АЛГОРИТМ, ПРОВЕРЯЮЩИЙ КОНГРУЭНТНОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ МАТРИЦ ПРИ НАЛИЧИИ УНИМОДУЛЯРНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В СПЕКТРЕ КОКВАДРАТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

X. Д. Икрамов1 , В. А. Усов2

АЛГОРИТМ, ПРОВЕРЯЮЩИЙ КОНГРУЭНТНОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ МАТРИЦ ПРИ НАЛИЧИИ УНИМОДУЛЯРНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В СПЕКТРЕ КОКВАДРАТОВ

Конечный вычислительный процесс, использующий только арифметические операции, будем называть рациональным алгоритмом. В настоящее время не известен рациональный алгоритм, позволяющий проверить конгруэнтность произвольных комплексных матриц А и В. В статье предложен рациональный алгоритм проверки, работающий при менее обременительных условиях, чем все условия, известные к настоящему времени.

Ключевые слова: подобия, конгруэнции, коквадраты, жорданова форма, каноническая форма относительно конгруэнций, рациональный алгоритм.

1. Введение. Мы называем комплексные п х п-матрицы А и В конгруэнтными, если

В = Б *АБ

для некоторой невырожденной матрицы Б. Сам переход от А к В (или обратный переход от В А

другом матрицы эрмитовой формы в разных базисах комплексного векторного пространства.

Следует предупредить читателя, что в алгебраической литературе указанный переход часто называют *-конгруэнцией, чтобы отличать его от другого типа конгруэнтных преобразований, описываемых соотношением

В = БТ АБ

и называемых Т-конгруэнциями. Мы пренебрежем этими терминологическими тонкостями, так как в нашей статье рассматриваются только конгруэнтные преобразования первого типа.

АВ

вет: привести каждую из матриц к ее канонической форме относительно конгруэнций и сравнить обе канонические формы. Именно такой способ рекомендуется в курсах линейной алгебры при

АВ

Вычисление жордановой канонической формы отнюдь не просто. Оно включает в себя, в частности, вычисление собственных значений. Для матрицы порядка п ^ 5 собственные значения

АВ

можно без всякой жордановой формы, выполняя лишь конечное число арифметических операций (см. [1, § 3.4]).

Вычисление канонической формы относительно конгруэнций — задача, не менее, а в некоторых отношениях и более сложная, чем вычисление жордановой формы. Естественно спросить,

АВ

нических форм. Более точно, можно ли такую проверку осуществить посредством рационального алгоритма,, т.е. конечного алгоритма, использующего лишь арифметические операции?

АВ АВ

Об одной ситуации этого рода будет сказано в п. 3.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: vitaliy7usovQgmail.com

Цель данного сообщения — предложить рациональный алгоритм проверки конгруэнтности при условиях на А и В менее обременительных, чем условия, исследованные к настоящему времени.

2. Каноническая форма относительно конгруэнций. Существуют несколько различных канонических форм комплексной матрицы относительно конгруэнций (подобно тому, как в теории преобразований подобия помимо жордановой имеется еще фробениусова, или рациональная каноническая форма). Мы будем использовать форму, описанную в 4-й главе книги [2].

Каноническая форма Е и х и-матрицы А представляет собой блочно- диагональную матрицу, диагональные блоки которой могут иметь только один из следующих типов:

жорданов блок Лк(0) порядка к, 1 ^ к ^ и, с нулем на главной диагонали. Совокупность таких блоков для разных к (если они присутствуют) образует сингулярную часть канонической формы;

(п) ганкелевы матрицы вида

Дк = А

1\

г

1

(1)

где |А| = 1, а индекс к снова указывает порядок; (Ш) блоки четного порядка, имеющие вид

0 1к

Н2к (ц) =

Лк (ц) 0

(2)

В жордановой клетке Лк(ц) на главной диагонали стоит ненулевое число ц, модуль которого отличен от единицы. Не ограничивая общности, будем во всех случаях считать, что |ц| > 1. Блоки типов (1) и (2) в совокупности составляют регулярную часть формы Е.

А

к виду

А = А Ф 3к1 (0) ф ... ф Лкр (0),

где А — невырожденная матрица, а остальные прямые слагаемые образуют сингулярную часть канонической формы. Будем считать, что этот алгоритм был уже применен к заданным матри-А В А В

АВ

денных матриц А и В.

