ИНТЕГРИРОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА  ДЕ ФРИЗА С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 3, С. 123-142

УДК 517.957

DOI 10.46698/q2165-6700-0718-r

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИЗА С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ

Ш. К. Собиров1, У. А. Хоитметов1

1 Ургенчский государственный университет, Узбекистан, 220100, Ургенч, ул. Х. Алимджана, 14 E-mail: x_umid@mail.ru, shexzod1994@mail.ru

Аннотация. В данной работе рассматривается задача Коши для модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с зависящими от времени коэффициентами и самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций. Для решения поставленной задачи используется метод обратной задачи теории рассеяния. Найдены пары Лакса, что позволит применить метод обратной задачи рассеяния для решения поставленной задачи Коши. Отметим, что в рассматриваемом случае оператор Дирака не является самосопряженным, поэтому собственные значения могут быть кратными. Найдены уравнения динамики изменения во времени данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака с потенциалом, являющимся решением модифицированного уравнения Кортеве-га — де Фриза с переменными коэффициентами, зависящими от времени и с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций. Рассмотрен особый случай модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с переменными коэффициентами, зависящими от времени, и самосогласованным источником, а именно нагруженное модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза с самосогласованным источником. Найдены уравнения динамики изменения во времени данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака с потенциалом, являющимся решением нагруженного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с переменными коэффициентами в классе быстроубывающих функций. Приведены примеры, иллюстрирующие применение полученных результатов.

Ключевые слова: нагруженное модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза, решения Йоста, данные рассеяния, интегральное уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко. AMS Subject Classification: 34L25, 35P25, 47A40, 37K15.

Образец цитирования: Собиров Ш. К., Хоитметов У. А. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с зависящими от времени коэффициентами и с самосогласованным источником // Владикавк. мат. журн.—2023.—Т. 25, вып. 3.—С. 123-142. DOI: 10.46698/q2165-6700-0718-r.

1. Введение

В 1965 г. Н. Забуски и М. Крускал [1], экспериментируя с численным решением уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), открыли солитон и дали ему название. Но действительный «прорыв» произошел в 1967 году, когда американские ученые К. Гарднер, И. Грин, М. Крускал и Р. Миура [2] предложили метод спектрального преобразования, как метод решения задачи Коши для уравнения КдФ. Вскоре после этого П. Лакс [3] показал общий характер этого метода, что очень повлияло на будущие исследования.

© 2023 Собиров Ш. К., Хоитметов У. А.

Несколько лет спустя В. Е. Захаров и А. Б. Шабат [4] путем нетривиального распространения методов ГГКМ и Лакса смогли решить задачу Коши для другого важного нелинейного эволюционного уравнения, так называемого нелинейного уравнения Шре-дингера. Тем самым был открыт путь для поиска и открытия некоторых других нелинейных эволюционных уравнений, разрешаемых этим методом.

Вскоре М. Вадати [5] представил метод решения модифицированного уравнения Кор-тевега — де Фриза

щ ± 6и их + иххх = 0,

встречающегося при решении некоторых задач физики плазмы.

Уравнение мКдФ используется во многих областях, включая альфвеновские волны в бесстолкновительной плазме [6], тонкие упругие стержни [7] и т.д. Существует также много результатов об уравнении мКдФ [8-15] благодаря его простому выражению и богатым физическим приложениям. При поиске точных решений уравнения мКдФ ученые наряду с методом обратной задачи рассеяния использовали также такие методы, как двухлинейный подход Хироты [16], метод коммутации (связи) [17] и др.

Важно также изучение нелинейных волновых уравнений с переменными коэффициентами. Недавно К. Прадхан и П. К. Паниграхи [18] изучили модифицированное уравнение КдФ с переменными коэффициентами

щ + а(г)их - в(£)и2их + 7(^)иххх = 0.

В работе [19] модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза (мКдФ) с переменными коэффициентами исследуется с помощью двух подходов и символьных вычислений, а также получены множество типов точных решений с двумя разными бегущими волнообразными переменными.

В данной работе рассматривается следующая система уравнений:

N тк-1

■иг + р(£)(6и2 их + иххх) + Я^)их = 2 ^ ^ 3-1 19^1 -1-3 - 9к 2 9*2°-1-3

где

к=1 3=0

= £к9°, = £к9к + ;'9к-1, 1т £к > 0,

9к € Ь2(-ж, то), к = 1,..., N ] = 0,... ,тк - 1,

Ш ~и{х,1) \ , _ , .. ,■ , п1 _ п\

(1)

91={911{хЛ91^)), С1п =

(п - 1)111'

9° = (9°1(ж,^),9о2(ж,^^Т — собственная вектор-функция оператора Ь(Ь), соответствующая собственному значению £к (1т £к > 0) кратности тк, к = 1,..., N, а р(Ь) и — заданные непрерывно дифференцируемые функции. Предполагается, что

те

1 у / {9ТГ19ТГ1-1+9ГГ19ТГ1-1)Лх = Актк_1_1(1), (2)

(тк - 1 - I)

—те

где — изначально заданные непрерывные функции, I = 0,..., тк - 1. Урав-

нение (1) рассматривается при начальном условии

и(х, 0) = и0(х), х € М. (3)

В рассматриваемой задаче начальная функция и0(х), —то < х < то, обладает следующими свойствами:

те

1) Г

/ (1 + |х|) |«о(ж)|^ж < то. (4)

—те

(А- _■)/ (/(Л \

Лх, . имеет ровно 2И собственных значений

~и0{х) -ш )

£1(0), £2(0),... , £2N(0) с кратностями Ш1(0),Ш2(0),..., ш2м(0) и не имеет спектральных особенностей.

Предположим, что функция и(х, ¿) обладает требуемой гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при х ^ ±то, т. е.

/ ((1 + |ж|)Нж,*)^ 9ки{х^

к= 1

дхк

^х < то. (5)

Основная цель данной работы — получить представления для решения и(х, £), дк(х, ¿), к = 1,..., N ] = 0,..., Шк — 1, задачи (1)-(5) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора

2. Необходимые сведения

Рассмотрим систему уравнений Дирака на всей оси (—то < х < то)

+ = и(х)^2, (6)

\-V2x — ¿£^2 = — «(х)^1

с потенциалом и(х), удовлетворяющим условию (4). Видно, что с помощью оператора / А. -и(х) \

Ь = г ^ ЛХ( ) <2 у и вект0Р-функЦий V = (^1,^2) систему (6) можно переписать в

виде ¿V = Система уравнений (6) имеет решений Йоста со следующими асимптотиками:

ФЛ) ~ ( I ^(ж,£) - ( Д 1т £ = 0, ж —>■ —то;

п _ 1 (7)

~ ( " ~ ( 0 1т£ = 0, ж —>■ то.

