Л С W (S) времени пребывания заявки в системе:

П*) = (10)

W(s) = -V—V(sl (И)

[1 + s

где пк i n - стационарные вероятности для соответствующих состояний (k,i,n), алгоритм вычисления которых приведен в [3]. Заключение

Разработанный метод расчета временных характеристик модели системы облачных вычислений в терминах преобразования Лапласа-Стилтьеса в сочетании с полученными ранее результатами позволяет с высокой точностью получить оценки важнейших показателей качества обслуживания, на которые следует ориентироваться при расчете и проектировании облачных систем. Однако, для реальных систем облачных вычислений, где вычислительные облака включают тысячи серверов и обеспечивают ресурсами десятки тысяч приложений, которые одновременно используют миллионы пользователей, размерность пространства состояний модели создает вычислительные трудности, даже несмотря на линейную вычислительную сложность предложенного в статье алгоритма. Поэтому задачей дальнейших исследований является разработка приближенного метода оценки показателей производительности модели системы облачных вычислений.

Авторы благодарят аспиранта кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН Таланову Маргариту за помощь в оформлении работы.

Литература

1. ETSI Cloud Standards Coordination. Final Report 2013, ver. 1.0. Available at: http://www.etsi.org/images/files/Events/2013/2013_CSC_Delivery_WS/CSC-Final_report-013-CSC_Final_report_v1_0_PDF_format-.PDF.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Basharin G.P., Gaidamaka Yu.V., Samuilov K.E. Mathematical teletraffic theory and its application to the analysis of the next generations multiservice networks / / Automatic control and computer sciences, Latvia, Riga: Institute of electronics and computer science of the Latvian university. - 2013. - No. 2. - Pp. 11-21.

3. Гайдамака Ю.В., Сопин Э.С., Таланова М.О. Анализ показателей качества функционирования систем облачных вычислений с гистерезисным управлением // T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. - в печати.

4. Гайдамака Ю.В., Печинкин А.В., Разумчик Р.В., Самуйлов А.К., Самуйлов К.Е., Соколов И.А., Сопин Э.С., Шоргин С.Я. Распределение времени выхода из множества состояний перегрузки в системе M | M | 1 | <L,H> | <H,R> с гистерезисным управлением нагрузкой // Информатика и ее применения. - 2013. - Т. 7, Вып. 4. - С. 20-33.

5. Goswami V., Patra S.S., Mund G..B. Performance Analysis of Cloud with Queue-Dependent Virtual Machines / / Proc. of 1st Int'l Conf. on Recent Advances in Information Technology, Dhanbad, India. - 2012. - Pp. 357-362.

6. Golubchik L., Lui J.C.S. Bounding of Performance Measures for Threshold-Based Queuing Systems: Theory and Application to Dynamic Resource Management in Video-on-Demand Servers // IEEE Trans. Computers. - 2002. - Vol. 51, No. 4. - Pp. 353-372.

7. Kaxiras S., Martonosi M. Computer Architecture Techniques for Power-Efficiency // Synthesis Lectures on Computer Architecture. - 2008. - Vol. 3, No. 1. - Pp. 1-207.

8. Lin M., Wierman A., Andrew L.L.H., Thereska E. Dynamic right-sizing for power-proportional data centers // INFOCOM, Proceedings IEEE. - 2011. - Pp. 1098-1106.

9. Meisner D., Gold B.T., Wenisch T.F. Powernap: eliminating server idle power // CM SIGPLAN Notices. - 2009. - Vol. 44. - Pp. 205-216.

10. Miyoshi A., Lefurgy C., Hensbergen E.V., Rajamony R., Rajkumar R., Critical power slope: Understanding the runtime effects of frequency scaling // Proceedings of the 16th Annual ACM International Conference on Supercomputing. - 2002. - Pp 3544.

11. Мокров Е.В., Чукарин А.В. Анализ показателей эффективности системы облачных вычислений с миграцией серверов / / T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. - 2014. - Т. 8, № 8. - С. 64-67.

12. Мокров Е.В., Самуйлов К.Е. Модель системы облачных вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и с групповым поступлением заявок // T-comm - Телекоммуникации и транспорт. - 2013. - № 11, С. 139-141.

13. Nedevschi S., Popa L., Iannaccone G., Ratnasamy S., Wetherall D. Reducing network energy consumption via sleeping and rate-adaptation // Proceedings of the 5th USENIX Symposium on Networked Systems Design and Implementation, NSDI'08, Berkeley, CA, USA. USENIX Association. - 2008. - Pp. 323-336.

14. Печинкин А.В., Гайдамака Ю.В., Сопин Э.С., Таланова М.О. Анализ показателей эффективности функционирования системы облачных вычислений с динамическим масштабированием // Сборник избранных трудов IX Международной ежегодной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование». - 2014. - C. 395-406.

15. Shorgin S.Y., Pechinkin A.V., Samouylov K.E., Gaidamaka Y.V., Gudkova I.A., Sopin E.S. Threshold-based Queuing System for Performance Analysis of Cloud Computing System with Dynamic Scaling // Proc. of the 12th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM-2014, Rhodes, Greece, 2014, USA, AIP Publishing - 2015. - Vol. 1648. - Pp. 1-3.

16. Wu Q., Juang P., Martonosi M., Peh L.-S., Clark D.W. // Formal control techniques for power performance management / IEEE Micro. - 2005. - Vol. 25. - Pp. 52-62.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.