Алгоритм построения параболической регрессионной зависимости по выборке результатов совместных измерений отягощенных случайными погрешностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

© А.Б. Исаев, P.M. Мархиев, 2012

УДК 614.841.345

А.Б. Исаев, Р.М. Мархиев

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПО ВЫБОРКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОТЯГОЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫМИ ПОГРЕШНОСТЯМИ

Рассмотрена возможность разработки алгоритма, который позволит значительно повысить точность найденной модели (ее адекватность к истиной) по сравнению с традиционным алгоритмом МНК.

Ключевые слова: итерационный процесс, алгоритм конфлюэнтного анализа, МНК, случайные погрешности, регрессионная зависимость.

Обрабатывать результаты совместных измерений в условиях отягощения погрешностями как зависимой, так и независимой переменной, необходимо при помощи алгоритмов конфлюентного анализа, обеспечивающих в этих условиях наибольшую близость рассчитанной с их помощью аппроксимирующей зависимости к неизвестной, истинной зависимости. Как известно, оценки [3], полученные традиционным методом наименьших квадратов (МНК), в данном случае оказываются смещенными и неэффективными.

Рассмотрим схему итерационного процесса, учитывающую априорную информацию о совместной, условной и частных плотностях распределений случайных переменных, составляющих экспериментальную выборку ( , У1),( Х2 , У2,...,( Хп , Уп ).

Итерационный процесс нахождения оценок а,. параметров а,. зависимости

ц(Е, а) = а0 + а1 Е + а2 Е,2 +..., (1) где Мх, = Е,-; Му, = ц; , = I, п;

М (у / х) = х, а) = а0 + а1 х + а2 х2 +...; (2)

(х является случайной переменной, имеющей одинаковые одномерные распределения р,(х) = р(х,Е,,ст2.)) с центрами в точках Е,(- = 1,п) и дисперсиями ст2.) заключается в пошаговой процедуре отыскания минимума квадратичной формы:

$2* = I»!4 [ - M(X/y)]2 = [ -i(X,,a)]2, (3)

l2

i=1

где ю,к) — вес k-го приближения X,; ю-1(k) = ст2(y,x);

M (y / x) = JJ yp( y / X,) p, (x)dxdy — (4)

У X,

соответствует значению величины у, усредненному по допустимой области изменения X, величины х вокруг точки Е,; У-область изменения у; т(х ,, а) —

оценка для 1-го шага (1); ст2(у, х,) - оценка к-го шага для дисперсии ст2(у,х,): а2( у, х,) = М {[у-М (у / х, )]2) — (5)

условная дисперсия у относительно регрессии М (у / х,).

Целесообразность подобного выбора весов будет видна из численных расчетов, подтвердивших корректность этого далеко не единственного способа назначения весов, интуитивно примыкающего к выбору весов в случае взвешенного МНК.

Чтобы реализовать на ЭВМ итерационный процесс, порожденный минимизацией (3), надо получить аналитические выражения для оценок т)(х,, а) и

ст2(у, х ,), определяющих скорость сходимости и точку сходимости итерационного процесса.

Перейдем к расчету оценок т)(х,, а) и ест2(у, х,). Согласно определению регрессии как условного математического ожидания

М (у / х) = | ур( у / х )6у = т( х, а), (6)

у

где х е X,, х ~ р, (х), видим

М(у / х,) = Л ур(у / х)р, (x)dydx = | т(х, а)р, (х)dx. (7)

у х, х,

Заметим, что для (7) справедлива эквивалентная запись

М(у / х1) = | ур(у / х е X, )ёу, где р(у, х,) = р(у / х е X,) — условная плотУ

ность вероятности для у, если х е X, — допустимой области значений содержащей точку Е,

р(у / х е X,) - р(у / х,) = | р(у / х) р1 (х^х. (8)

х,

Если функция т(х, а) в окрестности точки х , допускает разложение

(9)

т(х, а) = т(х,., а) + (х - х,) ^

дх

1( х х )2 д2т

дх

+ о (х - ^) „.2

Которое справедливо с точностью до членов выше второго порядка степе-

по-

ней (х - х,), то подставив (9) в (7), получим М(у /х:) = т(х1,а) + 2тх=х,ст2 , скольку | р1 (х)ёх = 1, | (х - х1 )тх=хр,(х)ёх = 0.

