CC BY
9
Компьютерные инструменты в образовании, 2020 № 1: 38-48 УДК: 519.7 http://cte.eltech.ru
doi:10.32603/2071-2340-2020-1-38-48
МИНИМАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ БИНАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ
РАНГА 3
Еременко Д. А.1, аспирант, И er_92@list.ru
1 Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина), 5, корп. 3, ул. Профессора Попова, 197376, Санкт-Петербург, Россия
Аннотация
В работе рассматривается задача нахождения минимальных алгебр бинарных операций ранга 3. Решение данной задачи является первым шагом для построения решетки алгебр бинарных операций ранга 3. Построение такой решетки — один из вопросов универсальной алгебры, в частности теории решеток.
В статье описывается алгоритм нахождения минимальных алгебр, который основан на свойстве идемпотентности операций, порождающих минимальные алгебры. Данный алгоритм был реализован на языке Python. Результаты работы алгоритма представлены в табличном виде.
Ключевые слова: операции, мультиоперации, решетка алгебр операций, минимальные алгебры операций.
Цитирование: Еременко Д. А. Минимальные алгебры бинарных операций ранга 3 // Компьютерные инструменты в образовании. 2020. № 1. С. 38-48. doi:10.32603/2071-2340-2020-1-38-48
1. ВВЕДЕНИЕ
Алгебры операций и мультиопераций являются традиционными объектами исследования теории представлений классических абстрактных алгебр (например моноидов, групп, колец). В то же время операции и мультиоперации конечной размерности на конечных множествах могут моделировать любой реальный дискретный преобразователь информации.
Одной из основных задач в теории мультиопераций является построение решеток алгебр. Первый этап построения решеток состоит в нахождении минимальных алгебр, лежащих в основании решетки. Вопрос нахождения минимальных алгебр бинарных операций ранга 3 был поставлен на конференции «Пограничные вопросы универсальной алгебры и теории моделей» и отражен в Эрлагольской тетради в разделе «Вопросы по универсальной алгебре» (включая теории решеток и клонов) под номером 2.15 [1]. В данной работе получено решение этой задачи: описывается алгоритм нахождения минимальных алгебр бинарных операций ранга 3, а также приводится описание всех минимальных алгебр.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ МИНИММЬНЫХ А1ГЕБР
Введем следующие понятия и определения.
Под п-местной операцией на множестве А понимают отображение из Ап в А .
Под рангом операции понимается мощность множества А. к = | А|.
Множество всех п-местных операций на А обозначим через Р^.
Операции / е РП на конечном множестве А = {ао,..., а^} можно представить как отображения f: {20,2к-1}п ^ {0,1,...,2к-1}, получаемые из f при кодировке ^ 21.
При этом операцию f зададим векторной формой: {а0,...,акп-1}, где е {20,...,2к-1}, ai = f (271,...,27п), (71,...,]п) есть представление г в системе исчисления по основанию к п-разрядным числом.
В качестве примера рассмотрим построение векторной формы для двухместной операции ранга 3 (п = 2, к = 3).
Зададим произвольное множество из трех элементов А = {а0, а1, а2}.
Зададим операцию f таблицей Кэли (таблица 1).
Таблица 1. Таблица Кэли для f
Г а0 а\ а2
а0 а\ а\ а2
а\ а0 а\ а\
а2 а2 а0 а0
В соответствии с кодировкой ^ 2г пронумеруем исходные элементы множества А и составим таблицу 2.
Таблица 2. Таблица Кэли для f с кодировкой
Г 1 2 4
1 2 2 4
2 1 1 2
4 4 1 1
Составим векторную форму (а0,..., акп-1):
а0 = f (271,272), 0 = 003, таким образом, 71 = 0, ]2 = 0.
а0 = f (20,20), так как 0 = 003, f (1,1) = 2 или исходный элемент а\, а1 = f (20,21), так как 1 = 013, f (1,2) = 2 или исходный элемент а1; а2 = f (20,22), так как 2 = 023, f (1,4) = 4 или исходный элемент а2, а3 = f (21,20), так как 3 = 103, f (2,1) = 1 или исходный элемент а0, а4 = f (21,21), так как 4 = 113, f (2,2) = 2 или исходный элемент а\, а5 = f (21,22), так как 5 = 123, f (2,4) = 2 или исходный элемент а1; а6 = f (22,20), так как 6 = 203, f (4,1) = 4 или исходный элемент а2, а7 = f (22,21), так как 7 = 213, f (4,2) = 1 или исходный элемент а0, а8 = f (22,22), так как 8 = 223, f (4,4) = 1 или исходный элемент а0.