Отметим, что ф(ф) не является комплексным сопряжением к

При действительных £ пары вектор-функций и {ф,ф} являются парами линей-

но независимых решений для системы уравнений (6). Поэтому имеют место следующие соотношения: _ _

(р = а(0Ф + Ь(0Ф, \ тр = -а(ЛУр + Ъ{£)ч>,

ф = -а(0Ф + КОФ, / ' Ф= 40<р + 6(£Ж / ' (8)

где а(£) = \¥ {<р,ф}, Ь(£) = }¥ {ф,(р}. Верны следующие равенства

ке)|2 + |б(е)|2 = 1, вд = а(-о, б(о = б(-о.

Коэффициенты а(£) и 6(£) непрерывны при 1т £ = 0 и удовлетворяют асимптотическим равенствам

а(£) = 1 + О (|£| —1) , 6(£)= О (|£| —1) , |£И то.

—те

Невещественные нули |£к}^=1 функции а(£) являются собственными значениями оператора Ь(Ь) в верхней полуплоскости 1т £ > 0. Собственные значения оператора Ь(Ь) в нижней полуплоскости 1т £ < 0 совпадают с нулями функции а(£). Итак, множество {£к, —£к}^=1 является собственными значениями оператора Ь(1), и других собственных значений этот оператор не имеет. Требование отсутствия спектральных особенностей несамосопряженного оператора Ь(0) означает отсутствие действительных нулей у функции а(£), т. е. а(£) = 0, £ € М.

Определение 1. Функции

М д3

, в = 1,..., тк - 1,

называются присоединенными функциями к собственной функции ф(х,£к).

Аналогично определяются присоединенные функции к собственной функции ф(х,£к). Собственные и присоединенные функции удовлетворяют уравнениям

(з) (з) (3-1) (0)

IV (х,£к)= £к V (х,£к)+ в V (х,£к); V (х,£к) = ф,£к), к = 1,...,Ж, в = 0,..., тк - 1.

Существует такая цепочка чисел {хо ,Х{,... ,Хтк-1}, что имеют место соотношения [20] (1) ^ I. I! (и)

= Ф(х,£к), к = 1 = 0,...,тк-1.

и=0 !

Последовательность чисел {х0, Хк,..., Хт,кбудем называть нормировочной цепочкой оператора Ь.

Для функции ф(х,£) справедливо (см. [21, с. 33]) следующее интегральное представление:

те

^,О = (01 У«' + ! К (х,в) (9)

х

где К (х,в) = (К1(х, в), К2(х, в))Т. В представлении (9) ядро К (х,у) не зависит от £ и имеет место равенство

и (х) = -2К1 (х,х) . (10)

Компоненты ядра К (х, у) представлении (9) при у > х являются решениями системы интегральных уравнений Гельфанда — Левитана — Марченко

те

К2(х,у) + ! К1 (х, в)Е(в + у) йв = 0,

х

те

-К1(х, у) + Е(х + у) + ! К2(х, в)Е(в + у) йв = 0,

(11)

где

те

N тк-1

1 Г " 1 И'

1 1 + (С\^г1С лХ^ Х^ „к 1 а

-те

к=1 V=0

(* - £к)т Л

а(г)

ггх

а(г) — аналитическое продолжение функции а(£) (1т £ = 0) в верхнюю полуплоскость 1т г > 0, которое определяется по формуле

т,

3

Теперь потенциал и(ж) определяется из равенства (10). Определение 2. Набор величин

{г+(£), £ € М; £к, 1т £к > 0; , к = = 0,..., Шк - 1}

называется данными рассеяния для системы (6). Справедлива следующая теорема (см. [22, §6.2]).

Теорема 1. Данные рассеяния оператора Ь однозначно определяют Ь.

Лемма 1. Пусть вектор-функции <^(ж, £), (ж, Ь), в = 0,..., Шк — 1, являются решениями следующих уравнений:

Ь(Ь)^ = Ь(ЬМ = £кд| + вд ^^ в = 0,..., ш к — 1

тогда справедливы равенства

б

~ 9к2<Р1) = КС ~ Ы (9к\Ч>2 + ЯмЫ - ^ + 9ш V) ,

б

+^2^2) = -¿(£ + 60(^1 -гв (^Г1^ ,

в = 0,..., ш к — 1. Эта лемма доказывается непосредственной проверкой.

Следствие 1. При выполнении условий леммы 1 справедливы следующие равенства:

9%1<р 1 - ^2 = г ± + , (12)

а при £ = £к

9к№ + = ~г Е ' * = 0,..., т* - 1, (13)

где V {/, д} = /1дх + /2д2.

Следствие 2. Справедливы следующие равенства:

5-1(га)/ г ч . 5-1(га)/ г ч П / 8 (га-1) , 8 (га-1), г ч

9к1 ^2{х,Ш+9к2 VIIх,Ш = - ( 9к1 ¥2 {х,Ш+9к2 VI

2 б Г (га) 1

3. Эволюция данных рассеяния

Пусть потенциал и(х, Ь) в системе уравнений ЬУ = £У является решением уравнения

иг + р(Ь)(иххх + 6и2их) = С(х,Ь), (14)

где

N тк-1

С(х,Ь) = -д(Ь)их(х,Ь)+2 £ £ 3-1 (319ТГ1-3 - 93к29ТГ1-3

к=1 3=0

Оператор

л = р(Ь)1 -4ъ£3 + 2ги2£ 4и£2 + 2гих£ - 2и3 - (1 5)

А = Р(1)\ -4и£2 + 2гих£ + 2и3 + ихх 4г£3 - 2ги2£ 1 (15)

удовлетворяет соотношению Лакса

■2и

0

[Ь,А] = ЬА - АЬ = гр(Ь)( ( 2 0 И иххх)

-6 2 х - ххх 0

Поэтому уравнение (14) можно переписать в виде

Ьг + [Ь,А]= гК, (16)

где К = ^ ^ 0С ). Дифференцируя равенство Ьv = £р относительно Ь, учиты-

0 -С -С 0

вая (16), имеем (Ь - £)(рг - Av) = -гКр. Используя метод вариации постоянных, можно записать

VI - Av = В(х)ф + Б(х)р. (17)

Тогда для определения В(х) и Б(х) получаем

ЫВхф + ЫБхр = -Кр, (18)

где Ы = ^ ^ 01 Для решения уравнения (18) вводим следующие обозначения:

р = ( р2 р1 )Т, ф = ( ф2 ф1 )Т. Согласно (15) и определению вронскиана справедливы следующие равенства:

фТЫр = -рТ Ыф = а, фтЫф = рТЫр = 0.

