CC BY
15
УДК 519.85 ББК 22.17+32.973
Е.А. МИКИШАНИНА
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ПАРАМЕТР
Ключевые слова: алгоритм, блок-схема, математическое программирование, оптимизация.
Настоящая работа посвящена построению алгоритма решения задачи квадратичного программирования с ограничениями типа равенств и неравенств, в одном из которых (ограничении-равенстве) содержится параметр. Математически решение данной задачи основано на модифицированном методе множителей Лагранжа, который позволяет параметрически определить искомые переменные как функции от введенного параметра X. Графики искомых функций представляют кусочно-ломаные линии. Те значения параметра X, в которых хотя бы одна из функций терпит излом, будут угловыми, а соответствующие им векторы, состоящие из значений искомых функций - угловыми векторами. Угловые векторы доставляют условный экстремум исходной задаче. Вектор, являющийся линейной комбинацией двух соседних угловых векторов, тоже будет доставлять условный экстремум исходной задаче. На основе предложенного вычислительного алгоритма в виде блок-схемы строится графическое решение поставленной задачи, которое также можно записать в табличной форме. Приводится тестовый пример, описывающий применение данного алгоритма при решении прикладной задачи управления финансовыми активами, а именно - определения эффективного множества оптимальных портфелей в общем виде, когда минимизируется функция оценки риска, связанного с инвестированием в портфель, а ожидаемая доходность портфеля равна произвольному значению т из определенного интервала.
При моделировании различных процессов в механике, физике, математике, технике, экономике нередко возникает необходимость решения оптимизационных задач, в том числе и задач квадратичного программирования [2]. Если задача имеет ограничения типа равенств, то аналитическое решение не представляет никакого труда. Проблема усложняется с появлением ограничений типа неравенств. Еще сложнее решить оптимизационную задачу, если одно из ограничений содержит параметр и решение требуется получить для каждого значения параметра из его области определения. Функциональную зависимость целевой функции от параметра получить довольно сложно, однако в некоторых случаях возможно получение табличного и графического представления этой зависимости с использование современных компьютерных программ.
Например, рассмотрим задачу управление финансовыми ресурсами в рамках концепции «риск - доходность», решение которой актуально для финансовых аналитиков. Классическим подходом в решении данной проблемы является подход, предложенный Г. Марковицем, который заключается в минимизации риска, связанного с инвестированием капитала в финансовые активы, при указанном уровне ожидаемой доходности портфеля этих
активов [4]. Результатом поставленной задачи математического программирования будет единственный выбранный из множества всевозможных портфелей с указанным уровнем ожидаемой доходности портфель, который математически будет представлять вектор, являющийся решением поставленной оптимизационной задачи. С точки зрения математики и программирования подобная задача не вызывает никаких сложностей [3]. Более интересным и значимым вопросом является определение всего эффективного множества оптимальных портфелей, когда уровень ожидаемой доходности не определен единственным образом, а является параметром. Построению алгоритма решения оптимизационной задачи квадратичного программирования с ограничениями, содержащими параметр, и его компьютерной реализации будет посвящена следующая статья.
Задача управления капиталом. Классическая задача определения оптимального портфеля имеет следующий вид. Существует п активов с ожидаемыми доходностями т7, 7 = 1, п, и ковариациями а7/ 7-го и /-го активов, соответственно. Тогда, считая капитал инвестора равным 1, задачу определения оптимального портфеля в предложенном Г. Марковицем виде математически можно записать:
dp = Zjx ^ min>
i, j=1 n
mp = Z m,x, = m
i =1
(1)
Z Xi = 1,
i =1
Х- > 0,
где xi - доля капитала, вложенная в i-й актив; m - требуемый уровень ожидаемого дохода, m е [minjm,}, maxjm,}]. В матричном виде задача нелинейного
i i
программирования в силу нелинейности целевой функции запишется в виде
'XTIX ^ min,
XYM = m, XTe = 1,
(2)
где }"
X; > 0,
. у ^ ==1 заданная матрица размерности пхп;М = {т; }гп=1 - заданный
вектор-столбец размерности пх1; е - вектор-столбец размерности пх1, состоящий из единиц X = {х7 }п=1 - вектор-столбец неизвестных размерности пх1.
