Обратные задачи и некоторые вопросы динамики этничексих процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

нии российской истории прекрасно объясняются в этом случае тем, что речь идет именно о цивилизации, допускающей широкий спектр идентичностей, сменяющих друг друга во времени или сосуществующих в рамках «большого пространства»

[5].

Таким образом, можно утверждать, что Россия имеет свое многомерное своеобразие, которое необходимо сохранить. Как историческая общность, как уникальный хозяйственный и социальный организм, как особое геополитическое образование Россия представляет собой самостоятельную законченную систему, имеющую большое значение в общепланетарном балансе цивилизаций. Специфичность и даже «уникальность» России - это своеобразное проявление общемировых процессов.

Литература

1. Поломошнов А.Ф. Россия в культурно-историческом пространстве (Н. Данилевский и В. Соловьев) - Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007.

2. Ерасов Б.С. Россия и Запад. Российская цивилизация: Этнокультурные и духовные аспекты: Энц. словарь. - М.: Республика, 2001.

3. Ерасов Б.С. Россия, Восток и Юг. Российская цивилизация: Этнокультурные и духовные аспекты: Энц. словарь. - М.: Республика, 2001.

4. Мчедлова М.М. Идентичность общероссийская. Российская цивилизация: Этнокультурные и духовные аспекты: Энц. словарь. - М.: Республика, 2001.

5. Иерей Андрей Беспалов. Истоки русской цивилизации. Электронный ресурс: http://www.krestianin.ru/artides/15143.php

УДК 517.9

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ ЭТНИЧЕКСИХ ПРОЦЕССОВ

Аниконов Юрий Евгеньевич,

заведующий лабораторией обратных задач математической физики, доктор физико-математических наук, профессор anikon@math.nsc.ru Нещадим Михаил Владимирович, старший научный сотрудник лаборатории обратных задач математической физики, кандидат физико-математических наук, доцент

Институт математики им. акад. С.Л.Соболева СО РАН Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск, Россия neshch@math.nsc.ru

В статье приводятся новые представления решений, коэффициентов, символов операторов эволюционных уравнений. Даются некоторые приложения полученных формул к обратным задачам. В частности, получены формулы, характеризующие некоторые параметры развития этноса.

Ключевые слова: обратные задачи математической физики; динамическая модель этноса.

INVERSE PROBLEMS AND SOME QUESTIONS OF THE DYNAMICS OF THE ETHNIC PROCESSES

Anikonov Yurii,

Head of Laboratory of Inverse Problems of Mathematical Physics, Doctor Physics and Mathematics, Professor anikon@math.nsc.ru Neshchadim Mikhail, senior researcher of Laboratory of Inverse Problems of Mathematical Physics,

Ph. D. Physics and Mathematics, Docent Sobolev Institute of Mathematics of the SB RAN, Novosibirsk State University Novosibirsk, Russia neshch@math.nsc.ru

In this paper we obtain some new presentations of solutions, coefficients and symbols of operator of evolution equations. We give some applications this formulas to inverse problems. In particular, the formulas are obtained which characterize some parameters of ethnos development.

Keywords: inverse problems of mathematical physics; dynamical model of the

ethnos.

В настоящее время происходит интенсивное развитие теории и приложений обратных задач для эволюционных и других уравнений. Появляются новые постановки обратных задач, развивается теория нового математического моделирования, создаются численные алгоритмы и их практическая реализация. Общие принципы, положения, проблематики, которыми обусловлено появление обратных задач заключаются в следующем [1-3]:

1. Определение причин по следствиям.

2. Проблемы управления, в частности проблемы перевода субстанций из одного состояния в другое.

3. Создание условий для функционирования определенного процесса.

4. Восстановление истории явлений.

5. Моделирование и поиск источников полей.

6. Определение внутренней структуры объектов.

7. Распознавание образов и идентификация.

8. Создание новых математических моделей и на этой основе создание новых методов компьютерного моделирования.

9. Задачи стимулирования.

10. Определение по объему времени скорости передачи информации.

11. Обратные задачи экономики поиска вариантов цен по прибыли, определение условий для достижения заданного уровня регионального развития.

