КВАДРАТНЫЕ КОРНИ ИЗ ЭРМИТОВЫХ МАТРИЦ И РАЦИОНАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ИХ КОНГРУЭНТНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.61

X. Д. Икрамов1

КВАДРАТНЫЕ КОРНИ Н3 ЭРМИТОВЫХ МАТРИЦ И

РАЦИОНАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ИХ КОНГРУЭНТНОСТИ

Конечный вычислительный процесс, использующий только арифметические операции, будем называть рациональным алгоритмом. В настоящее время не известен рациональный алгоритм, позволяющий проверить конгруэнтность произвольных комплексных матриц А и В. Ситуация может быть иной, если А и В принадлежат тому или иному классу специальных матриц. Существуют, например, рациональные алгоритмы для случаев, когда обе матрицы эрмитовы, унитарные или аккретивные. В настоящей публикации предложен рациональный алгоритм для проверки конгруэнтности матриц АВ

Ключевые слова: рациональный алгоритм, подобие, эрмитова матрица, инволюция, конгруэнция, каноническая форма, коквадрат.

1. Введение. Известно, что подобие квадратных комплексных матриц А и В (или его отсутствие) можно проверить, выполняя конечное число арифметических операций с их элементами (см., например [1, 2], а также [3, § 3.4]). Вычислительный процесс с этими свойствами — конечность и использование только арифметических операций, — будем называть рациональным алгоритмом.

Будем говорить, что п х п-матрицы А и В конгруэнтны, если

В = Р * АР (1)

для некоторой невырожденной матрицы Р. Более точно, это соотношение между А и В называют эрмитовой конгруэнтностью или *-конгруэнтностью с тем, чтобы отличать его от близкого отношения Т-конгруэнтности В = РТ АР. Однако в данной статье конгруэнтность всегда понимается в смысле (1).

В настоящее время не существует рационального алгоритма, позволяющего проверить конгру-

АВ

АВ

АВ

АВ

личества положительных и отрицательных собственных значений. Проверить это условие можно многими способами, в том числе и рациональными алгоритмами. Известны также рациональные

АВ

аккретивные (см. [4-6]).

Цель настоящей публикации — указать еще один матричный класс, для которого можно предложить рациональный алгоритм проверки конгруэнтности. Этим классом являются квадратные корни из эрмитовых матриц.

В обосновании алгоритма существенно используется каноническая форма комплексных матриц относительно конгруэнций, указанная в [7, § 4.5] (см. также [8, 9]). Краткое описание этой формы и некоторые полезные смежные факты приведены в п. 2. В п. 3 доказана лемма, играющая важную роль в алгоритме, излагаемом в п. 4. В заключительном п. 5 анализируется структура матриц, являющихся квадратными корнями из эрмитовых матриц.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su

2. Каноническая форма относительно конгруэнций. Каноническая форма матрицы А относительно конгруэнций представляет собой блочно-диагональную матрицу; назовем ее Е. Среди ее диагональных блоков могут присутствовать жордановы клетки с нулем на главной диагонали. В совокупности такие клетки образуют сингулярную часть. Все прочие диагональные блоки невырожденны и составляют регулярную часть канонической формы.

Для эрмитовой п х п-матрицы А сингулярной частью является нулевая матрица порядка п — т, где т — ранг А. Определение ранга матрицы — это, конечно, рациональная процедура. Если для сравниваемых матриц А и В из рассматриваемого масса ранги различны, то А и В не могут быть конгруэнтны. Если же ранги равны, то переходом в соответствующие базисы можно представить обе матрицы как прямые суммы невырожденной и нулевой подматриц. После такого перехода АВ

му в дальнейших рассмотрениях мы можем без потери общности ограничиться невырожденными АВ

А

иов. Это различение объясняется следующими соображениями. А

С а = А-* А, АА

А ^ А = X *АХ,

то А-1 ^ А-1 = Х-1А-1Х-* и Са = А-*А ^ С_д = X-1СаХ, т.е. коквадрат матрицы А претерпевает подобие, задаваемое той же матрицей X. Неудивительно поэтому, что каноническая А

Первый тип диагональных блоков в матрице Е — это ганкелевы матрицы вида

Ак = Л

( 1 \

■ ■ ■ г 1 ■■■ 1г

(2)

где |Л| = 1, а индекс к указывает порядок блока. Коквадрат матрицы (2), где Л = егф, — это верхнетреугольная теплицева матрица с числом е2гф на главной диагонали и числом 2ге2гф на первой наддиагонали (см. [7, задача 4.5.Р15]). Такая матрица подобна жордановой клетке 3к(Л2). Второй тип диагональных блоков в Е — это матрицы четной размерности

Я2к^ К Л00 0 ) • (3)

Здесь ,1к(д) — жорданова клетка с числом д на главной диагонали, а относительно д можно без ограничения общности считать, что |д| > 1.

