Нормальный вид и классы проективно конгруэнтных симметричных матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3

УДК 512.7 DOI 10.23683/0321-3005-2019-3-27-33

НОРМАЛЬНЫЙ ВИД И КЛАССЫ ПРОЕКТИВНО КОНГРУЭНТНЫХ

СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ

© 2019 г. О.А. Старикова1

1Северо-Восточный государственный университет, Магадан, Россия

A NORMAL FORM AND PROJECTIVE CONGRUENT SYMMETRIC MATRICES CLASSES

O.A. Starikova1

1North-Eastern State University, Magadan, Russia

Старикова Ольга Александровна - кандидат физико-ма- Olga А. Starikova - Candidate of Physics and Mathematics, тематических наук, доцент, кафедра высшей матема- Associate Professor, Department of High Mathematics, тики, Северо-Восточный государственный универси- North-Eastern State University, Portovaya St., 13, тет, ул. Портовая, 13, г. Магадан, 685000, Россия, Magadan, 685000, Russia, e-mail: star-olga@yandex.ru e-mail: star-olga@yandex.ru

Теории квадратичных форм и геометрических образов второго порядка в проективных пространствах достаточно хорошо разработаны в случае поля коэффициентов. При переходе от полей к алгебрам и кольцам коэффициентов в более общей ситуации изучаются линейные группы, обобщается основная теорема проективной геометрии. Квадратичные формы и соответствующие им симметричные матрицы, эрмитовы формы исследуются над локальными и полулокальными кольцами.

В число основных в теории квадрик и квадратичных форм входит задача их классификации с точностью до проективной конгруэнтности и эквивалентности. Симметричные (и х n) -матрицы A, B и соответствующие им квад-

T

рики называем проективно конгруэнтными, если существует k е R * и UeGL(n,R) такие, что kA = UBU . При

к = 1 матрицы A и B называем конгруэнтными. Классификация квадрик основывается на перечислении квадратичных форм и их матриц и тесно связана с теорией схем квадратичных форм (quadratic form schemes) основных колец коэффициентов.

Исследуются проективные пространства над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом J , 1 + J с R *2, R * / R *2 = {1, r, p, pr} . Для элементов a = rR *2 и b = sR *2 группы R * / R *2 полагаем D(a, b)= jfR *2|/е (rR *2 +sR*2 )n R *}. В каждом из случаев r = -1(mod R *2), D(l,l)={l, r}, D(l, r) = {1, r, p, pr},

D(l,p) = {1, p}, D(1,pr) = {1,pr} и 1 = -1(modR *2), D(1,1) = {1,r,p,pr}, D(1,r) = {1,r}, D(1,p) = {1, p},

D(1, pr) = {1, pr} выявлен (единственный) нормальный вид конгруэнтных симметричных матриц над кольцом R . Когда максимальный идеал является нильпотентным, найдено число классов конгруэнтных и проективно конгруэнтных симметричных матриц.

Ключевые слова: проективное пространство, локальное кольцо, квадрика, проективная конгруэнтность, схемы квадратичных форм.

The theory of quadratic forms and geometric forms of the second order in projective spaces over fields has been arbitrarily developed. In the transition from fields to algebras and rings of coefficients in a more general situation, linear groups are studied, the fundamental theorem of projective geometry is generalized. Quadratic forms and the corresponding symmetric matrices, Hermitian forms are investigated over local and semilocal rings.

The problem of classification of quadratic forms and quadrics up to projective congruence and equivalence is the basic of quadratic form theory. Symmetric (n х n) -matrices A , B and corresponding quadratic forms are projective congruent if

kA = UBU for a matrix U е GL(n, R) and for some k е R *. In the case of k = 1 symmetric matrices A , B are called

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

congruent. The classification of quadrics is based on the enumeration of quadratic forms and corresponding matrices and is closely connected with the theory of quadratic form schemes of the basic rings of coefficients.