Умножая (18) на р и фт, получаем

= А, = (19)

аа

Согласно (15), при х ^ -то имеем

Рг - Ар ^ ( 4г£^ ) х,

поэтому, на основании (17), имеем D (ж) — 4i£3p(i), B(ж) — 0 при ж — —то. Следовательно, из (19) можно определить

x x

D(ж) = -i J фт Ripdx + 4iÇ3p(t), B(x) = i J фт Ripdx.

— X — X

Таким образом, равенство (17) имеет следующий вид:

x /X \

<pt-A<p = ^ J фтП(р dxip+l~ J фтR(pdx + 4iÇ3p(t) j (p. (20)

Предположим, что справедливо равенство

N

M (^1 + ^2) = £(МЫ + Mk2), (21)

k=1

где

N mfc — 1

M = 2 £ £ j—1 (gk 1 gfc7—1—j — gk^

fc=i j=0

Сделаем следующие вычисления:

j mk — 1—j j mk — 1—jN

2 (gk 1gm1k 1 j — gk 2 gm2k 1 j) + ^2)

1

= 23 дт1к-1-3 — 2дк2 д;-1-3 <^2 ^2 — 2дк2 д;к-1-3 <£1^1 + 2д3! д;-1-3 ^2 ^2

= (дк 1^1 + дк2^) (д;1к-1-3 - д;-1-3 ^2) + (дк 1^1— дк 2 ^2) (д^-1-3 + д; -1-3 ^2) + (дк 1^2 + дк2^1) (д;1к-1-3^2- д^-1-3^1) +(дк 1^2- дк2^1) (д^-1-3^2 + д^ -1-3^1) .

Откуда имеем

тк-1

Мк1 = £ 3-1 (дк 1^1 + дк2^2) (д;к-1-3- д£к-1-3

3=0

тк-1

+ £ 3-1 (д31^1 - дк2^2) (дтг-1-3^ + дт2-1-3.

3=0

Это равенство, исходя из равенства (13), можно записать в следующем виде:

mk — 1

Mk1 = £ Cmk — 1 j=0

mk — 1

+ £ CCmk — 1 j=0

mk—1—j

Легко показать, что в правой части последнего равенства коэффициенты при у{9к><Р}шу{9к>/Ф} и у{9ЬгФ)шу{9к^}1 0 + одинаковые, поэтому Мк\

есть линейная комбинация выражений вида ^ (V {/£, ■0} V <£>}), О ^ г + д ^ Шк — 1,

т. е. справедливо следующее: 3—0 з—0

Аналогичном образом можно показать справедливость следующего тождества для Ык2:

V К""'"-'}* К*» ■(23)

Точно так же, если снова воспользуемся вышеуказанным методом, получим равенство

N

Ыр + =^2(Нк1 + нк2), к=1

где

тк-1тк-1-3 , , , Л. ,

ть-1 тк-1-3 , , ,

Лемма 2. Если вектор-функции р = ( Р1 (х,£) ) и ф = ( ф1 (х,£) ) являются

\Р2 (х,£)) \ф2 (х,£) )

решениями уравнения (6), то для их компонент выполняются равенства

те

У С (р1ф1 + р2ф2) йх = 0, (24)

1

-те

+те

( 2 2

J С{р\ + йх = 2г£д(Ь)а(£)Ь(£). (25)

-те

< Для доказательства справедливости тождество (24) нам требуется вычислить следующий интеграл:

+те +те +те

У С (р1ф1 + р2ф2) йх = -д(Ь) ! их (р1ф1 + р2ф2) йх + ! Ы (р1ф1 + р2ф2) йх.

х

-те

Сначала вычислим первый интеграл в правой части последнего равенства. Действительно, используя формулы (5), (6), (7) и (8), можем выполнить следующие вычисления:

+те

Я

Я

-д(Ь) их(р1 ф1 + р2ф2) йх = - Ит д(Ь) \и(х,Ь)(р1ф1 + р2ф2)] I] Я^те -те

те

+ д(Ь) ! и (р[ф1 + р1ф1 + р2ф2 + р2ф2) йх = - Я1ште д(Ь) [и(х, Ь)(р1 ф1 + р2ф2)] I-

-те

-те

-те

оо

+ q(i) У [^(-02 + ¿£02) + 0'(V2 + ¿£^>2) + (0i + ¿£01) + 02(^1 + ¿£^1)] dx

— о

= - lim q(t) [u(x,i)(^i0i + ^202Л I—R + i£q(i) / (^102 + ^20i)' dx = 0. Д^о R J

-о

Теперь нам нужно вычислить интеграл

У M (^101 + ^202) dx.

-о

Используя равенства (21), (22) и (23), получим

i0i

У M (^101 + ^202) dx = 0.

Согласно последним тождествам, мы можем получить следующее равенство:

+те

У С (^101 + ^202) бж = 0.

-те

Для доказательства справедливости тождества (25) требуется вычислить интеграл

+те +те +те

У С^ + ^2) бж = - I + ^2) бж + У М (^ + ^2) бж.

-те -те -те

Сначала вычислим первый интеграл в правой части последнего равенства

те те

- I (р? + ^2) бж = -9С0 У + ^2) би = - д(Ь)и (р2 + р2)|!°те

-те -те

те те

+ 9(Ь) У и (^1 + Р2)' бж = 2д(Ь) У + «Р2Р2) бж

-те -те

те

= 2д(*)У [(+ ¿£^2) + ¿Ы бж = 2г£д(Ь) ^(^Ы^я =22£д(Ь)а(£)Ь(£).

