АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С ИСТОЧНИКОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА В КЛАССЕ БЫССТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 517.957

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 41

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С ИСТОЧНИКОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТИПА В КЛАССЕ БЫССТРОУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ

Хасанов Темур Гафуржонович, аспирант temur.xasanov.2018@mail.ru Ургенчский государственный

университет Ургенч, Узбекистан.

Аннотация. Метод обратной спектральной задачи применяется для интегрирования уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженными членами и самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих функций. Выводится эволюция данных рассеяния оператора Штурма-Лиувилля, коэффициент которого является решением уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженными членами и самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих функций.

Ключевые слова. Нагруженное уравнение Кортевега-де Фриза, оператор Штурма- Лиувилля, решения Йоста, интегральное уравнение Гельфанда- Левитана- Марченко.

ALGORITHM FOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR THE LOADED KORTEWEG-DE VRIES EQUATION WITH AN INTEGRAL TYPE SOURCE IN THE CLASS OF RAPIDLY DECREASING FUNCTIONS

Khasanov Temur Gafurjonovich, PhD student temur.xasanov.2018@mail.ru Urgench State University Urgench (Uzbekistan).

Abstract. The method of the inverse spectral problem is used to integrate the Korteweg-de Vries equation with loaded terms and a self-consistent source of integral type in the class of rapidly decreasing functions. The evolution of the scattering data of the Sturm-Liouville operator is derived, whose coefficient is a solution of the Korteweg-de Vries equation with loaded terms and a self-consistent source of integral type in the class of rapidly decreasing functions.

Keywords. Loaded Korteweg-de Vries equation, Sturm-Liouville operator, Jost solutions, integral equation Gelfand-Levitan-Marchenko.

В данной работе рассматривается система нелинейных нагруженных уравнений

вида:

д г

ut +p(t)u{xQ,0(Uxxx -6иих) + y(t)u(Xi,t)ux = 2— J t)<p(x,-ч, (1)

—г

L(t)p = rfp (2)

где

й2

и = и(х, t), ) =--- + и(X, t)

йх

и ) и у()- заданные непрерывно дифференцируемые функции, а х0,х1 е Я

^т, т = 1,2,...,N заданное вещественные число. Система нелинейных уравнений (1)-(2) рассматривается при начальном условии.

и(х,0) = и0 (х), X еЯ (3)

где начальная функция Ц)( х) обладают следующим свойствами: 1)

да

| (1 + |х|) |и0 (х) йх < да ;

(4)

й 2

2) оператор Ь(0):=—тт + и0(x), х е Я имеет ровно N отрицательных собственных

ах

значений 4(0)Л(0),..Л (0).

В рассматриваемой задаче функция р( х, ], ?) - решение уравнения (2), определяемое асимптотикой

р( х, ], I) = И], I )в~щх, при х ^да, (5)

где к(т, ^ - изначально заданная непрерывная функция, удовлетворяющая условию

| к(], t t )й]

< да

(6)

при всех неотрицательных значения t.

Пусть функции и (х, t) и р(х,], t) обладает достаточной гладкостью и достаточно быстро стремится к своими пределами при х ^ +да , так что

да

(1 + |х|)\и (х, t)| + £

: =1

д:и(х, t)

дх3

да

| |р(х,],t)|2 +|р(х,-],t)|2

+

йх < да, t > 0:

2

др( х,], t)

д]

й] < да.

(7)

(8)

У

Основная цель данной работы- получить представления для решения и(х,t), р(х,],t) задачи (1)-(8) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора

Щ.

Лемма 1. Пусть функции у( х,Д) *( х, м) соответственно являются решениями

Ьу (х, Д) = Ду (х, Д), Ьг (х, м) = м (х, Д).

Тогда справедливо равенство: й

йх

Ж {у( х, Д), 2 (х, м)} = ( Д - м) у( х, Д) х, м).

Доказательство данной леммы исходит из простых расчетов. Справедливо следующая теорема.

Теорема 1. Задание данных рассеяния однозначно определяет потенциал и (х) . Лемма 2. Справедливы следующие тождества:

да

| g2 (я, к, tX (я, t= 4к2а(к, t)Ь(-к, t) (9)

г г, ( ( .. .. , 2а(к, t Ж-к, t) t )| к2

I g (х, к, t) — (р(х, ])р(х, -])) Ох =----\-!--(10)

дх к - ]

-да »

Лемма 3. Если С определяется равенством (20), то справедливы следующие тождества

да

|Ggldx = 0, п = 1,2,...,N. (11)

-да

Доказательство. Для доказательства (36), сперва запишем его в следующем виде,

да да да да ^

I о^п^=-1 е(и( х1, t Х)^2^+21 gn21—р( х ], t )р( х -т, t )а]Ох. (12)

-да -да -да -да

Сперва вычислим первой интеграл провой части этого равенство:

да да

-(2(и( х1, t)) | ^2ах = -^(и( х1, t )иП 11 + Я(и(. х1, t)) | =

-да -да

да

= 2бО(X1, t)) I ugngndx .

