Колебания полуограниченной струны, инициированные граничным режимом Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.18721ЛРМ.12104 УДК 517.946

КОЛЕБАНИЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ, ИНИЦИИРОВАННЫЕ ГРАНИЧНЫМ РЕЖИМОМ Д.С. Аниконов, Д.С. Коновалова

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, Российская Федерация

Рассматриваются поперечные колебания полуограниченной струны, состоящей из различных материалов. Математической моделью служит однородное волновое уравнение с кусочно-постоянными коэффициентами. В качестве первого этапа исследуется решение этого уравнения с нулевыми данными Коши. Доказывается существование и единственность обобщенного решения поставленной задачи, и анализируются его свойства. Отмечается специфичность полученных выводов, в частности, указываются зоны распространения колебаний и их отсутствия. Полученные результаты имеют конструктивный характер и могут служить основой создания численного алгоритма. Актуальность подобных задач вызвана их использованием в теории зондирования неоднородных сред физическими сигналами.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, разрывный коэффициент, зондирование неизвестных сред, волновой процесс

Ссылка при цитировании: Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Колебания полуограниченной струны, инициированные граничным режимом // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 1. С. 50-60. БОГ: 10.18721/ГРМ.12104

SEMI-BOUNDED STRING'S VIBRATIONS INITIATED BY THE BOUNDARY REGIME D.S. Anikonov, D.S. Konovalova

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russian Federation

Transverse vibrations of a semi-bounded string consisting of different materials are considered. The homogeneous wave equation with piecewise constant coefficients stand duty as a mathematical model. As a first step, we have investigated the solution of this equation with zero Cauchy data. The existence and uniqueness of the generalized solution of the problem were proved and the properties of the solution were analyzed. The specificity of the obtained conclusions was discussed, in particular, the zones of oscillations' propagation and of their absence were demonstrated. The obtained results are of a constructive character and can serve as a basis for the creation of a numerical algorithm. The importance of such problems is caused by their use in the theory of sensing inhomogeneous media by physical signals.

Keywords: differential equation, discontinuous coefficient, sounding of unknown media, wave process

Citation: D.S. Anikonov, D.S. Konovalova, Semi-bounded string's vibrations initiated by the boundary regime, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 12 (1) (2019) 50-60. DOI: 10.18721/JPM.12104

Введение

В настоящей работе исследуются решения дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами при старших производных. Это научное направление пока еще находится в стадии становления, и по нему имеются лишь разрозненные результаты. Вместе с тем мы можем указать на ряд работ подобного типа [1—13], из которых наиболее близкими к настоящей статье являются [8—10].

Суть данной проблемы состоит в следующем. На плоскости переменных (х, 1) в первом квадранте

К++ = ((х, *), х > 0,* > 0)

рассматривается уравнение

5 2„ . Ч „ ч Ч Я2

, 5 д2и (х. г) , , д2и (х, г)

а(х НИ-в(х)-дХг)=0

( х, г )е К++, а( х), Р( х )> 0

(1)

и дополнительные условия

и(0,/)=и(1), и(х,0)=0, и,(х,0)=0. (2)

Предполагается, что функция ц(1) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно и выполняются условия согласования

т(0) =т '(0)=т ''(0) = о, (3)

Эти условия совпадают с традиционными требованиями, которые сформулированы в монографии [11].

Для удобства считаем функцию ц(г) продолженной нулем при г < 0. Задача (1), (2) состоит в нахождении функции и(х,г) при заданных функциях а(х), в(х), ц(г). Формулы для ее решения при постоянных а, в хорошо известны и приводятся, например, в монографии [11].

Мы рассматриваем случай, который ранее не изучался; это когда функции а(х), в(х) кусочно-постоянны:

а(х) = а1, 0 < х < х0, а(х) = а2, х > х0;

в(х) = Р1, 0 < х < х0, в(х) = Р2, х > х0,

где х0, а1, а2, в1, в2 - положительные постоянные числа.