-те

Справедливость равенства

те

У м (^2 + р2) бж = 0

-те

показывается так же, как и выше. Таким образом, получим равенство

те

I' С (р2 + р2) бж = 2г£д(*)а(£Ж£). >

— ОО

— о

Перейдем к нахождению эволюции нормировочной цепочки {хо,Х1 ... ,Хтк-1}, соответствующей собственному значению £п, п = 1,...,Ы. Для этого перепишем равенство (20) в виде

&-А<р = Ц У С (<р11р1 + р)2ф2) Лх<р — J в (<р1 + <р$) <1х гр \ + И£3р(г)<р. (26)

\—гчл —гчл '

Учитывая вид а(£) и равенство (12), получаем

тк-1

/ Ык1 йхр - Нк1 йхф = а(£) £ С3тк-1 I (д^ 1 3р1 - дк2 1 3р^ йхдк,

-те -те =0 -те

где дк = (32, -дк 1) . Точно так же, применяя равенство (13), получим равенство

х х т^^к _ 1 х

J Ык2 йхр - J Нк2 йхф = а(£) £ С3тк-1 ! (д*-1-3 р2 + дк2-1-3 р^ йхд3к.

-те

3=0

На основании вышеизложенного, равенство (26) можно переписать в следующем виде:

N тк-1 х

к Г , . ч

рг- ар = £ £ 3-1 [дкл -1-3 р1 - дт2-1-3 р2) йхдк

к=1 3=0 -те

(х х \

-д(Ь) ! их((ргфг + <1х<р - д(Ь) ^ их((р\ + <р2) йх ф \

-те -те

N тк-1 х

+ £ £ 3-1 (дк?-1-3 р2+дтг1-3 рО йхд3+щзр®р.

и 1 л_г\ ^

к=1 3=0

Дифференцируя это равенство тп - 1 раз по £ и полагая £ = £п, получим д (т<Р-1 , (т„-1) (т„-2) (тп - 1)(тп - 2) (т„-3)

——--Л) ~{тп - 1)А1 <рп----А2

(тп - 1)(тп - 2)(тп - 3) (тп-4)

А3 <рп = К^х) + К2{х)

6

+ Е1 С3тп-, / (дт-1-3 ^ +дтг1-3 (тфпг^ йхд3 + 4г£3пр(Ь) (тф--1)

3=0 4о 4 7 (27)

+ 12г£1 (тп - 1)р(Ь) п +12г£п(т,п - 1)(тп - 2)р(Ь) трп + 4г(тп - 1)(тп - 2)(т,п - 3)р(Ь) ^Ир-4

+ д(Ь) I -^-Т I - 2г£пд(Ь)( ^тр-1)1 - 2г(тп - 1)д(Ь) ( ^-2) 1 ,

где А1 = ^А

( тр - 1)

р1п ) \ р 2п ) \ р2п

, I = 0,1, 2, 3,

?=?п

х

N mk — 1 • Г ( • (rnn-1) • (mn —1)\

R1(x) = £ £ Cmk — 1 / ig" —1—j gfc?—1—j ^2 ) dxgk,

N mk — 1 x ( ( 1) ( 1)4

R2(x) = £ £ Cmk — 1 / (gm1k — 1—j "«2 +gm2k — 1—j "«1 ) dxgk.

k=1, j=0 —0 V 7 fc=1

Заметим, что согласно (12) и (13)

lim R1(x) = lim R2(x) = 0.

Используя следствие 1 леммы 1, можно показать, что

m—1 X / / -п /

Ii 1 • I m „ — Ii 1 • i m „ — I i \

j

С f ^mt — 1—j (m —1) +gmk — 1—j (m — 1Л dxgj

Cmn — 1 / I gn1 +g„2 I dxg«

j=0 о

in — 1 X / . Л . лч mn— 1

E j—1 / (g«r 1(тй—j) +gmr1(тй—j)) dxg« + £ E (x)j,

(28)

где Ej (x) есть линейная комбинация выражений вида W {g«, (Vi } (r — q = j), и поэтому

(s)

lim Ej(x) = 0. Согласно определению функций g« и s = 0,..., mn — 1, существуют

числа d0, d1,..., dmn—1 такие, что

j

(s)

gj = £ Cf dj—s j = 0,... ,mn — 1.

s=0

Поэтому мы можем выполнить следующие вычисления:

"г1 С / — 1 (m?/—1 —j) igm — 1 (m?/—1 —jЛ dxgj

Cmn — 1 / Ign1 +gn2 ) dxgn

j=0

=0 о

^^ _1 x j

= E j—J (g„mr1(тй—j) +g„m2"—1(mFn1rj 4 dx £ Cj dj—s к

j=0 о s=0

mn— 1 mn— 1 X / . Л . лч . .

= E E cm„—1С/ dj—a (g„mr^j) +gm—1(т^—j 4 dx К

s=0 j=s о

"e cm„—/ "E s cm „—1—s dm„—1——, / (gm—^ +gm—dx) й

s=0 V fc=0 —о 4 7 /

mn —1 X (s)

= E c"n—1 ■ / (gni 1gmn 1 s+gmn 1gni 1 s)dx с«.

„_n «/

Таким образом, согласно (27) равенство (28) можно переписать в виде

д(тр-1 . (тр-1) , л, . (тр-2) (тп - 1)(тп - 2) (т„-п)

——--Л) (£>„ -{тп - 1)А1 <рп----А2

(т

т„-1

х

(тп - 1)(тп - 2)(тп - 3) (тп-4)

--р.-Аз Рп

6

т„-1т„-1-8 , М , А ■ ¿3 (тр-1)

Е стп-1 [ (дтр^дт--1-3 + д^^дтг-1-3) йх $+4г£Пр(ь)

«=0

-те

+ 12г£п (т п-

1)Р(Ь) рп +12г£п(тп - 1)(тп - 2)р(ь) рп

(т -4) т -1 3

+ 4г(тп - 1)(тп - 2)(тп - 3)р(Ь) рп +К1(х) + К2(х) + £ Qk(х)дп

3=1

( _(тп-1) \ / 0 \ / 0

+ д(Ь) ( (т I - 2г£пд(Ь)\ (тп-1) - 2г(тп - 1)д(Ь)\ т-2)

\(<Р1п) \ р2п ) \ р2п

Используя (5), (2), (27), (28), перейдем в последнем равенстве к переделу при х ^ то. Приравнивая коэффициенты при ^ 0 ^(гх)1 ■ ег^пх, I = тп - 1,тп - 2,..., 0, получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

й%п° = (щЫ) - Щпч®+т)) хо,

йЬ

= (8- 2г£пд{1) + А^)) + (24г£1р{1) - 2гд{1) + Хо,

Ь

= {ЩпР^) ~ Щпд{1) + х™ + (24г£1р(1) - 2гд{1) + АЩ))

^ = ~ ^Ш) + А^)) $ + (24г&

+ (24г£пр(Ь)+ Ап(Ь)) хп,

^ = (8гйр^) ~ Щпд(1) + + (24г£1р{1) - 2гд{1) + Х2

+ (24г£пр(Ь) + Ап(Ь)) хп + (8гр(Ь) + Ап(Ь)) хп, ^ = (8г£р(*) " 2г£пд{Ь) + А^)) Х? + (24г£1р{Ь) - 21£пд{1) + Х?-1 (29)

1-4

+ (24г£пр(Ь) + Ап(Ь)) х1-2 + (8гр(Ь) + Ап(Ь)) х- + £ А1-3(1)хп3,

в=0

п = 1,2,...,Ы, I = 4, 5,...,тп - 1.

Теперь приступим к вычислению эволюций г+(£) и £3, ] = 1,...,Ы. Согласно (8), равенство (20) можно переписать виде

х / х \

агф + Ъгф- А (аф + Ъф) = ^ J фТПер йхф+ | J фтЯр йх + 4г £3р(Ь) | (аф + Ъф)

Переходя в последнем равенстве к пределу при х — и учитывая (15), можем вывести следующие равенства:

те тете

(Н = ~ I фТЕ(р(1х, Ьг = ^ I фТК(р(1х - ^ У + 8г^3р(ф. (30)

те те те

Следовательно, при 1т £ = 0 можем вывести выражение

те 1 Г

^ = 8г - ^ у С + <1х. (31)

те

Лемма 3. Собственные значения и функция рассеяния оператора Ь меняются по £ следующим образом:

(£) = (0), &(£) = &(0), к = 1,...,Ж, (32)

— = (8гер(Ь) - 2гШ) г+, 1т£ = 0. (33)

< Согласно равенствам (30) и (24) имеем а = 0. Поэтому справедливы следующие выражения: = (0), (£) = (0), к = 1,...,Ж. Учитывая (25), из (31) легко

получаем тождество (33). >

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Если система функций и(х, £), (х, £), к = 1,..., N, ] = 0,..., — 1, является решением задачи (1)—(5), то данные рассеяния несамосопряженного оператора Ь(£) с потенциалом и(х,£) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (29), (32) и (33).

Замечание 1. Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (1)-(5).

Пусть задана функция и0(х), удовлетворяющая условию (4). Тогда решение задачи (1)-(5) находится по следующему алгоритму.

• Решаем прямую задачу рассеяния с начальной функцией ио(х) и получаем данные рассеяния

{г+ (£,0) , £ € М; 6(0), 1т& > 0; (0), к = 1,...,^ ; =0,...,ш* — 1 }

для оператора Ь(0).

• Используя результаты теоремы 2, находим данные рассеяния при £ > 0:

{г+ (£,£) ,£ € М; &(£), 1т& > 0; (*), к = 1,...,^; = 0,...,шл — 1}.

• Методом, основанным на интегральном уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко, решается обратная задача рассеяния, т. е. находим единственную (согласно теореме 1) и(х, £) по данным рассеяния при £ > 0, полученным на предыдущем шаге.

• После этого решаем прямую задачу для оператора Ь(£) с потенциалом и(х, £) и находим функции (х, £), к = 1,..., N, ] =0,1,..., ш^- — 1.

Приведем пример, иллюстрирующий применение этого алгоритма.

Пример 1. Рассмотрим задачу Коши

где

и + р(£)(6и2+ иЖхх) + 9(£)иж = 2 (д2^ — дУ ,

2 (34)

е—24(4+4) е—24(4+4) е—84—242

?>(*) = 1--32-> д(*) = 2*--д-, J 911912 бх = А1^) =

8 , ] 4

-те

Нетрудно найти данные рассеяния оператора Ь(0) : {г+(0) = 0, £1(0) = г, Хо(0) = 2г}. Согласно теореме 2, эволюция данных теории рассеяния выглядит следующим образом:

£1(£)= £1(0)= г, г+(£) = 0, х1(£) = 2ге-8^2.

Следовательно, Е(х) = 2е-ж-84-2*2. Решая систему интегральных уравнений (11), получим

2е—х —У+84+242 К1 (х,у) = х е_4ж+164+442 •

Откуда находим решение задачи Коши (34):

2 е—3х+84+242 е—х

= -тгттп:—^—9п(х,г) = —————ди(х,г) =

еИ(2х — 8£ — 2£2)' 1 + е—'4х+ш+442' ' 7 1 + е—4х+ш+4*2

4. Нагруженное уравнение мКФ с источником

В работах А. М. Нахушева [23] дается наиболее общее определение нагруженных уравнений и проводится подробная классификация различных нагруженных уравнений. Среди работ, посвященных нагруженным уравнениям, следует особо отметить работы [24-31].

Перейдем теперь к рассмотрению особого случая уравнения (1), а именно, рассмотрим нагруженное модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза с источником:

и + Р(и(хо, £)) (би2Их + Иххх) + ^(и(х1, £))их

^ —1 , ч (35)

=—1—^ „з „т—1—А (35)

2£ £ — 1 (д11дт1к 1 ^ — д/с2^ 1

&=1 3=0

где Р(у) и полиномы от у и г соответственно. Уравнение (35) не является частным случаем уравнения (1), так как в уравнении (35) коэффициенты зависят от значения решения на многообразии меньшей размерности. Если в задаче (1)-(5) вместо уравнении (1) рассмотрим уравнение (35), то справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если система функций и(х, £), д^(х, £), к = 1,..., N, ] = 0,..., — 1, является решением задачи (35)+(2)—(5), то данные рассеяния оператора Ь(£) с потенциалом и(х, £) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

(£)= (0), &(*) = &(0), к = 1,..., N

+ [24г£П Р (и(хо,£)) — 2гд(и(хь*)) + А?(*)]хо, = [8г£П Р (и(хо,£)) — 2г£„ д(и(хь£)) + ЛП(*)]хП

_ Го^З

+ [24г£2 Р (и(хо,£)) — 2г^(и(х1 ,£)) + А?(*)] хП + [24г£„ Р (и(хо,£)) + А£(*)] хП,

^ = [8г£Р(и(Жо,*)) - 2гШ<хъ1)) + + [24г£2 Р (и(хо,£)) — 2гд(и(х1 ,£)) + А?(*)]хП + [24г£га Р (и(хо ,£)) + (£)]хП + [8гР (и(хо ,£)) + А?(*)]хо,

+ [24г£2 Р (и(хо,£)) — 2г£„ д(и(хь*)) + А?(*)] хГ—1 + [24г£п Р (и(хо,£)) + А£(*)] хГ—2

1—4

+ [8гР(и(хо,£))+ А?(*)]хГ—з + £А?— в(£)х?, п = 1,...,^ I = 4,...,ш„ — 1.