В результате получим векторную форму заданной f:
f = (224122411).
Примеры двухместных операций ранга 3: операции проектирования по первому аргументу е^; а2) = а\;
е^ = (111222444);
операции проектирования по второму аргументу е2; е|(аь а2) = а2; е2 = (124124124).
Под суперпозицией операций / е РА и /1,..., /п е Р^ понимают:
(/ * /1,...,/п)(а1,..., ат) = /(/!(аь..., ат),...,/п(аь...,ат)).
Операцией с фиктивным аргументом называется операция, которая не зависит от одного из аргументов. Например, операция (422422422) не зависит от первого аргумента, так как /(аг-,1) = 4, /(аг-,2) = 2, /(аг-,4) = 2.
Существенной операцией называется операция без фиктивных аргументов.
Алгеброй п-местных операций над множеством А называют любое подмножество К с РА, замкнутое относительно суперпозиций и содержащее все п-местные операции проектирования.
Минимальной алгеброй называют алгебру, не содержащую подалгебр.
Клоном над множеством А принято называть любое подмножество К с МП, замкнутое относительно суперпозиций и содержащее все операции проектирования.
Минимальным клоном называют клон, не содержащий подклонов [2]. Для нахождения минимальных алгебр был разработан и реализован алгоритм нахождения минимальных алгебр бинарных операций ранга 3.
3. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ МИНИМА1ЬНЫХ АЛГЕБР
Ранее в работе [3] удалось получить конструктивное описание типов унарных муль-тиопераций, которые порождают минимальные алгебры. Таким образом, через описание типов удалось получить все минимальные алгебры унарных мультиопераций ранга 2 и 3. К сожалению, на данный момент нет конструктивного описания типов бинарных операций, порождающих минимальные алгебры. Для нахождения минимальных алгебр бинарных операций в данной статье используется свойство идемпотентности.
Нетривиальные минимальные алгебры и клоны порождаются идемпотентными операциями и имеют следующий вид [4, 5]:
(1а1 а2 аз2а4 а5 аб4),
где а{ е {1,2,4}.
Это необходимое, но не достаточное условие.
Обозначим такие операции как М с РА. Пусть / е М, тогда алгебраическое замыкание / — [/] является подмножеством М.
Так как решетка алгебр операций вкладывается в решетку клонов, то операции, порождающие минимальные клоны, порождают минимальные алгебры. В таблице 3 представлены минимальные клоны, описанные в работе Б. Чекани.
Таблица 3. Бинарнопорожденные минимальные клоны ранга 3
№ Минимальный клон № Минимальный клон
14 111121114 38 121222444
15 111122124 39 122222444
16 111122124 40 124222444
17 111122144 41 141222444
18 111122424 42 144222444
19 111221414 43 112222244
20 111224144 44 114222424
21 111422244 45 121222124
22 111121444 46 121222144
23 111122444 47 121222424
24 111124444 48 122222224
25 111221444 49 124222424
26 111224444 50 141222414
27 111422444 51 112221444
28 111424444 52 114122444
29 111222114 53 114124444
30 111222124 54 114224444
31 111222144 55 121224444
32 111222224 56 124224444
33 111222244 57 141422444
34 111222414 58 144424444
35 111222424 59 114122424
36 112222444 60 121224144
37 114222444 61 142421214
Для нахождения всех минимальных алгебр предлагается следующий алгоритм:
1. Перечислим все идемпотентные операции:
f = (lai й2 аэ2й4 яб Яв4),
где ai е {1,2,4}.
2. Исключим из этого списка операции проектирования по первому и второму аргументу (111222444), (124124124).
3. Исключим все операции, которые принадлежат минимальным клонам, приведенным в таблице 1.
4. Для оставшихся идемпотентных операций найдем их алгебраические замыкания [ f ]:
а) если в [f] встретится хотя бы одна операция, которая принадлежит минимальному клону, то это означает, что алгебра, порожденная операцией f, не минимальная (твк как содержит в себе подалгебру);
б) если в [ f] нет ни одной операции, принадлежащей минимальному клону и она порождается любой операцией, входящей в алгебраическое замыкание, то это новая минимальная алгебра.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ
В ходе изучения минимальных алгебр бинарных операций ранга 3 были найдены три дополнительные операции, порождающие минимальные алгебры. Из этого следует, что не всякая операция, порождающая минимальную алгебру, порождает минимальный клон. Порождают минимальные алгебры, но не минимальные клоны следующие операции:
[(114222144)] = {(114222144), (121124424), е2, е2 }, [(111224424)] = {(111224424), (124122144), е2, е2 }, [(114224124)] = {(114224124), (121122444), е2, е2 }.
