О корректности обратных задачи определения пары, в случае простой областидля уравнения переноса излучений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы / References

1. Никулина М.П. Некоторые эффекты воздействия СВЧ излучения на спектральные характеристики пшеницы / М.П. Никулина, Р.Н. Никулин // Молодой учёный: вызовы и перспективы : XXIV междунар. конф. / ООО «Интернаука». - Москва, 2016. - № 22 (24). - C. 211-215.

Список литературы на английском языке / References in English 1. Nikulina M. P. Nekotorye effekty vozdejstvija SVCh izluchenija na spektral'nye harakteristiki pshenicy [Some microwave effects on spectral characteristics of wheat grains] / M.P. Nikulina, R.N. Nikulin // Molodoj uchjonyj: vyzovy i perspektivy : XXIV mezhdunar. konf. [Young scientist: challenges and prospects]/ OOO «Internauka». - Moskow, 2016. - № 22 (24). - P. 211-215. 2015. [in Russian]

DOI: 10.23670/IRJ.2017.55.180 Сариев А.Д.1, Шаждекеева Н.К.2, Шыганакова А. Т.3, Каракенова С.Г.4, Сариев С.Д.5

1ORCID: 0000-0002-1825-0023, Кандидат физико-математических наук, 2ORCID: 0000-0002-1825-0023, Кандидат физико-математических наук 3ORCID: 0000-0002-1825-0097, Магистр математики, 4ORCID: 0000-0002-1825-0097, Магистр математики, Атырауский государственный университет в г. Атырау, Казахстан 5ORCID: 0000-0002-1825-0097, Магистр математики, Международный казахско-турецский университет

г. Туркестан, Казахстан О КОРРЕКТНОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЫ {и, а}, В СЛУЧАЕ ПРОСТОЙ ОБЛАСТИДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЙ

Аннотация

В статье изложены основные вопросы исследования локальных свойств интеграла столкновений и классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой области из R3.

В статье изучены и доказаны вопросы корректности «в целом» ряда обратных задач для нестационарного уравнения переноса, рассматриваемого в ограниченной простой области из R3, для одновременного определения пары {и,а}

Приводится гладкость рассматриваемой области, учитывая простату области, доказаны лемма 1-4, на основе этих лемм доказано теорема 1.

Ключевыеслова: уравнение переноса, локальные свойства, интеграл столкновений, односкоростное нестационарное уравнение, начальное условие, граничное условие, вопросы корректности решения, ограниченная простая область из R3.

SarievA.D.1, ShazhdekeyevaN.K.2, ShyganakovaA.T.3, KarakenovaS.G.4, Sariev S.D.5

1ORCID: 0000-0002-1825-0023, PhD in Physics and Mathematics, Atyrau State University, Kazakhstan,

2ORCID: 0000-0002-1825-0023, PhD in Physics and Mathematics, Atyrau State University, Kazakhstan,

3ORCID: 0000-0002-1825-0097, Master of mathematics, Atyrau State University, Kazakhstan,

4ORCID: 0000-0002-1825-0097, Master of mathematics, Atyrau State University, Kazakhstan,

5ORCID: 0000-0002-1825-0097, Master of mathematics, International Kazakh-Turkish University, Turkestan, Kazakhstan ON THE CORRECTNESS OF INVERSE PROBLEM OF DETERMINING COUPLE {и,a} IN THE CASE OF A SIMPLE EQUATION FOR THE TRANSFER OF RADIATION

Abstract

The article outlines the main research questions of the local properties of the collision integral and classical solutions of non-stationary radiative transfer equation, considered in the plain area of R3.

The paper studied and proved the correctness of questions "in the large" number of inverse problems for nonstationary transport equation, considered in a limited plain area of R3, for the simultaneous determination of the pair.

We present the smoothness of the area under consideration, taking into account the area of the prostate, to prove the lemma 1-4, on the basis of the lemma is proved Theorem 1.

Keywords: transfer equation, local properties, the collision integral, one-speed time-dependent equation, initial condition, boundary condition, solution correctness issues, limited simple area from R3.

В настоящей статье изучаются локальные свойства интеграла столкновений односкоростного нестационарного уравнения переноса, а также классического решения нестационарного уравнения переноса излучения, рассматриваемого в простой ограниченной области из R3.