Коквадратом матрицы (3) является прямая сумма

Л(Д) Ф Ь(Д)-*.

Второе слагаемое этой суммы подобно жордановой клетке .1к(Д-1)-

Таким образом, блоки типа (2) в канонической матрице Е соответствуют жордановым клеткам для собственных чисел с модулем 1 в жордановой форме коквадрата са, а блоки типа (3) — парам жордановых клеток вида

лк(д) Ф 3к(Д-1),

Д

Соотношения между канонической формой Е и жорд^овой формой матрицы Са можно описать так:

А

квадрата;

(и) жорданова форма 7 коквадрата Са не определяет однозначно каноническую форму матрицы А, если Са имеет собственные значения, по модулю равные единице. Предположим, например, А

А

А

ным корнем из эрмитовой матрицы Н. Из равенства (А2)* = А2, т.е.

А* А* = АА,

выводим А*А-1 = А-*А, или

(А-*А)* = А-*А.

Тем самым коквадрат такой матрицы А есть эрмитова матрица. Его спектр ст(Са) может включать в себя числа 1 и —1; прочие собственные значения входят в ст(Са) парами вида 1/^). Если 1 и — 1 не являются собственными значениями коквадрата, то (общий) спектр матриц Са и С в однозначно определяет канонические ф ормы матриц А и В, и конгруэнтность последних равносильна подобию их коквадратов. Как указано в предисловии, это подобие можно проверить рациональным алгоритмом.

Таким образом, вопрос о возможности рациональной проверки возникает только в случае, если в спектре а (Са ) присутствуют 1 и/или —1. В п. 4 мы покажем, как нужно действовать в этом случае.

3. Лемма. Предположим, что подобие с трансформирующей матрицей X приводит к прямой сумме коквадрат Са:

X-1(А-*А)Х =

Р 0 0 С

Перепишем это равенство в виде

X*АХ = X*А*Х ^ р0 С ) . (4)

Обозначим через Ах матриц у X *А^ ^ ^^едставим Ах в блочном виде, согласованном с прямой суммой Р ф С:

А = ( Ац А12

Ах = А21 А22

Из соотношения (4) выводим для блоков А^ равенства

Аи = А^Р, А22 = А22С,

А12 = А21С, А21 = А12Р.

Из последних двух равенств имеем

А12 — Р *А12С = 0, А21 — С*А21Р = 0.

А12 А21

А12 = 0 А21 = 0

если для собственных значений матриц Р и С выполнены условия

Аг(Р)А^-(С) = 1, г = 1,2,...,к, ; = 1,2,...,1. (5)

Здесь к и 1 — порядки блоков Р и С.

Предполагая, что условия (5) выполнены, находим

А12 = 0, А21 = 0, Е = А-1*АП, С = А-2*А22•

Следующая лемма подводит итог проделанных выкладок. Л е м м а. Пусть подобие

С а —> X-1сах

приводит, коквадрат С а к прямой сумме Е Ф С, причем для блоков Е и С выполнены условия

ХА

А11 Ф А22, (6)

Е С А11 А22

4. Алгоритм проверки конгруэнтности. Напомним, что мы рассматриваем пары невы-АВ

проверки конгруэнтности между ними начинается со следующих двух шагов.

1. Построить коквадраты са и С в обеих матриц.

2. Найти характеристические многочлены /а и /в этих коквадратов. Если они различны, то Са и Св не подобны, а А и В не конгруэнтны. Этим выводом работа алгоритма заканчивается.

Пусть на шаге 2 оказалось, что /а = /в- В этом случае алгоритм продолжается следующим шагом 3.

3. Выяснить, будут ли числа 1 и —1 корнями многочлена /а- Для этого проверяются условия /а(1) = 0 и /а(—1) = 0. Если оба они не выполняются, то приходим к ситуации, уже рассмотренной в конце п. 2: спектр коквадрата однозначно определяет общую каноническую форму матриц А В А В

Предположим теперь, что одно или оба условия /а(1) = 0 и /а(—1) = 0 выполнены. Пусть для определенности выполняется первое из них. Применим лемму из предыдущего раздела к этой ситуации, считая, что собственное значение 1 коквадрата Са имеет кратность к. Трансформиру-

Хк собственного подпространства для Л = 1, а остальные I = п — к столбцов — базис его ортогонального дополнения. И то, и другое можно найти с помощью рациональных процедур. Например, собственные векторы для 1 можно определить методом Гаусса как фундаментальные решения однородной системы линейных уравнений (А — /)ж = 0. Результатом подобия Са ^ X-1СаХ

Е Ф С Е к С

пар вида (д, 1/д), где д = ±1, может содержать число —1.

АХ прямую сумму (6). Единичная матрица Е = 1к есть коквадрат блока Ац в этой сумме. Из соотношения

А-1*АИ = 1к

А11

Теперь мы можем продолжить алгоритм, первые три шага которого описаны выше. Продолжение состоит из следующих шагов.