Вышеперечисленные алгебры при переходе к трехместным операциям совпадают и являются надминимальными для минимального тернарнопорожденного клона:
[(111111111224222422424244444) ].
Всего были найдены 51 существенные операции, которые порождают минимальные алгебры бинарных операций ранга 3. Из них 48 совпадают с операциями, которые порождают минимальные клоны, а 3 новые операции порождают только минимальные алгебры.
Для доказательства того что других минимальных алгебр нет, приведена таблица 4, в которой показано, что оставшиеся идемпотентные операции порождают не минимальные алгебры.
Таблица 4. Идемпотентные бинарные операции ранга 3
№ Операция №ш1и № Операция №шт № Операция №шт
0 142421244 27 24 112122444 40 48 144422214 32
1 114422124 46 25 112424414 42 49 112424214 32
2 121222244 33 26 142221424 48 50 141124244 51
3 142124414 55 27 121224114 18 51 121221424 48
4 141424114 38 28 144421424 35 52 142224144 20
5 142122444 24 29 112124424 40 53 144222414 35
6 114422114 40 30 114424114 39 54 121122114 43
7 141122114 50 31 121221214 53 55 144121424 32
8 141124444 51 32 114122244 19 56 124224114 33
9 114121214 39 33 141421214 28 57 114221214 46
10 142421444 37 34 141424244 42 58 144422144 29
11 111424114 38 35 141224214 31 59 144422444 35
12 111422224 45 36 121422214 48 60 142422424 54
13 144224224 34 37 112124244 51 61 114124244 51
14 142121144 38 38 122422124 45 62 112421214 31
15 122124114 5 39 112121414 39 63 142421424 32
16 124422144 24 40 122424214 47 64 142424444 37
17 111422114 43 41 114421224 16 65 144122444 32
18 144224114 28 42 124222414 47 66 124422224 54
19 144121114 42 43 142422444 47 67 114424244 49
20 114224114 28 44 112124444 51 68 141121414 39
21 141422214 52 45 141124414 51 69 122421414 46
22 112122144 50 46 111424424 29 70 121121214 43
23 114424144 42 47 111224214 25 71 122421244 33
№ Операция №min № Операция №min № Операция №min
72 112422414 59 123 121421124 43 174 112124124 40
73 122424244 37 124 141422124 52 175 111122244 50
74 124222224 36 125 112124144 51 176 122424424 35
75 144424224 34 126 112221144 44 177 112424244 49
76 114124224 40 127 141122214 50 178 121121144 44
77 114222124 46 128 114422214 30 179 114121144 39
78 112221414 31 129 124221124 33 180 122422114 45
79 142122214 46 130 144421444 37 181 124424414 35
80 141124214 58 131 141221224 45 182 141121214 38
81 111421414 51 132 141224124 44 183 114221444 49
82 111424144 58 133 114122144 40 184 112224414 41
83 144221424 47 134 122122444 26 185 121424214 15
84 142224414 49 135 122222414 34 186 112224244 41
85 121422424 48 136 142224214 33 187 122222144 33
86 122224414 47 137 142421124 52 188 121124214 25
87 124121424 32 138 122124244 41 189 141424414 42
88 142222424 54 139 122121244 44 190 124421224 47
89 144421124 29 140 124422424 54 191 124121214 31
90 111224124 44 141 114421244 49 192 124122214 23
91 144422124 46 142 114221144 28 193 142222224 36
92 141424144 58 143 112424444 42 194 144121244 42
93 141122244 40 144 144121224 59 195 114422424 17
94 141222124 52 145 111122214 57 196 121424144 22
95 141424444 42 146 141221244 60 197 112224444 49
96 141122414 40 147 112421144 50 198 122221214 36
97 142424124 27 148 122122144 30 199 141421144 58
98 142422224 36 149 112224224 26 200 122122224 45
99 114424214 37 150 144221214 41 201 122224114 33
100 124422114 46 151 122224144 20 202 122421114 52
101 142421114 50 152 111221114 43 203 111424124 44
102 121421144 22 153 111121414 39 204 111121144 38
103 112122244 40 154 141422424 46 205 121124444 41
104 144221244 35 155 142124244 42 206 114222224 46
105 111422414 29 156 141424224 33 207 121422144 18
106 144224414 49 157 141222424 48 208 141224424 27
107 114224214 16 158 121122424 46 209 114424124 40
108 114121244 51 159 121224224 33 210 124121444 32
109 142422124 45 160 114221424 17 211 121422444 24
110 124422244 47 161 124221444 47 212 121421424 15
111 112122414 21 162 141222144 44 213 112222424 46
112 142421224 48 163 124224244 56 214 142121124 52
113 122122214 45 164 121422244 33 215 114224424 32
114 114221124 25 165 121424414 41 216 144424144 42
115 122124424 32 166 121124244 41 217 121222114 53
116 122421214 48 167 141421414 51 218 114124414 55
117 142124224 26 168 144122114 29 219 144124424 32
118 122224214 34 169 111421144 58 220 141122444 24
119 111221224 45 170 122422224 36 221 124124244 41
120 111424214 31 171 122121114 45 222 142122414 27
121 121224414 20 172 141121144 38 223 144421114 51
122 124122224 46 173 124421114 28 224 122122244 30
№ Операция №min № Операция №min № Операция №min
22S 141121244 39 276 114221114 2B 327 141122124 S2
226 124121144 41 277 121424124 44 32B 122124214 3O
227 142121224 S2 27B 111124424 4O 329 122421424 36
22B 122422144 33 279 111421214 3B 33O 144224214 37
229 122124444 41 2BO 142121414 4O 331 144122214 14
23O 144424214 49 2B1 114421214 4O 332 142424244 37
231 114222114 31 2B2 124221224 34 333 114121224 4O
232 142221124 S3 2B3 124224214 34 334 142121444 27
233 112122224 S7 2B4 111224224 3O 33S 124422444 47
234 141222244 27 2BS 144422224 36 336 142222124 4B
23S 144421224 47 2B6 114122114 4O 337 114122214 21
236 121121224 43 2B7 122422444 34 33B 111122414 4O
237 114424414 37 2BB 141224224 33 339 144221124 33
23B 142424424 3S 2B9 114121424 19 34O 142221444 27
239 141124114 SB 29O 111224114 44 341 112224124 23
24O 112422244 26 291 144422114 4O 342 122122424 46
241 111421244 2B 292 141124144 SB 343 114124214 39
242 112121214 3B 293 122424144 41 344 111121124 3B
243 144422424 S4 294 112122424 21 34S 121421444 24
244 142224244 S6 29S 112421224 46 346 112221424 46
24S 142122124 4S 296 122222424 36 347 122221244 34
246 112421414 S1 297 112224144 22 34B 114224224 26
247 112222144 23 29B 114422224 17 349 141224444 41
24B 114424444 37 299 142222444 47 3SO 144124214 S1
249 122121444 64 3OO 121124114 44 3S1 112224424 26
2SO 144222224 36 3O1 111124214 SO 3S2 144222214 3O
2S1 144121444 37 3O2 111421424 2S 3S3 111221244 3O
2S2 121421114 43 3O3 112422424 17 3S4 112124414 S1
2S3 124421444 49 3O4 121422114 S2 3SS 111422144 SO
2S4 142221224 36 3OS 121424114 44 3S6 144224144 41
2SS 112222114 43 3O6 122421144 14 3S7 141124424 24
2S6 124421144 24 3O7 141122224 S2 3SB 114222414 32
2S7 112422114 43 3OB 141421114 3B 3S9 144122144 29
2SB 114421444 SS 3O9 114421414 SS 36O 112121244 SO
2S9 114221244 32 31O 142222414 26 361 121421214 44
26O 114421144 S1 311 112224214 44 362 111221424 2S
261 112422224 4S 312 122221444 34 363 122121124 S2
262 121121414 31 313 144222424 S4 364 114424224 26
263 144424414 37 314 112121444 39 36S 122224124 33
264 124221114 33 31S 122121414 46 366 144421414 37
26S 144424244 37 316 121224214 1B 367 142424214 49
266 144221414 49 317 112124214 39 36B 114421124 2S
267 114121444 SS 31B 112224114 44 369 122121224 43
26B 144222114 62 319 141121424 4O 37O 122221424 4B
269 142122144 14 32O 124121414 32 371 141424424 27
27O 121424224 27 321 144222144 27 372 122424444 37
271 142422114 4O 322 144121214 S1 373 122122114 4S
272 112221224 4S 323 111224244 41 374 122224224 34
273 121222214 S3 324 144422244 3S 37S 144222244 3S
274 141421124 43 32S 111422214 31 376 142221414 47
27S 121124224 44 326 142421414 29 377 142424144 42
№ Операция №min № Операция №min № Операция №min
378 144424114 39 429 124421214 47 480 141121444 39
379 142221244 47 430 121224244 20 481 114224244 49
380 124421424 35 431 142121244 44 482 121221414 33
381 112424224 32 432 142222214 36 483 114121114 39