In this paper projective spaces over local ring R = 2R with principal maximal ideal J, 1 + J с R *2, R */R *2 = {1, r, p, pr} have been investigated. For elements a = rR *2 and b = sR *2 of the group R * / R * we assume D(a, b)={fR *2| t e(rR *2 +sR *2 )n R *}. In each case r = -1(mod R *2), D(l,l)={l, r}, D(1, r)= {1, r, p, pr} ,

D(1,p) = {1, p}, D(1,pr) = {1,pr} and 1 = -1(modR*2), D(l,l) = {1,r,p,pr}, D(l,r) = {1,r}, D(l,p) = {1, p}, D(1, pr ) = {1, pr} (unique) normalform of congruent symmetric matrices over ring R is detected. A quantity of congruent and projective congruent symmetric matrix classes is found when maximal ideal is nilpotent.

Keywords: projective space, local ring, quadrics, projective congruence, quadratic form schemes. Введение

Теории квадратичных форм и геометрических образов второго порядка в проективных пространствах достаточно хорошо разработаны в случае поля коэффициентов. При переходе от полей к алгебрам и кольцам коэффициентов в более общей ситуации изучаются линейные группы, обобщается основная теорема проективной геометрии [1]. Так, для модуля над любым локальным кольцом с обратимым элементом 2 «сильно невырожденные» симметричные формы (т.е. формы, соответствующие матрицы которых обратимы) допускают ортогональный базис [2]. Однако в случае кольца коэффициентов роль вырожденных форм существенно возрастает. Квадратичные формы и соответствующие им симметричные матрицы, эрмитовы формы исследуются над локальными и полулокальными кольцами [3-5].

Всюду в этой работе основное кольцо R = 2R является ассоциативно-коммутативным; R * - мультипликативная группа кольца R *2 - подгруппа квадратов. Проективное пространство RPn-l над кольцом R определено в [6]. Квадрикой проективного пространства RPn-l, ассоциированного со свободным R-модулем ранга п, называют проективное многообразие его точек R * V, определенное уравнением vAvT = 0 с ненулевой симметричной (п х п) -матрицей А над R . Симметричные (п х п) -матрицы

А, В и соответствующие им квадрики называем проективно конгруэнтными, если существуют

к е R * и и е ОЬ(п,R) такие, что кА = ивит. При

к = 1 матрицы А и В называем конгруэнтными.

В этой работе исследуются проективные пространства над локальным кольцом R = 2R с главным

максимальным идеалом 1, 1 + J с R *2, R*/R*2 = {1,г,р,рг} . Для элементов а = и

£(а,6)=^ *2| t е(^ *2 +sR *2)п R *}. В каждом из

случаев г = -1(шоаR *2), £(1,1) =1г},

£(1, г) = {1, г, р, рг} , £(1, р) = {1, р}, £(1, рг) = {1, рг} и

1 = -1(шоаR *2), £(1,1) = {1,г,р,рг}, £>(1, г) = {1, г}, £(1, р) = {1, р}, £(1, рг) = {1, рг} выявлен (единственный) нормальный вид конгруэнтных симметричных матриц над кольцом R . Когда максимальный идеал является нильпотентным, найдено число классов конгруэнтных симметричных матриц. При тех же ограничениях определено число классов проективно конгруэнтных симметричных матриц.

Предварительные сведения

Классификация квадрик основывается на перечислении квадратичных форм и их матриц. В случае, когда R есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (е), всякая симметричная матрица А над R конгруэнтна диагональной матрице diag (^е к2е'2 ,кге^ ,0,...,о) с однозначно определенными показателями

0 < tx < t2 < - < tr

Ф 0 и ki е R * [6].

b = sR

k2

группы

R */R *

полагаем

Задача перечисления квадрик и квадратичных форм тесно связана с теорией схем квадратичных форм (quadratic form schemes) основных колец коэффициентов [7]. Для элементов a = rR *2 и b = sR *2 группы G = R */ R *2 полагаем

D(a, b)= |tR *2 |t e (rR *2 +sR*2 )n R *}.

