CC BY
19
УДК 519.7 О.ИШ1!ШЯ!ЬЫ..пН!Ы
DOI: 10.25559^тТО.16.202004.841-850
Алгоритм поиска минимальных алгебр бинарных мультиопераций ранга 3
С. И. Тодиков
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург, Российская Федерация 197376, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, д. 5 sergeytodikov@gmail.com
Аннотация
В теории дискретных функций, помимо всюду определенных функций ^-значной логики, изучаются и функции, определенные не на всех наборах. В этом случае неопределенность понимается по-разному, в зависимости от рассматриваемого класса задач. Если образ элемента является произвольным конечным подмножеством, то такие функции принято называть мультиопера-циями. Теория мультиопераций является достаточно новым направлением в математике, и ее развитие, в перспективе, может привести к разработке новых подходов в теоретической информатики, математической кибернетики и их приложений. Как и в любом новом направление, в теории мультиопераций имеется много открытых проблем. Для решения таких задач необходимо разрабатывать алгоритмы, которые способны работать с большим объемом данных, так как с увеличением параметров число мультиопераций экспоненциально растет. Статья посвящена разработке алгоритма для поиска минимальных алгебр бинарных мультиопераций на трехэлементном множестве. Работа алгоритма основывается на двух этапах. Первый этап сделан для того, чтобы найти часть минимальных алгебр для второго этапа. Во втором этапе проверяются все алгебры на основе результата из первого этапа. С помощью такого подхода удалось обнаружить все минимальные алгебры, а также найти все минимальные алгебры с дополнительной метаоперацией объединения.
Ключевые слова: мультиоперации, алгебра, алгоритм, минимальный. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Для цитирования: Тодиков, С. И. Алгоритм поиска минимальных алгебр бинарных мультиопераций ранга 3 / С. И. Тодиков. - DOI 10.25559^1Т1ТО.16.202004.841-850 // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2020. - Т. 16, № 4. - С. 841-850.
G ®
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.
Vol. 16, No. 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
THEORETICAL QUESTIONS OF COMPUTER SCIENCE, COMPUTATIONAL MATHEMATICS, COMPUTER SCIENCE AND COGNITIVE INFORMATION TECHNOLOGIES
Algorithm for Finding Minimal Algebras of Binary Multioperations of Rank 3
S. I. Todikov
Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI", St. Petersburg, Russian Federation 5 Professora Popova St., St. Petersburg 197376, Russian Federation sergeytodikov@gmail.com
Abstract
The theory of discrete functions studies not only the everywhere defined functions of k-valued logic, but also functions that are not defined on all sets. Uncertainty can be understood in different ways depending on the class of problems under consideration. If the image of an element is an arbitrary finite subset, then such functions are usually called multioperations. The theory of multioperations is a fairly new direction in mathematics and has many open problems. The development of this theory in the future, can lead to the development of new approaches in theoretical informatics, mathematical cybernetics and their applications. To solve such problems, it is necessary to develop algorithms that are capable of working with a large amount of data, since with an increase in parameters, the number of multioperations grows exponentially. The article proposes an algorithm for finding all minimal algebras of binary multioperations of rank 3. The algorithm is based on two stages. The first stage prepares the base of minimal algebras for the second stage. In the second step, all algebras are checked based on the result of the first step. This algorithm helped to find all minimal algebras of binary multioperations of rank 3, as well as find all minimal algebras closed with union.
Keywords: multioperations, algebra, algorithm, minimal.
The author declares no conflicts of interest.
For citation: Todikov S.I. Algorithm for Finding Minimal Algebras of Binary Multioperations of Rank 3. Sovremennye informacionnye tehnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education. 2020; 16(4):841-850. DOI: https://doi.org/10.25559/SITITO.16.202004.841-850
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Введение
Для современного уровня развития общества характерным является переработка громадного объема информации, что естественным образом связано с развитием вычислительной техники, которая зависит от уровня разработки математических моделей дискретных преобразователей информации. На сегодняшний день булевы функции являются основным аппаратом для построения таких математических моделей. Суперпозиция - один из основных способов задания булевых функций. Множество функций замкнутое относительно суперпозиции называют замкнутыми классами. Основоположником теории замкнутых классов является Э. Пост [1,2], деятельность которого пришлась на первую половину 20го века. Основным его достижением в этом направлении является описание всех замкнутых относительно суперпозиции множеств булевых функций, о котором стало известно в 1921 году, а спустя 20 лет появилась официальная публикация этого результата с доказательством.
Бурное развитие вычислительной техники, а также запросы со стороны смежных разделов математики поставили перед специалистами по булевым функциям целый ряд математических проблем: анализ различных форм и возможностей представления булевых функций, оценки сложности реализации булевых функций формулами и схемами, оценка сложности построения оптимальных схем и другие. Эти проблемы и направления исследований по сей день, остаются актуальными не только в теории булевых функций, но и во всей теории функций. [3,4]
Со временем обработка информации посредством математических моделей, основанных на теории булевых функций, стала затруднительной из-за постоянного быстрого роста объема информации. Для решения этой проблемы стали развиваться новые направления. Одним из таких направлений является теория функциональных систем.
