Алгоритм приближенного расчета гидродинамических сил, действующих на гидросамолет при продольной качке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.735.33

С. Г. Муганлинский

АЛГОРИТМ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ГИДРОСАМОЛЕТ ПРИ ПРОДОЛЬНОЙ КАЧКЕ

Расчет параметров продольной качки гидросамолета, находящегося на воде, является одним из важных этапов проектирования его. При этом серьезной задачей, требующей своего решения, является определение гидродинамических сил, действующих на гидросамолет при качке. Естественный подход к решению этой задачи определяется применением гипотезы плоских сечений на основе решения задачи погружения плоской пластины, форма которой отражает форму днища гидросамолета.

Итак, рассматривается симметричное погружение плоского деформируемого клина, боковые очертания которого представляют собой форму днища гидросамолета, со скоростью V в идеальную несжимаемую жидкость с учетом сил тяжести. Пусть У = /( х) - уравнение боковой формы клина, а у1 = /1 (х) - уравнение формы поверхности жидкости.

Запишем граничные условия в неподвижной системе координат 01Х1У1, связанной с поверхностью невозмущенной жидкости

Смоченную часть клина, определяем величиной 2с, условиями: |х| < с, - к < у < /(с)- к, где к - величина погружения клина.

Моделируем смоченную часть контура £К и свободную границу £ вихревой пеленой [1], а касательную скорость жидкости представляем с помощью интеграла Коши [3]. Пусть закон движения плоского контура соответствует продольной качке гидросамолета на известной регулярной волне, а так же - движение деформации смоченной части поверхности контура, вызванное начальным ударом о жидкость. Тогда величины Бк и £ являются функциями времени: £к (), £() . При этом на свободной границе за плоским

контуром £к () образуется вихревой гидродинамический след ст()<= £ (). Граница Бк и £ имеет конечное число угловых точек. За положительные

направления ортов нормали п и касательной £ на границе принимаются соответственно направления внешней к жидкости нормали и положительного обхода полуплоскости, заполненной жидкостью. Орты п и £ образуют правую плоскую систему координат. В начальный момент времени ось X совпадает с невозмущенной свободной границей. Скорость точек смоченной части контура и£ определятся следующим образом

и£ ( Г£ )= К ()+ Кд,еф (, Г£ ) (1)

где V () - скорость движения начала связанной с клином системы координат; Г£ - радиус-вектор точек смоченной части контура; Кдеф - скорость

деформационного движения точек контура.

Ставится задача определения скоростей частиц жидкости, вызванных движением контура и движением профиля свободной границы, обусловленное начальной волной и возмущенным движением жидкости от движущегося контура. Предполагается потенциальность поля скоростей во внутренних точках жидкости. Искомый потенциал скоростей Ф(, Г) является

гармонической функцией во всех внутренних точках жидкости и удовлетворяет на границе следующим условиям: непротекания смоченной поверхности; совместности движения; непрерывности давления на свободной границе; конечности скоростей на смоченной поверхности (условие Чаплыгина-Жуковского); условие совместности движения на вихревом следе и непрерывности давления; отсутствие движения на бесконечности.

Введя комплексный потенциал скоростей жидкости, можно показать, что на смоченной поверхности клина и на свободной поверхности скорость жидкости определяется через логарифмический потенциал двойного слоя:

и^(с) = ± 2 г(0-2 I НС) °°8(г ’п) < се £ к и £. (2)

2 2 ^ Г

С учетом динамического условия непрерывности давления на нижней стороне свободной границы S- условий на бесконечности касательная составляющая скорости возмущенного движения в каждый момент времени может быть представлена в виде:

и, (Z) = V0s Z) - slgn(V0s (Z))((Z)2 - ( Z) - Von (Z)) - 2g(y - У„ ) (3)

где Vos (z), Vos (°o) - касательная составляющая скоростей в точке Ze S и в бесконечно удаленной точке невозмущенной свободной границы; Von (Z) -нормальная составляющая скорости V0; y(t), yx(t) - ординаты точек свободной поверхности возмущенного и невозмущенного движения.