Равенства (1), (2), в частности, представляют собой математическую модель процесса поперечных колебаний полуограниченной струны. При этом колебания вызваны в данном случае только поведением

граничной точки (х = 0). Как показал предварительный анализ, более общая задача с ненулевой правой частью уравнения (1) и ненулевыми данными Коши (и(х,0), и(х,0)) потребует весьма громоздкого исследования, которое, вероятно, будет выполнено авторами в дальнейшем поэтапно.

Также отметим, что рассмотренная задача (1), (2) довольно специфична как по возможности использования сравнительно простого метода, так и по выводам. В частности, будет указана зона распространения колебаний и зона их отсутствия. Структура этих зон определяется значениями разрывных коэффициентов уравнения (1) и отличается от классического случая.

Принятые обозначения и определения

Для первых производных произвольной функции х(х,г), дифференцируемой по х и по г, кроме традиционных обозначений, будем использовать также запись

д1 Х(х,г) д2Х(х,г)

Введем в рассмотрение следующие

единичные векторы, имеющие характеристические направления:

( /7Г Г~ Л

ш1 =

Ж

ш1 =

а1 +Р1 а1 + Р1

Ж

л/а1 +в1 ' л/а1 +Р] у л/РГ >/а 2 ^

® 2 =

Уа2 +в2 ' 7аГ+Р ^л/рГ

2 у Л

Обозначим

л/аТ+РГ л/а2 +р2 у

71 = Л/а1р1.У2 ^а2р2.

а1 =ТР! / а2 = л/рГ

В квадранте К++ выделяются следующие множества:

G1 = {(х, *) : 0 < х <х0, г > 0}, G2 = {(х, г) : х > х0, г > 0}, ^ = Gl UG2.

Далее в нашей работе широко исполь-

зуются криволинейные интегралы второго рода. Для кривоИ с началом в точке P = (p1, p2) и концом в точке Q = (qpq2) используется обозначение (PQ). Если кривая является границеи односвязнои ограниченной области, то принята ориентация, когда при перемещении точки по кривоИ область располагается слева. Считаем, что точки P и Q принадлежат кривоИ

(PQ).

Обобщенное решение ищется в классе функций u(x,t), удовлетворяющих условиям (2) и уравнению (1) в областях G1 и G2. В целом u(x,t) считается непрерывной при х > 0, t > 0 и имеющей частные производные в областях G1 и G2, равномерно непрерывные в любой ограниченной подобласти в G1 и G2. Кроме того, предполагается, что на луче (x t), t > 0 выполнены условия сопряжения:

lim д2u (x, t) = lim д2u (x, t), (4)

x^x0 - 0 x^x0 +0

lim ßjdjU(x, t) = lim ß2djU(x, t), (5)

x ^ x0-0 x ^ x0 + 0

которые являются следствиями закона Гука и закона сохранения импульса.

В книге [11] рассматривается задача, совпадающая по смыслу с задачей (1), (2), сформулированной нами, но там введены другие ограничения. А именно — вместо уравнения (1) исследуется интегро-дифференциальное уравнение относительно функции u(x,t), записанное через криволинейный интеграл второго рода:

J (G) = Ja(X) d2u(X, T)d Х +

dG

+ ß(X)djU(X, T)d т = 0.

(6)

также следуют из этих законов.

Уравнение (6) с условием (2) будем называть задачей (6), (2). Отметим, что в монографии [11] авторы при постановке задачи допускают наличие переменных а(х), Р(х) в уравнении (6), однако все выводы они делают только для постоянных коэффициентов.

Построение составных характеристик, исходящих из точки области 01

Далее в работе будет неоднократно использоваться следующее простое утверждение для функций и(х,(), описанных в задаче (6), (2).

Лемма. Верны следующие равенства:

J а(Х) д2u (X, T)dX + ß(X)du (X, T)dT = = Y , (u(Q) - u (P)),

(PQ)

(7)

(PQ) С G, (PQ) = {P -ТШ+, ТЕ [0,| Q - P |]}, i = 1,2;

J a(X)d2u(XT)dX + ß(X)d!u(X,T)dT:

(PQ)

= -Yi (u (Q) - u( P)), (PQ) С G,(PQ) = {P + ТШ-, ТЕ [0,| Q - P |]}: i = 1,2.