Теория функциональных систем - сравнительно молодое направление в дискретной математике. Становление и развитие нового направления происходило в значительной степени благодаря трудам отечественных математиков и прежде всего С.В. Яблонского [5].
Интенсивные исследования основных классов дискретных функций, проводимые как специалистами по дискретной математике и математической кибернетике, так и специалистами из других областей математики, поставили задачу формирования такого понятия, в рамках которого можно было бы говорить о различных классах функций и о различных операциях над этими функциями. Таким понятием явилось понятие функциональной системы.
С содержательной точки зрения понятие функциональной системы близко к понятию универсальной алгебры, но в отличие от универсальной алгебры, где носителем служит множество произвольной природы, в теории функциональных систем носитель должен быть множеством функций. Наиболее распространенные дискретные функциональные системы имеют в качестве носителей множество функций одного из трех типов: функции многозначной логики, функции натурального аргумента и автоматные функции. Список операций, рассматриваемых в теории функциональных систем го-
раздо шире: суперпозиция и ее различные модификации, операции логического типа, «схемные» операции, примитивная и другие виды рекурсий, минимизация, обращение, введение обратной связи и ряд других [6].
Впервые алгебраический подход к изучению функциональных систем был предложен А.И. Мальцевым. [7] Среди алгебр функций наибольшее распространение получили клоны - алгебры операций, замкнутые относительно суперпозиции и содержащие метаоперации проекции. [8,9]
В последние десятилетия интенсивно развивается теория мультиопераций на конечных множествах. Стоит сказать, что теория операций на конечных множествах содержит в себе много не решенных принципиальных вопросов, а современное состояние теории мультиопераций находится в своей ранней стадии развития. В настоящее время изучаются разные вопросы теории мультиопераций, в частности, вопросы полноты [10], связь клонов функций и клонов мультиопераций [11, 12], рассматриваются вопросы функциональной разделимости [13], вопросы представления мультиопераций в различных формах [14] и их минимизация [15-17], вопросы связанные с алгебрами операций и мультиопераций [18-24]. При этом необходимо отметить, что результаты данной теории востребованы в таких разделах науки как информатика, математическая логика, криптография, теория алгоритмов, синтез управляющих систем.
Работы по теории мультиопераций интересны как специалистам по дискретной математике, так и специалистам по приложениям математики, занимающихся разработкой электронных схем, синтезом дискретных преобразователей информации, защитой информации, разработкой систем искусственного интеллекта и поддержки принятия решений.
Цель исследования
Целью данного исследования является нахождение всех минимальных алгебр бинарных мультиопераций ранга 3. Для решения поставленной задачи необходимо произвести теоретический и практический анализ. Отметим, что по этой задаче имеются только схожие исследования, которые касаются унарных операций и мультиопераций, но разница в том, что количество унарных и бинарных мультиопераций ранга 3 очень сильно различается (количество унарных мультиопераций = 512, а количество бинарных мультиопераций = 134 217 728). Получается, что все разработанные алгоритмы не подходят для решения поставленной задачи, и основная проблема заключалось в том, что необходимо было разработать такой алгоритм, который будет способен работать с большим объемом данных за приемлемое время.
При всем вышеописанном цель исследования включала в себя следующие задачи:
1) произвести анализ близких по постановке исследований с целью нахождения некоторых минимальных алгебр теоретическим способом;
2) разработать алгоритм, способный в большом диапазоне алгебр находить минимальные алгебры;
3) на основе разработанного алгоритма найти все минимальные алгебры бинарных мультиопераций ранга 3.
Vol. 16, No. 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
Основная часть
Основные понятия
Пусть 2а - множество всех подмножеств. Отображение из Ап в 2а называется п-местной мультиоперацией на А. Множество всех п-местных мультиопераций на А будем обозначать через Мпа Под рангом мультиоперации понимается мощность множества А. При |А| = к будем использовать обозначение Мп^. Используем также обозначения:
мА = и М"А; мк = у м;
п>0 п>0
Мультиоперации заданные на ^-элементном множестве А будем называть мультиоперациями ранга к.
Для более простого понимания, п-местную мультиоперацию / на множестве А = {1,2,4} будем представлять, как отображение [25]
/{1,2} ^{0,1,2,3,4,5,6,7}
используя следующие кодировки
^ 4, {1,4} ^ 5, {2,4}^ 6, {1,2,4} ^ 7
Также п-местную мультиоперацию/можно представить в виде вектора всех её значений (,...,0,), где / {а1,...,ап ) = а:, если (а - 1,...,а„ -1) есть представление числа ;-1 в двоичной системе счисления.