Обратные задачи связаны непосредственно с поиском причин при известных следствиях, а прямые наоборот с выводом следствий при известных причинах. Например, обратные задачи для дифференциальных уравнений заключаются в поиске главным образом коэффициентов рассматриваемых уравнений при наличии той или иной подходящей информации. Для иллюстрации приведем пример, который связан с проблемами теории вероятностей и содержится в работе

А.Н.Колмогорова [4]. Оказывается, имеют место формулы для решения w(X, t) и коэффициентов а('), Ъ('), С(') параболического уравнения

, . 82 w , , . , , , .

— = с(') — - (а(')х + Ъ('))-— a(t) 8t 8х 8х

м =

ехр(-(х - Р)2 / Q)

R '

где

' (' ' ( ' Р = |Ъ(г)ехр |a(z)dz dr, Q = 4|с(г)ехр 2|a(z)dz dr, Я = .

Приложения этих формул содержится в упомянутой статье [4].

Далее мы приводим новые представления решений, коэффициентов, символов операторов эволюционных уравнений и в качестве приложения получаем формулы для решения и коэффициентов соответствующих обратных задач.

Пусть х = (х1,...,хп) е Я" , п > 1 , у , ' е Я , м = х,у,') — комплекснозначная функция. Рассматривается эволюционное уравнение вида

дw дw

А( у)— = D( у,') м + В(') —, (1)

8' 8у

где А , D , В — линейные операторы (возможно дифференциальные), действующие по переменным x и зависящие от переменных у , (у,') , ', соответственно. Символы операторов А , D , В обозначаются А , №, В , и определяются равенствами

А(у)еСх = А( у,а)е'тх, №(у, ')еСх = № (у, ',а)еСх, В(')еСх = В (',а)еСх, где С = (01,...,0п) е Я" , СОх = Юх +... + Фпхп . Имеют место представления для решения м = х, у,') уравнения (1) и одновременно для символов

А , №, В операторов А, №, В посредством пяти произвольных функций У , g , h , а , Ъ от переменных ю) е Я"+1:

Теорема 1. Пусть /(z,ю) , g(z,ю) , ^z,ю) , а(z,ю) , Ъ(z,ю) — непрерывно-дифференцируемые функции, а(0,ю) = 0 , Ъ(0,ю) = 0, функция У(z,ю) финитна по переменной Ю. Тогда справедливы формулы м>(х,у,') = | У(а(у,ю) + Ъ(',ю),ю)х

а именно

J g(а(у,а)-а(',а)+Ь(^а),а)й' J ^Ь(^а)-Ь(^ ,а)+а(у,а),а)й^

хе0 е° егахйа + & (х, t), (2)

А(у,а) = да, В^,а) = д±,

ду дt

(3)

й (у, t ,а) = ^а( у,а),а)да - g (b(t ,а),а)дЬ,

ду дt

где & ( X, t) — любое решение (1) с операторами, определенными (3).

Замечание. Условие финитности функции /(1,о) по а в теореме 1 является достаточным условием для сходимости интеграла и оно естественно может быть ослаблено с учетом роста других функций. В частности, в соответствии с формулой Леви-Хинчина [5] представления вероятностных мер с учетом безграничной делимости имеет место Теорема 2. Пусть в (2) г

п

/(г,а)ехр i < Р(г),а>-^ ак1 (г)акщ

V

5 1

к Л=1

где

g(z, а) = g1 (z)g2 ОХ h(z, а) = \ (^ (а),

Л

¡\еа>-1 -

В V 1+1 я I )

Л

h2(а)¡\ег<а,ф>-1 -г-<О112> ЪШ

В V 1+1 я1 )

1 е В1 , = Рп(z)) — вектор, (аи(z)) — положительно

определенная матрица, g1(z), \(1~) — дифференцируемые функции, ¡¡(йф)

, ¡(йф) — вполне конечные меры на классе борелевских множеств в В , удовлетворяющие условию

Г 1ф|2

1+ф

¡к (йф) < да, к = 1,2.

Тогда функция

w(x,y,t) = J f (a(y,©) + b(t,©),©) x

x exp

gi(©) J gi(a( У, ©)" а(Л,с) + b(t, ©))d^

x exp

h2(©)J h1(b(t,a)-b(£,a) + a(y,с))d£ e

о У

xd©

V о

корректно определена и при фиксированных (y, t) является функцией распределения некоторой безгранично делимой случайной величины.

В качестве приложений приведем результаты связанные с математическим моделированием этнических процессов [6,7]. Согласно Гумилёву [8], этнос — это естественно сложившийся коллектив людей, существующий как энергетическая система. Взаимодействие между этносами осуществляется на основе подсознательного разделения на своих и чужих. Основным понятием является понятие пассионарного поля — поля, обусловленного наличием биохимической энергии — пассионарности. На основе понятия пассионарного поля вводятся понятия пассионарного импульса, пассионарного напряжения — количество имеющейся в этнической системе пассионарности, поделённое на количество персон, составляющих этнос; работа выполненная этническим коллективом и т. д.

Пусть y = (yf, t) , y' e Rn , t e R , n > 1 — координаты пространство-время, (x, p) , X e Rm , p G Rm — координаты связанные с пассионарно-стью, x - потенциальная возможность особи к активным действиям; p - пассионарный импульс. Через w(X, p, y) обозначим плотность распределения особей данного этноса в пространстве R2m+n+1 переменных (x, p, y) , а через H(X, p, y) — биохимическую энергию, определяющую пассионарное поле.

Пусть P(x, p, y) — закон по которому живёт этнос: появление, исчезновение, перемещение особей в пространстве. Этнический процесс моделируется уравнением

P * w + ^ ai (x, p)

fdw 6H dw 6H}

= 0,

(4)

dxt dpi dpi dxt ,

где * обозначает свертку по пространственно - временной переменной

y = (У, t):

x

Р * & = | Р(X, р, у - ф)&(х, р,

В„+1

Отметим, что уравнение (4) содержит переменную — время t и поэтому является эволюционным уравнением. Если, например,

'Рг хг Л

н = £\ |В+ \ Q1Ш'

г=1 V 0 0

Щ( у'),

— 1 V

Р = а(х,р)5^)/(у') + £ д(к)(t)£5(к1)(у^.Щ)(уп)ЬкА.К (х,р).

к=1

то уравнение (4) примет вид:

а(х,р) | &(х,р,(у'-

ои+1

&(х, р,t,£') I(V'-0М0 +

1 д к+к1+.+к»& +£ £ ьк,к1,.,к„(х,—-+

к=1 к,^ дt ду^ 1 ...ду

п

П

г=1

Имеет место

+£ а(х,р) в(р-ог(хг

V дхг дрг )

= 0.

Теорема 3. Пусть /(1,0), gi (1,|), ^ (1,|) , В (1,|), 0г (1,|),

1 е В , 0 е Вп+Х , г = 1,.,т , произвольные дифференцируемые или аналитические комплекснозначные функции такие, что функции &, Р, Н, определённые нижеследующими формулами, корректно определены вместе со свёртками

д& дН д& дН Р * &, -*-, -*-,

дхг дрг дрг дхг

{т ___ _

I (£( В (р,,0)+0, (хг ,0) ),0 х

г=1

exp| £ Jg(R(pt,0)-R(V,0 + Qt(хШ№+ (5)

i =1 о

m t _____ _

+£ J h (Q (Xt,0) - Q + R (p, ^iyS

i=1 0

P(X,p,y) = J ¿at(X,p)(dQt(Xt,0)

5 J

pn+1 t =1

(Q (X. 0)0) - (6)

v dX

MiM! h (R (pi ,0,0 1 e&dt,

dpr I

H(x,p,y) = J £(R(p,,0) + Q,(x,0))ery'd0 (7)

Rn+1 t = 1

Тогда w(x, p, y), P(x, p, y), H(x, p, y) удовлетворяют уравнению

(4).

Замечание. Мы считаем что переменные (X, p) соответствуют пассионарному полю. Но, разумеется, для приложений переменные ( x, p) могут иметь и другие интерпретации. Например, X = (Xj,..., Xn ), p = (p^,..., pn ), где X. — цена, p. — ценовое изменение (см. [9]).

Если в уравнении (4) положить m = 1, at = 1, то формулы (5)-(7) примут, соответственно, вид:

w(X, p, у) = J {f(R(p0) + Q(XÖ)Ö) x

Fi.

Rn

x exp(J g (R( p, 0) - R(v, 0) + Q( x, 0), 0)d V + (8)

0

J h(Q( x, 0) - Q(v 0) + R( p, 0), Ö)dl)]ery°dÖ,

p

x

Р(х,р,у) = | (^е!0^(0(х0)0)-дВр0кжр0)0)

др

еГ>°0, (9) (10)

Н(х,р,у) = I (В(р,0)+0(х,0))е^.