АВ

3. Коквадраты. С каждой невырожденной матрицей А можно связать матрицу С а = А-* А, называемую коквадратом матрицы А. Если А подвергается конгруэнции А ^ А = X*АХ, то А-1 ^ А-1 = X -1А-1Х-* и С а = А-* А ^ Са = X -1СаХ, т.е. коквадрат матрицы А претерпевает подобие, задаваемое той же матрицей X.

Из этого наблюдения вытекает важное следствие:

А В ,

коквадраты, С а и С в были подобны.

Напомним, что подобие квадратных матриц может быть проверено рациональным вычислением.

А

Еа. Из определения очевидно, что коквадрат Л а матриц ы Еа имеет ту же блочно-диагональную

форму, что и сама ^А- При этом блоку вида (1) соответствует в матрице 3д коквадрат Ак Ад., представляющий собой верхнетреугольную теплицеву матрицу с числом Л2 на главной диагонали и числом 2гЛ2 на первой наддиагонали (см. [2, задача 4.5.Р15]). Такая матрица подобна жорда-новой клетке 3&(Л2). Коквадрат блока (2) — это прямая сумма 3к(р) ® 3к(р)-*■ Второе слагаемое этой суммы подобно жордановой клетке Зк(р-1)- Именно это обстоятельство объясняет, почему в блоках вида (2) можно во всех случаях считать, что |р| > 1.

Таким образом, блокам вида (1) канонической формы ^А соответствуют жордановы клетки для собственных чисел с модулем 1 (унимодулярных чисел) в жордановой форме матрицы 3а-Совокупность таких блоков будем называть унимодулярной частью матрицы ^А, а совокупность соответствующих жордановых клеток — унимодулярной частью коквадрата.

Блокам типа (2) матрицы ^А, в совокупности образующим ее неунимодулярную часть, соответствуют в жордановой форме коквадрата пары жордановых клеток вида

Такие пары с числами р, по модулю большими единицы, составляют неунимодулярную часть коквадрата.

Соотношения между канонической формой ^А и жордановой формой ее коквадрата можно суммировать следующим образом.

(¿) Знание матрицы ^А однозначно определяет жорданову форму коквадрата.

(п) В свою очередь, неунимодулярная часть коквадрата однозначно определяет неунимодулярную часть формы ^А.

(ш) Унимодулярная часть коквадрата не определяет однозначно унимодулярную часть матрицы ^А- Например, для невырожденной и незнакоопределенной эрмитовой матрицы А каноническая форма — это диагональная матрица, главная диагональ которой содержит и плюс,

А

матрица.

Утверждение (и) позволяет нам сформулировать достаточные условия конгруэнтности невы-АВ

Теорема 2. Пусть А и В — невырожденные матрицы, коквадраты которых подобны. Если в спектре этих коквадратов отсутствуют унимодулярные числа, то А и В конгруэнтны.

Подобие коквадратов, как мы знаем, поддается рациональной проверке. В следующем разделе мы покажем, что и второе условие теоремы (отсутствие унимодулярных собственных значений) тоже можно проверить рационально.

4. Количество унимодулярных собственных значений. Покажем, что количество унимодулярных собственных значений матрицы С а можно определить с помощью рациональных процедур.

Пусть / (Л) — характеристический многочлен коквадрата С а- Делая замену

мы заменяем исходную задачу задачей определения числа вещественных корней многочлена д(р).

§

дд

коэффициентов на сопряженные числа. Функция

(3)

и полагая

, д(х)д(у) - д{у)д{х)

х - у

п-1

является в действительности многочленом ^ Ли хк у1 от ж и у, причем все коэффициенты Ли

к,1=0

суть действительные числа. Положим Н = (Ли)П-=о и определим индексы инерции вещественной симметричной матрицы Н. Это можно сделать, пользуясь, например, методом Лагранжа.

Пусть п и V — соответственно положительный и отрицательный индексы инерции матрицы Н. Тогда $(ц) имеет п корней в верхней полуплоскости и V корней в нижней. Если п + V < < и, то остальные и — (п + V) корней вещественны. Столько же корней исходи ого многочлена / унимодулярны.