(8)

В равенстве (6) аргумент G — это+произ-вольная односвязная область в а ее

граница дG — кусочно-гладкая линия кл+О -са С1. Функция u(x,t) непрерывна в ®2 , а ее частные производные ди(х,?), д2и(х,^) — кусочно-непрерывны с возможными разрывами первого рода на некоторых линиях. При этом допускается наличие разрывов д1и(хд2и(х,^) внутри G, а также возможен случай, когда линия разрывов совпадает с частью дG. Тогда в качестве производных д1и(х,{), д2и(х^) берутся их предельные значения изнутри области ^ Подчеркнем, что уравнение (6) есть следствие закона Гука и закона сохранения импульса. Соответственно и выводы, полученные из равенства (6),

Д оказательство. Используем в левой части формулы (7) представление

Г Ж Ж }

(PQ) = Pi

^ Va- +ßi Va- +ßi у

V^+ßT 2 л/а, +ß

0 < ^ < | Q - P |,

и таким путем перейдем к обычному определенному интегралу:

J a,d2u(X, T)dX + ßid1u(X, T)dт =

Ж

(PQ)

|QP|

J

ad2u

Pi-s

P2-s

Va+ß

+ ß; дХЫ

Pi- л

ßi

л/а+ß

P2- S

Va- + ß- J А + ß

—/а

ds =

lßP| d

^л/ож j - [«(p) ]=

0^

Y ((u (ö) - и (P)).

В итоге полученные равенства доказывают формулу (7); формула же (8) доказывается совершенно аналогично.

Лемма доказана.

Далее сделаем следующие построения.

Из начала координат проведем отрезок прямой х = aj до его пересечения с линией х = х0 в точке P = (х p). Затем из точки P проведем луч, лежащий на линии х — х0= a2(t—p) и находящийся в области G2. Обозначим через G3 область, ограниченную указанными отрезком и лучом сверху, а также полуосью Ох, х > 0 снизу.

Покажем, что из равенства (6) следует другое равенство:

и(х,£)=0, (х,£) G G3.

Возьмем произвольную точку H = (х0, h) в области G3.

Прямые

х - х0=а( - h), х - х0= - a2(t - h)

пересекают полуось Ox, х > 0 в точках C и B соответственно.

В качестве области G возьмем треугольник G(H) с вершинами в точках H, B, C; на основании леммы и формулы (6) имеем:

dG (H)

+

+

J а(Х)d2u(X, t)JX + ß(X)diU(X, T)dT~-

H)

J а(Х) Ö2U(X, T)dX + ß(X)du(X, T)dt

( HC )

J а(Х) 52U(X, T)dX + ß(X)du(X, T)dt

CB)

J а(Х)д2U(X, T)dX + ß(X)diU(X, T)dT

+

+

(CH )

= Yi (u(C) - u( H )) -Y2 (u( H ) - u (B)) = 0.

Отсюда, с учетом равенств u(C) = u(B) = 0

имеем равенство u(H) = 0.

Теперь возьмем точку

M = (x,t) е GjHG3.

Прямая £ - x = а(т - t), проходящая через точку M, пересекает полуось Ox, x > 0 в точке C. Рассмотрим прямую

£ - x = -а (т - t),

также проходящую через точку M. Из двух возможных вариантов рассмотрим более сложный, когда указанная прямая пересекает луч (x0,t), t > 0, в точке H = (x0,h) в области G3. Далее через точку H проведем прямую

£ - x0 = " а2(т - h), пересекающую полуось Ox, x > 0 в точке B'.

Рассмотрим четырехугольник G(M) с вершинами M, C', B', H. Применяем формулу (6) к области G = G(M) и вычисляем интегралы вдоль прямолинейных участков ее границы; с учетом равенств

u(Cr) = u(B') = u(H) = 0,

получаем равенство u(M)= 0.

Для точки M = (x,t) е G2RG3 рассуждения полностью аналогичны.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что характеристики для уравнения (1) представляют собой отрезки прямых

x = ±ajt + const

в области G1, а в области G2 — отрезки прямых

x = ± a2t + const.