* / *2

Группа G = R / R вместе с отображением a ^ D(1, a) и элементом -1 называется схемой квадратичных форм поля R . Это понятие переносится и на кольца, в частности, схема квадратичных форм локального кольца R с главным максимальным идеалом J изоморфна схеме квадратичных форм поля RjJ.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

(Единственный) нормальный вид относительно конгруэнтности квадратичных форм (соответственно, симметричных матриц) над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом

J , 1 + J с R *2 и схемой квадратичных форм порядка 2 выявлен в [6]. Там же найдено число классов проективно конгруэнтных квадратичных форм при условии нильпотентности максимального идеала [8]. Число классов проективно эквивалентных квадрик найдено в [9].

Для схем квадратичных форм определены операции группового произведения и группового расширения. В [10, 11] показано, что если G1 и G2 реализуются как схемы квадратичных форм некоторых полей, то их групповое произведение - как схема поля. Если схема квадратичных форм G реализуется как схема поля F , то групповое расширение G[t] - как схема поля F ((t)) формальных степенных

рядов над F .

Существуют три схемы квадратичных форм порядка 2, обозначаемые Li, Ly и L^o . Они, соответственно, реализуются как схемы квадратичных форм поля действительных чисел и конечных полей Fp с условиями p = -l(mod4) и p = l(mod4). Квадратичные схемы порядка 4 могут быть представлены как групповые произведения Li х Li 0,

Li,i х L10 , L10 х Li o и групповые расширения Li[t], Li i[t] и Li o[t] соответствующих схем квадратичных форм порядка 2.

Для локального кольца R = 2R с главным максимальным идеалом J , i + J с R *2 и схемами квадратичных форм Li i х Li 0 и Li 0 х Li o нормальный вид, а также при условии нильпотентности J число классов проективно конгруэнтных и проективно эквивалентных квадрик выявлены в [9].

Нормальный вид симметричных матриц

Всюду далее R = 2R - локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (е), i + J с R *2, 2

R*: R *2

= 4.

тичных форм которого изоморфна L^j[t], конгруэнтна в точности одной из матриц

diag(1, a), diag(r,p), diag(r,pr), diag(p,p), (1) где ae{1, r,p,pr}. Всякая невырожденная симметричная матрица ранга > 3 конгруэнтна в точности ( E O Л

одной из матриц I I, diag(1,.. .,1,r,p,p), где A -

lO AJ

одна из семи матриц (1).

Доказательство. Согласно [6], над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом

J = , 1 + J с R *2 все симметричные матрицы

диагонализируемы.

Рассмотрим все диагональные матрицы ранга 2 с точностью до порядка следования диагональных элементов из множества {1, r, p, pr}. Получаем десять матриц diag (1,1), diag (1, r), diag (1, p), diag (1, pr), diag(r, r), diag(r,p), diag(r,pr), diag(p,p), diag (p, pr), diag (pr, pr). Заметим, что матрицы diag (a, ab) и diag (ka, kab) конгруэнтны тогда и только тогда, когда k е D(1, b) [6, лемма 2.4]. Положим b = 1, k = r, a е {i, p}. Из условия r е D(1,1) получаем конгруэнтность матриц diag (1,1) и diag (r, r), а также diag(p, p) и diag (pr, pr). При b = r , k = p, a = 1 из условия p е D(1, r) - конгруэнтность матриц diag (1, r) и diag (p, pr). Таким образом, осталось показать попарную неконгруэнтность матриц (1). Определители конгруэнтных матриц совпадают по

модулю с R *2. Но матрицы diag (1,1) и diag(p, p) неконгруэнтны, так как p g D(1,1). Матрицы diag (1, p) и diag (r, pr) неконгруэнтны в силу условия r g D(1, p). Аналогично матрицы diag (1, pr) и diag(r, p) неконгруэнтны в силу r g D(1, pr).

Рассмотрим диагональную матрицу ранга > 3 : С \

diag

груэнтность

p, pr,..., pr

. Используя кон-

diag (p, pr) и diag (i, r),

получим мат-

Пусть R */R *2 = {1,r,p,pr} ; r = -1(modR *2); D(1,1)={L,r}; D(1,r)= {1,r,p,pr} ; D(l,p) = {1, p}; D(l, pr)= {1, pr} . Тогда схема квадратичных форм кольца R изоморфна ¿1j[t].