Уравнение переноса рассмотрено при следующих предложениях [1-4]:

1) все частицы имеют одинаковые по модулю скорости,

2) поток частицы из вакуума на внешнюю границу отсутствует,

3) индикатриса рассеяния &(г,ю,ю') представлена в виде &(г,ю,ю')= (4^) 1£s(r)g), где jU0 -косинус

угла между направлениями О и О)', т.е. ^0=(®,ю') При этих предложениях уравнение переноса имеет вид

Su = ^S (r) J g )u(t, r,a')da'

Q

•<P ,

— + Ьи = Би + /

Здесь и = и(Х, г,с) - функция распределения частиц, / = /(¿, г,с) - функция источника, 5 = 5(г), 53=53 (г) — (4^) 1 g(^0 ) - индикатриса рассеяния, г = (X, у, 7) - пространственные координаты, С = (£,],£) - точки единичной сферы О со сферическими координатами

£ = зт#соз( т] = £ = cosв,

Ьи = (с , gгad и) + 5 (г )и,

5*£)

4ж

Будем говорить, что поверхность

дО области О принадлежит классу С (р > 1), если в некоторой окрестности каждой точки г0 е дО она представима уравнением, (р~ (г) = 0, причем gгad( (г) ^ 0 и функция

го г°

((г) непрерывна, вместе со своими производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности.

го

Поверхность дО называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса С1 [1-4]. Будем считать, что область О, в которой происходит процесс переноса, состоит из конечного числа подобластей

J ___

(зон) О, ограниченных кусочно-гладкой поверхностью, дОj, т.е. О = ^ О; а О - выпуклым. Через дО

}=1

обозначим внешнюю поверхность области О. Граничная поверхность

дО области содержит кроме дО еще

поверхности у раздела зон (части поверхности дОу) О..

Кроме того полагается, что множество [0,Т]х О - удовлетворяет условию «обобщенной выпуклости» см. Гермогеновой [1-4] П^, г,С |= |(т, г — — г)^ 0 <т< являющаяся характеристикой дифференциального

выражения + Ь и проходящая через любую точку г (0,Т ]х О при любом сеО имеет конечное число

M(t, точек {tm, rm ) (t*m = t*(t, r,a), rm = r —a(t — t*m), 0 < t* < ... < t*m < t) пресечений с граничной

поверхностью {0,T]xSG ^{o}x G и supM (t,r,a) <<x>. Здесь t*(t, r,a) есть время пересечения

характеристикой n(t,границы множества [0,T]xG.

Для включения в рассмотрение областей, отдельных участки поверхности которых имеют прямолинейных образующие, последние достаточно продолжить вдоль образующих по всей области, увеличив тем самым количество зон Gj [1-4].

Для однозначной разрешимости к уравнению (1) необходимо присоединить начальное распределение частиц

u(0, r,a) = Ф(г,ю), у)

и режимы на внешней границе и на границе раздела зон

u(t,r,a) = 0, r'eSG, (nr,a) <0 ^

lim u(z,r,a(t — z),a) = lim u(z,r,a(t — z),a), m = 2,M.

—0 (4)

Пусть Пj = [0,T] x Gj, = Пj \ {{0} x dGj j, j = 1J.

C(П x Q) - класс функции f (t, r,fö), непрерывных в каждом множестве П x Q, j = 1, J и таких, что

max sup

j П ;xQ

f (t, r,a) = f <ю.

Заметим, что, если f £ С(П х Q), то при стремлении (t, r) к {0} х DG вдоль различных прямых, пределы -*■ —»

lim f (t, r,o) существуют и вообще говоря различны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Классическим решением задачи (1)- (4) в области G = назовем функцию

j=1

и(т, r— a(t— т),а), которая для всех t е[0,Г], r е G,oeQ

1) непрерывна по т на отрезках [tK, t*+1], K = 1,M — \,[tM, t] и непрерывно дифференцируема по т в

интервалах (t*, t*+1), K = 1,M — 1, (tM, t);

^ _ § (r) . _ _ ^ 2) допускает существование интеграла столкновений N(t, r,a) = Su =—-J g(l0)u(t,r,a )dw'

4ж

принадлежащего С(ПхО);

3) удовлетворяет уравнению

d_ dt

и(т, r — О (t — т),о) + §(r — a(t — t))u(t, r — О (t — т),о) =

= N(t, r—a(t — т),о) + f (т, r—a(t — т),о),

(5)

начальному условию (2) и граничным условиям (3)-(4).