Возьмем точку Mj е Gj \ G3, т. е.

М1 = (х, t), 0 < х < х0, t > ajx

(рис. 1). Из точки M1 проведены две непрерывные составные характеристики, лежащие в области Gj, участки которых, проходящие через точку P = (pj,p2), являются частями прямых

£ - Pj = ± а1(т - Р2).

Эти участки имеют концевые точки на лучах

Rj = (0,t), t > 0, R2 = (x0,t), t > 0.

Точки, лежащие на луче R1, обозначаются как

E k = (0, eiJC), i = 1,2, k = 0,1,...,

Рис. 1. Иллюстрация к построению на графике х(/) двух составных характеристик, исходящих из точки М1 = (х,/), 0 < х < х0, t > а1х

а точки на луче Я — как Н , = (х,Ь ,).

^ 2 г,к 4 0 гк

При этом индекс I указывает номер составной характеристики, а индекс к есть нумерация концевых точек.

Первая составная характеристика получается по следующему правилу. Из точки М1 проводится прямая

X - х = а1(т - ¿)

вплоть до ее пересечения с лучом R1 в точке Е = (0, е 0). Далее через полученную точку Е10 проводится прямая

X = - а1(т - е1,0)

до пересечения с лучом Л2 в точке Н1 = (х0,А10). Дальнейшее построение состоит в том, что через получаемые точки

Построение продолжается до тех пор, пока получаемые отрезки характеристик имеют непустое пересечение с областью G1. Таким образом, мы получили множество точек Е Н на лучах R , R соот-\.,к -- 1к 1 2

ветственно, 0 < к < п. Для окончательного построения используем прямую

X = - а1(т -

пересекающую полуось Ох, х > 0, в точке

С, .

Вторая составная характеристика, исходящая из точки М, строится аналогично. А именно: из точки М1 проводится прямая

Х - х0 = - а1(т - 0 вплоть до ее пересечения с лучом R2 в точке

E = (0, e ) на луче R1 проводятся прямые H2 0. Далее, действуя последовательно и по-

X = - а1(т -пересекающие луч Л2 в точках И1к = (х0, к1, к). Через точки И1,к проводятся прямые

х - х0 = а1(т - КкУ

Формулы для этих точек имеют следующий вид:

e, k = t - x - 2k * ,

переменно используя характеристики

X =± а,т + const,

исходящие из уже полученных точек, получаем множество концевых точек E2k, 0 < k < n на луче R, и H2 k, 0 < k < n на луче R2 а также точку C2 на отрезке горизонтальной оси (0, x0).

Формулы для этих точек имеют следующий вид:

a

a

хп

(9)

e2,k = t -

a

- (2 k +1)-

a

hlk = t---(2k +1)-°-, k > 0.

a

a

h2k = t - ^ - 2k—, a a

k > 0, C2„ = (0, С,, ).

(10)

В множестве G2 построение используемых характеристик имеет более простой характер: через точки И.к, I = 1, 2, к = 0,...,я, проводятся прямые

^ - Х0 = - а2(Т - Кк)

вплоть до их пересечения с полуосью Ох, х > 0 в точках В ,.

г,к

Следствия для функции и(х,?) из равенства (6) в областях 01, 02

Рассмотрим многоугольник в(М1) с вершинами в точках М1, Е10, И10, В10, В2 0, И2 0 и применим к нему формулу (6) Для случая в = в(М1) (см. рис. 1). Ввиду того, что

дв (М!) = (М ) и (£1.0 я,0) и (Я,0 В.,0) и

и(В,0В2.0 ) и (В2.0Н2,0 ) и (Н2 М1),

вычисляем интеграл J(G(M1)), пользуясь леммой:

3(С(М1)) = У1 (и(£1,0) - и(М1)) --У1 (и(Н1,0 ) - и(£1,0 )) - У2 (и(В1,0 ) --и(Н1,0 )) - У2 (и(Н2,0 ) - и(В2,0 )) --У1(и (М1) - и( Н 2,0)) = 0.