Теорема 1. Всякая невырожденная симметричная матрица ранга 2 над кольцом R , схема квадра-

рицу с условием п1^г = 0 или нр = 0. Если npr = 0 и шр > 3, то, используя конгруэнтность матриц diag(p,p) и diag^г,pг), а также diag^,pг) и diag (1, г), получаем матрицу с условием п = 0 , np < 2. В случае np = 0, п > 2 поступаем аналогично. Кроме того, конгруэнтность матриц diag (г, г) и diag(1,1) дает условие пг < 1. Таким образом, всякая

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

диагональная матрица ранга > 3 конгруэнтна мат-

( \

, удовлетво-

np < 2

рице diag 1,...,1, г,..., г, р,..., р, рг,..., рг

п1 пг пр прг

ряющей условию пг < 1. При этом прг = 0

или пр = 0, прг < 1.

Покажем, что никакие две из полученных восьми матриц не конгруэнтны. Достаточно рассмотреть матрицы, определители которых совпадают по мо-

'у

дулю с R* . Неконгруэнтность матриц diag(1,...,1) и diag(1,...,1,р,р) вытекает из условия рг £(1,1). Действительно, полагая конгруэнтными матрицы diag(1,...,1) и diag(1,...,1,р,р), получаем конгруэнтность матриц diag(l,l) и diag(p, р). Но тогда р е £(1,1) [6, лемма 2.4], что противоречит условию теоремы. Аналогично условие р г £(1,1) влечет неконгруэнтность diag(1,...,1,г) и diag(1,...,1,г,р,р) . Предположение конгруэнтности матриц diag(1,...,1, р) и diag(1,...,1, р, рг) противоречит условию г г £(1, р). Матрицы diag (1,... ,1, г, р) и diag(1,...,1,рг) неконгруэнтны в силу г г £(1, рг). Теорема доказана.

Пусть R */R *2 = {1,г,р,рг} ; 1 = -1(шоаR *2); £(1,1)={1, г, р, рг}; £(1, г) = {1, г}; £(1, р) = {1, р}; £(1, рг)= {1, рг} . Тогда схема квадратичных форм кольца R изоморфна ¿^М .

Теорема 2. Всякая невырожденная симметричная матрица ранга 2 над кольцом к , схема квадратичных форм которого изоморфна ¿^М, конгруэнтна в точности одной из матриц diag(1, а), diag(г, р), diag(г, рг), diag(р, рг), (2) где а е {1, г, р, рг}. Всякая невырожденная симметричная матрица ранга > 3 конгруэнтна в точности од-

Г Е О ^

ной из матриц I I, diag(1,...,1, г,р,рг), где

1° А)

А - одна из семи матриц (2).

Доказательство. Из условия £(1,1) = {1, г, р, рг} следует попарная конгруэнтность матриц diag(l,l), diag(г,г), diag(p,р) и diag(рг,рг). Поэтому всякая

невырожденная симметричная матрица конгруэнтна

( \

diag

1,... ,1, r,..., r, p,..., p, pr,..., pr

Неконгруэнтность матриц diag (1,...,1, г) и diag(1,...,1, р, рг) вытекает из условия p g £(l, г). Полагая конгруэнтными матрицы diag(1,...,1,р) и diag(1,...,1,г,рг) (соответственно, diag(1,...,1,рг) и diag(1,.,1, г, р)), приходим к противоречию с условием г g £(1,р) (соответственно, г g £(1,рг)).

Полагая конгруэнтными матрицы diag(1,...,1) и diag(1,.. .,1, г, р, рг), получаем конгруэнтность diag (1,1,1) и diag (г, р, рг), а затем diag (1, г) и diag(р, рг), что невозможно, так как р g £(1, г). Теорема доказана.

Следствие. Пусть R = 2R - локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (е),

1 + J с R *2 и схемой квадратичных форм, изоморфной £n[t] или ¿1o[t]. Число попарно неконгруэнтных невырожденных симметричных матриц ранга m равно 4 (m = 1), 7 ( m = 2 ), 8 ( m > 2 ).