-да

Отсюда, используя тождество Ьп () gn = - ^ + ugn = kngn, имеем

да да

2б(и(х, t)) | (кп^п + gn)^Ох = 2а(и(хх, t)) | (kпgngg + gngn) Ох .

-да -да

Интегрируя полученное выражение, имеем следующее:

да

Ши^ 0) I (к2 gng'g + g;g;) Ох=0(и(хг, о)к2 g22|да - е^,t))g

= 0.

Теперь изучим второй интеграл правой части (37):

- д " дх

| g22 — Р(x, ]t)Р(x, -T, t) = | [р(x, ])g Ж {gn, Р(x, -])} +

Р( x, -]) g Ж К, Р( x, ])}] Ох = 1 Ж {g п ,р( х,])}Ж {g п ,р( х, -])}

К-]

да

= 0

поэтому

ОД-= 0 .

dt

Основным результатом работы является следующая теорема.

да

Теорема 2. Если функции и(х, г), <(х,ц, г), т = 1, N, х е г > 0 является решением задачи (1)-(8), то данные рассеяния {г+ (к, г),Лп(г),Вп(г), п = 1,N1 оператора Ь(г) с потенциалом и(х, г) , удовлетворить следующим дифференциальным уравнениям

dAj (t)

= О

dr +(к, t) dt

dBn (t) dt

dt

^ „ л ^ . л

r + (к, t)

J

8ik2p(t)u(x, t) — 2iky(t)u(x, t) — 2i^V.p. J ^^L d^ — 2ж\h(k)|2

J л — к

—г '

*xlP(t)u(x0, t) + 2Zny(t)u(x1, t) — ^ J d4

2 —г л +X2

Bn(t), n = 1,2,3,...,N

J

Замечание. Полученные соотношения полностью определяют эволюцию данных рассеяния для оператора Ь(г) и тем самым дают возможность применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (1)-(8).

Пусть задана функция и0(х) (1 + |х|) е Ь(К). Тогда решение задачи (1)-(8) находится с помощью следующего алгоритма.

• Решаем прямую задачу рассеяния с начальной функцией ио(х) получаем данные рассеяния {г+ (к), %п, Вп, п = 1, N| для оператора Ь(0).

• Используя теорему 2, находим данные рассеяния для г > 0

{г+ (к, г), х„ (г), Вп (г \ п = 1N}.

• Используя метод, опирающийся на интегрального уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко, решаем обратную задачу рассеяния, т.е. находим и(х, г) из данных рассеяния для г > 0, полученных на предыдущем шаге. После этого легко найти решение <(х,ц,?) уравнения

Ь(г)<т(х,ц,г) := -<(х,ц,г)+и(х,г)<(х,ц,г) = Х<п(х,ц,г), т=1,2,...,N.

Литература

1. Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. Задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических бесконечнозонных функций. Записки научных семинаров ПОМИ. т. 506, стр. 258-278 (2021).

2. Hasanov A.B., Hoitmetov U.A. On integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions. Proceeding of the Institute of Math. And Mechan. National academy of sciences of Azerbaijan. Vol., 47, №2, 2021, p. 250-261.

3. Хоитметов У.А. Интегрирование нагруженного уравнения КдФ с самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих комплекснозначных функций. Математические труды. .т. 24, №2, стр. 181-198 (2021).

4. Хасанов А.Б., Хасанов Т.Г. Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженным членом и источником. Сиб. журн. индустр. матем., 2022, 25:2, 127-142

5. M.S.Osman, K.U.Tariq, A.Bekir, A.Elmoasry, N.S.Elazab, M.Younis, M.Abdel-Aty. Investigtion of soliton solutions with different wave structures to the (2+1)-dimensional Heisenberg ferromagnetic spin chain equation. Commun. in Theory. Phys., 72:3, (2020), 035002.

6. D.Lu, K.U.Tariq, M.S.Osman, D.Baleanu, M.Younis, M.M.A.Khater. New analytical wave structures for the (3+1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili and the generalized Boussinesq models and their applications. Results Phys., 14, (2019), 102491.