Отсюда, с учетом равенств и(В10) = = и (В20) = 0 следует, что

u(Mj) = u (Ej,0) +

Y2 - Yj 2Yj

(11)

xu( H1,0 ) +

Yj Y2 u(H2,0).

2Yi

Y2 +Yj

Y2 +Yj

Чтобы найти выражение для и(Н 1), рассмотрим многоугольник G = G(H21) с вершинами Н21, £21, Н22, В2 2, В21. Снова применяя лемму и повторяя ' вычисления, приходим к формуле

и (Н 2,1) = и (£2,1) + 12-1 и (Н 2,2).

Таким же образом мы можем получить следующую общую формулу:

2y,

u (H 2 k) =-— u (£2 k) +

Y2 + Yj

+ u (H 2, k+j).

(12)

Y2 + Yj

Используя полученную рекуррентную формулу (12), имеем:

2Y ш u (H 2,0) = j

Y2 + Yj k=0

Y2 - Yj Y2 + Yj

k

u(£2,k). (13)

Чтобы найти формулы для и(Н1,0) аналогичными действиями, но при этом использовать элементы второй составной характеристики, которая исходит из точки М1, получаем следующее равенство:

u(Hj,0) = -2Y- j

Y2 + Yj k=0

Y2 -Yj Y2 +Yj.

k

u (£j,k+j).(14)

Следует отметить, что в правых частях равенств (13) и (14), вследствие условия (3), = 0, I < 0, отличным от нуля является лишь конечное число первых слагаемых. Используя равенства (13), (14) для формулы (11), в итоге получаем:

, лк+1

Ъ "У1 I „

i(Mj) = u (£j 0) + j

k=0 у Y2 + Yj

x( u( £j

) - u(£2,k )) ■

(15)

Чтобы найти выражение для и(Н2 0), рассмотрим многоугольник G (Н20) с вершинами в точках Н20, £20, Н21, В21, В20. Аналогично только что выполненным вьшисле-ниям, с использованием леммы для случая G = G(H2 0) получаем следующее:

и( Н 2,0) = -2*- и( £2,0) + и( Н 2,1).

Y2 +Yj

Y2 +Y1

Теперь рассмотрим более простой случай, когда произвольная точка M2 = (x,t) принадлежит области G2 \ G3. Построим составную непрерывную характеристику, которая исходит из этой точки и заканчивается на горизонтальной оси. Для этого снова будем использовать отрезки характеристик, лежащих на прямых

£ = ± а2 т + const.

Концы отдельных характеристик, которые получаются на луче x = x0, t > 0, мы обозначили через H k = 0, 1, ..., m, а на луче x = 0, t > 0 — через £ k = 0, 1., m. Концы же отдельных характеристик на горизонтальной оси, в порядке их возрастания, мы обозначили через C , B ,

m m

Bm_l,.., Bo, D (рис. 2).

Рассуждая аналогично предыдущемус-лучаю, выводим следующие формулы:

Рис. 2. Иллюстрация к построению на графике х(/) двух составных характеристик, исходящих из точки м е G \

и (М2 ) =

2У1

г

У 2 +У1 к=0

У

У 2 -У1 +У1У

Ек =

х

0, г--+

а0

(

1 1

Л

V а2

а,

- 2к —

1

а

1 У

Заметим, что ситуация, представленная при построении составных характеристик (см. рис. 1 и 2), не охватывает все варианты. Возможен, например, случай, когда последний участок составной характеристики исходит из точки Н или Н и заканчива-

2,п т

ется на горизонтальной оси. Этот вариант нами также проанализирован. Установлено, что он не приводит к изменению полученных формул.

Основной результат

В этом разделе будет показано, что полученные выше формулы дают возможность решить задачу (1), (2).

Теорема. Существует единственное решение и(х,/) задачи (1), (2), представленное двумя равенствами: (15) при всех М £ G1 и (16) для любой точки М2 £ Gr

Доказательство. Проведем доказательство в два этапа.