«=о

Рассмотрим два примера, иллюстрирующих справедливость полученных результатов для нагруженного модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза с источником.

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши

и + 6и2их + иххх + 7(£)и(0, £)их = 2 (д21 — д^) ,

2

1^91 =£191] и(х, 0) =—

еИ 2х' где

+те

/е—2\ Г 1

7(*) = (-д-) сЬ 94, I 9п 912 бх = А10{1) = -е"94

(36)

Как и в примере 1, данные рассеяния оператора Ь(0) имеют вид: {г+(0) = 0, £1(0) = г, хо(0) = 2г}. Согласно теореме 3, имеем £1(£) = £1(0) = г, г+(£) = 0, х°(£) = 2гем(г), где

г г

= 8£ + 2 У 7(т)и(0, т) ¿т + 2 J Ао(т) ¿т. (37)

оо

Следовательно, Е(х) = 2е—х+^(г). Решая систему интегральных уравнений (11), можно получить

2е—х—

1 + е-4х+2М*)-

—те

Используя последнее равенство и формулу (10), получаем

2

~ ~сЪ(2х - Ж))'

Если в последнем равенстве подставим х = 0, то, учитывая (37), имеем следующую задачу:

АО) = о.

Учитывая (36), находим решение этой задачи ц,(Ь) = 9Ь. В результате решение рассматриваемой задачи выражается следующим образом:

2 ^-Зх+яг р—х

и (ж> *) = -¡Та ) 9п(х, *) = -, , „-АГ+Ш> ¿) =

ch(2x - 9t) У v ' у 1 + e-4x+l8V у v ' ' 1 + е-4х+ш' Пример 3. Рассмотрим задачу Коши

ut + fi(t)u(1, t)(6u2Ux + Uxxx) + Y(t)u(0, t)ux = 2 (gh - gf2) , Lgi=£igi; u(x,o) =—

ch 2x

где

1 _31

x « сЬ(Ш + (i + 2)2e2t+4") ch (щ]

4 ' 16(t + 2)2' ,v ' 8(t + 2)2

Решение данной задачи имеет вид

g Зж 2t+4

ц0М) = ~сЬ (2х + ^У 9n(x,t)= gu(x,t) =

cn -+- 2t+i) 1 + e 4+2 1 + e 4+2

Литература

1. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collislontess plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett.-1965.-Vol. 15, № 6.-P. 240-243.

2. Gardner C. S., Greene I. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett.-1967.-Vol. 19.-P. 1095-1097.

3. Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math.-1968.-Vol. 21, № 5.-P. 467-490. DOI: 10.1002/cpa.3160210503.

4. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Журн. эксперим. и теор. физики.—1971.—Т. 61.—С. 118-134.

5. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan.— 1972.-Vol. 32.—P. 1681. DOI: 10.1143/JPSJ.32.1681.

6. Khater A. H., El-Kalaawy O. H., Callebaut D. K. Backlund transformations and exact solutions for Alfven solitons in a relativistic electron-positron plasma // Physica Scripta.—1998.—Vol. 58, № 6.— P. 545-548. DOI: 10.1088/0031-8949/58/6/001.

7. Tappert F. D., Varma C. M. Asymptotic theory of self-trapping of heat pulses in solids // Phys. Rev. Lett.-1970.-Vol. 25.-P. 1108-1111. DOI: 10.1103/PhysRevLett.25.1108.

8. Mamedov K. A. Integration of mKdV equation with a self-consistent source in the class of finite density functions in the case of moving eigenvalues // Russian Mathematics.—2020.—Vol. 64.—P. 66-78. DOI: 10.3103/S1066369X20100072.

9. Wu J., Geng X. Inverse scattering transform and soliton classification of the coupled modified Korteweg-de Vries equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.—2017.—Vol. 53.— P. 83-93. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.03.022.

10. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions // The Bulletin of Irkutsk State University. Ser. Math.—2021.—Vol. 38.—P. 19-35. DOI: 10.26516/1997-7670.2021.38.19.

11. Vaneeva O. Lie symmetries and exact solutions of variable coefficient mKdV equations: an equivalence based approach // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.—2012.—Vol. 17, № 2.—P. 611-618. DOI: 10.1016/j.cnsns.2011.06.038.

12. Das S., Ghosh D. AKNS formalism and exact solutions of KdV and modified KdV equations with variable-coefficients // International Journal of Advanced Research in Mathematics.—2016.—Vol. 6.— P. 32-41. DOI: 10.18052/www.scipress.com/IJARM.6.32.

13. Zheng X., Shang Y., Huang Y. Abundant Explicit and Exact Solutions for the variable Coefficient mKdV Equations // Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis.—2013.—7 p.— Article ID 109690. DOI: 10.1155/2013/109690.

14. Демонтис Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза // Теоретическая и математическая физика.—2011.—Т. 168, № 1.—С. 35-48.

15. Zhang D.-J., Zhao S.-L., Sun Y.-Y., Zhou J. Solutions to the modified Korteweg-de Vries equation // Reviews in Math. Phys.—2014.—Vol. 26, № 7, 1430006.—42 p. DOI: 10.1142/S0129055X14300064.

16. Hirota R. Exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons // J. Phys. Soc. Jpn.—1972.—Vol. 33.—P. 1456-1458. DOI: 10.1143/JPSJ.33.1456.

17. Gesztesy T., Schweiger W., Simon B. Commutation methods applied to the mKdV-equation // Trans. Amer. Math. Soc.—1991.—Vol. 324.—P. 465-525. DOI: 10.2307/2001730.

18. Pradhan K., Panigrahi P. K. Parametrically controlling solitary wave dynamics in the modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. A: Math. Gen.—2006.—Vol. 39.—P. 343-348. DOI: 10.1088/0305-4470/39/20/L08.

19. Yan Z. The modified KdV equation with variable coefficients:Exact uni/bi-variable travelling wave-like solutions // Applied Mathematics and Computation.—2008.—Vol. 203.—P. 106-112. DOI: 10.1016/j.amc.2008.04.006.

20. Хасанов А. Б. Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка // Докл. АН СССР.—1984.—Т. 277, № 3.—С. 559-562.

21. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи.—М.: Мир, 1987.—479 c.

22. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.—М.: Мир, 1988.—697 c.

23. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1995.—304 c.

24. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифф. ур-я.—1983.—T. 19, № 1.— С. 86-94.

25. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычисл. матем. и мат. физ.—2004.—T. 44, № 4.—С. 694-716.

26. Hasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions // Proc. Inst. Math. Mech. NAS Azer.—2021.—Vol. 47, № 2.—P. 250-261. DOI: 10.30546/2409-4994.47.2.250.

27. Hoitmetov U. A. Integration of the loaded KdV equation with a self-consistent source of integral type in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Siberian Adv. Math.—2022.—Vol. 33, № 2.—P. 102-114. DOI: 10.1134/S1055134422020043.

28. Хасанов А. Б., Хоитметов У. А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега — де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций // Изв. вузов. Мат.—2021.—№ 7.—С. 52-66.

29. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On complex-valued solutions of the general loaded Korteweg-de Vries equation with a source // Diff. Equat.—2022.—Vol. 58, № 3.—P. 381-391. DOI: 10.1134/S0012266122030089.

30. Hoitmetov U. A. Integration of the loaded general Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Eurasian Math. J.—2022.—Vol. 13, № 2.—P. 43-54. DOI: 10.32523/2077-9879-2022-13-2-43-54.

31. Babajanov B., Abdikarimov F. The Application of the functional variable method for solving the loaded non-linear evaluation equations // Front. Appl. Math. Stat.—2022.—Vol. 8, 912674. DOI: 10.3389/fams.2022.912674.

Статья поступила 17 августа 2022 г.

Совиров ШЕХЗОД КУЧКАРБОй УГЛИ Ургенчский государственный университет,

аспирант кафедры прикладная математика и математическая физика УЗБЕКИСТАН, 220100, Ургенч, ул. Х. Алимджана, 14 E-mail: shexzod1994@mail.ru https://orcid.org/0000-0003-0405-3591

Хоитметов Умид АзАДОВИЧ Ургенчский государственный университет,

доцент кафедры прикладная математика и математическая физика УЗБЕКИСТАН, 220100, Ургенч, ул. Х. Алимджана, 14 E-mail: x_umid@mail. ru https://orcid.org/0000-0002-5974-6603

Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 3, P. 123-142

INTEGRATION OF THE MODIFIED KORTEWEG-DE VRIES EQUATION WITH TIME-DEPENDENT COEFFICIENTS AND WITH A SELF-CONSISTENT SOURCE

Sobirov, Sh. K.1 and Hoitmetov, U. A.1 1 Urgench State University, 14 Kh. Alimdjan St., Urgench 220100, Uzbekistan E-mail: x_umid@mail.ru, shexzod1994@mail.ru

Abstract. In this paper, we consider the Cauchy problem for the modified Korteweg-de Vries equation with time-dependent coefficients and a self-consistent source in the class of rapidly decreasing functions. To solve the stated problem, the inverse scattering method is used. Lax pairs are found, which will make it possible to apply the inverse scattering method to solve the stated Cauchy problem. Note that in the case under consideration the Dirac operator is not self-adjoint, so the eigenvalues can be multiple. Equations are found for the dynamics of change in time of the scattering data of a non-self-adjoint operator of the Dirac operator with a potential that is a solution of the modified Korteweg-de Vries equation with variable time-dependent coefficients and with a self-consistent source in the class of rapidly decreasing functions. A special case of a modified Korteweg-de Vries equation with time-dependent variable coefficients and a self-consistent source, namely, a loaded modified Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source, is considered. Equations are found for the dynamics of change in time of the scattering data of a non-self-adjoint operator of the Dirac operator with a potential that is a solution of the loaded modified Korteweg-de Vries equation with variable coefficients in the class of rapidly decreasing functions. Examples are given to illustrate the application of the obtained results.

Keywords: loaded modified Korteweg-de Vries equation, Jost solutions, scattering data, Gelfand-Levitan-Marchenko integral equation.

AMS Subject Classification: 34L25, 35P25, 47A40, 37K15.

For citation: Sobirov, Sh. K. and Hoitmetov, U. A. Integration of the Modified Korteweg-De Vries Equation with Time-Dependent Coefficients and with a Self-Consistent Source, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 3, pp. 123-142 (in Russian). DOI: 10.46698/q2165-6700-0718-r.

References

1. Zabusky, N. J. and Kruskal, M. D. Interaction of Solitons in a Collislontess Plasma and the Recurrence of Initial States, Physical Review Letters, 1965, vol. 15, no. 6. pp. 240-243.

2. Gardner, C. S., Greene, I. M., Kruskal, M. D. and Miura, R. M. Method for Solving the Korteweg-de Vries Equation, Physical Review Letters, 1967, vol. 19, pp. 1095-1097.

3. Lax, P. D. Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1968, vol. 21, no. 5, pp. 467-490. DOI: 10.1002/cpa.3160210503.

4. Zakharov, V. E. and Shabat, A. B. Exact Theory of Two-Dimensional Self-Focusing and One-Dimensional Self-Modulation of Waves in Nonlinear Media, Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1972, vol. 34, no. 1, pp. 62-69.

5. Wadati, M. The Exact Solution of the Modified Korteweg-de Vries Equation, Journal of the Physical Society of Japan, 1972, vol. 32, pp. 1681. DOI: 10.1143/JPSJ.32.1681.

6. Khater, A. H., El-Kalaawy, O. H. and Callebaut, D. K. Backlund Transformations and Exact Solutions for Alfven Solitons in a Relativistic Electron-Positron Plasma, Physica Scripta, 1998, vol. 58, no. 6, pp. 545-548. DOI: 10.1088/0031-8949/58/6/001.

7. Tappert, F. D. and Varma, C. M. Asymptotic Theory of Self-trapping of Heat Pulses in Solids, Physical Review Letters, 1970, vol. 25, pp. 1108-1111. DOI: 10.1103/PhysRevLett.25.1108.

8. Mamedov, K. A. Integration of mKdV Equation with a Self-Consistent Source in the Class of Finite Density Functions in the Case of Moving Eigenvalues, Russian Mathematics, 2020, vol. 64, pp. 66-78. DOI: 10.3103/S1066369X20100072.