Перечисление классов конгруэнтных и проективно конгруэнтных симметричных матриц

Теорема 3. Пусть R = 2R - локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (е) ступени нильпотентности s, схема квадратичных форм которого изоморфна ¿1, 1[t] или L^o[t]. Тогда число K классов ненулевых конгруэнтных симметричных (n х n) -матриц над кольцом R равно

n min{m,s}(sЛ 1 i \

Z Z LL ^ k (mj J'

m=1 q=1 Vq/(m1,.,mq q (m ) j=1

! 4, если mj = 1;

7, если mj = 2;

8, если mj = 3.

Доказательство. Рассмотрим матрицу вида

диагональной

А = diag|A1е'1,..., А?е" ,ОJ , 0 < 1 <- <iq, е" Ф 0 ,

где матрицы Ау (у =1,.,") приведены к нормальному виду, выявленному в теоремах 1 и 2 соответственно.

Обозначим число ненулевых элементов главной диагонали матрицы А через т . Ранги невырожденных матриц А1,...,А" обозначим т^...,т соответственно. Тогда т1 +-----+ т" = т и ту > 0 для всех у

. Пусть О." (т) - совокупность упорядоченных наборов (т1,...,т") целых чисел ту > 0 с суммой т,

матрице с условиями nr < 1, Пр < 1, Прг < 1.

k (my ) —

число попарно неконгруэнтных матриц

n

n

n

n

r

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. ранга m . Тогда число классов ненулевых симмет-

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

J '

ричных (n х и)-матриц над кольцом R равно

n min {m, s}( sЛ q , ч

Z Z II Z П к (mj ). Следствие

m=\ q=\ \q )(mi,...,mq )eÜ q (m) J=1

теорем 1, 2 завершает доказательство теоремы.

Пусть K - число классов конгруэнтных матриц, выявленное в теореме 3. Для i = 1, 2 положим

[и/ 2]mm ^ s}( s Л q i \

Mi =Z Z Iq I Z П Pi (mj),

m=1 q=1 vq)(mi,^,mq )eQq (m)J=1

. , г1,если m.j = 1, , . r3, если rn^ = 1, P^™/) = ( 2, если m,->1, = ( 4,если rn,->1,

Теорема 4. Пусть R = 2R - локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = ступени нильпотентности s, схема квадратичных форм которого изоморфна ¿1,0 [t ] или ¿ц [t ]. Тогда число N классов ненулевых проективно конгруэнтных симметричных (и х и) -матриц над кольцом R равно

1 (к - 3M1 + 6M 2 ).

Доказательство. Условие нильпотентности главного максимального идеала даёт включение 1 + J ç R * . Рассмотрим классы конгруэнтных симметричных матриц с точностью до проективной конгруэнтности. Матрица A = diag I A^1,

, A q 6 q , O

0 < 1 < - < iq

Ф 0, конгруэнтна матрице kA

казателеи

Ü1=

?),

число которых равно

q

четны и т1 Н-----Н mq = т , mj > 0 для всех ] . Как и в

теореме 3, О q (т) - совокупность упорядоченных наборов (т1, • • •, mq) целых чисел mj > 0 с суммой т, Р1 (mj) - число представителей А j ранга mj, конгруэнтных к А при любом значении к е Я *. Тогда [п/ 2]тт ^

К1 = М1 = 2 2 1

£

=1 q=1 VqJ(m1,...,mJeQq (m) j=1

П Л (m j ), где

( \ f1,É

1,если = 1, 2, если т>1.

(к е Я *) тогда и только тогда, когда для всех ] = 1,—, q конгруэнтны А и кА .

Пусть схема квадратичных форм кольца Я изоморфна ¿1,0 [?].

Невырожденная диагональная матрица А , приведенная к нормальному виду, конгруэнтна матрице кА j при любом значении к е{1, г, р, рг} тогда и

только тогда, когда она имеет четный ранг mj и определитель, равный 1. При mj = 2 получаем одну матрицу (diag (1,1)), в случае mj > 2 - две ( diag (1,...,1) и diag(1,•,1, г, р, рг) ).

Обозначим через К1 число классов конгруэнтных симметричных матриц, инвариантных относительно проективной конгруэнтности. Классы матриц с фиксированными А биективны наборам по-

Матрица А конгруэнтна матрице г А , но не конгруэнтна матрицам рА и ргА j, только если

она имеет четный ранг и определитель, равный г . Этому условию при любом четном ранге удовлетворяют две матрицы: diag (1,...,1, г) и diag(1,•..,1,р,рг). Аналогично Аj конгруэнтна матрице рА , но не г А и ргА тогда и только тогда, когда А имеет четный ранг и определитель, равный р . Для любого четного ранга получаем две матрицы: diag(1,..,\,р) и diag(1,...,1,г,рг). Наконец, А конгруэнтна матрице ргА , но не г А и рАпри условии, что А имеет четный ранг и определитель, равный рг . В этом случае также получаем две матрицы: diag(1,•,1, рг) и diag(1,•..,1,г,р) .

Найдем число М2 классов конгруэнтных матриц с представителем А , конгруэнтным кА при одном значении к из множества {г, р, рг}. Каждый такой класс характеризуется набором показателей (^, /2,..., iq ) для четного ранга невырожденных клеток А , при этом для ранга 2 матрица Аимеет три

возможных значения, если ранг больше двух - четыре. Отсюда

[п/ 2]тп [т^}( ^ ^ q

2 I I 2 , ,П р2 (т})

M 2 = Z

m=1

q=1 VqJ(m1,.--,mJeÜq (m)j=1

( Л i3,& = { 4, (

(3, если rn^ = 1, 4, если m>1.

Ранги m1,...,mq невырожденных матриц A1,...,Aq

Пусть матрица А конгруэнтна кА при одном и только при одном значении к из множества {г, р, рг}. Тогда классу проективно конгруэнтных матриц с представителем А соответствуют два класса конгруэнтных симметричных матриц. Обозначая через К2 число таких проективно конгруэнтных матриц и учитывая, что к принимает одно из

m

q

6

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 3

трех возможных значений г, р, рг , получаем К2 = 3(м2 -М1).

Пусть N - число всех классов проективно конгруэнтных матриц, К4 - число конгруэнтных классов с матрицей А , не конгруэнтной ни одной из матриц гА, рА и ргА. Тогда N = К1 + К2 + К4 , причем К1 + 2К2 + 4К4 = К. Получаем

N = 1 (4К1 + 4К2 + 4К4 ) = 1 (К + 3К1 + 2К2 ). Учитывая, что К1 = М1 и К2 = 3(М2 - М1), получаем N = 1 (К - 3М1 + 6М 2). Для кольца со схемой квадратичных форм, изоморфной Ь1,0 ], утверждение доказано.

Рассмотрим локальное кольцо R , схема квадратичных форм которого изоморфна Ьц^]. Рассуждаем аналогично.

Выявим условия, при которых невырожденная диагональная матрица А у, приведенная к нормальному виду, конгруэнтна матрице кА у при любом значении к е {г,р,рг}. Получаем: либо ранг ту матрицы А у равен 2 и ее определитель равен г, т.е. А у = diag (1, г), либо при четном ранге ту > 2 определитель А у равен 1; представителями являются две матрицы: diag(1,...,1) и diag(1,..,1,р,р). Как и выше, К1 = М1.

Пусть матрица А у конгруэнтна матрице г А у, но не конгруэнтна матрицам рА у и ргА у . Тогда либо ту = 2 , det А у = 1 и представителями служат матрицы diag(1,1) и diag(p, р); либо при четном ранге ту > 2 определитель А у равен г и представителями являются матрицы diag (1,...,1, г) и diag (1,...,1, г, р, р). Если А у конгруэнтна матрице рА , но не гА у и ргА у , то либо ту = 2 , det А у = р (матрицы diag(1, р) и diag(г, рг) ), либо ту > 2 , det А у = рг , представителями являются матрицы diag(1,...,1, рг) и diag(.\,...X г, р). Если А у конгруэнтна матрице ргА у, но не г А у и рА у, то либо ту = 2 , det А у = рг (матрицы diag (1, рг) и diag(r, р) ), либо ту > 2 , det А у = р (матрицы diag(1,.,1, р) и diag(1,...,1,г,рг)). Таким образом, как и в предшествующем случае, К2 = 3(М2 -М1). Теорема доказана.

Литература

1. Ojanguren M., Sridharan R. A note on the fundamental theorem of projective geometry // Comment Math. Helv. 1969. Vol. 44. P. 310-315.

2. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М.: Наука, 1986. 176 с.

3. Yucas J.L. A classification theorem for quadratic forms over semilocal rings // Ann. Math. Sil. 1986. Vol. 2, № 14. P. 7-12.

4. Cao Yonglin, Szechtman F. Congruence of symmetric matrices over local rings // Linear Algebra Appl. 2009. Vol. 431, № 9. P. 1687-1690.

5. Cruickshank J., Quinlan R., Szechtman F. Her-mitian and Skew Hermitian Forms Over Local Rings // Linear Alg. Appl. 2018. Vol. 551. P. 147-161.

6. Левчук В.М., Старикова О.А. Квадратичные формы проективных пространств над кольцами // Мат. сб. 2006. № 6. С. 97-110.

7. Marshall M. The elementary type conjecture in quadratic form theory // Contemp. Math. 2004. Vol. 344. Р. 275-293.

8. Старикова О.А., Свистунова А.В. Перечисление квадрик проективных пространств над локальными кольцами // Изв. вузов. Математика. 2011. № 12. С. 59-63.

9. Старикова О.А. Классы проективно эквивалентных квадрик над локальными кольцами // Дискрет. математика. 2013. Вып. 25 (2). С. 91-103.

10. Kula M. Field with prescribed quadratic form schemes // Math. Zeit. 1979. Vol. 167. Р. 201-212.

11. Kula M. Fields and quadratic form schemes // Ann. Math. Sil. 1985. Vol. 1 (13). Р. 7-22.

References

1. Ojanguren M., Sridharan R. A note on the fundamental theorem of projective geometry. Comment Math. Helv. 1969, vol. 44, pp. 310-315.

2. Milnor Dzh., Kh'yuzmoller D. Simmetricheskie bilineinye formy [Symmetric bilinear forms]. Moscow: Nauka, 1986, 176 p.

3. Yucas J.L. A classification theorem for quadratic forms over semilocal rings. Ann. Math. Sil. 1986, vol. 2, No. 14, pp. 7-12.

4. Cao Yonglin, Szechtman F. Congruence of symmetric matrices over local rings. Linear Algebra Appl. 2009, vol. 431, No. 9, pp. 1687-1690.

5. Cruickshank J., Quinlan R., Szechtman F. Hermit-ian and Skew Hermitian Forms Over Local Rings. Linear Alg. Appl. 2018, vol. 551, pp. 147-161.

6. Levchuk V.M., Starikova O.A. Kvadratichnye formy proektivnykh prostranstv nad kol'tsami [Quadratic forms of projective spaces over rings]. Mat. sb. 2006, No. 6, pp. 97-110.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 3

7. Marshall M. The elementary type conjecture in quadratic form theory. Contemp. Math. 2004, vol. 344, pp. 275-293.

8. Starikova O.A., Svistunova A.V. Perechislenie kvadrik proektivnykh prostranstv nad lokal'nymi kol't-sami [Enumeration of quadrics of projective spaces over local rings]. Izv. vuzov. Matematika. 2011, No. 12, pp. 59-63.

Поступила в редакцию /Received

9. Starikova O.A. Klassy proektivno ekvivalentnykh kvadrik nad lokal'nymi kol'tsami [Classes of projective equivalent quadrics over local rings]. Diskret. matematika. 2013, iss. 25 (2), pp. 91-103.

10. Kula M. Field with prescribed quadratic form schemes. Math. Zeit. 1979, vol. 167, pp. 201-212.

11. Kula M. Fields and quadratic form schemes. Ann. Math. Sil. 1985, vol. 1 (13), pp. 7-22.

25 июня 2019 г. / June 25, 2019