*

Интегрируя уравнение (5) по переменной т от ц до t с учетом начального и граничных условий (2)-(4), имеем

и = РФ + Я( N + /) ГДЕ ОПЕРАТОРЫ Р И Я ОПРЕДЕЛЕНЫ ФОРМУЛАМИ

(6)

Ф(^ r ,О) =

0,

r —ateG

—Ja(r —a(t—T))dT 0(r—at,a)e 0 , F—0teG

-Ja(r—a(t—t')) dT

0

Rf (t, r,a) = J f(T, r —a(t — T),o)e0 dT.

tl (t ,r ,О)

Действуя на уравнение (6) оператором S, для интеграла столкновений N получаем

N = KN + Kf + ВФ

где K = SR , B = SP.

и = РФ + R(Su + f)

Операторы Р и R определены формулами

(7)

(8)

РФ^, X, ц) =

0,

ф(х—^t,^)e

—J§(x—ц(t—TjjdT

если

если

XG x—^te G

Rf (t, X,L) = J f (T X — L(t — T),L)e '

— \S{ x—M(t—T'y)dT'

■'Yl Wr'

dT

Умножим функцию u(t,X,^'j, определенную формулой (8) на 2 1 Ss(xXjy(^,L). Полученное при

этом

уравнение проинтегрируем по переменной [ от -1 до 1. Меняя порядок интегрирования в полученных при этом повторных интегралах приходим к уравнению

N = Ш + К/ = ВФ

(9)

Операторы K и В определены формулами

t >0;

Kf (t, x,l)=

K1f—K2f,

t=0;

t

<

О

0

ВФ(г, х,и)=

5 (х) и0(г,х)

1 у(м,м' Ж х; х-иг,и )Ф( х-и'г,и' уси' , г >0, /лн (г, х)

БФ,

г=0;

где д( х, х',/) = ехр <! — — ^

к/(г, х, /) = ^^ |сх' | ^¡¡^(х, х ', /')/(г — х~х~, х ', /')du

и

* х

х 1

уСи и')

' Л..'

к/(г,х,и) = 5Сх) |сх' | у(и,и )д(х,х',и')/(г — хх—х-,х'и')си

х0(г,х) х—х0

г

х—х0 хн(г.х) г

и

у(и,и'X

и

Г , 1.Г

2

и

и

Xо(г, х) = <

и0(г,х) = <

х—г, х > г,

0, х <г

1, х>г,

хн (г,х) = <

н, н—х<г,

ин (г, х) = <

х+г, н—х>г

н—х н—х<г, г '

х<г

и (Х х) =

—1, н—х>г

Введем еще функцию

—1, х—н<—г,

х—г<х—Н<г, г

1, х—к>г,

Для изучения свойств гладкости интеграла столкновений изучим свойства функций Х6, (, е {О, н}),

¡л,, (, е дО) и операторов К и В . Нам нужны следующие леммы:

Лемма 1. I) Для любых (г{, х) еП, ¿ = 1,2 верно неравенство

К х2) — х1) < |г2 — Ч\ + \х2 — х1 (10)

а, первые производные от х5 терпят разрыв 1-ого рода лишь на линиях г = , — х|, , е {О, н}; II) Для любых (г, х) е П ■; ¿, j = 1,2; , е дО верно неравенство

2 42

(г2, х2) (гl, х1) -ч (| г2 — г1 + |х2 — ^

¿=1 р (г, , х1) (11)

где р (г, х) = д/г2 + (Б — х)2 , причем первые производные функций и, (г, х) терпят разрыв 1-го рода лишь на

линиях г = — х|.

Доказательство. Утверждение первого предложения, а также непрерывная дифференцируемость функций , и на П j, кроме линии t = — х|, непосредственно следует из определения этих функций. Докажем неравенство

(11) при Б = 0 . Положим г2 > ^ и оценим разность J =

тогда справедливо неравенство _ 1

г2 >42—1(г22 + х2) = 2—2р0(г2,х)

л

Аг1г2 и0

. Она отлична от нуля, лишь когда х < г2 . Но

х

и

Следовательно, если x < t , то в силу определения

j=^2 - < ¿zi

t1t 2 t2 p0(t 2, x}

Если же x > tj, то J=1 x =t2 - x ^2 - t1 12 - tl|

12 12 12 P0(t 2,x)

Аналогично оцениваем

Л

А x^2 ßo < ■

x2 xi

Po(t, xi)

а потому, в силу неравенства треугольников и очевидного неравенства

™n Ps(ti, x,) < max Ps(ti, xj) г l*j J (12)

следует справедливость оценки (11) при S = 0 . Неравенства (11) при s = h, s = H доказываются в результате

аналогичных выкладок. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия Cas, С а, тогда оператор В действует из С а'0 (g хЛ) в

Са о(й хЛ) при 0 < а < 1 и в Z(n; С(Л)) при а = 1.

Доказательство. Пусть (t, xi) е П/, i, j = 1,2. При t = 0 очевидно неравенство

J =

АМг ВФ

< С®,о (x2 — )

Поэтому пусть t > 0 и |x2 — xj < min {1; h; H — h}. Легко видеть, что

6

j <1 j

=1

< СШа (x2 — x\),

где

л

А xÄ öf

J 2 = — 2 2

J1 =ф

ß0 (t1x2 ) IФ^—ßt, < с

ß0 (t1x1 ) ßH (t1 x2 )

SsY

Аx1x2 ß0

J =^

J = s J Л

2

ßh (t1x2 )

I\ф(^ — ßtß)dß< С

ßH (t1 x1 )

Аx1 x2 ßH

2

| |0(x2 — ßt, ß) — Ф(x: — ßt, ß)dß < С

ßh (hx1)

А x1x2 ßh

J = S

ös/

2

\ß0 (t1x1 ) ßh (t1x1 )] , I+1,

lßh (t1x2 ) ßn (t1x2 )J

Аx1x2 Ф(x — ßt,ß\dß

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

J = s J 6

fi

ф |\q(x2; x2 — ßt; ß)—q(x1; x1 — ßt; ßßdß.

При [($,Х2)< [<[({,X) и Х2}<[<[($,X) справедливы соответственно неравенства

0 < X — [ < И; / = 1,2 и И < X — [ < Н ; / = 1,2. Следовательно, в силу условий леммы

Л Х2 — ^)

Используя технику, применяемую В.И.Агошковым в [5], и неравенство

л

л

1

ехр <

— - ]5(х ')Сх'

и х2 —цг

справедливое при и ^ 0, можем оценить

^ <5Уф(45 1 + 2 1 Си) <Сс(|х2 — хф

ехр < — — |*5(х' )Сх''

и х1 —иг

< ШШ № х2 - х1

И

(19)

Из (13) в силу неравенств (14)-(18), (20) получим

А вф

< С

2

1=1 I ^,2

и

х2 х1

(20)

л/р2( х ,дО)+г:

Са( х2 — х1)

(21)

Аналогично нетрудно доказать, что для (/г, х) е П , ¿, / = 1,2

А ВФ

ал/,

< С

г2 г1

2

2 I-

¿=У /2+р2( х ,дО)

+Са( г2 —/1)

(22)

Из соотношений (21), (22) и неравенства (12) видим, что функция ВФ принадлежит пространству Са'° (П х Л)

при 0 < а < 1 и пространству Z(П; С(Л)) при а = 1. Лемма доказана.

Если, кроме условий леммы 2, выполнены условия согласования А, то неравенства (15) - (17) могут быть усилены. Действительно, в этом случае

и0(г, х~1)

1|Ф( х2 — иг, и) — Ф(0,и) Си.

Т _5уУ J 2 = 2

М0(г, х1)

И так как при и0 (/, х1) < и < и0 (/, х2) верны неравенства 0 < х2 — и < х2 — х < ^ , то

J2 < Сба(х2 — х\)

Аналогично оцениваются величины ^ ; ^ :

5,у

Л ^1ФСа(х2 — х1 Поэтому из (13) в силу неравенств (14), (23), (24), (18), (20) имеем

-Гф^х2 — х\) J4 <5,УГ,Са(х2 — х|)

Аналогично можно доказать оценку

Ах1х2 ВФ

Аг,и ВФ

<

Сба( х2 — х\)

< ССа(х2 — Х\)

(23)

(24)

(25)

(26)

Из соотношений (25), (26) и неравенства треугольников следует справедливость следующей леммы.

Лемма 3. Если, кроме условий С5, С5, Су0, выполнены условия согласованияA, то оператор Bдействует из

Са0 (О хл) в Са'0 (пхл) при 0 < а < 1 и в Z(П; С (Л)) при а = 1.