9. Wu, J. and Geng, X. Inverse Scattering Transform and Soliton Classification of the Coupled Modified Korteweg-de Vries Equation, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2017, vol. 53, pp. 83-93. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.03.022.

10. Khasanov, A. B. and Hoitmetov, U. A. On Integration of the Loaded mKdV Equation in the Class of Rapidly Decreasing Functions, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2021, vol. 38, pp. 19-35. DOI: 10.26516/1997-7670.2021.38.19.

11. Vaneeva, O. Lie Symmetries and Exact Solutions of Variable Coefficient mKdV Equations: an Equivalence Based Approach, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, vol. 17, no. 2, pp. 611-618. DOI: 10.1016/j.cnsns.2011.06.038.

12. Das, S. and Ghosh, D. AKNS Formalism and Exact Solutions of KdV and Modified KdV Equations with Variable-Coefficients, International Journal of Advanced Research in Mathematics, 2016, vol. 6, pp. 32-41. DOI: 10.18052/www.scipress.com/IJARM.6.32.

13. Zheng, X., Shang, Y. and Huang, Y. Abundant Explicit and Exact Solutions for the variable Coefficient mKdV Equations, Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis, 2013, 7 p., Article ID 109690. DOI: 10.1155/2013/109690.

14. Demontis, F. Exact Solutions of the Modified Korteweg-de Vries Equation, Theoretical and Mathematical Physics, 2011, vol. 168, no. 1, pp. 886-897. DOI: 10.1007/s11232-011-0072-4.

15. Zhang, D.-J., Zhao, S.-L., Sun, Y.-Y. and Zhou, J. Solutions to the Modified Korteweg-de Vries Equation, Reviews in Mathematical Physics, 2014, vol. 26, no. 7, 1430006, 42 p. DOI: 10.1142/S0129055X14300064.

16. Hirota, R. Exact Solution of the modified Korteweg-de Vries Equation for Multiple Collisions of Solitons, Journal of the Physical Society of Japan, 1972, vol. 33, pp. 1456-1458. DOI: 10.1143/JPSJ.33.1456.

17. Gesztesy, T., Schweiger, W. and Simon, B. Commutation Methods Applied to the mKdV-Equation, Transactions of the American Mathematical Society, 1991, vol. 324, pp. 465-525. DOI: 10.2307/2001730.

18. Pradhan, K. and Panigrahi, P. K. Parametrically Controlling Solitary Wave Dynamics in the Modified Korteweg-de Vries Equation, Journal of Physics A: Mathematical and General, 2006, vol. 39, pp. 343348. DOI: 10.1088/0305-4470/39/20/L08.

19. Yan, Z. The Modified KdV Equation with Variable Coefficients: Exact uni/bi-variable Travelling Wave-like Solutions, Applied Mathematics and Computation, 2008, vol. 203, pp. 106-112. DOI: 10.1016/j.amc.2008.04.006.

20. Khasanov, A. B. On the Inverse Problem of Scattering Theory for a System of Two Non-Self-Adjoint Differential Equations of the First Order, Doklady akademii nauk SS'SR [Soviet Mathematics — Doklady], 1984, vol. 277, no. 3, pp. 559-562 (in Russian).

21. Ablowitz, M. J. and Segur, H. Solitons and the Inverse Scattering Transform, Philadelphia, SIAM, 1987, 438 p.

22. Dodd, R., Eilbeck, J., Gibbon, J. and Morris, H. Solitons and Nonlinear Wave Equations, London at al, Academic Press, 1982, 630 p.

23. Nakhushev, A. M. Equations of Mathematical Biology, Moscow, Visshaya Shkola, 1995, 304 p. (in Russian).

24. Nakhushev, A. M. Loaded Equations and Their Applications, Differencial'nye uravnenija [Differential Equations], 1983, vol. 19, no. 1, pp. 86-94 (in Russian).

25. Kozhanov, A. I. Nonlinear Loaded Equations and Inverse Problems, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2004, vol. 44, no. 4, pp. 657-675.

142

CofrnpoB tt. K., XoHTMeTQB Y. A.

26. Hasanov, A. B. and Hoitmetov, U. A. On Integration of the Loaded Korteweg-de Vries Equation in the Class of Rapidly Decreasing Functions, Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan, 2021, vol. 47, no. 2, pp. 250-261. DOI: 10.30546/24094994.47.2.250.

27. Hoitmetov, U. A. Integration of the Loaded KdV Equation with a Self-consistent Source of Integral Type in the Class of Rapidly Decreasing Complex-valued Functions, Siberian Advances in Mathematics, 2022, vol. 33, no. 2, pp. 102-114. DOI: 10.1134/S1055134422020043.

28. Khasanov, A. B. and Hoitmetov, U. A. Integration of the General Loaded Korteweg-de Vries Equation with an Integral Type Source in the Class of Rapidly Decreasing Complex-Valued Functions, Russian Mathematics, 2021, vol. 65, no. 7, pp. 43-57. DOI: 10.3103/S1066369X21070069.

29. Khasanov, A. B. and Hoitmetov, U. A. On Complex-Valued Solutions of the General Loaded Korteweg-de Vries Equation with a Source, Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 3, pp. 381-391. DOI: 10.1134/S0012266122030089.

30. Hoitmetov, U. A. Integration of the Loaded General Korteweg-de Vries Equation in the Class of Rapidly Decreasing Complex-valued Functions, Eurasian Mathematical Journal, 2022, vol. 13, no. 2, pp. 43-54. DOI: 10.32523/2077-9879-2022-13-2-43-54.

31. Babajanov, B. and Abdikarimov, F. The Application of the Functional Variable Method for Solving the Loaded Non-Linear Evaluation Equations, Frontiers in Applied Mathematics and Statistics, 2022, vol. 8, 912674. DOI: 10.3389/fams.2022.912674.

Received August 17, 2022

Shekhzod K. Sobirov Urgench State University,

14 Kh. Alimdjan St., Urgench 220100, Uzbekistan, PhD Student

E-mail: shexzod1994@mail.ru

https://orcid.org/0000-0003-0405-3591

Umid A. Hoitmetov Urgench State University,

14 Kh. Alimdjan St., Urgench 220100, Uzbekistan, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Mathematical Physics E-mail: x_umid@mail. ru https://orcid.org/0000-0002-5974-6603