CC BY
10Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4
УДК 519.688
АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ В СЛУЧАЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ В СРЕДЕ Е. Ю. Балакина
Аннотация. Рассматривается задача рентгеновской томографии, являющаяся обратной задачей для дифференциального уравнения переноса. Исследуется уравнение, в котором коэффициенты уравнения переноса (характеризуют среду, в которой протекает процесс) зависят от времени, а также могут претерпевать разрыв первого рода по пространственной переменной. Искомым объектом является множество, на котором коэффициенты уравнения претерпевают разрыв, что соответствует поиску границ между различными веществами, входящими в состав зондируемой среды. Для этого рассматривается специальная функция (индикатор неоднородности среды), зависящая от известных данных. Используя в явном виде решения прямой и обратных задач, можно указать главное свойство этой функции: она принимает неограниченные значения на искомых множествах. Основным результатом является численная демонстрация свойств индикатора неоднородности. Приводится несколько примеров для иллюстрации этого.
Б01: 10.255877SVFU.2020.96.61.001
Ключевые слова: томография, обратные задачи, уравнение переноса, неизвестная граница, разрывные коэффициенты, индикатор неоднородности.
1. Введение
Рассмотрим процесс переноса частиц в среде, который описывается дифференциальным уравнением
d/for, ", Д) + ^ yrf(tj Г} е) + fi(t, г, E)f(t, г, ш, Е) = J(t, г, ш, Е). (1)
Здесь t — временная переменная, t £ T = [0,T*]; r — пространственная переменная, r £ G С R3, G — выпуклая ограниченная область; ш £ О = {ш £ R3 : и = 1}; E £ I = [El,£2], El > 0, E2 < <х.
Функция f (t, r, ш, E) интерпретируется как плотность частиц в момент времени t в точке r с энергией E, летящих в направлении ш. Функции ^ и J характеризуют среду G. Функция ^(t, r, E) — коэффициент полного взаимодействия, J(t, r, ш, E) — плотность внутренних источников.
Среда G, в которой протекает процесс, неоднородна. Для характеристики этой неоднородности введем подмножество Go множества G. Множество Go открыто в R3, плотно в G (Gq = G) и представляет собой объединение конечного
© 2020 Балакина Е. Ю.
числа областей:
р
Со = и Gi, р < те, Gi П Сз = 0 при г =
г=1
Область Gi можно интерпретировать как часть неоднородной среды С, заполненную г-м веществом. Функции г, Е) и 3(Ь, г, ш, Е) непрерывны по г при г € Gi, а при г € дGi они могут претерпевать разрыв первого рода.
Множество Gо предполагается обобщенно выпуклым [1-3], т. е. для любых г € Gо, ш € О луч Ьг,ш = {г + Ьш : Ь > 0} пересекает границы областей Gi, г = 1,...,р, в конечном числе точек. Считаем, что границы областей Gi являются непрерывными кусочно-гладкими двумерными поверхностями класса "й72, в целом липшицевыми. Точки гладкости назовем контактными аналогично [4]. Полагаем также, что множество контактных точек плотно на каждой поверхности дGi.
В статье рассматривается задача о нахождении поверхностей разрывов коэффициентов уравнения переноса, т. е. задача об отыскании внутренней структуры среды.
Уравнение переноса было предметом изучения многих исследователей. Особо следует отметить фундаментальную работу В. С. Владимирова [1], посвященную теории прямых задач для стационарного уравнения переноса, и книгу Т. А. Гермогеновой [2], где представлена качественная теория решения прямых задач. Уравнение такого вида для нестационарного моноэнергетического случая рассмотрено в [3, 5] (прямые и обратные задачи). Также была рассмотрена, например, задача для уравнения простого переноса, в которой традиционное начальное условие заменяется нелокальным условием среднего по времени [6]. Различные задачи на определение разрывов функций либо локализацию неод-нородностей были рассмотрены в [7-11].
Для стационарного моноэнергетического случая и коэффициентов, которые подвергаются разрыву первого порядка, прямые и обратные задачи решены в [4,12]. В [13,14] прямая и обратная задачи решались для стационарного случая полиэнергии и для коэффициентов, которые претерпевают разрыв первого рода. В данной работе рассмотрим уравнение переноса, во-первых, нестационарное (коэффициенты уравнения и неизвестная функция зависят от времени), во-вторых, многоэнергетическое, и в-третьих, коэффициенты уравнения переноса могут претерпевать разрыв первого рода по пространственной переменной (иными словами, среда, в которой протекает процесс, неоднородна).
