CC BY
40
УДК 531/534: [57+61]
АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНЫХ УСИЛИЙ ДЛЯ ЛЕЧЕНИЯ ДВУСТОРОННЕЙ РАСЩЕЛИНЫ ТВЕРДОГО НЁБА
В.А. Лохов, О.Ю. Долганова
Кафедра теоретической механики, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Россия, 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе рассмотрена задача о лечении врожденной расщелины твердого нёба как задача независимого управления деформациями системы с помощью собственной деформации. Под собственной деформацией в данной работе понимается ростовая деформация, которая моделируется с помощью модели Хсю (Journal of Biomechanics, 1968). Предложен и реализован алгоритм поиска усилий, создающих в теле заданную ростовую деформацию, которая способствует формированию правильной нёбной дуги. Предложен способ вычисления желаемой ростовой деформации. Определены время действия, величина и направление оптимальной нагрузки. Все вычисления проводятся в рамках плоской конечноэлементной модели. Проанализировано влияние области давления ортопедического аппарата на максимальное значение необходимого усилия.
Ключевые слова: расщелина твердого нёба, ортопедическое лечение,
хейлопластика, уранопластика, управление.
Введение
Расщелина верхней губы и нёба является самым распространенным врожденным пороком развития челюстно-лицевой области. По данным статистики различных стран мира, число детей, рожденных с врожденной патологией зубочелюстной системы, в среднем составляет от 1 на 500 до 1 на 1000 новорожденных. Имеется тенденция к увеличению частоты рождаемости детей с данной патологией [3, 15].
Наличие расщелины верхней губы и нёба у новорожденного приводит к множественным функциональным нарушениям, связанным в том числе с жизненно важными функциями дыхания, сосания и глотания. При аномалиях лицевого скелета нарушается нормальная функция твердого нёба - оптимальное распределение напряжений, возникающих в области верхней челюсти в процессе деятельности жевательного аппарата при создании пищевого комка. Процесс жевания оказывается неспособным дать нормальное распределение сил в костной системе, что, в свою очередь, ведет к перегрузке и недогрузке во всех элементах системы [1, 2, 4, 5, 20].
По мере роста ребенка расщелина создает ощутимые препятствия к его социальной адаптации за счет наличия косметического дефекта и нарушения речи. Это служит поводом к запуску процесса стигматизации, определяющего предвзятое отношение к ребенку общества, а нередко - и собственных родителей.
Идеальная методика лечения врожденных расщелин нёба продолжает оставаться источником дискуссий. Очевидно, что использование наугад подобранных методов лечения приводит к высокой частоте неудач повторных операций по устранению расщелины (необходимость реоперации - до 44% случаев) [22].
© Лохов В.А., Долганова О.Ю., 2012
Лохов Валерий Александрович, к.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической механики, Пермь Долганова Ольга Юрьевна, аспирант кафедры теоретической механики, Пермь
09806267
Методики лечения разнообразны, однако большинство российских авторов высказывают мнение о пошаговой предоперационной ортопедической реконструкции врожденных дефектов верхней челюсти у детей [8, 9, 13, 14, 16, 20]. Ведущим этапом лечения в данном случае является механическое воздействие ортопедических аппаратов на разобщенные нёбные фрагменты с целью уменьшения костного дефекта твердого нёба.
Описание моделируемой методики лечения
Для удобства восприятия читателем методики лечения приведем на рис. 1 названия и расположение основных костей твердого нёба. Отметим, что межчелюстная кость на рис. 1 не обозначена, поскольку она имеется у человека до четырех лет, а потом срастается с костями верхней челюсти.
В настоящее время в отечественной практике широко применяются съемные ортопедические аппараты со вспомогательной внеротовой эластической тягой, раннее ортопедическое лечение детей с врожденной расщелиной губы и нёба проводят в два этапа. Первый этап начинается с момента рождения ребенка и длится до четырех месяцев, его цель - подготовка к хейлопластике (коррекция формы губ). На втором этапе ортопедического лечения (период после хейлопластики) идет подготовка к уранопластике (устранение расщелины).
