АЛГОРИТМ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ СИГНАЛА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 621.391.26

Алгоритм цифровой фильтрации для оценки параметров медленно изменяющегося сигнала

А.Л.Переверзев

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Исследован алгоритм цифровой фильтрации для оценки параметров медленно изменяющегося сигнала, основанный на операциях с реверсивным счетчиком. Показано, что данный алгоритм позволяет существенно сократить аппаратурные затраты по сравнению с традиционными КИХ и БИХ фильтрами.

Алгоритм фильтрации относится к категории эвристических (не имеющих строгого математического обоснования), но эффективных и часто применяемых в реальных разработках, так как сокращает аппаратурные и вычислительные затраты [1]. Фильтры, реализующие такие алгоритмы, как правило, нелинейны, что затрудняет их исследование и формализацию для расширения сферы применения. Целью данной работы является исследование эвристического алгоритма цифровой фильтрации, а также сравнение оценок его характеристик с известными характеристиками КИХ и БИХ фильтров.

Рассматриваемый алгоритм описывается выражением

|(/') = |(/ -1) + 2 т х(г) - |(/ -1)),

(1)

где х(г) - отсчеты амплитуды входного сигнала (п разрядов); |(/) - отсчеты выходного сигнала фильтра (отсчеты оценки среднего значения амплитуды сигнала на каждом периоде дискретизации); т - параметр фильтра, определяющий коэффициент усреднения. Для реализации данного алгоритма на основе реверсивного счетчика (1) удобно представить в виде совокупности выражений:

1н (0 =

|д(0 = |Дн (/)2"т, |н (/ -1) +1, если х(г) > |(/ -1), |н (/ -1), если х(г) = |(/ -1), |н (/ -1) -1, если х(г) < |(/ -1),

где |н (/) - отсчеты сигнала накопления ( п + т разрядов). Таким образом, реверсивный счетчик имеет разрядность п + т, где т - количество избыточных разрядов по сравнению с разрядностью входного сигнала. Схема фильтра представлена на рис.1.

© А.Л.Переверзев, 2009

Поясним работу фильтра на примере гармонического входного сигнала x(i) = Авх sin2nfc/, где Авх и / - амплитуда и частота сигнала соответственно. На рис.2 представлены результаты фильтрации при n = 8, m = 1 для различных значений относительной частоты f = fc / /Н = fc / 0,5 f , где f и /Н - частота дискретизации и частота Найквиста соответственно. Видно, что фильтр полностью пропускает постоянную составляющую, воспроизводит форму сигнала и с увеличением частоты выходной сигнал стремится к симметричной треугольной форме с меньшей амплитудой. Заметим, что фазовая задержка всегда находится в пределах от 0 до п /2.

i i в г

Рис.2. Выходной сигнал фильтра при постоянной амплитуде и различных значениях частоты входного гармонического сигнала (п = 8, т = 1, х(/) и ц(/) обозначены сплошными и пунктирными линиями соответственно): а - /= 0,0000; б - /= 0,0001; в -/ = 0,0008; г -/ = 0,0020

В отличие от линейных КИХ и БИХ фильтров низких частот, в данном случае происходит искажение формы. Учитывая малые значения частоты, при которых сохраняется форма входного сигнала на выходе фильтра (см. рис.1), получаем, что данный алгоритм пригоден для оценки медленно изменяющейся составляющей сигнала, а также для децимации с большим коэффициентом [2, 3].

Для оценки частотных характеристик последовательно подаем на вход фильтра набор из N тестовых гармонических сигналов с частотами /тест (]) от 0 до 1.

Для оценки АЧХ рассчитываем отношение амплитуд выходного и входного сигналов для указанного набора частот, т.е.

N А

к (/) = £-А^ 5(/ - /тест (2)

} =1 Авх

где Авых - амплитуда сигнала с выхода фильтра, 8(/) - дельта-функция. Полученную зависимость можно рассматривать как оценку АЧХ фильтра без учета его нелинейности в области границы и вне полосы пропускания.

Алгоритм цифровой фильтрации для оценки ...

Для оценки ФЧХ перемножаем входной и выходной сигналы и получаем Ах М^ЛЛест') Аых sin(2л/н/ТесТ' - ф) = = 0,5 Авх Авых (С08(ф) — sin (4п/н!тест1 — Ф)), где ф - фазовый сдвиг, соответствующий частоте /тест (j). После нормировки и усреднения на нескольких периодах получаем выражение для оценки ФЧХ:

Ф(/) = arccos(xy) 5(f — f^(j)). (3)

j=1

Основные результаты моделирования, согласно (2-3), представлены на рис.3. Отличительной особенностью рассматриваемого алгоритма фильтрации является нулевое значение АЧХ (в децибелах) и близкое к нулю значение ФЧХ (в градусах) в полосе пропускания. Видно, что при фиксированной амплитуде входного сигнала фильтр имеет более крутой спад амплитудно- и фазочастотных характеристик, чем промоделированные КИХ и БИХ фильтры [2-4].