2. Прямая задача
Введем функцию ¿(г, и) — расстояние от точки г £ С до границы дС в направлении ш:
а
¿(г, ш) = У х(г + о
где x(r) — характеристическая функция области G, d = diam G. Тогда для произвольной точки r £ G и ш £ О точка r ± d(r, ш)ш принадлежит dG. Отсюда, если определим множества
d-G(w) = {r £ dG : n(r) • ш > 0}, ö+G(w) = {r £ dG : n(r) • ш < 0},
где n(r) — внутренняя нормаль к поверхности dG в точке r, получим r + d(r,ш)ш £ d+G(k>), r — d(r,ш)ш £ c—G((^).
К уравнению (1) добавим начальное условие
f (0, r, ш, E) = ^(r, ш, E), (r, ш, E) £ G0 х О х I, (2)
и граничное условие
f (t,£^,E) = h(t,£^,E), (t,E) £ T х I", £ £ d-GH, ш £ О. (3)
Решение f прямой задачи (1)-(3) (в случае, когда функции J, ^ и h заданы) существует и единственно.
Пусть Y — произвольное ограниченное множество в Rm. К классу D(Y) отнесем функции ф(у), непрерывные и ограниченные на Y, доопределенные в граничных точках у £ Y \ У, если не определены, следующим образом:
ф(у) = lim inf Ф(У), ñ^o yeB(y,R)nvYKyj
где B(y, R) — открытый шар в Rm с центром в точке y и радиусом R. Множество D(Y) с нормой
\\ф\\ = вп?\ф{у)\ ver
образует банахово пространство.
Предположим, что функции J, ^ и h неотрицательны и продолжены по г вне G , а также /j(t, г, Е) £ D{T х G0 х I), J(t, г, ш, Е) £ D{T х G0 х О х I), h(t, r — d(r, —ш)ш, ш, E) £ D(T х G х О х I), <^(r, ш, E) £ D(G0 х О х I). Также выполнены следующие условия:
h(0, £, ш, E) = <^(£, ш, E) для £ = r — d(r, —ш)ш, (r, ш, E) £ G0 х О х I; dh(t, £, ш, E)
dt
+ ш • УгЦ0,г,ш,Е)|г=с + ^(0,£,Е)й(0,£,ш,Е) = J(0,£,ш,Е)
¿=0
для £ = г — ¿(г, —ш)ш, (г, ш,Е) £ G0 х О х I При этих условиях справедлива следующая
Теорема 1. Решение прямой задачи существует, единственно и предста-вимо в виде
t
f (t, r, ш, E) = exp ( — У ^(v,r + (v — £)ш, E) dv U(t,r^,E)
\ а(Ь,т,ш) ) V
J m(v, r + (v — £)ш, E) dv | J(s,r + (s — ¿)ш,ш, E) ds, (4)
+ j exp I J M(v, r + (v — ¿)ш, E) dv | J(s,r + (s — £)ш,ш
а(Ь,т,ш) \a(s,T,u)
где
Г 0, если 0 < Ь < ¿(г, —ш),
а(Ь, г, ш) = <
[ Ь — ¿(г, —ш), если ¿(г, —ш) < Ь < Т*,
Г ^(г — Ьш,ш,Е), если 0 < Ь < ¿(г, —ш),
и(Ь, г, ш, Е) = <
[ — ¿(г, —ш), г — ¿(г, —ш)ш, ш, Е), если ¿(г, —ш) < Ь < Т*. Эта теорема является частным случаем теоремы, доказанной в [15].
3. Обратная задача
Рассмотрим обратную задачу.
Задача. Найти границу дС0 множества Со из уравнения
+ ш • г, ш, Е) + г, Е)/(£, г, ш, Е) = г, ш, Е), (5)
начального условия
/(0, г, ш, Е) = ^(г,ш,Е), (г, ш, Е) е С0 х О х /, (6)
и краевых условий
/(Ь,£,ш,Е) = й(Ь,£,ш,Е), (Ь, Е) е Т х I", £ е д-С(ш), ш е О, (7)
Е 2
J /(Ь, п, ш, Е)^Е = Я(Ь, п, ш), Ь е Т, п е д+С(ш), ш е О, (8)
Е1
если известна только функция Я(Ь, п, ш).