Лемма 4. Пусть выполнены условия С5, С5, Су0, тогда оператор К переводит Са'0(П хЛ) , Са'°(ПхЛ)

, Са,0([0,Т]хт) в Са,0(ПхЛ) при 0 < а < 1 и классы функций Z(П; С (Л)), Z(П; С(Л)) в Z(П; С(Л)) причём справедливо неравенство

нс (пхл )^с (пх л )

Доказательство. Пусть (/, х) е П/, ¿, j = 1,2 (/2 > ^). Докажем справедливость оценки

<Р< 1

хл — х

2 Л1

0

хл — х

21

л

л

л

л

3 =

Л* К/

< Соа^2 — tl|)

(28)

Так как при ^ > ^ > 0 верны неравенства Х0(^,х)> Х0(^,X) и

х)> Хо(t2,х) и (х ХУ >(х ХУ(Хо(11,X) < X < X)

то

очевидно

3 3\ + 3 2 + 33

где 31 =

с» г Хо (1,х) 1

| Сх' | х; х', [Л)ё[

и ,х) X—X ' [

хо^2, х) X—X

(29)

3 2 =

3 3 =

2

х tl \

| Сх' | —д(х; х',[)С[

'и X) X—х' [

2

Хо(Ч, х) ХтХ t2

X 1

I сЫ [

Хо(к, X) Х-Х^

/ & — , х', [) — / (Ч — , х',[) сЛ [ [

Для интеграла 3 (— < 1) справедливо неравенство

Нетрудно также оценить

т Г 1 Хо(Н,х) „ х—х')

3<^IФ I [ С[< п J J [

2

о Хо^2, х )•

\Ч —Ч\ 1

<с\ 1+ I

5( х—xо(tl, х)) 5( х—хо (^2, х))

[ — е [

<

< С

ч2 — ^ +

Л^2 Хо

[

< Сфг(\^ —11|)

(30)

32 <

5*У/ Г^ 1 с[

2

|Сх'I С ||1п^ — 1п^\ёх'<

Хо(Ч, х)

12

[

0(t1, х)

< t X — Хо(1 х))|^ — < С^2 — 4

где t е\}1,^].

Пусть / е Са,°(ПхЛ) или Z(П; С (Л)), тогда

3 < С

х 1 2 II Е Е-

Хо(^,х) ^ ЯедОг =1 ,

У2 — ^ '

^ — Х—Х )2 + (Б — х' )2

" + М ^ — tl|)

[

Покажем, что интегралы

х 1

ая =

I ^ ^

Хо(к,х) Х—Х_ ['

Б едО

х — X

г\2

(^--- )2 + (Б — х ')

[

ограничены.

Действительно, в силу неравенства

ав < 2— (а2 + в2), (а,в > о)

и формулы 1.2.52.8 из [6] имеем

(31)

Л

2

2

х — х

е

о и —t

2 Ч

Л

>

и —t

2 Ч

х—X

х

х

^2 х Сх' г

V г1 х0 (/1,х)

Си

и0 (/1,х)

лр—х |

х—х'

г\

2 х х

и —-—и

^ = 2 1

С]

Си

х — ,

]

л/и2 — и

<

и0 (/1, х)

1

и0 (/1, х)

< 2 1 , 1 | £п(^1 — ]] + 2 — т)— ¿п]|С]< 2Ы4 1

С]

■ +

х — ,

х — ,

и0 (/1, х)

+

2 1

\ыас]

х — ,

]

< С

Следовательно, при / е Са' (П хЛ) или 2 (П; С (Л)) имеем

Л < ССа (| /2 — /1)

Нетрудно видеть, что оценка (33) верна и при

/ е Са0 ([0;Т])х т), Са(ПхЛ), Z(П; С (Л)).

Таким образом доказали справедливость неравенства(28). Аналогичные выкладки показывают, что справедлива оценка

(32)

(33)

л

А/1/2 К2/

< С ша (| г 2 — г1|),

а потому верно неравенство

л

А /1/2 К/

< С ша С / 2 — /1)

. (34)

Неравенство (4.34) имеет место и при / = 0, так как в этом случае можно воспользоваться очевидным неравенством

|К/| < / • г

Аналогично доказывается, что при / е Са'0(П хЛ), Са'0(ПхЛ) , Са'0([0,Т ]х т), Z(П ; С (Л)) верно неравенство

АхЛ К/

< Сша(\х2 — х\)

. (35)

Из соотношений (34) - (35) следует, что при условиях леммы оператор К переводит Са'0(ПхЛ),

Са,0([О,Т]хт), Са,0(ПхЛ) в Са,0(ПхЛ) при 0<а< 1, а классы функций Z(П; С(Л)), Z(П; С(Л)) в Z(П ; С (Л)).