1. Существование решения. Тот факт, что

и(Ек ), (16) функция и (х, t),(x, г) е G0 \ G3, представленная формулами (15), (16), удовлетворяет уравнению (1), прямо следует из того, что каждое слагаемое в соответствующих рядах (17) является решением этого уравнения. Что касается множества G3, то, как было показано, и(х, г) = 0, (х, г) е G3. Таким образом, остается проверить выполнение остальных свойств, указанных нами при постановке задачи.

Во-первых, необходимо отметить, что если точка М1 стремится к линии X = а1т, то, как следует из формул (9), (10),

т(е1,к) ^ 0 т(е2,к) ^ 0

что и означает непрерывность u(x,t),(x,t)еG1.

Из таких же соображений следует непрерывность частных производных первого и второго порядков функции u(x,t),(x,t)еG1. Рассуждая аналогично, нетрудно показать выполнение требуемых свойств гладкости функции u(x,t),(x,t)еG2. Из вышеизложенного следует, что формулы (15), (16) дают функции, удовлетворяющие уравнению (1) везде в области G0.

Далее отметим, что если точка М1 = (х, ^ стремится к точке (0^), то

E

1,k

А x ^

0, t - 2k—0

V

1 У

E.

2,k

0, t - (2k + 2) — a

Л

0

1 У

Ek, E1,k, E2,k

0, t - (2 k +1)^

a,

i У

'(x0, t) = u( E0 ) + Z

Y2 -Yi

k+1

k=0 v Y2 + Yi У

x (u(Ek+1) - u(Ek ))= 2Yi u(E0 ) -

Y2 + Yi

k=1

(

Y2 -Yi

k

Г

U2 + Yi У vY2 + Yi У

Y2 -Yi

k+1 Л

u(Ek ) =

2Yi

k

Y2-Yi

Y2 + Yi k=0

VY2 + Yi У

u (Ek).

du(M1)

= m K0)+Z

Y2 -Yi

\

k+1

dt "" k=0VY2 +Y1У

x(m(ei, k+1) -m(e2k)).

Отсюда получаем:

lim dM = „■

x0-0 dt

t

v a1 У

+Z

k=1

f V ff Ч2 -Yi '

VY2 +Yi У f

m

vv

x Л (19) t - (2 k +1)x0

a

1 У

Е,0 ^ (0, t).

Отсюда следует, что |Е -Е1 | ^ 0. Поэтому правая часть равенства (15) стремится к Ц/), что и означает выполнение граничного условия и(0^) = ц^). Таким образом доказано выполнение условий (2) для функции и(х^).

Осталось проверить выполнение свойств u(x,t) при х ^ х0. Нетрудно видеть, что при этом выполняется соотношение

m

t -(2k -1)-0-

a

1 УУ

Далее, из равенства (16) следует, что

lim

du (M2) _ 2y1

f \k Y2-Yi

^x0+0 dt Y2 +Yi k=0 VY2 +Yi У A x ^

t - (2 k +1) x0 a,

m'

(20)

Следовательно, формула (15) при x ^ x0 принимает вид

V "Ч У

Выполняя в равенстве (19) действия, аналогичные тем, которые выполнялись при получении равенства (18), получим:

lim

du (M 2)

= lim

du (M1)

(18)

x^x0+0 dt x^x0-0 dt

полученное равенство означает выполнение условия (4).

Почти такими же действиями проверяется выполнение условия (5):

du(M) = _ J—х

x0-0 dx

<1

k=0

Y2 Yi m'

v Y2 + Yi У

ai Y2 +Yi

t - (2 k +1)^

a

1 У

lim duM) = _x

x0+0 dx

a2 Y2 +Yi

Правая часть полученного равенства (18) совпадает с правой частью равенства (16), что и доказывает непрерывность функции u(x,t) при х ^ х0.

Теперь докажем выполнение условий (4), (5). Из равенства (15) следует, что

<1

k=0

k

Y2 -Yi '

VY2 +Yi У

m

л

t - (2 k +1)^-

a

1 У

Из последних двух равенств следует, что ß2 lim

x^x0+0 dx

du (M 2) . du (Mi) = ß1 lim

x^x0-0 dx

а это означает выполнение условия (5). Итак, существование решения доказано. 2. Единственность решения. Для доказательства возьмем два решения задачи (1), (2) и обозначим их разность как ¥(х,1).