Решение задачи квадратичного программирования. Решим задачу (2) в общем виде, т.е. считая т параметром. Множество всевозможных решений задачи (2) и будет являться искомым множеством.
Для решения (2) требуется перейди к задаче математического программирования [1]
при условиях
Е о1]х1х] тгхг ^тт
г, ]=1 1 =1
Е * = 1,
1 =1
- хг < 0,
(3)
(4)
Решением (3)-(4) будут кусочно-ломаные функции хг(Х), X е [0, +<х>) -параметр. То значение параметра X, при котором хотя бы одна из функций хг(Х) терпит излом, являются угловыми, а вектор X, состоящий из значений хг(Х), соответствующих угловому значению X - угловым вектором. Любой вектор, являющийся линейной комбинацией двух соседних угловых векторов
X = аХк + (1 - а)Хк+1, а е [0,1] принадлежит множеству решений задачи (2).
Решение задачи (3)-(4) математически сведется к решению системы
.8Ь.
8хг
■ = 0,
где
П П
Ь = ЕЕхг • х
г=11=1
] °1]
Е х = 1,
1=1
Ц • х1 = 0,
Ц, хг > 0, 1 = 1..П,
-Х'Е х1 • тг +Ц-(Е х1 - 1)• х1-
г=1 г=1 г=1
(5)
(6)
Далее построим полный алгоритм решения оптимизационной задачи (2), который необходим для дальнейшего компьютерного моделирования.
Алгоритм
1. Введем вектор М и матрицу Е так, чтобы элементы вектора удовлетворяли условию тг < тг+1, г = 1,п -1, соответственно.
2. Определяем функции по формулам
П П
= Е °цхгх1 , тр =Е тгхг ^
г, 1=1 г=1
где хг, г = 1,2,..., п, - искомые переменные.
3. Запишем функцию (6) и систему (5). Найдем решение системы (5). Для этого требуется рассмотреть т = 2П - 1 случаев. В каждом из случаев необходимо рассмотреть ц = 0 или хг = 0, но так, чтобы эти условия не выполнялись одновременно. Случай одновременного равенства нулю всех пере-
менных х7 = 0 не рассматривается в силу невыполнения условия равенства 1 суммы всех переменных.
4. В некоторых из рассмотренных случаев система не будет иметь решений. Каждому случаю, в котором система будет иметь решение, будет соответствовать промежуток для параметра X е [0, +да).
5. Числовой луч разобьется на промежутки
[X0 = 0, X1 [Х1, X2 )и ... и [Xк, + да),
на каждом из которых будут определены х^).
6. Векторы, состоящие из функций х^), вычисленных в точках Xk, к = 0, 1, ..., К, будут угловыми:
" *(0)" •КЛ) •i(X K )
X0 = _• (0). , X = Л (X K )
7. Для каждого вектора Хк (к = 0, 1, ..., К) определим значение функции тр и упорядочим векторы Хк по значениям тр в порядке возрастания. Составляя всевозможные линейные комбинации двух соседних векторов, определим значения тр и Вр. В результате чего решение исходной оптимизационной задачи получим в табличном виде.
Схема алгоритма представлена ниже (рис. 1).
Подобный алгоритм может быть общим для широкого класса задач оптимизации, встречаемых в различных областях науки.
Числовой пример. Для заданных векторов ожидаемых доходностей и матрицы ковариации
^0,461" М = 0,345 1,262
2,138 1,148 - 0,943 2 = 1,148 1,643 - 0,72 - 0,943 - 0,72 5,395
Решить задачу нахождения множества оптимальных портфелей (2).
Угловые векторы имеют структуру
"0,2839" "0,4425" "0"
Xi = 0,4464 , X2 = 0 , X3 = 0
0,2696 0,5575 1
На рис. 2 построено решение оптимизационной задачи (2). По оси абсцисс отложено значение корня квадратного из целевой функции ст = ^Dp , а
по оси ординат - значение параметра т.