Заметим, что в силу специфики спектра коквадратов числа п и V в этой процедуре всегда оказываются равными. Специфика заключается в том, что вместе с каждым собственным значением А в спектре присутствует число А _1, причем кратности обоих чисел одинаковы. Это свойство очевидно из обсуждения коквадратов, проведенного в предыдущем разделе. Его следствием яв-

/(А)

/(А) = а0Ап + а1Ага-1 + ... + ап-1А + ап. Положим

/*(Л) = Ага/ф = апХп + ап-^-1 + ... + + а0. / / = /*

/

Н

методе Шура (см. [4, § 3.3]), оказывается нулевой и не дает никакой информации о корнях. К счастью, имеется обходной маневр, указываемый теоремой Кона [4, теорема XXII].

/(А)

единичного круга равно числу т различных корней его производной /'(А), расположенных вне этого круга.

/

т

//

вне единичного круга. Разность и — 2т есть число унимодулярных корней многочлена /. Простым следствием этого вывода является

Аи

значения, по модулю равные единице.

С учетом процедур, описанных в данном разделе, теорема 2 превращается в рационально

АВ

5. Выделение унимодулярной части. Предположим, что каким-то образом нам удалось найти базис Ж1,..., Жк инвариантного подпространства коквадрата Са, соответствующего унимо-дулярным собственным значениям, и базис Жк+1,... ,жп дополнительного инвариантного подпространства, отвечающего собственным значениям, модули которых отличны от единицы. Составим из этих векторов по столбцам и х и-матрпцу X и выполним преобразование подобия

Са ^ X-1Са X.

Матрица в правой части имеет блочно-диагональную форму

X-1(А-* А^ = 0) №

с диагональными блоками порядков соответственно к и I, где I = и — к. Теперь применим к А конгруэнцию с той же трансформирующей матрицей X:

А ^ А = X *AX.

Представим A в блочном виде, согласованном с прямой суммой R ф S:

(5)

Матрица (4) должна быть коквадратом матрицы (5), т.е.

A-*A

R 0 0 S

или

Используя в этом соотношении представление (5), получаем блочные равенства

A ii = A^ R, A22 = A*2 S, A12 = a421S, A 21 = A*2R.

Из последних двух равенств выводим

A12 - R*A^S = 0, A21 - S*AL2IR = 0.

Таким образом, блоки А12 и А21 суть решения однородных матричных уравнений Стейна, назы-

§

эти уравнения имеют только тривиальные решения А12 = 0 и А21 = 0, если для собственных значений матриц К и 0 выполнены условия

Итак, матрица A тоже блочно-диагональная, и для ее диагональных блоков Ац и A22 матрицы RS

6. Алгоритм. В этом разделе будет описан алгоритм для проверки конгруэнтности невырожденных матриц A и B. В отличие от условий, сформулированных в теореме 2, допускается присутствие в спектре коквадрата единственного унимодулярного числа А. Для простоты будем считать, что А = 1. Это число может иметь произвольную алгебраическую кратность к, но на сопутствующую жорданову структуру накладываются следующие ограничения:

(i) А может быть простым (при к = 1) либо полупростым (при к > 1) собственным значением коквадратов, или

(ii) в жордановой форме коквадратов числу А = 1 соответствует единственная жорданова клетка порядка к (к > 1).

Ситуации, когда жорданова структура для А = 1 устроена при к > 2 более сложно, будут рассмотрены в наших последующих публикациях.

Переходим к описанию алгоритма. Он начинается с построения коквадратов Ca и Cb и проверки их подобия. В системе Maple, которую мы использовали в своих расчетах, эта проверка выполняется процедурой IsSimilar.

AB

этом закончена. В противном случае нужно переходить к проверке присутствия унимодулярных

(S) = 1, i = 1,2,...,к, j = 1,2,..., l. В рассматриваемой ситуации условия (6) выполнены. Как следствие,

A12 = 0, A21 =0, R = А-1*Аш S = A—2* A22.

(6)

чисел в спектре, например, матрицы Ca- Это делается посредством процедур, обсуждавшихся в п. 4. Если унимодулярная часть спектра вовсе отсутствует, то, согласно теореме 2, А и B конгруэнтны, и алгоритм прекращает работу.

Пусть оказалось, что Ca имеет k унимодулярных собственных значений. Согласно сделанным выше предположениям, алгоритм продолжает работу, если для характеристического многочлена f (А) матрицы Ca выполнены условия f (1) = 0 и f (А) делится на (А — 1)к. Кроме того, должно выполняться одно из ограничений (i) или (И).