В задаче требуется найти только поверхности разрывов коэффициентов уравнения переноса ^ и J, т. е. определить внутреннюю структуру среды С. Для этого рассмотрим специальную функцию
1п(^г)
V J У Я(Ь, г + ¿(г, ш)ш,ш) ¿ш^ ^ о
(9)
где под знаком интеграла стоит заданная функция Я. Функция Ind принимает неограниченные значения только на искомой поверхности дСо.
Это можно показать, подставив в Ind представление функции Я в явном виде из (8).
Зададим следующие функции:
/ \
тог>(Ь, г, ш, Е) = ехр I — ^(Ь + V — ¿(г, ш), г + ^ш), Е) ¿V I
х { —[М(Ь + |у — г| — ¿(г, ш), у, Е)],,,-/(Ь — ¿(г, ш), г, ш, Е)
+ [7(Ь + |у — г| — ¿(г, ш), у, ш, Е)]^},
о . У -г еЛ . У -г ЕЛ , . У~г р
m [t.r, -.-г, Е = mv t.r, — ---, Е + mv t, г, ---, Е
|y - А; V 1у - rl / V' 'ly - r|:
T* E2 / - \
г,Ь) = [ [ [ m° (r,M^L^-,E\dsdEdt, (10)
■III v №)-ri ;
где — пересечение единичной сферы в R3 с центром в точке z и касательной плоскости к dG; в этой же точке, [^(z,E)];,j = [u(z,E)]i — [u(z,E)]j — величина скачка функции ^ в контактной точке z, [J(z, w, E)];,j = [J(z, w, E)]; — [J(z, w, E)]j — величина скачка функции J в контактной точке z.
В [16] получен следующий основной результат.
Теорема 2. Для произвольной контактной точки z, z £ dG; П dGj, и для r = z + тп;, 0 < |т| < А (А достаточно маленькое), функция Ind(r), может быть представлена в виде
Ind(r) = ^T(r)| ln(p(r, dGo))| + O(1). (11)
Следствием этой теоремы является следующая
Теорема 3. Функция Ind(r) непрерывна и ограничена на любом компакте в Go. Для произвольной контактной точки z рассмотрим r = z + Tn(z), 0 < |т| < А, где n(z) — единичная нормаль к Go в точке z, А — достаточно малое положительное число. Если выполняется неравенство (r) > const > 0 , то Ind(r) стремится к бесконечности при т ^ 0, т. е. при r ^ dGo.
Таким образом, функция Ind(r) может быть неограниченной только вблизи искомой поверхности dGo. Благодаря этому свойству функция Ind(r) названа индикатором неоднородности среды G.
Также в [16] доказана теорема единственности. Для ее формулировки введем следующие обозначения. Предположим, что имеются две системы подобластей |Gjl)}, j = 1,. .., p, и функции J(i), и , i = 1, 2. Подставляя в (4) r, E) вместо ^(t,r, E), J(t,r, w,E) вместо J(t,r, w,E), (t, r, w, E)
вместо h(t, r, w,E), получим функции f(t, r, w, E), i = 1, 2. Подставляя эти функции в (8), получим H(t, r + d(r, w)w, w), i = 1, 2. Также получим M(k)(r), k =1, 2, используя (10).
Теорема 4. Пусть функции H(1) (t, r + d(r, w)w, w) и H (2)(t , r + d(r, w)w, w) совпадают для всех (t, r, w) £ [d, T*] x G x О. Тогда контактные точки z £ dGo^, i = 1, 2, удовлетворяющие условию M(i)(r) > const > 0 (r = z + тп(г), 0 < |т| < А), являются общими для dGo^ и dGo2).
4. Численная реализация
Для иллюстрации свойств индикатора неоднородности рассмотрим три численных эксперимента, которые строились про следующему алгоритму.
I. Решается прямая задача при условии, что заданы область С, разбиение Со, функции Е), J(£, г, ш, Е) и плотность входящего потока £,ш,Е). Получаем функцию /(£,г, ш,Е).
II. Вычисляется усредненная по энергии плотность выходящего потока:
Е 2
Н^ У /(¿,п,ш,Е)^Е.
Е1
III. Вычисляется функция
Ind(r)
V J У H(i,r + d(r,w)w,w) dwdi .
d О
IV. Графически изображается функция Ind(r) при некотором сечении. Принцип изображения заключается в том, что разные точки r, принадлежащие этому сечению, окрашиваются в разные оттенки серого цвета, при этом более темный соответствует большему значению индикатора.
