CC BY
9
© А.Б. Исаев, Е.Д. Патругин, И В. Кириллов, 2014
УДК 510.67
А.Б. Исаев, Е.А. Патругин, И.В. Кириллов
К ВОПРОСУ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ КОНФЛЮЕНТНОЙ СИТУАЦИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ НЕИЗВЕСТНОЙ ДВУМЕРНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Рассмотрена возможность разработки алгоритма построения искомой функциональной зависимости между результатами измерения выходного и входного сигналов на основе функции максимального правдоподобия, при наличии случайных погрешностей измерений у входного и выходного сигналов (конфлюентная ситуация). В условиях нормального распределения погрешностей построена корректная линейная функциональная зависимость, поскольку при занулении погрешностей эта зависимость совпадает с традиционной линией метода наименьших квадратов.
Ключевые слова: истинные значения переменных, конфлюентный анализ, плотность распределения, условная плотность вероятности, линейная зависимость.
При оценке неизвестных параметров О. = {й;} , I = 1 , входящих в функцию /у = ^(а,^) , где £ = ,] = 1,Ш входные
или независимые переменные; }] - выходная или функциональная переменная, обычно предполагается [1], что показания X = {лу} и приборов, измеряющих
^ и являются случайными величинами, и распределения их определяются распределением случайных погрешностей £х = и £г приборов.
А именно, в каждой точке измерения к выполняется равенство
= & + >Ук = Чк + Сук (!)
где "истинные" значения и неслучайны, и параметры распределения величин известны.
При однократных измерениях в каждой точке к безразлично, что принять за случайную величину - показания приборов X^ при неизвестных неслучайных
^ если же сами неизвестные "истинные" значения ^ при известных результатах измерения Х^ ./Действительно ,в этом случае распределения X^ и ^ будут тождественны, так как оценкой параметров этих распределений служат одни и те же значения .
Примем, что £ является случайной, а X - неслучайной величинами, т.е. в отличие от (1) запишем
= ^ -- (2)
Величина 1] связана с ^ детерминированной функцией И, поэтому также является случайной. Плотность распределения х) величины 7]
Находят по известной формуле [2]:
где плотность распределения ^, определяемая из соотношения (2)
при известном распределении £ х.
Распределение /¡^ следует рассматривать как условную плотность вероятности при условии, что показание прибора, измеряющего входную величину £, равно X.
Выходная величина 7] измеряется прибором с собственной случайной погрешностью £у , как правило , не зависящей от погрешности Ех. Если считать, что £ у не зависит также и от значения Т) (по крайней мере, в окрестности точки измерения 7)^), то показание у выходного прибора является композицией случайных величин Т} и Еу, и плотность распределения х} находится с
помощью интеграла свертки [3]:
Здесь ^у - плотность распределения погрешности £у.
Распределение ^ (у^Х^ следует рассматривать как условную плотность вероятности значения у при условии, что показание прибора на "входе" равно X.
После определения из (4) плотности распределения величины у дальнейшая процедура оценки параметров следует методу наибольшего правдоподобия: для совокупности измеренных значений & = составляется
функция правдоподобия, дифференцирование которой по параметрам дает систему уравнений для оценок Й",.
Рассмотрим случай линейной зависимости }] от £. /Для упрощения выкладок будем считать величину ^ одномерной, т.е. положим
(5)
Погрешности £у и Б у принимаем нормально распределенными с нулевыми
математическими ожиданиями и с дисперсиями, не зависящими от измеряемой величины ("равноточные" измерения):
Плотность распределения ^ из (2) Формулу (3) сведем в этом случае:
^ЕГЧа?) |
где 1} * (п, I)) - функция, обратная к функции (5); Й = {&1* П^}' с учетом (7) получим
1 г (^-а^г-аа)2
fjjObx) = ^[тГ1^'!)]
(6)
(7)
(8)
По (4) определяем fy (у t х)
(9)
(10)
(11)
Функция правдоподобия для N точек измерения
<?(„, „,) = *!.(«? + «Í«?) + íKtori
J 1 í
после дифференцирования по и Д^ и центрирования по (т.е. переход к переменной х' такой, что % fe = приводит к следующей системе
уравнений для определения и :
^ = (12) £ Я
a*No* + a\olЙ=1 х>кУк + а± [лГсг|^ + сг| " ^ E£=iУ1
1
w
+
(13)
При отсутствии погрешности у входного прибора (С\-=0) (13) дает оценку П} совпадающую с оценкой по методу наименьших квадратов.
1. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1980.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, т.1 /Пер. с англ. - М.: Мир, 1967.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3. Крамер Г. Математические методы статистики. /Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1948. ГГШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Исаев Андрей Борисович - профессор, e-mail: a.borisovich.mail.ru Патругин Евгений Александрович - старший научный сотрудник, Кириллов Иван Владимирович - магистр, Финансовый университет при президенте РФ.
А
UDC 510.67
APPLYING THE FUNCTION OF THE HIGHEST LIKELIHOOD OF CONFLUENT SITUATION TO THE UNKNOWN 2D FUNCTIONAL RELATIONSHIP CONSTRUCTION
Isaev A.B., Professor, e-mail: a.borisovich.mail.ru Patrugin E.A., Senior Researcher, Kmrillo I.V., master,
Financial University under the Government of the Russian Federation
The authors discuss an algorithm of a sought functional relationship between readouts of output and input signals based on the function of the highest likelihood in the presence of random errors of the input and output signal measurement (confluent situation). The correct linear function relationship has been constructed in the conditions of normal distribution of errors, since this relationship under nulling of errors coincides with the conventional least-square line.
Key words: true variable values, confluent analysis, distribution density, conditional probability density, linear relationship.
REFERENCES
1. Seber G., Lee A. Linear Regression Analysis. 2nd Edition, John Wiley and Sons, 2003.
2. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd Edition, John Wiley and Sons, 1968.
3. Cramer H. Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, 1946.