Случай (i) характеризуется тем, что матрица Ca — / имеет ранг n — k. Базис xi,... ,xk кор-

А=1

независимые решения системы

(Ca — / )x = 0. (7)

Недостающие векторы xk+i,..., xn (см. п. 5) определяются так: сначала находится фундаментальная система решений для линейной системы

(CA — / )y = о.

Как и система (7), она имеет k линейно независимых решений yi,...,yk- Их геометрический смысл состоит в том, что они образуют базис собственного подпространства L сопряженной матрицы CA, отвечающего собственному значению 1.

Свойство двойственности инвариантных подпространств сопряженных матриц указывает нам способ найти искомые векторы xk+i,... ,xn. Эти векторы составляют базис ортогонального дополнения к подпространству L и могут быть вычислены как линейно независимые решения системы уравнений

(x, yi) = 0, (x, y2) = 0,... , (x, yk) = 0. (8)

Теперь матрица X из п. 5 полностью сформирована, и к матрицам Ca и A можно применить процедуру расщепления, описанную в указанном пункте. При этом блок R в матрице (4) оказывается равным единичной матрице /к, а блок Ац в блочно-диагональной матрице

А = Ац Ф А22

/k

А-*Ац = /к

или Aii = Ац. Итак, матрица Ац эрмитова.

Те же действия по построению трансформирующей матрицы и последующему расщеплению нужно применить к матрицам Cb и B. В преобразованной матрице

B = Bii Ф B22

блок Bii является эрмитовой матрицей порядка k.

Из подобия коквадратов Ca и Cb вытекает, что блоки А22 и B22, представляющие неунимо-дулярные части матриц А и B, конгруэнтны. Теперь конгруэнтность самих А и B зависит от того, конгруэнтны ли эрмитовы k х k-матрицы Ац и Bii. При k = 1 это означает, что числа ац и Ьц должны иметь одинаковый знак. При k > 1 матрицы Ац и Bii должны иметь одинаковые индексы инерции, что проверяется рациональным вычислением.

В случае (ii) ранг матрицы Ca — / равен n — 1, а ран г n — k имеет матр ица (Ca — / )k-

xi, . . . , xk А = 1

независимых решений системы

(Ca — /)к x = 0.

yi , . . . , yk

(CA — /)к y = 0.

Как и в случае (¿), векторы ж&+1,... ,жга вычисляются из системы (8).

Блок Ац, найденный в результате расщепления, не имеет теперь никакой внешней специфики. То же относится к блоку Вц, получаемому расщеплением матриц В и Св- Блок и А22 и В22 по-прежнему КОНГруЭНТНЫ; и КОНГруЭНТНОСТЬ а и В определяется конгруэнтностью блоков Ац и

Вц- Л ^

Неэрмитовы матрицы Ац и Вц будут в рассматриваемом случае конгруэнтны тогда и только тогда, когда конгруэнтны эрмитовы матрицы в парах (И,е Ац,И,еВц) и (1т Ац, 1т-Вц). Здесь

НеАц = ±(Ац+А^),

1тАц = ^(Ац-А^).

1 2 0 1

3 0 — 1 2

2 5 3 1

1 2 1 3

Аналогично определяются матрицы И,еи 1т Вц. И здесь последний этап алгоритма состоит в вычислении индексов инерции эрмитовых матриц.

7. Численные результаты. В этом разделе будут приведены несколько примеров работы нашего алгоритма.

Пример 1. В этом примере проверяется конгруэнтность матрицы

А=

ВА

АВ

и конгруэнтны. Та же перестановка связывает коквадраты Са и С в- Убедившись в подобии коквадратов, алгоритм переходит к исследованию спектра матрицы С а- Выясняется, что она имеет двойное, причем полупростое, собственное значение 1. Тем самым имеет место случай (¿) п. 6.

АВ

матрицам

'3 3 .3 — 17,

А11 =

Вп--\[-6 -17

1 0 0 0 —1 0 0 0

0 1 0 0 , Ев = 0 —1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 2 0 0 0 2 0

Эти матрицы имеют одинаковые индексы инерции, а потому конгруэнтны. Алгоритм заканчивает

АВ

Пример 2. В этом и последующих примерах мы строили тестовые матрицы, отправляясь от их желаемых канонических форм. Положим

Еа =

В обозначениях п. 2 эти формы состоят из одного блока типа (2), соответствующего числу ^ = 2, и двух блоков типа (1), где к = 1, а Л = 1 для матрицы Е4 и Л = — 1 для Ев- Таким образом, эти канонические формы различны.

С помощью датчика случайных целых чисел строим две 4 х 4-матрицы ^Ёс целочисленны-

АВ

А = Вт ЕаВ, В = Ёт Ев Ё. (9)

Из различия их канонических форм следует, что А и В не конгруэнтны. Вместе с тем Еа и Ев имеют один и тот же коквадрат

С = с^(1,1,2, ±).

С4 Св

Снова выясняется, что СА имеет двойное, причем полупростое, собственное значение 1. Проводя вычисления, предписываемые случаем п. 6, приходим к вещественным симметричным матрицам

А - 1. (Ш1 4246%\ в ---( 1637 ~3027^

11 49 \4246 4385) ' 11 4 ^-3027 5765 У

Первая из них определена положительно, а вторая — отрицательно. Следовательно, Ац и Вц не могут быть конгруэнтны, откуда алгоритм заключает, что не конгруэнтны

Пример 3. Задаем для будущих матриц А и В одну и ту же каноническую форму

Е =

/0 1 0 0\

1 г 0 0

0 0 0 1

0 | 0/

В обозначениях п. 2 эта форма состоит из одного блока типа (1), где к = 2и Л = 1,и одного блока типа (2), соответствующего числу ¡л = (С равным успехом можно было бы заменить | АВ

А = Вт ЕВ, В = Е т ЕЕ,

где В и Е — те же матрицы, что и в примере 2. Ввиду присутствия мнимой единицы г в форме Е, матрицы А и В не вещественны.

Проверив, что коквадраты Са и Сд подобны, алгоритм исследует спектр матрицы СА и обнаруживает, что 1 снова является двойным собственным значением. Однако теперь это собственное значение не полупростое, а дефектное, т.е. его геометрическая кратность равна единице. Тем самым имеет место случай (п) п. 6.

АВ

матрицам

1 /1380 + г4761 -533 + г4416 Л

Ап 49 533 + ¿4416 —2176 + ¿4096)

и

В = /—1421 + ¿841 768 - ¿377 \ , ,

11 V 768 — ¿377 —403 + ¿169/ ' 1 '

Эрмитовы матрицы И,е и Ие Вц оказываются вещественными:

^ 1 ( 2760 —1066\ В /—2842 1536 \

Обе они не вырождены и не знакоопределены, а потому конгруэнтны. Конгруэнтны и положительно полуопределенные матрицы

т В 1 (9522 8832\ В (1682 —754\

21тАп " 49^2 8192^' 21тБ11-^_754 338 )"

Отсюда следует, что Ац и Вц конгруэнтны, а потому конгруэнтны матрицы А и В.

Пример 4. Сохраним для будущей матрицы А ту же каноническую форму Е = /А, что и в предыдущем примере. Каноническую форму Ев получим, умножая унимодулярный блок Д2 в Еа на минус единицу. Это не изменяет коквадрата. Тестовые матрицы А и В определяются формулами (9), где В и Е — те же целочисленные матрицы, что и в двух предыдущих примерах. А

Проверив, что коквадраты СА и Сд подобны, алгоритм затем устанавливает, что 1 является

СА

А блок (10), а для В — матрицу Вц, получающуюся умножением матрицы (11) на минус единицу.

По сравнению с примером 3 индексы инерции матриц Re Ац и Re Вц не изменяются. В то же время эрмитова матрица Im Ац остается положительно полуопределенной, тогда как матрица Im Вц становится отрицательно полуопределенной. Итак, Im Ац и Im Вц не могут быть конгруэнтны, а потому не конгруэнтны матрицы Ац и Вц. Вместе с тем не конгруэнтны входные АВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И к р а м о в X. Д. О конечных спектральных процедурах в линейной алгебре // Программирование. 1994. № 1. С. 56-69.

2. Horn R. A., Johnson Ch.R. Matrix Analysis. Second Edition. Cambridge: Cambridge University-Press, 2012.

3. И к p a M о в X. Д. О конгруэнтном выделении жордановых блоков из вырожденной квадратной матрицы // Сиб. журнал вычисл. матем. 2018. 21. № 3. С. 255-258.

4. К г е i п МЛ!.. N a i m а г k М. A. The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations // Linear Multilinear Algebra. 1981. 10. N 4. P. 265-308.

5. И к p a M о в X. Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 6.04.20 После доработки 15.09.20 Принята к публикации 15.09.20