При первом посещении врача-ортодонта проводится обследование ребенка, определяется группа сложности деформаций основного порока, с верхней и нижней челюстей слепочной ложкой получают оттиски. Далее по рабочему слепку отливают гипсовую модель, из пластмассы изготавливают корректирующий аппарат, моделируя направляющие для межчелюстной кости и сошника.
Аппарат устанавливают в полость рта малыша. Вся конструкция плотно прилегает с нёбной стороны к буграм и альвеолярным отросткам верхней челюсти по всей длине, а также к нёбным отросткам и сошнику. Одновременно изготавливают шапочку, плотно охватывающую голову ребенка. К шапочке пришивают пуговицы для фиксации эластичного трубчатого бинта на уровне основания крыла носа и угла рта. Фиксация бинта помогает смещению межчелюстной кости к оси симметрии. После адаптации младенца к аппарату каждые 1-2 дня проводят коррекцию ложа межчелюстной кости и сошника путем наслаивания пластмассы с одной стороны и сошлифовывания с другой, приближая их положение к оси симметрии лица. Коррекцию продолжают до тех пор, пока межчелюстная кость вместе с сошником не займет правильное анатомическое положение.
а б
Рис. 1. Твердое нёбо в норме (а) и при патологии (б)
ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 3 (57): 42-56 43
Чем раньше предпринято ортопедическо-ортодонтическое лечение, тем оно эффективнее, тем лучше достигаемые функциональные и эстетические результаты, тем быстрее и совершеннее будет выполнена хейлопластика [8, 9, 13]. Такая возможность обусловлена имеющимся у ребёнка значительным потенциалом роста челюстных костей, хотя и несколько сниженным по сравнению со здоровыми детьми. Кроме того, необходимо достичь равновесия в действии губ, щёк, языка, жевательной и мимической мускулатуры, т.е. между силами, которые благотворно влияют на рост челюстей, с помощью ортопедических аппаратов (до операций на верхней губе и нёбе), а в послеоперационном периоде - ортодонтических аппаратов. При этом данная перестройка протекает легче в течение временного и сменного прикуса, пока не произошли стойкие морфологические изменения в тканях челюстно-лицевой области из-за имеющихся послеоперационных рубцов [16].
После проведения хейлопластики через 3-4 недели на очередном приеме у врача-ортодонта начинается второй этап ортопедическо-ортодонтического лечения. Снова получают оттиск с верхней челюсти ребенка с помощью эластичной массы. Далее по оттиску изготавливают гипсовую модель и производят ее предварительную корректировку: на гипсовую модель в области прилегания нёбных отростков наслаивают воск, что позволяет сформировать пространство для перемещения концов нёбных отростков в сторону ротовой полости, а также учесть их рост. Далее по гипсовой модели из зуботехнической пластмассы изготавливают ортопедический аппарат. Его ложе плотно обхватывает сошник. В полости рта аппарат удерживается за счет прилипания в зонах контакта с нёбными отростками.
Давление на отростки со стороны аппарата возникает за счет сил прилипания и работы мощного мышечного органа - языка. Кроме того, пластинка препятствует проникновению языка в расщелину. Поскольку ребенок до хейлопластики пользовался аппаратом, он быстро привыкает к этой конструкции и после нее.
Так как по мере роста нёбные отростки все ближе прижимаются к поверхности аппарата, то корректировка путем спиливания излишков пластмассы со стороны, обращенной к нёбным отросткам, позволяет постепенно формировать свободное пространство под поверхностью нёбных отростков и под их краями. В результате края нёбных отростков всегда свободны, что стимулирует их рост и ускоряет процесс сужения расщелины. Благодаря этому нёбные отростки приобретают форму, обусловленную физиологическими особенностями верхней челюсти ребенка. В результате формируется физиологический для данного пациента свод нёба.
Кроме того, поскольку аппарат полностью закрывает расщелину, устраняется действие языка на ее область, тем самым исключается дальнейшее увеличение крутизны нёбных отростков. Это позволяет быстрее закрыть или уменьшить расщелину нёба и тем самым приблизить сроки проведения уранопластики.