Тест 1. Область G — шар радиуса 1 с центром в начале координат: G = {r : r = (г1,г2,гэ), |r| < 1}. В нем содержится неоднородность в виде шара радиуса 0,25 с центром в начале координат. Таким образом, множество Go состоит из двух множеств: G1 = {r : r = (г1,г2,гз), |r| < 0, 25}, G2 = {r : r = (г1,г2,гз), 0, 25 < |r| < 1}. Поверхность dGo есть объединение двух сфер: {z : z = (z1, z2, Z3), |z| = 0, 25} и {z : z = (z1, z2, Z3), |z| = 1}. Функцию ^(i, r, E) возьмем в виде
( E2 + 1 \
fi{t, г, E) = Ml(E) =m,ln ), r G Gi, ¿ = 1,2.
В каждой из подобластей Gi функция ^(i, r, E) определяется своим числом то^. В области G1 возьмем m1 = 1, в области G2 — m2 = 6. Такого вида функции типичны для коэффициента полного взаимодействия в уравнении переноса: ^(i, r, E) монотонна, неотрицательна, убывает при E £ [E1,E2]. Помимо этого y«(i, r, E) подобрана таким образом, чтобы решение прямой задачи можно было вычислить аналитически. Для определенности полагаем, что [E1,E2] = [2, 3]. Для простоты вычислений считаем, что J(i,r, w,E) = 0, h(i, £,w,E) = 1 при й + Cl + Сз = 1. Изобразим индикатор Ind(r) в сечении области G плоскостью {r : r = (г1,г2,гз), r1 = 0} на прямоугольной сетке узлов с шагом 0,01. По формуле (4) получаем f (i,r, w,E). Далее надо вычислить
E2
H(i, п, f (i,n, ш, E) dE, n = r + d(r, ш)ш, n = (пъп2,пз), Inl = 1.
Ei
Благодаря подходящему выбору функции ^(i, r, E) получается вычислить H(i, п, ш), (п,ш) < 0, в явном виде:
H (i,n, ш) =
j-,(s(n,w)(mi-m2) + 1+m2i(n,w)) тп(8(г1,ш)(т1 — m2 ) + 1+m2i(n,<^)) _~ _
(E2 + l)s(i),w)(mi-m2)+m2i(r,,w) w)(TOl - m2) + 1 + т21{г], Lu)) '
где ш) = ше81(Ьп,_ш П) — лебегова мера пересечения луча, исходящего из точки п в направлении —ш, и внутренней неоднородности; ш) = ше8Х(Ьп, П С) = ¿(п, —ш) — мера пересечения луча, исходящего из точки п в направлении —ш, и единичного шара.
Вычислим значения функции 1п^г) численно:
vJ J Н(£, г + ¿(г,ш)ш,ш) ¿ш^ . ^ о
Результат вычисления индикатора неоднородности представлен на рис. 1. Слева изображено плоское сечение исследуемого объекта, т. е. сечение множества дСо плоскостью гз = 0. Справа — реконструкция искомых окружностей.
0
Рис. 1.
Тест 2. Рассмотрим случай, когда неоднородность в среде обладает прямолинейными участками на своей границе.
Пусть теперь Со состоит из двух множеств: — куб со сторонами 0,5 и центром в начале координат, С2 — часть единичного круга вне куба. Как и в прошлом случае,
( Е2 + 1 \
Ж, г, Е) = щ(Е) = пц 1п ( -^г- ), г € вг, г = 1, 2.
В каждой из подобластей Gi функция г, Е) определяется своим числом т^. В области будет тх = 1, в области С2 — т2 = 6. Для определенности полагаем, что [Ех, Е2] = [2, 6]. Для простоты вычислений считаем, что J(£, г, ш, Е) = 0, Л(^,ш,Е) = 1 при ^ + Й + = 1.
Решение /г, ш,Е) вычисляется в явном виде, как и Н(£, п, ш), которые имеют вид (12), при этом ш) — лебегова мера пересечения луча, исходящего из точки п в направлении —ш, и неоднородности.
Посмотрим, какие значения будет принимать функция 1п^г) в этом случае. Результат изображения индикатора неоднородности представлен на рис. 2. Здесь слева — сечение области С плоскостью гз = 0, справа — реконструкция множества дСо. В неконтактных точках (вершинах квадрата) изображение !п^г) смазано. В контактных точках искомое множество дСо явно выделяется.