10 5 0

0,005 0,01 f

0,005 0,01 f

б

Рис.3. Частотные характеристики скользящего среднего на 300 отсчетов (1), БИХ первого порядка (2) и рассматриваемого фильтра при амплитудах тестовых сигналов, различающихся в два раза (3, 4): а - АЧХ; б - ФЧХ

0

0

а

Для практического применения рассматриваемого алгоритма необходимо знать аналитическую зависимость частоты среза от параметров фильтра. Пусть на вход фильтра поступает один из тестовых гармонических сигналов (рис.4) с частотой /с = 1/ Тс. Тогда максимальная скорость нарастания выходного сигнала составит 1/(2т^д) [е.м.р./с], здесь - период дискретизации, т.е. максимальное значение, которое может быть достигнуто на выходе фильтра, равно

Т

п. л шах _

2Лых "

X(t), |i(í)

Ав

Рис.4. Пример фильтрации тестового гармонического сигнала

/д

2™ • 2/ 2™ • 2/С f • 2й

где f = 2fc/f

1

Таким образом, получаем зависимость амплитуды выходного сигнала от амплитуды входного сигнала и параметра т :

А ( |Авх, если 1/(/2т+1 )> Авх,

^(А»т) ) если )<Ах. (4)

Путем подстановки в (4) значения Авых, соответствующего -3 дБ АЧХ, т.е. Авых = 0,7 Авх, получаем выражение для частоты среза и критерий выбора параметра т при заданной частоте среза:

1

/ср (Ах, т) =

0,7 • 2т+х А

(5)

т > 1о§2

1

0,7 Авх/ср

-1.

(6)

Полученные зависимости подтверждены оценочным моделированием, описанным выше.

Из рис.3 и выражений (4)-(6) видно, что результат фильтрации и частота среза зависят от амплитуды входного сигнала х. Чем меньше значение А , тем больше частота среза и полоса пропускания. Иными словами, чем больше п, тем больший разброс имеет / . Однако в применении к оценке медленных флуктуаций постоянной составляющей частотные свойства фильтра не так важны, интерес представляют коэффициент подавления широкополосного шума или эквивалентный коэффициент усреднения. По результатам моделирования фильтрации белого нормального шума получена аппроксимация численной зависимости среднеквадратичного отклонения на выходе фильтра от среднеквадратичного отклонения на входе и параметра т :

а = к Ьх

вых "I/ 2т

(7)

где к = 0,8. Нормированная среднеквадратичная ошибка аппроксимации (СКО /2п) не

превышает 3 • 10-4 Из (7) видно, что в отличие от скользящего среднего (авых = авх /М [2]) данная зависимость нелинейна.

Оценим максимальное значение авых из следующих соображений. Выберем значение авх таким, чтобы 99% отсчетов входного сигнала укладывались в динамический диапазон, для нормального шума имеем а^ = (2п -1)/6, т.е.

атах = к вых

2п -1

3 • 2

т+1

(8)

Из выражения (8) получаем минимальный эквивалентный коэффициент усреднения

М ■ =

Ш1П

{ _тах ^ авх _шах V вых У

2т-1(2п -1) 3к 2

2

Алгоритм цифровой фильтрации для оценки

На практике удобно пользоваться соотношением Mmin = 2n+m 2, которое определяет Mmin с относительной погрешностью менее 4% (зависит от n и m).

В таблице приведены сравнительные данные по аппаратным затратам на реализацию 8-разрядных фильтров на основе реверсивного счетчика (1) скользящего среднего (2) и БИХ фильтра 1-го порядка (3) для различных эквивалентных коэффициентов усреднения на базе ПЛИС фирмы Xilinx серии Spartan 3. Применение рассматриваемого алгоритма позволяет существенно сократить аппаратные затраты.

Таблица 1

Сравнительные данные по аппаратным затратам

Эквивалентный коэффициент усреднения Параметр фильтра m Количество конфигурируемых логических блоков Spartan 3

1 2 3

64 0 4 9 60

256 2 4 22 60

1024 4 4 70 60

4096 6 4 262 60

16384 8 5 1100 60

Таким образом, результатом данного исследования является формальное описание эвристического алгоритма цифровой фильтрации, основанного на операциях в реверсивном счетчике, что позволяет расширить область его применения. Показано, что алгоритм прост в реализации и дает существенную экономию ресурсов системы по сравнению с традиционными КИХ и БИХ фильтрами. Недостатком данного алгоритма фильтрации является зависимость (линейная) частоты среза от амплитуды входного сигнала, что приводит к нестабильной частотной избирательности. Однако он может применяться в системах, где требуется оценка и обработка медленно изменяющейся составляющей сигнала, например при цифровом подавлении постоянной составляющей или децимации с большим коэффициентом.

Литература

1. Губанов Д.А., Стешенко В.Б., Храпов В.Ю., Шипулин С.Н. Перспективы реализации алгоритмов цифровой фильтрации на основе ПЛИС фирмы ALTERA // Chip News. - 1997. - № 9-10. - С. 26-33.

2. Smith S.W. The scientist and engineer's guide to digital signal processing. - San Diego: California technical publishing, 1999. - 650 p.

3. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов: Справочник. - М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.

4. Рабинер, Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978. - 835 с.

Статья поступила 31 октября 2008 г.

Переверзев Алексей Леонидович - кандидат технических наук, научный сотрудник НИИ вычислительных средств и систем управления МИЭТ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, проектирование специализированных цифровых вычислительных устройств и автоматизированных систем управления.