С учетом выражения (2) уравнение (3) представляется в виде интегрального уравнения относительно плотности вихревого слоя границы

S к u S;

YZ) = {-2L J Yl)с°^-Uc(Z)'l ZeS; (4)

I 2n sU r J

Вполне естественно различать плотность y(Z) вихревого слоя для различных элементов границы. Обозначим: усм,усв, y - плотности вихревого слоя смоченной части клина, свободной поверхности и свободного вихревого следа соответственно. Допускаем, что плотности вихревого слоя усм,усв, усл не зависят от времени, а в угловых точках границы равны нулю. Предполагаем так же что передняя точка смоченной поверхности SK в которую приходит

возмущенная свободная поверхность жидкости S движется с постоянной скоростью и поэтому плотность вихревого слоя в этой точке так же равна нулю.

С учетом такого представления плотностей вихревого слоя использование математического выражения динамического условия на свободной границе условия непроницаемости на смоченной части контура, кинематического условия совместности движения на свободной границе и условия теоремы Томсона [3] при предположении о начале движения из состояния покоя, дает систему интегральных уравнений относительно плотностей вихревого слоя

Уем,Усв, Уел и скорости возмущенного движения жидкости на свободной поверхности:

гев (, * )=-!\Гм (, , )с°^ *-1 Кгев (, 1 )+г„ (, ))^ * +

П

П

+

(°°))' у2 ()-' 1 К ( , / )^°^ <* + -( ( , I)+Гл (

П

Ш/ Уоы (, Г5 )

+

£ (( (г5)- у»(Ф;

|^(/)- *|; є 5(?).

г І дСОБІГ, 5) „ 1 <•/ / д /дчСОБІГ, 5)

| ^ (, /) у 7 Ш + -1 ( (, /) + Гсл (/)) У ’ 7

5к г П 5 г

= 2ПП( ^ )(у () + К ( ^ )), г є ^

К (, / )/ + $УСЛ (/)/ = С;

Ш/

+

(5)

(6)

(7)

= Ж(,г)-,2Гсв(,/)5 - Ус() г = 5(0. Ш 2

(8)

Участок смоченного контура определяется боковой формой погружающегося клина у = /(х) и передней точкой этого участка, которую

можно определить как точку пересечения контура клина у = /(х) с контуром

брызговой струи у = /1 (х). Так как контур брызговой струи неизвестен, то для

построения числового расчета погружения клина можно поступить следующим образом. В начальный момент погружения клина на основании имеющихся экспериментальных или опытных данных построить контур брызговой струи в виде кривой плавного сопряжения контура клина со свободной поверхностью жидкости. Таким образом, может быть найдено начальное положение передней угловой точки смоченной части контура клина. В дальнейшем, в каждый последующий рассматриваемый момент времени (?с + А?) положение передней кромки смоченного участка может быть определено путем смещения передней точки вперед на величину, определяемую решением уравнения Ус А? = / (х).

к

2

к

г

к

При продольной качке гидросамолета на воде скорости поступательного движения точек поперечных сечений лодки связаны выражением У0 = wlx, где

w - угловая скорость, а 1х - расстояние от рассматриваемой точки до центра

масс корпуса гидросамолета. При исследовании продольной качки гидросамолета на воде можно задать ряд значений угловой скорости w (круговая частота колебаний), и для них осуществить решение задачи о погружении клина в жидкость. Более общим будет подход, при котором частота колебаний определяется из решения динамических уравнений продольного движения гидросамолета. Эти уравнения по существу должны дополнить систему интегральных уравнений (5) - (8), так как они содержат неизвестные гидродинамические силы, действующие на корпус гидросамолета.

Решение системы интегральных уравнений (5) - (9), каким-либо способом, позволяет осуществить определение плотности вихревого слоя и с помощью интеграла Коши-Лагранжа распределение давление на контуре погружаемого клина:

Др(, х, у) = р(, х, у) - Ро =

= р( -(,X,у)-V) -2(у()-у„())-2'{Н.Г* (9)

2 61 (о,У0 )

где (0, у0) - критическая точка, в которой скорость равна нулю; (х, у) -текущая точка на контуре Sк; р(х, у) - давление в текущей точке смоченной части контура; ро - давление на свободной поверхности жидкости.

1. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наукова Думка, 1968.

2. Муганлинекий С.Г. Некоторые проблемы проектирования формы днища гидросамолетов. Сб. докладов IV научной конференции по гидроавиации «Гидросалон-2002», 2002.

3. Кочин Н.Е. и др. Теоретическая гидромеханика. Т. 1 - ОГИЗ. Готехиздат, 1948.