Определим следующие мультиоперации на А размерности 2:
• пустая: оп (,...,ап) = 0;
• полная: и" (,...,ап ) = А.
• проекция по первому аргументу: е12 (а1, а2 ) = а1
• проекция по второму аргументу: е^ (а1, а2 ) = а2
Определим следующие метаоперации на множестве Мпд:
• суперпозиция:
/ ( * /п )(,..., аи ) = им, ^) .....К);
• разрешимость мультиоперации
)(al,■■■,а„) ={а 1 а е У ((••• аa,aм,^■^,а„)};
• пересечение мультиоперации
((^ ё )(al,.••, а ) = / (al,..., ап )п ё (ai,..., ап )
• объединение мультиопераций
(^ % )(al,.••, а„ ) = / (al,..., ап )и % (ai,..., ап )
Определение 1. Алгеброй мультиопераций ранга к, размерности п называется любое подмножество R е Мпк, содержащее все п-местные проекции, пустую, полную п-местную мультиоперацию и замкнутое относительно метаопераций суперпозиции, разрешимости и пересечения.
Если мы рассматриваем алгебры с объединением, то алгебра должна быть также замкнута относительно объединения. Очевидно, что такие алгебры образуют решетку по включению. Если алгебра А полностью содержаться в другой алгебре В, то говорят, что А является подалгеброй В. Также в решетке
имеются наименьшая, полная, минимальные и максимальные алгебры.
Определение 2. Наименьшей алгеброй называется алгебра, у которой нет других подалгебр отличных от ее самой. Определение 3. Полной алгеброй мультиопераций ранга к размерности п называется алгебра, состоящая из всех мультиопераций Мпк.
Определение 4. Минимальной алгеброй называется алгебра, которая в качестве подалгебр содержит только саму себя и наименьшую алгебру.
Определение 5. Максимальной алгеброй называется алгебра, которая содержится в качестве подалгебры только в самой себе и в полной алгебре.
В работе не рассматриваются максимальные алгебры, так как работа ориентирована на поиск всех минимальных бинарных алгебр мультиопераций ранга 3.
Алгоритм для поиска минимальных алгебр
Перед разработкой алгоритма, при рассмотрении схожих исследований, стали известны 18 мультиопераций, которые заведомо порождают минимальные алгебры бинарных мультиопераций ранга 3. Эти мультиоперации входят в подмножество максимальных функций в теории клонов и с помощью связи Галуа можно интерпретировать данные функции в мультиоперации для суперклонов. В суперклонах эти 18 мультиопераций порождают минимальные суперклоны и это говорит о том, что эти 18 мультиопераций также будут порождать и минимальные алгебры, но разница между суперклонами и алгебрами в том, что минимальных алгебр может быть больше, чем минимальных суперклонов. Также стоит отметить, что эти 18 мультиопераций порождают минимальные алгебры в сигнатуре без объединения.
Помимо этого, рассматривались работы, в которых приводились алгоритмы для работы с алгебрами операций. При изучении алгоритмов стало очевидно, что использование схожих идей или алгоритмов для поставленной задачи невозможно, так как размер алгебр операций значительно меньше, чем размер алгебр мультиопераций. Касательно исследований алгебр мультиопераций, то большинство работ основываются на теоретическом подходе, или же предложенные методы созданы для решения совершенно других задач. Исходя из этого было принято решения разработать новый алгоритм для решения поставленной задачи.
Для того, чтобы обнаружить минимальные алгебры бинарных мультиопераций ранга 3, как минимум необходимо породить алгебры от 134 217 728 бинарных мультиопераций, где размер каждой алгебры лежит в диапазоне от 6 (наименьшая алгебра) до 134 217 728 (полная алгебра). Очевидно, что на данный момент обработать такой большой объем данных физически невозможно. Для того, чтобы получить результат, алгоритм был разбит на два этапа.
При первом этапе устанавливается небольшой размер алгебр, так как размер минимальных алгебр не очень большой. Затем начинается порождение алгебр от одной мультиоперации. В качестве порождающей мультиоперации рассматриваются все бинарные мультиоперации. Если во время порождения алге-
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 4. 2020 ^ 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
бры её размер становится больше установленного значения, то алгебра отбрасывается. Далее начинается проверка найденных алгебр на минимальность, то есть каждый элемент алгебры должен породить всю алгебру. С помощью первого этапа планировалось получить еще часть минимальных алгебр перед выполнением второго этапа.
При втором этапе берутся все имеющиеся минимальные алгебры и снова порождаются алгебры от всех бинарных мульти-операций. Если при замыкании алгебры находилась мультио-перация, которая содержится в одной из минимальных алгебр, то такая алгебра отбрасывается, в противном случае сохраняется. После, среди сохраненных алгебр, происходит поиск минимальных алгебр. По окончанию выполнения первого и второго этапа, алгоритм находит все минимальные алгебры бинарных мультиопераций ранга 3. Ниже представлен алгоритм:
1. Первый этап:
1.1. Устанавливаем размер алгебры
1.2. Берем новую бинарную мультиоперацию и порождаем от неё алгебру. Если размер алгебры меньше установленного размера алгебры, то сохраняем эту алгебру, иначе пропускаем её.
