Алгоритм построения линейной метрологической характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

- © А.Б. Исаев, Н.Н. Ковальчуков, 2014

УДК 519.7

А.Б. Исаев, Н.Н. Ковальчуков

алгоритм построения линейной метрологической характеристики

В работе показано, что при восстановлении линейной градуированной характеристики средств измерений при отягощении случайными погрешностями входного и выходного сигналов, используя процедуру минимизации специальной квадратичной формы, удается получить состоятельные оценки параметров линейной градуированной характеристики средства измерений. Для доказательства использовался метод численного моделирования на ЭВМ многочисленных выборок из совместных измерений, отягощенных случайными погрешностями по входной и выходной переменным.

Ключевые слова: метрологическая аттестация, метод наименьших квадратов, остаточная сумма квадратов отклонений, обобщенная квадратичная форма, система нормальных уравнений, численное моделирование, истинная функциональная зависимость.

Зкспериментальные зависимости для метрологических характеристик, рассматриваемых как функции различных влияющих факторов, определяются по результатам совместных измерений с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Однако применение МНК для получения достоверных и эффективных оценок зависимостей требует выполнение следующих условий:

• она из переменных (функция или аргумент) измеряется с пренебрежимо малыми погрешностями;

• погрешность измерения второй переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным нулю;

• результаты измерений статистически независимы.

Однако не во всех случаях эти предпосылки выполняются. Например, при отсутствии соответствующих образцовых средств, при аттестации прецизионной измерительной аппаратуры не выполняется первая предпосылка, тогда метод наименьших квадратов оказывается неэффективным. Применение других известных основанных на функциях правдоподобия методов сдерживается их сложностью. Вследствие этого можно предположить новый, достаточно простой алгоритм обработки результатов совместных измерений, отягощенных существенными погрешностями.

Пусть имеются результаты совместных измерений функционально зависимых величин: у1х1,...,упхп. Каждая из этих величин измеряется с соизмеримыми погрешностями. Известно, что для линейной зависимости у = ax + Ь метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов отклонений для той переменной, которая измерялась с погрешностями (например, x), предполагается, что другую переменную у измеряли точно (без погрешностей):

Д2 =£ (у, - ах, - Ь)2

При наличии погрешностей измерений и переменной у предлагаем минимизировать обобщенную квадратичную форму , содержащую сумму квадратов отклонений для обеих переменных (по двум осям), т.е.

д1 = Е (у - ах- Ь)2 + Х (х -1 у, + -1

¡=1 ,=1V а а) (2)

Для определения оценок коэффициентов а и Ь поступаем так же, как и при обычном методе наименьших квадратов, а именно, приравниваем к нулю частные производные дДЦда и дД| / дЬ.

Система нормальных уравнений при этом (в обозначениях Гаусса) приобретает вид

а4

[х2 ] - а3 [xy] + а3b [x] - [у2 ] - nbz + а [yx] - ab [x] + 2b [y] = ö|

a4

а3 [x]- а2 [у] + a2bn + а [х] + bn -[у] = 0 J

(3)

n n

Здесь [x] = Z x ; [xy] = Z xy и т.д.

i=1 i=1

Сделав соответствующие подстановки, получим уравнения для определения коэффициентов

[x2]-1 [x]2}-а3 {[xy]-1 [x][у]+ а{[xy]-1 [x][у]}-{[у2]-1 [у]2= 0^

b = {[у]- а [x]}/n . (5)

Чтобы убедиться, насколько корректны оценки, полученные с помощью предложенного алгоритма, на ЭВМ проведен численный модельный эксперимент: для линейной функции вида п, = 5 + 3^., где п = M {y,|; Е, = M {х,| по программе GAUSS для значений Е1 £ (0; 2) генерированы выборки объемом N-1 = 25 из нормального распределения с дисперсией 8 2 = 0,05; 0,08 и 8 2 = 0,05; 0,08. Х

y ' ' '

Таким образом, результаты измерений у независимой и зависимой переменных оказались случайными величинами, распределенными:

х. - N (Е,; 0,05) х, - N (Е,; 0,08) х, - N (Е,; 0,08) х, - N (Е,; 0,05)

y, - N (п,; 0,05) y, - N (п,; 0,08) y, - N (п,; 0,05) y, - N (п,; 0,08)

Для предложенного алгоритма коэффициент а вычисляли из (4) методом Ньютона (метод секущих).

Ниже приведены коэффициенты линейной регрессии, полученные традиционным методом наименьших квадратов и по предложенному алгоритму. Для предложенного алгоритма: а = 2,835; 2,682; 2,679; 2,833 Ь = 4,126; 4,262; 4,194; 4,147. Оценки МНК:

а = 2,812; 2,409; 2,573; 2,667 Ь = 4,15; 4,321; 4,318; 4,158.

Итак, предложенный алгоритм определения оценок линейной зависимости дает более точное, по сравнению с оценками МНК, значение искомых параметров.

Для большей наглядности корректности оценок, получаемых с помощью алгоритма, сравним остаточные суммы квадратов для МНК и предложенного алгоритма:

у=д2/ 4 о ,

Д2 Д2

где у - критерий сравнения; До, ДЕ 0 - остаточные суммы квадратов для оценок МНК и для алгоритма конфлюэнтного анализа.

Для различных выборок найдены критерии сравнения у: 1,11; 2,06; 1,24 и 1,85. значения критерия позволяют сделать вывод, что зависимость, получаемая с помощью алгоритма конфлюэнтного анализа, точнее от 10 до 90% к истинной (особенно в случае больших дисперсий), чем определенная МНК.

На рисунке представлены прямые расчетов, где 1 - истинная зависимость; 2и 4 - зависимости, полученные МНК при дисперсиях 8х2 = 8 2 = 0,04 и 0,08 соответственно; 3 и 5 - зависимости, полученные для предложенного алгоритма при дисперсиях 8х2 = 8у2 = 0,04 и 0,08 соответственно.

Из рисунка видно, что прямые, полученные с помощью алгоритма конфлюэнт-ного анализа, расположены к истиной прямой, чем прямые, полученные МНК.

_ список литературы

1. Исаев А.Б. Измерительная техника. - 1982. - № 10. - С. 13.

2. Себер Д. Линейный регрессионный анализ / Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. ЕЛЭ

коротко об авторах_

Исаев Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент,

Ковальчуков Никита Николаевич - ассистент кафедры, e-mail: nikikoval@rambler.ru,

Российский университет дружбы народов.

UDC 519.7

LINEAR METRoloGIcAL pERFoRMANΠALGoRITHM

Isaev A.B., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, Koval'chukov N.N., Assistant of Chair, e-mail: nikikoval@rambler.ru, Peoples' Friendship University of Russia.

The block mining and consolidating stowing process is proposed. The horizontal and vertical stresses are evaluated. The average stowing strength values for the upper and lower layers are found. The procedure for the calculation of the characteristic strength for every mining level is developed. The stowing mixture composition made of local raw materials is substantiated for the slice mining conditions at Rubtsovsk polymetal ore deposit.

Key words: deposit, stowing, block, mining, stability, strength.

references

1. Isaev A.B. Izmeritel'naja tehnika (Measurement technique), 1982, no 10, p. 13.

2. Seber D. Linejnyj regressionnyj analiz Per. s angl (Linear regression analysis. English-Russian translation), Moscow, Mir, 1980.