X, X,

Введя обозначения V2 = dq / Эх | х=х = х , V2 = Э2-q / Эх21 = х, можем переписать (7) в виде M(у / х;) = х,, а) + — V2a2 . (11)

После несложный выкладок a (у -

2(У - х,) = j[ M(у /х)]2 р(у /х е X,.)dy

j {[у - х, а]2 + [(х, а) - M(у / х ,)]2} p(у / х.d

(12)

Подставив (8) и (11) в (12) и опустив длинные выкладки, придем к а2( у, х,) = а2 +а2 V2,; (13)

а2 ||[у-Л(х,а)]2 р(у/х)р,(х)^у = ja^p,(x)dx, (14)

X, Y X,

2

где a — условная дисперсия величины у относительно линии регрессии, полученной в отсутствие погрешностей измерений у независимой переменной a2, = j(х -^¡)2 Pj(х)dx, V^ = ^х=х-2, а (14) дает «исправленное» на распределе-

xi

ние р,(х), т.е. усредненное по области X, значение a^ .

При получении (13) использованы уравнения (4)-(9), а члены 9( a2,) отброшены.

На основании (11), (13) и (14) приходим к следующей схеме итерационного процесса.

i п2

(0)

1. Составляем сумму S(20) = ^

®0

у, х,, а) - 2 V2iaxi

где

»f)=a-2 =

j a^P; (x) dx

Y2

— веса нулевого приближения.

2. Подсчитываем величины V^ а(0))a2., ш(1) = [a2 + V^

а (0))ax п 1

3. Составляем сумму S2( = ^

1 2

у, х, а) - 2 v2,(а(0) )axi

и отыскание зна-

чения а(1), минимизуруещее 5(21( и т.д. При достижении на к-м шаге |(а(к) - а(к-1))/а{к-1)| < е, где е — наперед заданное малое число, процесс останавливается.

В качестве оценок параметров принимаем численные значения параметров а{ к) в точке остановки итерационного процесса. Для иллюстрации корректности оценок, получаемых с помощью этого алгоритма проведен численный модельный эксперимент. Выбрана функция вида ц = -2Е,2 + 10Е, - 8,

1

1

где Е1 = МхП и для значений Е,- = 2, / п, 1 = 0, п - 1.

Таким образом, результаты измерений у независимой и зависимой переменных оказываются случайными величинами, распределенными соответственно:

х, ~ N(Е, ;0,04), у, ~ N(Л,;0,04);

Составлена целевая функция в =

1 п2 у, -ц(х, а) - 2 ст2

(15)

Лля предложенной итерационной процедуры. Итерационный процесс останавливался при е = 0.001. Определены также оценки для функции (15) по МНК.

Лля итерационного алгоритма конфлюентного анализа получены оценки параметров:

а 0 = -8,23; а1 = 10,06; а2 = -2,00;

Оценки МНК следующие: а0 =-8,01; а1 = 10,17; а2 =-2,17;

Таким образом, предложенный метод определения оценок зависимостей дает более точное значение искомых параметров; получаемая с его помощью кривая расположена ближе к истинной, чем кривая, определенная МНК.

¡=1

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Исаев А.Б. Измерительная техника, 1982. — №10 — С. 13.

2. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. — М.: Наука, 1976.

3. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. — М.: Финансы и статистика, 1981. IШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Исаев Андрей Борисович — кандидат технических наук, доцент,

Мархиев Рамазан Мусаевич — аспирант,

Российский университет дружбы народов, rector@rudn.ru

д