1.3. Если есть еще бинарные мультиоперации, то переходим на шаг 1.2, иначе переходим к шагу 1.4
1.4. Проверяем сохраненные алгебры на минимальность. Если алгебра минимальна, то сохраняем её, иначе удаляем.
2. Второй этап:
2.1. Берем все мультиоперации в минимальных алгебрах и сохраняем в один список.
2.2. Берем новую бинарную мультиоперацию и порождаем от неё алгебру. Если в этой алгебре нет ни одной мультиопе-рации из списка, то сохраняем её, иначе пропускаем её.
2.3. Если есть еще бинарные мультиоперации, то переходим на шаг 2.2, иначе переходим на шаг 2.4
2.4. Проверяем сохраненные алгебры на минимальность. Если алгебра минимальна, то сохраняем её, иначе удаляем. Реализация алгоритма была осуществлена в Microsoft Visual Studio на языке программирования C#. Для быстродействия программы были использованы практические и теоретические ухищрения. Самым главным способом, который позволил увеличить скорость работы алгоритма, стала конструкция для представления мультиопераций в памяти компьютера. Каждая мультиоперация представляла из себя три бинарных
массива (для логических элементов 1, 2 и 4 соответственно). Например, мультиоперацию (734 513 440) представлялась в алгоритме как: (110 111 000) для 1, (110 001 000) для 2 и (101 100 110) для 4. Такой подход позволил уменьшить время выполнения всех метаоперации, что привело к увеличению скорости выполнения алгоритма при порождении алгебр. Также очевидно, что операция суперпозиция является самой дорогостоящей и её выполнение должно быть в самый последний момент. Так как мы работаем с границами алгебр, то было разумно сначала выполнять быстродействующие метаопера-ции, для того чтобы увеличить размер алгебры, и быстрее дать понять алгоритму подходит нам текущая алгебра или нет. Еще одним способом для улучшения быстродействия программы стало использование словарей. Во время порождения алгебры получается много новых мультиопераций, и каждый раз необходимо проверять имеется ли в алгебре мультиоперация, которая получилась при замыкании, или нет. Так как обращение к словарю это О(1), то было решено для каждой мультиоперации дать свой ключ, а всю алгебру хранить в словаре. Таким образом, во время проверки нам не нужно было проверять всю алгебра, а достаточно было посмотреть принадлежит ли ключ алгебре или нет. Ключ же представляется следующим образом. Например, у нас имеется мультиоперация (471 040 112). Так как это бинарная мультиоперация ранга 3, то мы возводим 8 (2Л3) в степень позиции элемента и на этот элемент. То есть ключ для мультиоперации (471 040 112) строится следующим образом: 8Л8 * 4 + 8Л7 * 7 + ... + 8Л0 * 2 = 82 067 529.
Полученные результаты
С помощью разработанного алгоритма удалось добиться поставленной цели и найти все минимальные алгебры бинарных мультиопераций ранга 3. В результате оказалось, что кроме заранее известных 18 минимальных бинарных алгебр мультиопераций ранга 3, больше никаких минимальных бинарных алгебр мультиопераций ранга 3 нет. Из этого не следует общий вывод о том, что число минимальных суперклонов всегда будет совпадать с числом минимальных алгебр. Также удалось найти все минимальные алгебры бинарных мультиопераций ранга 3 в сигнатуре с объединением. Их оказалось 5 штук. В таблице 1 приведены полученные результаты для алгебр без объединения, а в таблице 2 для алгебр с объединением.