Поэтому, в силу условия V(x,t) = 0 име-

ем:

V(x,t) = 0, (x,t)g R:

++ 2 ,

Рассмотрим функции

^(х.0 = д2У(х,г) + а(х)дДхД

у.(х.Г) = д2 ¥(х,Г) - а(х)д, ¥(х,Г). 2 2 1 что и означает единственность решения за-

Нетрудно проверить, что выполняются дачи.

Теорема доказана.

следующие равенства:

d2vj(x,t) - a(x) djvj(x,t) = 0, d2v2(x,t) + a(x) dxv2(x,i) = 0, v.(0,t) = 0, v. (x,0) = 0, i = 1, 2, (x,t) e G0. Условимся обозначать для 0 < x <x( vj (x,t), v2 (x,t), V(x,t)

через

Заключение

В работе рассмотрено одномерное вол-

(21) новое уравнение, описывающее не только поперечные колебания неоднородной полуограниченной струны, но и продольные ко-

(22) лебания неоднородного стрежня. При этом поставлена задача о нахождении функции колебаний для частного случая, когда процесс вызван исключительно поведением граничной точки.

Доказана теорема существования и единственности решения поставленной задачи, и для него приведены простые и явные формулы. В теореме представлена компактная форма записи решения, в которой использованы удобные вспомогательные обозначения.

Более полные формулы, содержащие Следовательно, из равенств (21) и (22) только исходные данные задачи, имеют

следующий вид:

' х I

Г--

а

v-( x, t), v-( x, t ), V"( x, t),

а для x > x0 - через

v+( x, t ), v+ ( x, t ), V +( x, t ).

имеем уравнение

v-( x, t ) = v-( x, t ) = 0.

Отсюда и из условий (4), (5) следуют равенства

у+( Н ) = у2+( Н ) = 0 для произвольной точки Н на луче (х0,г),

г > 0.

Из этих равенств и равенств (21), с учетом условий

( x, t ) g Gj, u ( x, t ) = m

+

*j y

+Z

(

Y2-Yj

k=o v Y2 +Yj (

-m

(

m

л

t-J_-2( k +1)^0

a

j

t - x - (2k +1) x°

>Л

a

v+( x,0) = v+ ( x, 0 ) = 0,

следует, что

(x, t) g G2, u (x, t) = ■

2Yj

j yy

(

v+( x, t ) = v+ ( x, t ) = 0.

Таким образом, мы приходим к равенствам

vj ( x, t ) = v2 ( x, t ) = 0,

Y2 + Yj k=

Y2 - Yj Y2 + Yj

k

xm

x

t—+ a2

1 1

Л

v a2

a

xn 2k

j y

a

j y

djV ( x, t ) = 0, д 2V ( x, t ) = 0, V(x,t) = const.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Важно отметить, что последние из представленных формул позволяют создать без затруднений соответствующий численный алгоритм.

1. Petrova G., Popov B. Linear transport 1999. Vol. 24. No. 9-10. Pp. 1849-1873. equations with discontinuous coefficients // 2. Bouc hut F., Jame F. One-dimensional Communications in Partial Differential Equations. transport equations with discontinuous

coefficients // Journal of Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications. 1998. Vol. 32. No. 7. Pp. 891-933.

3.Куликовский А.Г., Свешникова Е.И., Чугай-нова А.П. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений //Лекционные курсы НОЦ. Вып. 16. М.: Изд. Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2010. 122 с.

4. Tadmor E. Local error estimates for discontinuous solutions of nonlinear hyperbolic equations // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. No. 4. Pp. 891-906.

5. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

6. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи математических наук. 1959. Т. XIV. Вып. 2 (86). С. 87- 158.

7. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 255 с.

8. Ильин В.А. Формула типа Даламбера для

продольных колебаний бесконечного стержня, состоящего из разной плотности и разной упругости // Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 4. С. 466-468.