Предварительная корректировка гипсовой модели с помощью воска и аппарата в процессе лечения больного путем спиливания пластмассы позволяет использовать один и тот же аппарат на всем протяжении второго этапа лечения. Применение одного и того же аппарата после хейлопластики до уранопластики повышает физиологичность способа и исключает новые адаптационные периоды, возникающие при коррекции аппарата путем его замены. Следует еще раз подчеркнуть, что продолжительность II этапа ортопедическо-ортодонтического лечения зависит от степени тяжести деформации верхней челюсти и занимает не менее шести месяцев.
Схематически последовательность результатов этапов ортопедического лечения приведена на рис. 2 и 3.
Очевидно, что ортопедические аппараты позволяют опустить нёбные отростки из практически вертикального состояния до положения, при котором последующее зашивание нёба вызывает незначительные деформации зубочелюстной системы.
Нёбный отросток
Сошник
Нёбный отросток
а
б
Рис. 2. Положение фрагментов нёба до (а) и после (б) первого этапа раннего ортопедического лечения
а
б
Рис. 3. Положение фрагментов нёба до (а) и после (б) второго этапа раннего ортопедического лечения
К сожалению, ортопедическое лечение основано на эмпирическом опыте и субъективных представлениях врачей о ростовых процессах в костной ткани - не существует научно обоснованных стандартов лечения, которые определяли бы для каждого пациента индивидуально эффективный способ достижения наилучших результатов.
По мнению авторов, качество лечения данной патологии должно непременно возрастать вследствие исследования методами математического моделирования влияния ортопедических аппаратов на костную ткань, а именно измерения величины воздействия аппарата у каждого конкретного пациента. В таком случае результативность и действенность конкретного метода лечения будет являться следствием научного подхода к данной проблеме.
Таким образом, развитие биомеханической теории ортопедической реконструкции расщепленного твердого нёба является актуальной и практически значимой задачей в выработке критериев оптимального проектирования ортопедических аппаратов управления ростом нёбных отростков.
Задача управления ростовыми деформациями
В данной работе задача о лечении врожденной расщелины твердого нёба рассмотрена как задача о поиске усилия ^ создающего в теле заданную ростовую деформацию. Заданная ростовая деформация способствует формированию нёбной дуги (обозначена пунктирной линией на рис. 4). Величина задаваемых перемещений определяется по чертежу формы дуги, которую хотели бы получить в результате лечения.
1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 3 (57): 42-56 45
у, ММ А
Существующая 2 (16; 8.3)
| Ось симметрии лица
3(18; 5.3)
Заданная дуга
Ч
-э*
X, мм
О(0;0)
Рис. 4. Заданная ростовая деформация
Следует отметить, что управление ростом уместно на втором этапе раннего ортопедического лечения, когда фрагменты нёба выровнены относительно оси симметрии лица.
Определяющее соотношение биомеханической модели роста Хсю, используемое в данной статье, подробно описано в работе [6]:
где А - тензор второго ранга, определяющий генетический рост ткани; В - тензор четвертого ранга, характеризующий влияние напряжений о на деформации скорости роста £8 . Для изотропного материала тензоры А и В можно упростить:
где I - единичный тензор второго ранга, С-1 - тензор упругой податливости, А и В -скалярные параметры, определяющие рост ткани. С учетом (2) формула (1) принимает вид
где £е - тензор упругой деформации.
Рассмотрим далее математическую постановку задачи ортопедического лечения.
Известно, что фрагмент твердого нёба состоит из двух частей (рис. 5): податливой хрящевой ткани (область У2), соединенной с более жесткой костной структурой (область У1) [19]. Конкретизация областей должна приниматься на основе томографических данных. В исследуемой модели граница областей принята условно, так как данный расчет не привязан к конкретному пациенту. Геометрические параметры области находятся в физиологическом диапазоне, их величину можно оценить по координатам точек.
Полная дифференциальная постановка задачи растущего упругого тела, занимающего область V в R3с границей £, V = V и £, £ = и £а и Sр, Sр = Sр1 и Sр 2
(угловые точки (0; 0) и (0; 4) не входят в границы и £а ), такова:
- определяющее соотношение для ростовой деформации (3);
- деформация £ является суммой упругой £е и ростовой £8 деформаций
£8 = А + В -о,
(1)
А = АІ, В = В С1,
(2)
£8 = АІ + Вг ,
(3)
(4)
Рис. 5. Расчетная область
уравнение равновесия
V - о = 0, г є V ;
геометрическое соотношение
1
граничные условия
£ = -(^ + ^), г є V;
V = 0, т„, = 0, г є 5',,
V = 0 (х = у = 0),
начальные условия
и(г,0) = 0.