4. Найти матрицы ха и хв, трансформирующие коквадраты са и св к блочно-диагональному виду, как это описано выше.

АВ

зования приводят обе матрицы к прямым суммам пар слагаемых и, в частности, определяют А11 В11

6. Проверить конгруэнтность найденных эрмитовых матриц. Как указано во введении, такую

А11 В11

не конгруэнтны и исходные матрицы А и В. Если же Ац и Вц конгруэнтны и /а(—1) = 0, то А В

Предположим, наконец, что — 1 также является собственным значением коквадрата Ca, т.е. входит в спектр блока G. Подвергнем G такому же расщеплению, какое ранее было проделано для всей матрицы Ca- Это значит, что нужно найти базис собственного подпространства этого блока для Л = —1 и базис ортогонального дополнения к прямой сумме собственных подпространств Ca для Л = 1и Л = —1. Оба базиса снова могут быть определены посредством рациональных алгоритмов. После нового подобия матрица Ca приобретет вид прямой суммы

F Ф R Ф S, (7)

где порядок r блока R равен кратности собственного значения —1, сам этот блок равен матрице —Ir, а спектр блока S не содержит ни 1, ни —1.

Соответствующее конгруэнтное преобразование матрицы A дает прямую сумму

An Ф A22 Ф A33,

причем блок A22 имеет своим коквадратом матрицу — Ir. Соотношение

A22* A22 = — Ir

означает, что A22 есть косоэрмитова матрица, т.е. лишь множителем i отличается от эрмитовой матрицы.

Теперь ясно, как следует закончить алгоритм.

7. Для матриц Ca и Cb, которые в данный момент имеют вид прямых сумм пары слагаемых, выполнить преобразования подобия, трансформирующие их в прямые суммы типа (7). Блоки

— Ir

8. Выполнить соответствующие конгруэнтные преобразования матриц A и Б, которые в данный момент имеют вид прямых сумм A11 Ф A22 и Бц Ф Б22- Обе преобразованные матрицы становятся прямыми суммами трех слагаемых, и их блоки A22 и Б22, с точностью до множителя i

9. Проверить конгруэнтность этих эрмитовых матриц. Если они (не) конгруэнтны, то (не) конгруэнтны и исходные матрицы A и Б. Работа алгоритма на этом заканчивается.

5. Структура квадратного корня из эрмитовой матрицы. Пусть H — (невырожденная) эрмитова матрица и

н = длд*

— ее спектральное разложение, выбранное так, чтобы при наличии кратных собственных чисел, все копии каждого такого числа занимали последовательные позиции на главной диагонали матрицы Л.

H A A2 = H

AH

Б = Q*AQ.

БЛ

каждый диагональный блок Бкк которой соответствует группе совпадающих диагональных эле-Л

Б1к = Лк Irk. (8)

Пусть ^к — какой-либо из двух квадратных корней из Лк- Перепишем соотношение (8) в виде

(—Вкк)2 = 1Гк. (9)

^к

Если Гк > 1, то равенство (9) означает: с точностью до скалярного множителя ^к блок Бкк есть инволютивная матрица.

AH

подобием A = ^Б^* из блочно-диагональной матрицы Б, диагональные блоки которой порядка выше 1 с точностью до множителей являются инволюциями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gauge г М.А., Byrnes C.I. Characteristics free, improved decidability criteria for the similarity problem // Linear and Multilinear Algebra. 1977. 5. N 3. P. 153-158.

2. Dixon J.D. An isomorphisms criterion for modules over a principal ideal domain // Linear and Multilinear Algebra. 1979. 8. N 1. P. 69-72.

3. Икрамов Х.Д. О конечных спектральных процедурах в линейной алгебре // Программирование. 1994. № 1. С. 56-69.

4. DePrima C.R., Johnson C.R. The range of in GL(n, C) // Linear Algebra Appl. 1974. 9. P. 209-222.

5. Johnson C.R., Furtado S. A generalization of Sylvester's law of inertia / / Linear Algebra Appl. 2001. 338. P. 287-290.

6. Икрамов Х.Д. О проверке конгруэнтности аккретивных матриц // Мат. заметки. 2017. 101. № 6. С. 854-859.

7. Horn R.A., Johnson Ch.R. Matrix Analysis. Second Edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2013.

8. Horn R.A., Sergeichuk V.V. Canonical forms for complex matrices congruence and *congruence / / Linear Algebra Appl. 2006. 416. P. 1010-1032.

9. Horn R.A., Sergeichuk V.V. Canonical forms for unitary congruence and *congruence // Linear and Multilinear Algebra. 2009. 57. P. 777-815.

10. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 12.11.18 После доработки 16.04.19 Принята к публикации 16.04.19