!п^г) =
Рис. 2.
Тест 3. Рассмотрим случай, когда в среде имеются три неоднородности, имеющие общую граничную точку.
Пусть теперь множество Go состоит из трех множеств: Gi = {r : r = (ri ,r2 ,r3) : |r| < 1, r3 > 0} — верхняя половина шара, G2 = {r : r = (r1, r2 ,r3) : |r| < 1, r2 > 0, r3 < 0}— правая нижняя четверть шара, G3 = {r : r = (r1, r2, r3) : |r| < 1, r2 < 0, r3 < 0} — левая нижняя четверть шара. Как и в прошлом случае,
В каждой из подобластей С функция г, Е) определяется своим числом га^. В области С будет Ш1 = 1, в области С2 — ш2 =6, в области С2 — ш3 = 9. Для определенности полагаем, что [Е1, Е2] = [2, 6]. Для простоты вычислений считаем, что 3(£, г, ш, Е) = 0, ш, Е) = 1 при ^2 + С2 + Сз = 1.
Решение /г, ш, Е) вычисляется в явном виде, как и Н(£, п, ш). Результат изображения индикатора неоднородности представлен на рис. 3. Здесь слева — сечение области С плоскостью г3 = 0, справа — реконструкция множества дС0.
Для нестационарного уравнения переноса представлен способ нахождения поверхностей разрывов коэффициентов. Рассматривается случай, когда учитываются поглощение частиц и их однократное рассеяние. Дан алгоритм, основывающийся на использовании специальной функции — индикатора неоднородности среды. Индикатор принимает неограниченные значения на искомых
r £ Gi, i = 1, 2, 3.
Рис. 3.
5. Заключение
поверхностях. Приведена численная реализация алгоритма для различных вариантов неоднородностей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. МИАН СССР. 1961. Вып. 61. С. 3-158.
2. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса. М.: Наука, 1986.
3. Прилепко А. И., Иванков А. Л. Обратные задачи определения коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса по переопределению в точке // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 22, № 5. С. 109-119.
4. Аниконов Д. С., Ковтанюк А. Е., Прохоров И. В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000.
5. Прилепко А. И., Иванков А. Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 22, № 1. С. 870-885.
6. Тихонов И. В., Ву Нгуен Шон Тунг. Формулы явного решения в модельной нелокальной задаче для уравнения простого переноса // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 1. С. 5773.
7. Аниконов Д. С., Киприянов Я. А., Коновалова Д. С. Обратная задача для уравнения колебаний мембраны // Научно-техн. ведомости Санкт-Петербург. гос. политехн. ун-та. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 10, № 3. С. 84-94.
8. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Задача интегральной геометрии для семейства кривых при неполных данных // Докл. АН. 2015. Т. 464, № 1. С. 7.
9. Аниконов Д. С., Коновалова Д. С. Задача интегральной геометрии о неизвестной границе для пучка прямых // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, № 5. С. 962-976.
10. Anikonov D. S., Nazarov V. G., Prokhorov I. V. Algorithm of finding a body projection within an absorbing and scattering medium //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2011. V. 18, N 8. P. 885-893.
11. Аниконов Д. С. Задача о неизвестной границе для сингулярного интегрального уравнения // Докл. АН. 2010. Т. 431, № 4. С. 439-442.
12. Аниконов Д. С., Назаров В. Г., Прохоров И. В. Интегродифференциальный индикатор для задачи одноракурсной томографии // Сиб. журн. индустр. математики. 2014. Т. 17, № 2. С. 3-10.
13. Балакина Е. Ю. Неклассическая краевая задача для уравнения переноса // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 9. С. 1219-1228.
14. Аниконов Д. С., Балакина Е. Ю. Полихроматический индикатор неоднородности неизвестной среды для задачи рентгеновской томографии // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 4. С. 721-740.
15. Балакина Е. Ю. Существование и единственность решения для нестационарного уравнения переноса // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 4. С. 3-8.
16. Балакина Е. Ю. Нахождение разрывов коэффициентов линейного нестационарного уравнения переноса // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2017. Т. 57, № 10. С. 16761691.
Поступила в редакцию 1 июня 2020 г. После доработки 22 октября 2020 г. Принята к публикации 29 ноября 2020 г.