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
Уравнения (3, 4-10) позволяют рассчитать накопление ростовой деформации с течением времени во фрагменте, если известны усилия F на границе 5р1.
Отметим, что после снятия ортопедического аппарата нагрузки F также снимаются. После этого во фрагменте остается накопленная ростовая деформация г8, вычисляемая на основе формулы (6). Необходимо подобрать такие усилия F на границе 5р1, чтобы отросток с ростовой деформацией принял форму, показанную на
рис. 3, при этом в отростке не должно остаться макроскопических остаточных напряжений.
Применение теории независимого управления деформациями
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
С точки зрения механики, поставленная задача является задачей независимого управления деформациями системы с помощью собственной деформации [7, 10, 12, 17, 21]. Под собственной деформацией в данной работе будем понимать ростовую деформацию в уравнении (4).
Для задачи теории упругости с собственной деформацией доказана теорема о декомпозиции собственной деформации на составляющую, свободную от напряжений £*, и составляющую, свободную от деформаций е* [21]:
* * * /"-1-14
£ +£а. (11)
Анализ собственных деформаций проводится в терминах энергетического линейного гильбертова пространства Н с использованием следующих правил вычисления скалярного произведения и нормы:
(г;,е2 )Н = {е; С г2 е Н, (12)
IIе IIН Ч(£,е)Н •
Показано, что свободные от напряжений собственные деформации е *и образуют подпространство Ни, а нильпотентные собственные деформации - подпространство Нст. При этом подпространства Ни и Нст взаимно ортогональны:
(С<)н = 0, v<€н,н„.
В работе [18] доказана теорема, что для любой собственной деформации г: е Н;
можно подобрать силы, создающие в таком же упругом теле деформацию ге = г :.
На основе данной теоремы можно сделать вывод, что ростовая деформация, вычисляемая по формуле (3), не будет вызывать остаточных напряжений во фрагментах. Действительно, при граничных условиях (7), (8) однородное расширение AIdt не будет вызывать напряжений, деформация Вгеdt также не будет вызывать напряжений, так как может быть создана силами в упругом теле.
Таким образом, остается разработать алгоритм поиска необходимых усилий F на границе Sp . Для этой цели предлагается использовать следующий функционал:
W (F, T) = J (гg (F, T) - г(0) )--С ••(гg (F, T) - г(0)) dV ^ inf (F, T), (13)
V
где г(0) - желаемая ростовая деформация, формирующая необходимую форму нёбного фрагмента (рис. 4).
Решение задачи (13) позволит вычислить необходимые усилия F и время их действия T, т.е. период ортопедического лечения.
Алгоритм решения задачи
Для решения поставленной задачи необходимо сначала вычислить желаемые ростовые деформации е(0). Для этого решим задачу теории упругости для той же области V, задавая необходимые перемещения на границе Sp1, при этом сохраняя прежние граничные условия на границах Sv, Sp2 и Sa. Согласно теореме [18]
вычисленная деформация фрагмента будет принадлежать подпространству Ни.
Рассмотрения проводятся в рамках конечно-элементной модели, где используются плоские треугольные элементы с линейной аппроксимацией перемещений. Количество элементов обозначено как е. Рассматривается плосконапряженное состояние.
Рис. 6. Область приложения единичных сил
Тогда граница Spl разбивается на узлы. Если к узлу на этой границе приложить
единичную силу ^1 = 1, то можно вычислить ростовую деформацию, соответствующую второму слагаемому в формуле (3),
£8 = ВТ е(1),
где е(1) - упругая деформация, вызванная силой ^ = 1.
Таким образом, последовательно прикладывая силы ко всем узлам границы Sp1, вычислим тензоры е(к), где к = 1...К (см. рис. 6).
Отметим, что напряжения влияют на рост только в области V2, чтобы это учесть
при вычислении е(к) граница Sv2 считается закрепленной, тогда е(к) = 0, г е^.
В этом случае ростовая деформация, создаваемая в ткани, может быть представлена в следующем виде:
£8 = ЛП + ^^FkBTs(к \ (14)
к=1
где Т - время действия ортопедического аппарата.
Преобразуем целевую функцию (13), раскрывая квадрат нормы:
¥ = Ке8 (F ) - е(0)) • -С • • (е8 (F) - е(0)) dV =
V
= (е8 (F).е8 (В ))н - 2(е8 (F).г10’)н +(г10’,г™)„' Отбросим слагаемые, не зависящие от Гк, к = 1. К , подставим (14) в (15)
¥(F) = (е8 (В),е8 (F))н - 2(е8 (В'),е(0))Н =
(15)
= т2
Ґ К К \ Ґ К \
ЛІ + 2FkB£(k),ЛІ + 2FkB£(k) I -2Т ЛІ + 2FkB£(к),£(0) | = к=1 к=1
'и V
к=1
Ґ К \ Ґ К К
= Т2 (ЛІ, ЛІ)и + 2Т2 ЛІ, 2 Fk В£(к) І + Т2І 2 Fk В£(к), 2Fk В£(к)
V к=1 у и Vк=1 к=1
-2Т (ЛІ, £(0) ^ - 2ТІ 2 FkB£(к), £
К
(0)
к -
к=1
и
и
Поменяем порядок вычисления суммы и скалярного произведения:
к к
k=l I=1
¥ = Т2В2 2 2 ркр1 (£(к),£(1)) - 2ВТ2 2 ^ (£(0) / Т - А1, £(к))
• ' ' ' Н к=1 Н
А2Т2 (I,I)н - 2АТ(I,£(0))я В матричных обозначениях формула (16) принимает вид
¥ = Т2В2 {р}Т [Н] {р}- 2Т2В2 {р}Т {0}+ у,
+
где
^} = {^,F2,^,Fк} ,
(16)
(17)
(18)
[Н]
(£(1), £(1) ^ (£(1), £(2))
(£(2), £(1) ) (£(2), £(2))
(£(1), £(К)) (£(2), £(К))
( £( К), £(1) ) ( £( К), £(2) ) ... ( £( К), £(К))
(19)
{0} = 1 {(£(0)/т-АІ,£(1)^ , (£(0)/Т- АІ,£(2)^ , ... (£(0)/Т- АІ,£(К))я} . (20)
У =
А2Т2 (I,I)я - 2АТ(I,£(0)) .
(21)
Слагаемое £(0) / Т в формуле (20) по физическому смыслу представляет собой желаемую скорость ростовой деформации. Матрица [Н] в формуле (19) является положительно определенной [7] в силу линейной независимости полей £(к).
Таким образом, задача поиска оптимальных усилий {Р} сводится
к минимизации функции (17), что можно сделать, используя аналитические условия экстремума:
д¥
дР,
= 0, k = 1,2,.,К .
(22)
Подстановка функции (17) в условия (22) дает систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора неизвестных сил {Р} :
№ }-{0} = °.
К ХК К Х1 К Х1
(23)
Решение системы (23) может быть найдено с использованием метода обратной матрицы:
И=[НҐ {0}.
К х1 К хК К х1
(24)
Для того чтобы воспользоваться формулой (24), необходимо найти время действия сил Т, которое входит в столбец {0}.