Т а б л и ц а 1. Минимальные алгебры без объединения T a b l e 1. Minimal algebras without union
Порождающая мультиоперация Размер алгебры Элементы алгебры
(111 111 111) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (111 111 111), (777 000 000), (700 700 700), (100 010 001), (700 000 000), (111 000 000), (100 100 100), (100 000 000), (124 000 000), (100 200 400)
(222 222 222) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (222 222 222), (000 777 000), (070 070 070), (200 020 002), (000 070 000), (000 222 000), (020 020 020), (000 020 000), (000 124 000), (010 020 040)
Vol. 16, No. 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
Порождающая мультиоперация
Размер алгебры
Элементы алгебры
(444 444 444)
16
(000 (700 (007 (004
000 000 070 007 007 007 004 004
777 777 777 100 020 004 400 040 004 000 000 004
111 222 444 444 444 444 000 000 007 000 000 124
124 124 124) 000 000 777)
000 000 444)
001 002 004)
(333 333 333)
23
(000 (700 (770 (120 (333 (330
000 000 070 007 770 770 120 120 333 000 330 000
777 777 777 100 020 004 300 030 003 100 020 000 330 330 330 110 220 000
111 222 444 333 333 333 700 070 000 124 124 000 300 030 000 120 120 000)
124 124 124) 777 777 000) 111 222 000) 110 220 440) 770 770 000)
(555 555 555)
23
(000 (700 (707 (104 (555 (505
000 000 070 007 707 707 104 104 000 555 000 505
777 777 777 100 020 004 500 050 005
100 000 004 505 505 505
101 000 404
111 222 444 555 555 555 700 000 007 124 000 124 500 000 005 104 000 104
124 124 124) 777 000 777) 111 000 444) 101 202 404) 707 000 707)
(666 666 666)
23
(000 (700 (077 (024 (000 (000
000 000 070 007 077 077 024 024 666 666 066 066
777 777 777 100 020 004 600 060 006 000 020 004 066 066 066 000 022 044
111 222 444 666 666 666 000 070 007 000 124 124 000 060 006 000 024 024
124 124 124) 000 777 777) 000 222 444) 011 022 044) 000 077 077)
(166 166 166)
13
(000 (700 (100 (100
000 000 070 007 060 006 066 066
777 777 777 100 020 004 100 022 044
111 222 444 166 166 166 111 666 666
124 124 124) 700 077 077) 100 024 024)
(525 525 525)
13
(000 (700 (500 (505
000 000 070 007 020 005 020 505
777 777 777
100 020 004
101 020 404
111 222 444 525 525 525 555 222 555
124 124 124) 707 070 707) 104 020 104)
(334 334 334)
13
(000 (700 (300 (330
000 000 070 007 030 004 330 004
777 777 777 100 020 004 110 220 004
111 222 444 334 334 334 333 333 444
124 124 124) 770 770 007) 120 120 004)
(175 175 175)
30
(000 (700 (726 (700 (700 (111 (100 (700
000 000 070 007 726 726 777 707 020 006 070 055 175 105 222 606
777 777 777 100 020 004 100 070 005 124 020 024 175 070 075 777 020 066 100 726 504 700 726 706
111 222 444 175 175 175 111 020 044 777 222 666 100 124 104 726 020 026 175 020 064
124 124 124) 777 070 077) 111 777 555) 100 222 404) 111 175 155) 100 777 505) 726 222 626)
(327 327 327)
30
(000 (700 (574 (770 (500 (303 (320 (550
000 000 070 007 574 574 070 777 070 004 222 007 020 327 070 444
777 777 777 100 020 004 300 020 007 104 124 004 307 327 007 505 777 004 130 020 574 570 070 574
111 222 444 327 327 327 101 222 004 555 777 444 120 020 124 504 574 004 105 327 004
124 124 124) 707 777 007) 333 222 777) 110 020 444) 323 222 327) 330 020 777) 554 574 444)
(764 764 764)
30
(000 (700 (137 (777 (100 (700 (764 (111
000 000 070 007 137 137 077 007 030 007 660 444 064 004 033 007
777 777 777 100 020 004 700 060 004 100 120 124 700 760 764 100 330 777 137 026 004 137 037 007
111 222 444 764 764 764 100 220 444 111 333 777 124 024 004 100 130 137 100 320 764
124 124 124) 700 770 777) 777 666 444) 111 022 004) 764 664 444) 777 066 004) 111 133 137)
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 4. 2020 ^ 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Порождающая мультиоперация Размер алгебры Элементы алгебры
(735 735 735) 15 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (735 735 735), (777 770 707), (700 030 005), (111 220 404), (777 333 555), (124 120 104), (735 730 705), (735 331 515), (777 330 505), (735 330 505)
(376 376 376) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (376 376 376), (770 777 077), (300 070 006), (110 222 044), (333 777 666), (120 124 024), (370 376 076), (332 376 266), (330 777 066), (330 376 066)
(567 567 567) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (567 567 567), (707 077 777), (500 060 007), (101 022 444), (555 666 777), (104 024 124), (507 067 567), (545 466 567), (505 066 777), (505 066 567)
(241 241 241) 20 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (241 241 241), (007 700 070), (412 412 412), (200 040 001), (001 200 040), (222 444 111), (400 010 002), (070 007 700), (004 100 020), (444 111 222), (020 004 100), (010 002 400), (002 400 010), (040 001 200)
(142 421 214) 7 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (142 421 214)
(735 376 567) 7 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (735 376 567)
Т а б л и ц а 2. Минимальные алгебры с объединением T a b l e 2. Minimal algebras with union
Порождающая мультиоперация Размер алгебры Элементы алгебры
(142421214) 17 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (135 326 564), (711 272 447), (724 174 127), (735 376 567), (142 421 214), (153 623 654), (166 525 334), (742 471 217), (177 727 774), (753 673 657), (766 575 337)
(735376777) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (135 326 564), (711 272 447), (724 174 127), (735 376 567), (735 376 777), (775 776 567), (737 377 567), (775 776 777), (777 777 567), (737 377 777)
(735377577) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (135 326 564), (711 272 447), (724 174 127), (735 376 567), (735 377 577), (777 376 567), (735 776 767), (777 377 577), (777 776 767), (735 777 777)
(735777567) 16 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (135 326 564), (711 272 447), (724 174 127), (735 376 567), (735 777 567), (737 376 767), (775 376 577), (737 777 767), (777 376 777), (775 777 577)
(737776577) 12 (000 000 000), (777 777 777), (111 222 444), (124 124 124), (700 070 007), (100 020 004), (135 326 564), (711 272 447), (724 174 127), (735 376 567), (737 776 577), (775 377 767)
Vol. 16, No. 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
В итоге, на основе проделанных вычислений и рассуждений, получается следующие предложение. Предложение. Верны следующие утверждения:
1. Количество минимальных алгебр бинарных мультиопера-ций ранга 3 в сигнатуре < и, в, e\, efa, fa, n, * > равно 18.
2. Количество минимальных алгебр бинарных мультиопера-ций ранга 3 в сигнатуре < и, в, e\, ¿^, fa, fa, n, u, * > равно 5.
Заключение
Представленное исследование позволило, во-первых, найти все минимальные алгебры бинарных мультиопераций над трехэлементным множеством. Во-вторых, был разработан новый алгоритм для проведения исследований в теории мульти-операций. Благодаря хорошей конструкции и оптимизации алгоритма поиск минимальных алгебр был осуществлен за приемлемое время и обработал большое количество информации. В дальнейшем планируется на основе приведенного алгоритма разрабатывать и улучшать методы и алгоритмы для решения задач, которые связанны с исследованиями алгебр муль-тиопераций. Стоит отметить, что если рассматривать другие задачи в этом направлении, или же увеличить размерность или ранг мультиопераций, то разработанный алгоритм будет уже не так эффективен и для решения таких задач необходимы новые решения.
Список использованных источников
[1] Post, E. L. Two-Valued Iterative Systems of Mathematical Logic / E. L. Post. - DOI 10.2307/2268608. - Princeton-London: Princeton Univ. Press, 1941.
[2] Post, E. L. Determination of All Closed System of Truth Tables / E. L. Post // Bulletin American Mathematical Society. - 1920. - Vol. 26. - Pp. 437.
[3] Избранные вопросы теории булевых функций / Под ред. С. Ф. Винокурова, Н. А. Перязева. - М.: Физматлит, 2001.
[4] Марченков, С. С. Замкнутые классы булевых функций / С. С. Марченков. - М.: Физматлит, 2000.
[5] Яблонский, С. В. Функции алгебры логики и классы Поста / С. В. Яблонский, Г. П. Гаврилов, В. Б. Кудрявцев. -М.: Наука, 1966.
[6] Кудрявцев, В. Б. О функциональных системах / В. Б. Кудрявцев. - М.: ВЦ АН СССР, 1981.
[7] Мальцев, А. И. Итеративные алгебры Поста / А. И. Мальцев. - Новосибирск: НГУ 1976.
[8] Яблонский, С. В. Функциональные построения в k-знач-ной логике / С. В. Яблонский // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. - 1958. - Т. 51 - С. 5-142.
[9] Lau, D. Function Algebras on FiniteSets:ABasic Course on Many-Valued Logic and Clone Theory / D. Lau. - DOI 10.1007/3540-36023-9 // Springer Monographs in Mathematics. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006. - URL: https:// link.springer.com/book/10.1007%2F3-540-36023-9 (дата обращения: 03.08.2020).
[10] Пантелеев, В. И. Критерий полноты для недоопреде-ленных частичных булевых функций / В. И. Пантелеев // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. -2009. - Т. 9, № 3. - С. 95-114. - URL: https://elibrary.ru/ item.asp?id=12916752 (дата обращения: 03.08.2020). -Рез. англ.
[11] Перязев, Н. А. Теория Галуа для клонов и суперклонов / Н. А. Перязев, И. К. Шаранхаев. - DOI 10.4213/dm1349 // Дискретная математика. - 2015. - Т. 27, № 4. - С. 79-93.
- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=24849942 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
[12] Перязев, Н. А. Об одном достаточном условии равенства мультиклона и суперклона / Н. А. Перязев, И. К. Шаранхаев. - DOI 10.17516/1997-1397-2018-11-1-97-102 // Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика». - 2018. - Т. 11, № 1. - С. 97-102. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=32431531 (дата обращения: 03.08.2020).
[13] Шаранхаев, И. К. О методе декомпозиции мультифунк-ций / И. К. Шаранхаев // Дискретные модели в теории управляющих систем: IX Междунар. конф.: труды / Отв. ред.: В. Б. Алексеев, Д. С. Романов, Б. Р. Данилов. - М.: МАКС Пресс, 2015. - С. 266-267. - URL: https://elibrary. ru/item.asp?id=23678474 (дата обращения: 03.08.2020).
[14] Перязев, Н. А. Стандартные формы мультиопераций в суперклонах / Н. А. Перязев // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика.
- 2010. - Т. 3, № 4. - С. 88-95. - URL: https://elibrary.ru/ item.asp?id=15540118 (дата обращения: 03.08.2020). -Рез. англ.
[15] Перязев, Н. А. Минимизация мультиопераций в классе стандартных форм / Н. А. Перязев, И. А. Яковчук // Известия Иркутского государственного университета. Серия: «Математика». - 2009 - Т. 2, № 2. - С. 117-126.
- URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=15183533 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
[16] Казимиров, А. С. О сложности стандартных форм муль-тифункций / А. С. Казимиров. - DOI 10.26516/19977670.2017.22.63 // Известия Иркутского государственного университета. Серия: «Математика». -2017. - Т. 22. - С. 63-70. - URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=30716136 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
[17] Тодиков, С. И. Минимизация мультиопераций в классе ключевых стандартных форм / С. И. Тодиков // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2019. - №. 5. - С. 53-58. - URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=38247454 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
[18] Перязев, Н. А. Теория Галуа для конечных алгебр операций и мультиопераций ранга 2 / Н. А. Перязев. - DOI 10.26516/1997-7670.2019.28.113 // Известия Иркутского государственного университета. Серия: «Математика». - 2019. - Т. 28. - С. 113-122. - URL: https://elibrary. ru/item.asp?id=38228683 (дата обращения: 03.08.2020).
- Рез. англ.
[19] Перязев, Н. А. Тождества в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности / Н. А. Перязев. - DOI
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
THEORETICAL QUESTIONS OF COMPUTER SCIENCE, COMPUTATIONAL MATHEMATICS, COMPUTER SCIENCE AND COGNITIVE INFORMATION TECHNOLOGIES
10.26516/1997-7670.2019.29.86 // Известия Иркутского государственного университета. Серия: «Математика». - 2019. - Т. 29. - С. 86-97. - URL: https://elibrary.ru/ item.asp?id=39562117 (дата обращения: 03.08.2020). -Рез. англ.
[20] Перязев, Н. А. Алгебры мультиопераций / Н. А. Перя-зев, И. К. Шаранхаев // Алгебра и теория моделей / Под ред. А. Г. Пинуса, Е. Н. Порошенко, С. В. Судоплатова, Е. И. Тимошенко. - Новосибирск: Изд-во НГТУ 2017. - С. 102-111.
[21] Peryazev, N. A. Algebras of n-ary Operations and Multioper-ations / N. A. Peryazev // XV International Conference on "Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications". - Tula: TSPU. - 2018. - Pp. 113116.
[22] Peryazev, N. A. Finite Algebras of Multioperations / N. A. Peryazev // XVI International Conference on "Algebras, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications". - Tula: TSPU, 2019. - Pp. 51-54.
[23] Еременко, Д. А. Алгебры унарных операций ранга 3 / Д. А. Еременко // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». -2019. - № 7. - С. 14-18. - URL: https://elibrary.ru/item. asp?id=42372860 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
[24] Еременко, Д. А. Минимальные алгебры бинарных операций ранга 3 / Д. А. Еременко. - DOI 10.32603/20712340-2020-1-38-48 // Компьютерные инструменты в образовании. - 2020. - № 1. - С. 38-48. - URL: https:// elibrary.ru/item.asp?id=44070229 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
[25] Перязев, Н. А. Клоны, ко-клоны, гиперклоны и суперклоны / Н. А. Перязев // Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. -2009. - Т. 151, № 2. - С. 120-125. - URL: https://elibrary. ru/item.asp?id=12833150 (дата обращения: 03.08.2020). - Рез. англ.
Поступила 03.08.2020; одобрена после рецензирования 12.11.2020; принята к публикации 05.12.2020.
Об авторе:
Тодиков Сергей Игоревич, аспирант кафедры вычислительной техники, ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)» (197376, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, д. 5), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1249-6838, sergeytodikov@gmail.com
Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.
References
[1] Post E.L. Two-Valued Iterative Systems of Mathematical Logic. Princeton-London: Princeton Univ. Press; 1941. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.2307/2268608
[2] Post E.L. Determination of All Closed System of Truth Tables. Bulletin American Mathematical Society. 1920; 26:437. (In Eng.)
[3] Vinokurov S.F., Periazeva N.A. (ed.) Izbrannye voprosy teorii bulevyh funkcij [Selected Questions of the Theory of Boolean Functions]. Fizmatlit, Moscow; 2001. (In Russ.)
[4] Marchenkov S.S. Zamknutye klassy bulevyh funkcij [Closed Classes of Boolean Functions]. Fizmatlit, Moscow; 2000. (In Russ.)
[5] Yablonskiy S.V., Gavrilov G.P., Kudryavtsev V.B. Funkcii al-gebry logiki i klassy Posta [Logic Algebra Functions and Post Classes]. Nauka, Moscow; 1966. (In Russ.)