382 141422414 29 433 112424144 51 484 111221124 52
383 111421124 50 434 144122424 17 485 112222414 31
384 122422424 36 435 114221224 46 486 121221244 18
385 124422214 54 436 142124114 51 487 112121424 21
386 142122244 32 437 111422124 52 488 121124414 25
387 124222214 48 438 141121124 43 489 141421244 51
388 122222124 36 439 144224124 33 490 141424214 41
389 124221414 47 440 124121224 43 491 114422414 19
390 121122224 45 441 141424124 44 492 121422414 33
391 142224444 56 442 122424114 60 493 121424244 20
392 112121224 38 443 111122224 57 494 144122224 46
393 112424124 40 444 141221114 43 495 121121444 28
394 141422224 48 445 144124244 42 496 124122444 32
395 122221114 36 446 121122144 44 497 124221144 33
396 142122114 38 447 111222214 52 498 112422444 26
397 142422144 33 448 122124414 32 499 114421114 39
398 142124424 24 449 122422244 34 500 114422244 32
399 142122224 45 450 144421144 42 501 111421114 38
400 111124244 51 451 144221114 41 502 122421124 52
401 141421424 40 452 141422144 44 503 122221414 48
402 112122214 57 453 142422414 47 504 121221444 33
403 121121114 43 454 112422124 52 505 142422214 26
404 124122114 46 455 121224424 33 506 124424244 56
405 141221424 46 456 111122114 38 507 114222244 23
406 144224444 37 457 141224414 41 508 124221214 34
407 144424424 35 458 141222224 45 509 121222224 36
408 142421144 41 459 112124114 39 510 111421224 28
409 111421444 51 460 114424424 32 511 111424224 63
410 142221214 30 461 124421244 56 512 142122424 17
411 124222144 33 462 142224124 23 513 114122414 19
412 112221124 52 463 112124224 40 514 111121224 38
413 111221144 44 464 142222244 47 515 112422214 52
414 114221414 32 465 121421414 41 516 144421244 37
415 142121114 50 466 124121244 41 517 112222214 52
416 111121424 40 467 111424414 42 518 121122414 31
417 141224144 22 468 142224224 34 519 122124144 41
418 112421114 38 469 111124114 38 520 124424444 37
419 121221224 36 470 142424414 37 521 121122244 30
420 144124114 51 471 111121244 39 522 141221214 52
421 122422214 36 472 114224414 49 523 122421224 48
422 122424224 35 473 111224414 25 524 124222244 47
423 141421224 33 474 144422414 35 525 112221214 52
424 122224444 56 475 144122124 46 526 141122144 50
425 142224424 47 476 112422144 44 527 144121414 37
426 141222114 43 477 122224424 34 528 112424424 32
427 121422224 48 478 124224414 47 529 112421444 29
428 112421124 57 479 144221224 34 530 144124444 37
№ Операция №min № Операция №min № Операция №min
531 112121114 38 567 112122114 38 603 114121414 55
532 142124214 51 568 122222114 36 604 141122424 21
533 112122124 57 569 112424114 39 605 121421224 36
534 142222114 26 570 144121144 42 606 124424224 47
535 141221444 28 571 121221144 18 607 142424114 51
536 124424214 47 572 122424414 35 608 122222244 34
537 114222214 23 573 122222214 36 609 122422414 34
538 114421424 19 574 141221124 52 610 112221114 43
539 124422124 46 575 121424424 27 611 144122414 19
540 121424444 41 576 111124414 51 612 111422424 46
541 124124414 32 577 112421244 51 613 144224424 35
542 141222214 30 578 112121124 57 614 121121424 31
543 124122244 23 579 141224114 22 615 114121124 40
544 141421444 51 580 122424124 35 616 142422244 47
545 122121424 31 581 122224244 56 617 111221214 52
546 122221224 36 582 141121114 38 618 112121144 50
547 142222144 23 583 124222114 33 619 124421414 35
548 142124144 42 584 121221114 53 620 144122244 32
549 144221444 35 585 144124224 34 621 144124414 55
550 142124444 49 586 122121144 30 622 144121124 42
551 144221144 41 587 141124224 44 623 112222124 52
552 114422444 32 588 121422124 52 624 142121424 15
553 144421214 49 589 111121214 38 625 121421244 29
554 124122414 32 590 121121244 44 626 121221124 53
555 141422244 27 591 112222224 45 627 112421424 28