Для реализации алгоритма использовалась программная среда Maple.
Рис. 1. Схема алгоритма
т
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
о
Рис. 2. Графическое представление зависимости между а и m
Выводы. Представлен алгоритм решения задачи квадратичного программирования с ограничениями, содержащими параметр, составлена его схема, иллюстрирующая реализацию алгоритма, показано его применение при решении задачи построения эффективного множества портфелей финансовых активов, построен с использованием программы Maple график зависимости между целевой функцией и параметром.
Подобный алгоритм может быть общим для широкого класса задач оптимизации с ограничениями, содержащими параметр, встречаемых в различных областях науки: технических, экономических, физико-математических.
1. Афанасьева Д.В., Бальбекова Е.А., Иваницкий А.Ю. Вероятностные модели рынка ценных бумаг. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2007. 92 с.
2. Балдин К.В., Брызгалов Н.А., Рукосуев А.В. Математическое программирование. М.: Дашков и Ко, 2013. 220 с.
3. Васильева О.Г., Игошкина Н.Г. Управление риском портфеля с помощью показателя дюрации // Вестник Российского университета кооперации. 2014. № 2. С. 116-120.
4. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: Изд-во ГУ ВШЭ,
МИКИШАНИНА ЕВГЕНИЯ АРИФЖАНОВНА - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (evaeva_84@mail.ru).
E. MIKISHANINA
ALGORITHM FOR SOLVING THE PROBLEM OF QUADRATIC PROGRAMMING WITH CONSTRAINTS, CONTAINING THE PARAMETER Key words: algorithm, block diagram, mathematical programming, optimization.
This work is devoted to the construction of an algorithm for solving the problem of quadratic programming with restrictions of the type of equations and inequalities, one of which (restriction-equality) contains a parameter. Mathematically, the solution of this
Литература
1999. 140 с.
problem is based on the modified Lagrange multiplier method, which allows parametri-cally determining the sought variables as functions of the entered parameterX Graphics of sought functions represent piecewise polyline. Those parameter X values, in which at least one of the functions suffers a fracture, will be angular, and their corresponding vectors, consisting of values of the sought functions, will be angular vectors. Angular vectors deliver a conditional extremum to the initial problem. The vector, which is a linear combination of two adjacent angular vectors, will also deliver a conditional extremum to the original problem. On the basis of the proposed computational algorithm in the form of a flowchart, a graphical solution of the problem is constructed, which can also be written in tabular form. The article provides a test example, describing the application of this algorithm in solving the applied problem of financial asset management, namely, determining the effective set of optimal portfolios in general, when the function of risk assessment associated with investing in a portfolio is minimized, and the expected return of the portfolio is equal to an arbitrary value m from a certain interval.
References
1. Afanasieva D.V., Bal'bekova E.A., Ivanickij A.Yu. Veroyatnostnye modeli rynka cennyh bumag [Probabilistic models of the securities market]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2007, 92 p.
2. Baldin K.V., Bryzgalov N.A., Rukosuev A.V. Matematicheskoe programmirovanie [Mathematical programming]. Moscow, Dashkov i Ko Publ., 2013, 220 p.
3. Vasilieva O.G., Igoshina N.G. Upravlenie riskom portfelya s pomoshch'yu pokazatelya dyuracii [Managing portfolio risk using duration]. Vestnik Rossijskogo universiteta kooperacii [Bulletin of the Russian University of cooperation], 2014, no. 2, pp. 116-120.
4. Shvedov A.S. Teoriya ehffektivnyh portfelej cennyh bumag [Theory of efficient securities portfolios]. Moscow, 1999, 140 p.
MIKISHANINA EVGENIA - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer, Department of Actuarial and Financial Mathematic, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (evaeva_84@mail.ru).
Формат цитирования: Микишанина Е.А. Алгоритм решения задачи квадратичного программирования с ограничениями, содержащими параметр // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 3. - С. 217-223.