[6] Kudryavtsev V.B. O funkcional'nyh sistemah [On Functional Systems]. Computing Center of the Academy of Sciences of the USSR, Moscow; 1981. (In Russ.)
[7] Maltsev A.I. Iterativnye algebry Posta [Iterative Post Algebras]. Novosibirsk: NSU; 1976. (In Russ.)
[8] Yablonskii S.V. Functional constructions in a k-valued logic. Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A. Steklova = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1958; 51:5-142. (In Russ.)
[9] Lau D. Function Algebras on Finite Sets: A Basic Course on Many-Valued Logic and Clone Theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg; 2006. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-36023-9
[10] Panteleev V.I. The criteria of completeness for redefining Boolean function. VestnikNSU. Series: Mathematics, Mechanics, Informatics. 2009; 9(3):95-114. Available at: https://eli-brary.ru/item.asp?id=12916752 (accessed 03.08.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[11] Peryazev N.A., Sharankhaev I.K. Galois theory for clones and superclones. Discrete Mathematics and Applications. 2016; 26(4):227-238. (In Eng.) DOI: https://doi.org/10.1515/ dma-2016-0020
[12] Peryazev N.A., Sharankhaev I.K. On some sufficient condition for the equality of multi-clone and super-clone. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2018; 11(1):97-102. (In Eng.) DOI: https://doi. org/10.17516/1997-1397-2018-11-1-97-102
[13] Sharankhaev I. K. O metode dekompozicii mul'tifunkcij [On the method of decomposition of multifunctional functions]. In: V. B. Alekseev, D. S. Romanov, B. R. Danilov (ed.) Discrete models in the theory of control systems. MAKS Press, Moscow; 2015. p. 266-267. (In Russ.)
[14] Peryazev N.A. Standard forms of multioperations in superclones. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2010; 3(4):88-95. Available at: https://elibrary.ru/ item.asp?id=15540118 (accessed 03.08.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[15] Peryazev N.A., Yakovjuk I.A. Minimisation of multioperations in a class standard forms. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2009; 2(2):117-126. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=15183533 (accessed 03.08.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[16] Kazimirov A.S. On complexity of standard forms for multi-functions. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2017; 22:63-70. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.22.63
[17] Todikov S.I. Minimisation of multioperations in a class key standerd forms. Proceedings of Saint Petersburg Electro-technical University. 2019; (5):53-58. Available at: https://
Vol. 16, No. 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
Modern Information Technologies and IT-Education
elibrary.ru/item.asp?id=38247454 (accessed 03.08.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[18] Peryazev N.A. Galois theory for finite algebras of operations and multioperations of rank 2. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2019; 28:113-122. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.113
[19] Peryazev N.A. Identities in fixed dimension algebras of multioperations. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2019; 29:86-97. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.29.86
[20] Peryazev N.A., Sharankhaev I.K. Algebry mul'tioperacij [Algebras of Multioperations]. In: Pinus A.G., Poroshenko E.N., Sudoplatov S.V., Timoshenko E.I. (ed.) Algebra and Model Theory 11. Collection of papers. NSTU Publisher, Novosibirsk; 2017. p. 102-111. (In Russ.)
[21] Peryazev N.A. Algebras of n-ary Operations and Multioperations. In: XVInternational Conference on "Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications". Tula State Pedagogical University, Tula; 2018. p. 113-116. (In Eng.)
[22] Peryazev N.A. Finite Algebras of Multioperations. In: XVI International Conference on "Algebras, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications". TSPU; 2019. p. 51-54. (In Russ.)
[23] Eremenko D.A. Algebras of unary operations of rank 3. Proceedings of Saint Petersburg Electrotechnical University. 2019; (7):14-18. Available at: https://elibrary.ru/item.as-p?id=42372860 (accessed 03.08.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
[24] Eremenko D.A. Minimal Algebras of Binary Operations of Rank 3. Kompjuternye instrumenty v obrazovanii = Computer Tools in Education. 2020; (1):38-48. (In Russ., abstract in Eng.) DOI: https://doi.org/10.32603/2071-2340-2020-1-38-48
[25] Peryazev N.A. Clones, Co-Clones, Hyperclones and Superclones. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seri-ya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2009; 151(2):120-125. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=12833150 (accessed 03.08.2020). (In Russ., abstract in Eng.)
Submitted 03.08.2020; approved after reviewing 12.11.2020; accepted for publication 05.12.2020.
About the author:
Sergey I. Todikov, postgraduate student of the Department of Computer Science and Engineering, Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI" (5 Professora Popova St., St. Petersburg 197376, Russian Federation), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1249-6838, sergeytodikov@gmail.com
The author has read and approved the final manuscript.
Современные информационные технологии и ИТ-образование
Том 16, № 4. 2020 ISSN 2411-1473 sitito.cs.msu.ru