н
н
н
где
Для дальнейших вычислений удобно представить вектор-столбец {0} в виде
{0} = {0(1)} / ВТ-{0(2)} / В, (25)
{0(1) }к = (£(0), £(к) )н , {0(2)} = (А1, £(к) )н , к = 1,2,..., К. (26)
Тогда формула (24) примет вид
{Р} = [Н]-1 Г{0(1)}/ Т - {0(2)}| / В . (27)
К х1 К хК V К х1 К х1 у
Подставим решение (27) в целевую функцию (17):
^2 £>2 (!^ Т ' ™ <'^(?)'> Т ^ / пГтт1-1 Гтт1Гт Т1-1
1хК ' 1хК У К хК К хК К хК V' к х1
ТТ
¥ = Т2В2|{0(1)} /Т-{0(2)} I/В[Н]-1 [Н][Н]-1|{0(1)}/Т-{0(2)}| /В-
V 1хк 1хк у К хК К хК К хК V к х1 к х1 у
2Т2В2 ^{0(1) }Т / Т - {0(2) }Т1 / В [Н]-1 Г{0(1)}/ Т - {0(2) }] / В -
1хк 1хк у К хК V к х1 к х1
+А2Т2 (I,I)н -2АТ(I,£(0))я
или
¥ = А2Т2 (I,I)Н -2АТ(I,£(0)) -Т2| {0(1)} /Т-{0(2)} |[Н]-11 {0(1)}/Т-{0(2)} I,
Н
1хк 1хк У К хК V к х1 к х1
¥ = Т2
1хК К хК К х1
А2 (I, I)Н -{0(2) } [Н]-1 {0(2)} - 2Т (А\£(0) ^-{0(1) } [Н]-1 {0(2)}
1хК К хК К х1 J I
-{0(1) }Т [Н]-1 {0(1)}.
(28)
Далее составим уравнение для определения времени действия нагрузки Т, дифференцируя целевую функцию (28),
д¥
^¥ = 0 (29)
дТ
и получим формулу для времени Т :
Т=(30) (AI: а)н-!е'21 Г и-1 (0(!)1.
Таким образом, чтобы найти оптимальные усилия, нужно вычислить
• деформацию £(0),
• деформации £(к), к = 1,2,..., К,
• матрицу [Н] по формуле (19) и обратную матрицу [НГ :
• столбцы {0}(1) и {0}(2) по формуле (26),
• скалярные произведения (А\, £(0)) и (AI, AI)Н ,
• время лечения Т по формуле (30),
• необходимые усилия {Р} по формуле (27).
К х1
Отметим, что построенная процедура решения не требует итерационных методов.
В приведенном алгоритме вычисление скалярного произведения (12) представляет собой отдельную процедуру и производится следующим образом.
Поле деформации £ представляется в виде двумерного массива [в]:
[в] =
ех3
В В Ві
1,хх 1,уу 1, ху
Во Во Во
2, хх 2, уу 2, ху
В В В
е, хх е, уу е,ху
где каждая строка содержит три компоненты деформации для соответствующего
конечного элемента: [е]. = {е,. „ е,. ^ е,. ху }: г =1: •••: е .
Так как величины деформаций в одном элементе постоянны, то интеграл по объему V можно заменить суммой:
(£(1), г'21 )н =| £(1) С = А]Г ЦЦ,, ЄІ1),„ В»,. }[в< ”>
т=1
(2) т, хх (2) т, уу (2) т, ху
Я,
(31)
где В(т) ^ - матрица упругих свойств конечного элемента (при плоско-деформированном состоянии); Sm - площадь конечного элемента с номером т .
Данный алгоритм реализован в пакете прикладных программ ЫА^АВ 7.0. Формирование тензоров деформаций для расчетов происходило путем импорта массивов деформаций элементов из конечно-элементного пакета ANSYS в формате текстового файла.
Результаты
На рис. 7 представлены поля заданных перемещений расчетной области в направлениях х и у.
Для оценки результатов рассмотрим узловые перемещения на границе Яр1 в направлениях осей х и у. Для этого выберем узлы, как показано на рис. 8.
-0’1 °’4 °,9 1,4 1,9 2,4 -3 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 0
а б
Рис. 7. Заданные перемещения: а - по оси х, мм; б - по оси у, мм
а
Рис. 9. Перемещения узлов границы £р1 в зависимости от количества узлов, к которым приложены усилия в направлениях оси х (а) и у (б), мм
На рис. 9, а, б представлены перемещения узлов границы Spl в направлениях осей х и у, соответственно, в зависимости от количества узлов, к которым прикладываются усилия Р.
Рис. 10. Значение времени для двух случаев нагружения, мес.
Рис. 11. Узловые силы в направлении оси у, г
Авторами найдено оптимальное время ортопедического лечения. Фактически, это время перемещения точки 2 (см. рис. 3) с координатой (16; 8,3) в точку 3 (18; 5,3). Значение времени незначительно изменяется в зависимости от количества узлов приложения силы и приведено на рис. 10. Для оценки полученных результатов было найдено время для случая перемещения точки 2 (см. рис.3) с координатой (16; 8,3) в точку с координатой (17; 7,3). Значение времени для данного случая (случай 2) также приведено на рис. 10.
Как видно из рис. 10, чем больше расстояние, на которое нужно сблизить фрагменты (ширина расщелины) ортопедическим аппаратом, тем больше времени для этого потребуется.
Предполагается, что ортопедическая пластина может оказать только вертикальное воздействие на нёбные фрагменты. Именно поэтому оптимальные усилия Р найдены только в направлении оси у и, в зависимости от количества узлов, к которым они прикладываются, представлены на рис. 11.
Очевидно, что чем больше область приложения усилий ¥, тем меньше величина этих усилий.
Выводы
В работе рассмотрена задача о лечении врожденной расщелины твердого нёба как задача независимого управления деформациями системы с помощью собственной деформации, под которой в данной работе понимают ростовую деформацию.
Ортопедическое лечение расщелины твердого нёба проводится в два этапа: на первом этапе происходит выравнивание положения сошника и нёбных отростков в горизонтальной плоскости, на втором - сближение нёбных отростков в вертикальной плоскости с нёбной пластиной.
Авторами предложен и реализован алгоритм поиска усилий, создающих в теле заданную ростовую деформацию, которая способствует формированию правильной нёбной дуги, определено время действия оптимальной нагрузки для второго этапа лечения.
Заданная ростовая деформация моделируется с помощью модели Хсю и вычисляется в конечно-элементном пакете ANSYS, после чего в формате текстового файла импортируется в алгоритм вычисления, реализованный в ЫАНАВ 7.0. Величина заданной ростовой деформации должна определяться врачами-ортопедами для каждого пациента индивидуально по данным томографии. Поскольку расчет не связан с конкретным пациентом, эта величина взята авторами в соответствии с литературными данными о возможной ширине расщелины [8].
Для формирования правильной нёбной дуги в случае, рассмотренном в данной работе, потребуется прилагать усилия в направлении оси у в течение трех месяцев. Чем больше будет область приложения усилий, тем ближе будет результат лечения к заданному (см. рис. 9, а, б) Отметим, что сейчас второй этап ортопедического лечения занимает не менее шести месяцев.
Список литературы
1. Абдрахманов С.А., Орозбеков С.Б. Ближайшие результаты применения различных методов уранопластики при лечении расщелин нёба // Республиканский межведомственный сборник. - 1991. -Вып. 26. - С. 122-124.
2. Агеева Л.В. Первичная ринохейлопериостеопластика в реабилитации детей с врожденной односторонней расщелиной верхней губы и нёба: автореф. дис. ... канд. мед. наук. - М., 1999. -21 с.
3. Бессонов С.Н. Хирургическое лечение деформаций носа при врожденных двусторонних расщелинах верхней губы (обзор) // Российская ринология. - 2005. - № 3. - С. 43-47.
4. Дьякова С.В. Специализированное лечение детей с врожденной и наследственной патологией челюстно-лицевой области (ЧЛО) в системе диспансеризации // Врожденная и наследственная патология головы, лица и шеи у детей: актуальные вопросы комплексного лечения. - М.: Изд-во МГМСУ, 2002. - С. 91-95.
5. Исмайлова В.И., Дмитриенко С.В., Пироженко А.Е Опыт раннего ортопедического лечения детей с врожденной патологией верхней губы и нёба // Актуальные вопросы стоматологии: тез. докл. -Волгоград, 1994. - С. 52-53.
6. Лохов В.А., Долганова О.Ю., Няшин Ю.И. Биомеханическое моделирование эффекта сближения фрагментов твердого нёба при ортопедическом лечении // Российский журнал биомеханики. - 2012. -Т. 16, № 1 (55). - С. 38-45.
7. Лохов В.А., Няшин Ю.И., Туктамышев В.С. Развитие метода декомпозиции в механике деформируемого твердого тела // Известия Саратовского университета. Новая серия: математика, механика, информатика. - 2010. - Т. 10, вып. 3.- С. 54-59.
8. Масич А.Г. Математическое моделирование ортопедического лечения врожденной расщелины твердого нёба у детей: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Пермь, 2000. - 16 с.