Балакина Екатерина Юрьевна
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 [email protected]
Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4
UDC 519.688
AN ALGORITHM FOR INHOMOGENEOUS MEDIUM RECONSTRUCTION IN CASE OF UNSTEADY PARTICLE TRANSPORT E. Yu. Balakina
Abstract: We consider the problem of X-ray tomography that is the inverse problem for the non-stationary differential transport equation. We study an equation in which the coefficients and the unknown function depend on time, while the coefficients can undergo a discontinuity of the first kind in the spatial variable. The desired object is the set on which the coefficients of the transport equation undergo a discontinuity, that corresponds to the search of boundaries between various substances contained in the probed medium. To this end, we consider a special function—an indicator of medium heterogeneity. Using the explicit solutions of the direct and inverse problems, we can indicate the main property of that function: it takes unlimited values on the desired sets. Our main result is a numerical demonstration of the properties of that function. Several examples are given.
DOI: 10.25587/SVFU.2020.96.61.001 Keywords: tomography, inverse problems, transport equation, unknown boundary, discontinuous coefficients, indicator of heterogeneity.
REFERENCES
1. Vladimirov V. S., "Mathematical problems of the one-speed theory of particle transport [in Russian]," Tr. Steklov Mathematical Institute of the USSR, No. 61, 3-158 (1961).
2. Germogenova T. A., Local Properties of the Solution of the Transport Equation [in Russian], Nauka, Moscow (1986).
3. Prilepko A. I. and Ivankov A. L., "Inverse problems of determining the coefficient and the right-hand side of the non-stationary multispeed transport equation by redefinition at a point [in Russian]," Differents. Uravn., 22, No. 5, 109-119 (1985).
4. Anikonov D. S., Kovtanyuk A. E., and Prokhorov I. V., Using the Transport Equation in Tomography [in Russian], Logos, Moscow (2000).
5. Prilepko A. I. and Ivankov A. L., "Inverse problems of determining the coefficient, scattering indicatrix, and the right side of the non-stationary multispeed transport equation [in Russian]," Differents. Uravn., 22, No. 1, 870-885 (1985).
6. Tikhonov I. V. and Son Tung Vu Nguyen, "Formulas for an explicit solution of the model nonlocal problem associated with the ordinary transport equation [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 24, No. 1, 57-73 (2017).
7. Anikonov D. S., Kipriyanov Ya. A., and Konovalova D. S., "An inverse problem for the equation of membrane's vibration [in Russian]," St. Petersb. Polytech. Univ. J., Phys. Math., 10, No. 3, 84-94 (2017).
8. Anikonov D. S. and Konovalova D. S., "A problem of integral geometry for a family of curves with incomplete data," Dokl. Math., 92, No. 2, 521-524 (2015).
9. Anikonov D. S. and Konovalova D. S., "The integral geometry boundary determination problem for a pencil of straight lines," Sib. Math. J., 52, No. 5, 763-775 (2011).
© 2020 E. Yu. Balakina
10. Anikonov D. S., Nazarov V. G., and Prokhorov I. V., "Algorithm of finding a body projection within an absorbing and scattering medium," J. Inverse Ill-Posed Probl., 18, No. 8, 885—893 (2011).
11. Anikonov D. S., "The unknown boundary problem for singular integral equations," Dokl. Math., 81, No. 2, 241-243 (2010).
12. Anikonov D. S., Nazarov V. G., and Prokhorov I. V., "An integrodifferential indicator for the problem of single beam tomography," J. Appl. Ind. Math., 8, No. 3, 301-306 (2014).
13. Balakina E. Yu., "Nonclassical boundary value problem for the transport equation," Differ. Equ., 45, No. 9, 1219-1228 (2009).
14. Anikonov D. S. and Balakina E. Yu., "A polychromatic inhomogeneity indicator in an unknown medium for an X-ray tomography problem," Sib. Math. J., 53. No. 4, 573-590 (2012).
15. Balakina E. Yu., "Existence and uniqueness of a solution for the non-stationary transport equation [in Russian]," Sib. J. Ind. Math., 18, No. 4, 3-8 (2015).
16. Balakina E. Yu., "Finding discontinuities in the coefficients of the linear nonstationary transport equations," Comput. Math. Math. Phys., 57, No. 10, 1650-1665 (2017).
Submitted June 01, 2020 Revised October 22, 2020 Accepted November 29, 2020
Ekaterina Yu. Balakina
Sobolev Institute of Mathematics,
4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;
Novosibirsk State University,
1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia
