Алгоритм построения гладкого сопряжения поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

дрения инновационных образовательных технологий, в первую очередь, в процесс самостоятельной работы студентов. Эти инновации связаны с активными формами и личностно-ориентированным обучением. Расширилось общение между преподавателями и студентами, активнее стал происходить обмен опытом между самими преподавателями. Появилась возможность определить степень активности каждого преподавателя в области инноваций.

Определение рейтинга студента в соответствии с результатами самостоятельной работы студентов повысило объективность оценки знаний. Использование функций системы МИФИСТ в области мониторинга позволило контролировать процесс подготовки учебно-методических мате-

риалов по разным учебным дисциплинам, определять степень их востребованности.

Литература

1. Инновационная программа инженерно-физического образования для нового этапа развития ядерной науки и промышленности. МИФИ, 2007. URL: www.mephi.ru (дата обращения: 19.01.2009).

2. Гусева А.И. Системный компетентностный подход к использованию ИКТ в учебном процессе // Науч. сес. МИФИ-2007: сб. науч. тр. М.: МИФИ. 2007. Т. 2. С 92-93.

3. Корпоративный ядерный университет: предпосылки, концепция, структура / А.И. Гусева, В.В. Харитонов, Б.М. Кербель и др. Северск: СГТИ, 2004. 138 с.

4. Киреев В.С., Синицын С.В. Двухэтапный алгоритм кластеризации данных // Науч. сес. МИФИ-2006: сб. науч. тр. М.: МИФИ, 2006. Т. 2. С. 14-15.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ГЛАДКОГО СОПРЯЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

(Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация»)

Д.В. Куреннов, к.т.н.; А.С. Партии, к.т.н. (Институт машиноведения УРО РАН, г. Екатеринбург, [email protected])

В статье описывается алгоритм построения гладкого сопряжения, который используется при разработке системы геометрического моделирования машиностроительных деталей. В качестве базового использован метод Безье для представления кривых и поверхностей в параметрическом виде. Особенностью алгоритма является получение порции сопряжения в аналитически точном виде.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, кривые и поверхности Безье, сопряжение поверхностей.

Одним из важнейших применений САПР в машиностроении является представление и моделирование различных трехмерных объектов - деталей. Поверхности ряда таких деталей, как, например, гребной винт, перья турбинных лопаток, некоторые тела вращения и отливок, достаточно сложны для описания. Наиболее полно задача моделирования объектов с подобного рода поверхностями решается лишь небольшим числом зарубежных промышленно-ориентированных САПР (Simatron, Microstation, Pro Engeneer, UNISURF и некоторыми другими). В сложившихся условиях у этих систем очень высокая цена, сложность в использовании, повышенная требовательность к вычислительным ресурсам.

В статье предлагается описание алгоритма построения гладкого сопряжения, который используется при разработке системы геометрического моделирования машиностроительных деталей. В качестве базового использован метод Безье для представления кривых и поверхностей в параметрическом виде.

Постановка задачи. Пусть имеются две порции поверхности, заданные в форме Безье. Порции имеют общую граничную характеристическую

ломаную, определяющую линию пересечения порций. Необходимо построить бикубическую (в общем случае) порцию поверхности, которая непрерывно и гладко сопрягалась бы с двумя заданными порциями.

Для простоты и наглядности объяснения одного из возможных вариантов решения поставленной задачи предлагается сначала рассмотреть случай гладкого сопряжения двух соприкасающихся пространственных бикубических кривых. Исходные кривые заданы в форме Безье. Определена их общая точка (точка соприкосновения). Требуется построить кривую, непрерывно и гладко сопрягающуюся с исходными кривыми.

Пусть первая из кривых определяется характеристической ломаной Р00Р01Р02Р03, вторая - ломаной Р10РПР12Р13. Точки Р03 и Р10 совпадают. Обе кривые разделим по параметру в соотношении, показанном на рисунке 1. Для каждой из полученных в результате деления частей построим характеристическую ломаную, чтобы в дальнейшем можно было работать не с кривыми целиком, а именно с их частями. Построить характеристические ломаные для отдельных частей исходных кривых можно путем преобразования вершин ха-

Рис. 1. Отсечение фрагментов исходных кривых

рактеристических ломаных исходных кривых, пользуясь формулами:

Во=(1-ио)3Ро+3ио(1-ио)2Р1+3ио2(1-ио)Р2+и„3Рз;

В1=(1-ио)2(1-их)Ро+(1-ио)(2ио+и1-3иоих)Р1+ +ио(2и1+ио-3иои1)Р2+ио2и1 Рз; В2=(1-ио)(1-и1)2Ро+(1-и1)(2и1+ио-3иои1)Р1+ +и1(2ио+и1-3иои1)Р2+и12иоРз; Бз=(1-и1)3Ро+3и1(1-и1)2Р1+3и12(1-и1)Р2+и13Рз.

Рассмотрим соприкасающиеся части исходных кривых. Они определяются характеристическими ломаными В00В01В02В03 и В1оВ11В12В13 соответственно (рис. 2). Выделим от каждой из этой пары ломаных по две точки: от левой (по рисунку) - точки Ооо и Оо1, от правой - Б12 и Б13. Теперь предположим, что точки выделенной четверки являются вершинами характеристической ломаной для сопрягающей кривой. Тогда в точках Ооо и Б13 сопрягающая кривая будет касаться левой и правой (по рисунку) кривых соответственно. Таким образом, непрерывность кривой при переходе от левой кривой к кривой сопряжения (в точке Ооо) и при переходе от сопрягающей к правой кривой (в точке Б13) будет обеспечена. Непрерывность направления касательной при переходе через точки Ооо и Б13 обеспечивается коллинеарностью векторов В„„В01 и Ко2Коз - для точки Боо, и В13Б12 и КооКо1 - для точки Б1з.

Далее необходимо отбросить ненужные части исходных кривых, накрываемые сопрягающей кривой. Для этого с помощью уже известных формул преобразуем характеристические ломаные исходных кривых по параметру и в результате получаем характеристические ломаные для оставшихся (нужных) частей кривых. Это ломаные

Р ооР о1Р о2Р оз и Р 1оР 11Р 12Р 13 (рис. 3).

Рассмотрим случай построения сопрягающей порции поверхности для двух соприкасающихся порций. Исходные порции заданы в форме Безье, то есть заданы два характеристических много-

Р'11

^ 12

#—Уо„,-р\„

Р'„1 у,

/ й„2

• Рис. 3. Результат построения

сопрягающей кривой

гранника, содержащих по 16 вершин. Многогранники имеют четыре общие вершины, которые образуют характеристическую ломаную линии касания порций (рис. 4).

Для порции можно выделить по четыре характеристические ломаные в направлении изменения каждого из двух параметров (и и у). Рассмотрим такие ломаные в направлении изменения параметра у для обеих пересекающихся порций. Ломаные можно объединить в пары: каждая пара имеет одну общую точку (эта точка является к тому же одной из вершин характеристической ломаной линии касания исходных порций).

Таким образом, получаем четыре пары ломаных, определяющих четыре пары кривых. Для всех четырех пар этих кривых применим описанную ранее процедуру построения сопрягающих кривых. В результате в направлении изменения параметра у имеем четыре характеристические ломаные для кривых, каждая из которых касается исходных порций. Будем полагать, что эта четверка ломаных представляет собой характеристический многогранник порции сопряжения (рис. 5).

Векторы в тройках

аззаз2, азза2з и аззСз1;

а03а02> а03а13 и а03С01;

Ь30Ь3Ъ Ь30Ь20 и b30c32;

Ь00Ь0Ъ Ь00Ь10 и b00c02

компланарны, что обеспечивает непрерывность и гладкость сопряжения порций.

Таким образом можно получить характеристический многогранник порции, непрерывно и гладко сопрягающейся с исходными.

Следует остановиться на определении формы вновь получаемой кривой сопряжения. Для этого

Рис. 5. Характеристический многогранник сопрягающей порции

определим кривизну кривой в точках и=0 и и=1 по соотношениям:

к(0)=(2ш0Ю2/3Ш12 )(1 (Г1-Г0) х (Г2-Г1) 1/1г1-Г0!3), к(1)=(2ш1шз /3шг2)( !(Г2-Г1) х (Г3-Г2) ! / 1Г3-Г2 !3),

где к - кривизна; w - однородная координата.

Таким образом, меняя лишь координаты Wj, можно в определенной степени управлять формой кривой.

В случае построения порции сопряжения для ограничения изменения формы сопрягающей порции в направлении изменения одного из параметров можно потребовать постоянства кривизны данной порции при переходе от одной характеристической ломаной к другой в точках ее касания исходных порций. Если значение кривизны меняется, его можно корректировать, изменяя значения однородных координат о>н и о>2ь

Литература

1. Норенков И.П., Маничев В.Б. Основы теории и проектирования САПР: учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 1990. 335 с.

2. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. М.: Мир, 1989.

3. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия: применение в проектировании и производстве. М.: Мир, 1982.

УНИВЕРСУМНАЯ МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ АСУ ПРЕДПРИЯТИЙ

В.И. Масликов (Дальневосточный государственный гуманитарный университет,

г. Хабаровск, vlad@гmaй.kM.ш)

Предлагается универсумная методика описания процессов функционирования предприятий, основанная на идее ранжирования подразделений по критерию качества материальных и информационных потоков. Такой подход позволяет осуществить интеграцию существующих АСУ предприятия в единую систему, а также создает универсальную базу для выработки новых принципов проектирования и организации работы различных предприятий в едином информационном пространстве.

Ключевые слова: универсум, автоматизированная система управления, интеграция автоматизированных систем, автоматизация проектирования, архитектура системы, организационная структура, информационная система, стратификация, информационный поток, управляющая информация, единое информационное пространство.

Существует множество подходов к проектированию АСУ предприятий, но практически все школы разработчиков основаны на субъектно-объектном подходе и рассмотрении преимущественно информационных потоков предприятия.

Между тем многие авторы отмечают, что эволюция методов разработки информационных систем (ИС) достигла такого уровня, когда уже невозможно обойтись без выработки научно обоснованного подхода к ее онтологии [1], и что при этом важно понимание информации как меры порядка, организованности, то есть информации как характеристики структуры системы. Для понимания того, что объект является системой, его необходимо представить в виде упорядоченного множества взаимосвязанных элементов, имеющих структуру и удовлетворяющих принципу целостности [2].

Универсумная методика разработки, основанная на эволюционном развитии как онтологиче-

ской, так и гносеологической стратификации объектов исследования, открывает возможности разработки и внедрения более технологичных процедур процессов автоматизации предприятий.

Основные термины

Универсум (Universum, U) - универсальная единица описания любого элемента Вселенной как единства материи (М), информации (И) и меры, в которой категория мера определяет численное соотношение между материей и информацией. Функционирование универсумов отражается в процессах, которые в обобщенном виде можно назвать информационно-материальными (ИМ), материально-информационными (МИ) или, обобщенно, универсумными (U) потоками.

U-поток - это процесс взаимного отражения материального и информационного состояний универсума, отображающий тот факт, что любые изменения материального бытия универсума обя-