9. Симановская Е.Ю. Реабилитация детей с врожденными расщелинами губы и нёба в условиях Пермского центра по диспансеризации и лечению // Врожденная и наследственная патология головы, лица и шеи у детей: актуальные вопросы комплексного лечения. - М: Изд-во МГМСУ, 2002. -С. 235-237.
10. Туктамышев В.С., Лохов В.А., Няшин Ю.И. Исследование методики независимого управления полными деформациями посредством собственных деформаций в дискретизированных системах // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4, № 3.- С. 110-119.
11. Туктамышев В.С., Лохов В.А. Метод независимого управления механическими напряжениями в деформируемых системах // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2008. - Т. 14, № 2. - С. 269-281.
12. Туктамышев В.С., Лохов В.А., Няшин Ю.И. Независимое управление напряжениями и деформациями в растущих живых тканях // Российский журнал биомеханики. - 2011. - Т. 15, № 2 (52). - С. 69-76.
13. Шарова Т.В. Влияние различных методов лечения детей с врожденной сквозной расщелиной верхней губы и нёба на рост и развитие челюстей // Актуальные вопросы ортодонтического лечения: тез. докл. - Иркутск, 1990. - С. 106-107.
14. Шульженко В.И. Вариант изучения и анализа протоколов реабилитации детей с несращением губы и нёба, применяемых в мире // Кубанский научный медицинский вестник. - 2011. - № 2 (125). -C. 196-199.
15. Bardach M.D. J. Chirurgiczno-ortodotyczne leczenie rozszczepow wargi gornej, wyrostka zebodolowego i podniebienia // Czasop. Stomatol. - 1968.- Vol. 6, No. 21. - P. 615-621.
16. Latham R. Orthopedic advancement of the cleft maxillary segment: а preliminary report // Cleft Palate J. -1980. - Vol. 3, No. 17. - P. 227-233.
17. Lokhov V., Nyashin Y., Ziegler F. Statement and solution of optimal problems for independent stress and deformation control by eigenstrain // Z. Angew. Math. Mech. - 2009. - Vol. 89, No. 4. - P. 320-332.
18. Lokhov V., Nyashin Y., Kiryukhin V., Ziegler F. Theorem on stress-free eigenstrain and duhamel’s analogy // Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Sofia. - 2006. - Vol. 36, No. 3. - P. 35-46.
19. Masich A.G., Simanovskaya E.Yu., Chernopazov S.A., Nyashin Y.I., Dolgopolova G.V. The role of mechanical factor in orthopedic treatment of congenital palate cleft in children // Russian Journal of Biomechanics. - 1999. - Vol. 4, No. 1. - P. 101-109.
20. Mossey P. Global registry and database on craniofacial anomalies. Report of WHO Registry Meeting on Craniofacial Anomalies. - Geneva, 2003. - 101 p.
21. Lokhov V., Nyashin Y., Ziegler F. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain // Z. Angew. Math. Mech. - 2005. - Vol. 85, No.8. - P. 557-570.
22. Rintala A.E., Haapanen M-L. The correlation between training and skill of the surgeon and reoperation rate for persistent cleft palate speech // British Journal of Oral-Maxillo-Facial Surgery. - 1995. - Vol. 33. -P. 295-298.
OPTIMUM FORCE-SEARCHING ALGORITM FOR ORTOPAEDIC TREATMENT OF TWO-SIDED CLEFT OF THE HARD PALATE
V.A. Lokhov, O.Yu. Dolganova (Perm, Russia)
In the paper, the treatment of the congenital cleft of the hard palate is considered as an independent deformation control problem by eigenstrain. Eigenstrain is a growth strain, where Hsu’s model of growth strain is applied (Journal of Biomechanics, 1968). The force-searching algorithm allows finding efforts which create desired growth strain in the body to form palate arch. The force-calculating method of desired growth strain is proposed. The lifetime, intensity and direction of optimal load are determined for plane finite-element model. The influence of the contact zone between palate and orthopedic plate on the maximal value of obtained forces is analyzed.
Key words: cleft of the hard palateorthopaedic treatment, cheiloplasty, uranoplasty, control.
Получено 1 августа 2012