9. Ильин В.А. Формула типа Даламбе-ра для поперечных колебаний бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности // Доклады Академии наук. 2009. Т. 427. № 5. С. 609-611.

10. Аниконов Д.С., Коновалова Д.С. Прямая и обратная задачи для волнового уравнения с разрывными коэффициентами // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2018. Т. 11. № 2. С. 61-72.

11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.

12. Салехов Г.С. Обобщение формул Даламбера и Пуассона // Успехи математических наук. 1947. Т. 2. Вып. 40. С. 175-182.

13. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 2004. 416 с.

Статья поступила в редакцию 02.11.2018, принята к публикации 12.12.2018.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

АНИКОНОВ Дмитрий Сергеевич - доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией условно-корректнъх задач Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, Российская Федерация.

630090, Российская Федерация, г. Новосибирск, ул. Коптюга, 4 [email protected]

КОНОВАЛОВА Дина Сергеевна — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории условно-корректных задач Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, Российская Федерация.

630090, Российская Федерация, г. Новосибирск, ул. Коптюга, 4 [email protected]

REFERENCES

[1] G. Petrova, B. Popov, Linear transport equations with discontinuous coefficients, Communications in Partial Differential Equations. 24 (9-10) (1999) 1849-1873.

[2] F. Bouchut, F. Jame, One-dimensional transport equations with discontinuous coefficients, Journal Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 32 (7) (1998) 891-933.

[3] A.G. Kulikovskiy, E.I. Sveshnikova, A.P. Chugaynova, Matematicheskiye metody izucheniya razryvnykh resheniy nelineynykh giperbolicheskikh sistem uravneniy [Mathematical methods of studies in discontinuous solutions of systems of nonlinear hyperbolic equations], SEC

lecture course, 16 (2010), MIAN, Moscow.

[4] E. Tadmor, Local error estimates for discontinuous solutions of nonlinear hyperbolic equations, SIAM J. Numer. Anal. 28 (4) (1991) 891-906.

[5] N.N. Kalitkin, Chislennyye metody [Numerical methods], Nauka, Moscow, 1978.

[6] I.M. Gel'fand, Some problems of analysis and differential equations, Uspekhi Mat. Nauk. 14 (2(86)) (1959) 87-158.

[7] A.F. Filippov, Differentsialnyye uravneniya s razryvnoy pravoy chastyu [Differential equations with a discontinuous right-hand part], Nauka, Moscow, 1985.

[8] V.A. Il'in, A d'Alembert-type formula for longitudinal oscillations of an infinite rod consisting of two segments with different densities and elasticities, Doklady Mathematics. 80 (1) (2009) 613-615.

[9] V.A. Ilin, A d'Alembert-type formula for transverse oscillations of an infinite rod consisting of two segments with different densities, Doklady Mathematics. 80 (1) (2009) 624-626.

[10] D.S. Anikonov, D.S. Konovalova, Direct and inverse problems for a wave equation with discontinuous coefficients, St. Petersburg State

Received 02.11.2018, accepted .12.11.2018.

Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. 11 (2) (2018) 61-72.

[11] A.N. Tikhonov, A.A. Samarskiy, Uravneniya matematicheskoy fiziki [Mathematical physics equations], Nauka, Moscow, 1977.

[12] G.S. Salekhov, A generation of formulas of d'Alembert and Poisson, Uspekhi Mat. Nauk. 2 (4(20)) (1947) 175-182.

[13] A.G. Sveshnikov, A.N. Bogolyubov, V.V. Kravtsov, Lektsii po matematicheskoy fizike [Lectures on mathematical physics], MSU, Moscow, 2004.

THE AUTHORS

ANIKONOV Dmitriy S.

Sobolev Institute of Mathematics

4 Acad. Koptyug Ave., Novosibirsk, 630090, Russian Federation [email protected]

KONOVALOVA Dina S.

Sobolev Institute of Mathematics

4 Acad. Koptyug Ave., Novosibirsk, 630090, Russian Federation [email protected]

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2019