В"+1

Найдем вид функций /(1,0), §(1,0), Ь(1,0) из формул (8)-(10) при условии того, что функция энергии Н(х, р, у) , определяющая пассионар-

ное поле, имеет следующий вид

_ _ Н(х, р, у)а (у)рАк + ((у)х , к, I е Ж

и ¿К (у), ( (у) — фиксированные функции. Теорема 4. Пусть

&0 (Р, у) = & 1=0, &1(x, у) = & 1 р=0,

&0( р,0) , х, 0) — обратные преобразования Фурье функций &0(р,у), &1(х,у) ; ¿(0), (0) — обратное преобразование Фурье функций а(у), ((у) . Тогда для функций / , £ , h , ¿0) ^ 0 , (0) ^ 0, из (8)-(10) имеют место следующие формулы

/ (1,01

( 1 ^

± л (

V а(0))

£ ( ( Ж I

,0

( 1 ^

а(0)

,0

, 1 > 0,

V /V /

1/24

1 н &0

-1п

I ' \1/2к — (¿0)) 0

(1 -')

/ ' \1/ 2к —

(аш) 0

1/2к — Л

,, 212 . (ж ) — 2тг 1 н,

h( (жж) (0)| ТТ'г '

& ((т

(1 ' (-((к Г.0)

^ \Р(0>) )

Используя алгебру кватернионов можно получить аналогичные результаты и для систем охватывающих эволюции нескольких этносов. А именно, пусть заданы аналитические функции / (1,0), \ (1,0) , (1,0), ^0) , 0(1,0), г = 0,1,2,3 . Положим

В

0

а. (Р,х, Щ gг (ЩР,О) - R(n¿) + Q(X +

0

X

|Ь (Q(X , О) - Ш О) + Я(Р,О), I = 0,1 , 2,3 ,

+

0

VIII

ах + а2 +а3 ,

о = cosг, в =

'2 1 sin г

, если г ф 0 , г

1 , если г = 0.

Пусть функции а!, а2 , аз удовлетворяют дополнительным условиям

да да: да. да: —- а:—- а., —- а:—- а., при . ф , др др дх дх

А (Р , х , О) (б( х , О) , О) ^ - Ьг (Щ( р, |) , О)= 0 ,1 ,2 , 3 ,

дх др

= (о/0 -в(ках + Ла2 + /заз))еа0 ,

= (о/1 + в(/0а1 + /2аз - /За2))еа" ,

^2 = (о/2 +в(/0а2 + /а1 - .Г^"0 ,

^3 = (о/3 +в(/0аз + /а2 - /2а1))еа° . N = /02 + /12 + /22 + /32,

Р = N А

Р = ^ А( /02 + А2 - /г - /32) + 2 А (// - /0 /3) + 2 А (/0 / + //3)) , Р2 = /02 - /12 + /22 - /32) + 2 А (/0 /3 + /+2 А (/2 /3 - /0 /1)) ,

Р3 = А3/02 - /12 - /22+/32)+2А1 (/1/3 - /0 /2)+2 А (/2 /3 + /0/1)).

и

Тогда справедлива следующая

Теорема 5. Пусть / (1,0) , (1,0) , Ь (1,0) , В( 1Щ) , 0( 1,0) ,

1 е В1, 0 е ВП+1 , г = 0 , 1 ,2 , 3 , — произвольные аналитические функции такие, что функции , Р , Н = В(р, 0) + 0(х , 0) , определенные вышенапи-санными формулами, корректно определены вместе со свёртками Р * ,

дН д&г дН д&г . . 0 „

-*-, -*-, г,J = 0,..., 3 . Тогда &г, Р, Н удовлетворяют сис-

дх др др дх

теме уравнений:

„ дН д&„ дН д&„ Р0 * &0 - Р * ж - Р, * - Р3 * &3 +-*—---*—0 = 0,

00112233—» —* —* —* 7

др дх дх др

„ дН д&, дН дж Р * & + Р * & - Р * & + Р * & +-* —L--* —1 = 0 ,

10013223—» —* —* —* 7

др дх дх др

„ дН дН д&,, Р * & + Р * & + Р * & - Р * & +-* —2--* —2 = 0 ,

20310213—* —* —* —* 7

др дх дх др

„ дН дН д&, Р * &п + Р * & + Р * & - Р * & +-* —3--* —3 = 0.