3 /

Остаётся доказать неравенство (27). Без ограничения общности можем полагать, что у^ = / < 1, поэтому, если / е С(ПхЛ), то

_ —5( х—х')

\\К/\\а (ПхЛ) = 51 У(и,и015 е и Сх'Си 41 А\а (ПхЛ) + 25 0 0 и

Л 0 н Я —5(х'—х)

+ 51у(и и)4и ^ и Сх' (ПхЛ) <314(ПхЛ)

25 —1 х и I

Лемма доказана.

В силу лемм 2 - 4 и используя технику доказательства теоремы 1., нетрудно видеть, что верна Теорема 1. Пусть выполнены условия С5 , С5, С^ и Ф е С (О хО), / е С(П х О), тогда существует единственное классическое решение задачи (1) -(4).

0

п

0

0

г

г

1

0

г

л

Список литературы / References

1. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса./ Аниконов Д.С. //Всесоюзный журнал, Дифференциальные уравнения, г.Минск, Т.10, №1, 1974, С.7-17.

2. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса./ Гермогенова Т. А. -Москва, Наука, 1986. -272 с.

3. Сариев А.Д. Глобальная теорема об устойчивости решения обратных задач нестационарного уравнения переноса./ Сариев А.Д. // Республиканский журнал: Доклады АН РК, серия Физ-мат наук, №1, 2001г, С.16-21.

4. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. / Султангазин У.М. В книге: Алма-Ата, Наука, 1979. -269 с.

5. Агошков В.И. О гладкости решений уравнения переноса и приближенных методах их построения, / Агошков В.И. В книге: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения - Новосибирск, 1977.-Выпуск- I. - С.44-58

6. Сариев А. Д. Об областях неопределённых производных высокого порядка от интеграла столкновений нестационарного уравнения переноса./ Сариев А. Д. В книге: По проблеме вычислительной математике и методы научных исследований: 2- Республиканская конференция. Алма-Ата, 1988., С. 19-22.

Список литературы на английском языке / Referen cesin English

1. Anikonov D.S. Ob obratnyh zadachah dlja uravnenija perenosa [On inverse problem for the transport equation]/ Anikonov D.S. //Vsesojuznyj zhurnal, Differencial'nye uravnenija, [Union journal Differential Equations]. g.Minsk, V.10, №1, 1974, P.7-17. [in Russian]

2. Germogenova T. A. Lokal'nye svojstva reshenija uravnenija perenosa. [Local properties solving the transport equation] / Germogenova T. A. -Moskva, Nauka, 1986. -272 p. [in Russian]

3. Sariev A.D. Global'naja teorema ob ustojchivosti reshenija obratnyh zadach nestacionarnogo uravnenija perenosa.[ Global stability theorem for solving inverse problems of non-stationary transfer equation] / Sariev A.D. // Respublikanskij zhurnal: Doklady AN RK, [National Journal: Reports of the Republic of Kazakhstan] serija Fiz-mat nauk, №1, 2001g, P.16-21. [in Russian]

4. Sultangazin U.M. Metody sfericheskih garmonik i diskretnyh ordinat v zadachah kineticheskoj teorii perenosa. [Methods of spherical harmonics and discrete ordinates in problems of the kinetic theory of transport] / Sultangazin U.M. V knige: Alma-Ata, Nauka, 1979. -269 p. [in Russian]

5. Agoshkov V.I. O gladkosti reshenij uravnenija perenosa i priblizhennyh metodah ih postroenija, [The smoothness of the transfer equation and approximate methods of constructing them]/ Agoshkov V.I. V knige: Differencial'nye i integro-differencial'nye uravnenija [In: Differential and integral-differential equations] - Novosibirsk, 1977.-Vypusk- I. - P.44-58 [in Russian]

6. Sariev A. D. Ob oblastjah neopredeljonnyh proizvodnyh vysokogo porjadka ot integrala stolknovenij nestacionarnogo uravnenija perenosa. [Domains indefinite-order derivatives of the collision integral non-stationary transfer equation]/ Sariev A. D. V knige: Po probleme vychislitel'noj matematike i metody nauchnyh issledovanij: 2- Respublikanskaja konferencija. [In the book: On the issue of computational mathematics and methods of research: 2 Republican Conference], Alma-Ata, 1988, P. 19-22. [in Russian]