30031221—* —* —* —*

др дх дх др

В заключение приведем один результат, относящийся к теории ветвящихся процессов. Производящая функция F ^ ,х) однородного по времени ветвящегося процесса с условием ветвления удовлетворяет соотношениям [10]

F^ + 1,х) = F(^(1 ,х)) , F(0,х) = х. (11)

Из наличия соотношения (11) можно получить эволюционные уравнения на функцию F [10]. Отметим, что если V = V(х) — некоторое обратимое

отображение пространства С" в себя и функция G(t, х) удовлетворяет соотношениям (11), то функция

F (*,х) = V1(0(Г,У (х)))

Сп

— постоянный ненулевой вектор, то вектор-функция

F(/,х) = V• р + V(х))

удовлетворяет соотношениям (11). Наличие произвольного отображения в формуле для F ^ , х) позволяет конструктивно исследовать некоторые обратные задачи, связанные с эволюционными уравнениями.

Пусть х = (х. ) — квадратная матрица переменных хг,, г, J = 1 ,..., П , и

1 (х) = 1х + £ anxn, ап е С,

п=2

сходящийся степенной ряд в окрестности точки х = 0, 0 <| 1 |< 1 — некоторое

2

комплексное число. Рассмотрим обратную задачу: найти F^, х) С С такую,

Р(*,х) = V ^ • р + V(х))

ад

Р(0 , х) = х , Р(Т , х) = /(х) = 1х + £ апх\ ап е С, (12)

п=2

что

и f (x) — известное отображение. Мы называем поиск F (t ,x) обратной задачей потому, что в силу следующей теоремы определяются решения и коэффициенты A(x) , B(x) уравнений второго порядка.

2 2

Теорема 6. Пусть отображение V : C -> C определено равенством

exp (V(x)) = ] lim s"nfn (x) ,

n-><»

где ] Ф 0 — некоторое комплексное число, fn+1(x) = f (f" (x)) , f1 (x) = f (x) ; T > 0 — некоторое вещественное число, p = E , 0 <| S |< 1, — скалярная матрица " X ". Тогда

F(t,x) = V \t • p+V(x)),

Г чч-1

A( x) =

B( x) —fjSV(x> |dVx)

dx I dx

™ i • p

" ^ь|

удовлетворяют системе уравнений

ч Я2

а2 F (t,x) а2 F (t,x) ( a( x)) + -Ftix) B( x) (16)

at2 ax2 v 7 dx

д2 F

и условиям (12). Здесь-— ( A(х)) — второй дифференциал функции F(t , x)

дх

по переменным X примененный к вектору A( х) .

Доказательство теоремы основано на теореме Кеннига о решениях функциональных уравнений типа Шредера [11].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект N 09-01-00422а) и Программы Министерства образования и науки РФ(проект ЗН-24.10).

Литература

1. Аниконов Ю.Е., Конструктивные методы исследования обратных задач для эволюционных уравнений. Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 11, N 2 (2008), с. 3-20.

2. Anikonov Yu. E., Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. VSP, Utrecht, 1997, 203 p.

3. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. М.:Наука,1984 г., 264 с.

4. Колмогоров А.Н., Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи Мат.Наук, вып. 5 (1938), с. 5-41.

5. Линник Ю.В., Островский И.В., Разложения случайных величин и векторов. М.:Наука,1972 г., 480 с.

6 Аниконов Ю.Е., О математическом моделировании этнических процессов, ДАН Т. 345, N 1(1995), с. 7-9.

7. Neshchadim M.V., Dynamical model of the ethnic system. Formulas in direct and inverse problems. JIIPP, V. 6, N 6 (1998), p. 605-618.

8. Гумилев Л.Н., Этногенез и биосфера Земли, изд. ЛГУ, 1989 г.

9. Хренников А.Ю., Введение в квантовую теорию информации. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008 г., 284 с.

10. Севастьянов Б.А., Ветвящиеся процессы. М.:Наука, 1971 г., 436 с.

11. Marek Kuczma, Functional equations in a single variable. Warszawa, 1968,

386 p.

УДК 008

СТРУКТУРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ ЛИЧНОСТИ

Семенова Наталья Борисовна, старший преподаватель кафедры экономической теории и социологии Донской государственный аграрный университет пос. Персиановский Ростовской области, Россия nat75ka@yandex. ги

В статье представлены основные компоненты экономической культуры личности, определено место экономической культуры в менталитете и общей культуре личности.