556 124424144 41 592 144224244 37 628 122421444 29
557 141124124 44 593 114422144 29 629 124221424 47
558 124221244 47 594 141422114 50 630 141224244 20
559 142121214 50 595 124422414 47 631 141221414 28
560 141221144 22 596 141121224 43 632 121222414 48
561 122122414 46 597 144222124 46 633 111124224 40
562 142221114 44 598 142221144 26 634 111424244 42
563 121122214 52 599 124424114 39 635 114122224 21
564 122221124 53 600 142424224 47 636 142224114 16
565 114224144 41 601 122121214 52
566 112221244 30 602 122221144 18
В данной таблице представлены все оставшиеся 637 идемпотентные операции. В третьем столбце указан номер минимальной алгебры, которая входит в соответствующее алгебраическое замыкание идемпотентной операции. Минимальные алгебры пронумерованы в соответствии с таблицей минимальных клонов из работы Б. Чекани. Таблица дополнена тремя номерами (номер 62-64), которые соответствуют трем найденным минимальным алгебрам.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Был разработан и реализован алгоритм нахождения минимальных алгебр на основе свойства идемпотентности образующих. С помощью алгоритма найдены и описаны все минимальные алгебры бинарных операций ранга 3. Из 51 алгебры, порожденной существенными операциями, 48 совпадают с минимальными клонами и описаны ранее
в работе Б. Чекани. Найдены три новые существенные операции, порождающие минимальные алгебры. Из работ Б. Чекани данные алгебры получить нельзя.
Список литературы
1. Эрлагольская тетрадь. Избранные открытые вопросы по алгебре и теории моделей, поставленные участниками Эрлагольских школ-конференций // составители: Пинус А. Г., Порошен-ко Е. Н., Судоплатов С. В. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. 40 с.
2. Csakany B. All minimal clones on three-element set. Szeged: Acta Cybernetyca, 1983. T. 6. P. 227-237.
3. Peryazev N. A., Peryazeva Yu. V., Sharankhaev I. K. Minimal algebras of unary multioperations // Izvestiya SPbGETU "LET". 2016. № 2. P. 22-26.
4. Перязев Н. А. Клоны, ко-клоны, гиперклоны и суперклоны // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. T. 151, кн. 2 (2009). С. 120-125.
5. LayD. Function Algebras on Finite Sets. Berlin: Springer-Verlag, 2006. doi: 10.1007/3-540-36023-9
Поступила в редакцию 12.02.2020, окончательный вариант — 13.03.2020.
Еременко Дмитрий Александрович, аспирант кафедры ВТ факультета компьютерных технологий и информатики СПбГЭТУ «ЛЭТИ»,Н er_92@list.ru
Computer tools in education, 2020
№ 1: 38-48
http://cte.eltech.ru
doi:10.32603/2071-2340-2020-1-38-48
Minimal Algebras of Binary Operations of Rank 3
Eremenko D. A.1, postgraduate, El er_92@list.ru
1 Saint Petersburg Electrotechnical University, 5, building 3, st. Professora Popova, 197376, Saint Petersburg, Russia
Abstract
The problem of finding minimal algebras of binary operations of rank 3 is considered in this paper. Solving this problem is the first step for constructing a lattice of algebras of binary operations of rank 3. The construction of such a lattice is one of the problems of universal algebra, in particular, the theory of lattices. The article describes an algorithm for finding minimal algebras, which is based on the idempotency property of operations generating minimal algebras. This algorithm was implemented in Python. The results of the algorithm are presented in tabular form.
Keywords: operations, multioperations, lattice of algebras operations, minimal algebras of operations.
Citation: D. A. Eremenko, "Minimal Algebras of Binary Operations of Rank 3," Computer tools in education, no. 1, pp. 38-48, 2020 (in Russian); doi:10.32603/2071-2340-2020-1-38-48
EpeMeHKo fl. A.
References
1. Erlagol notebook. Selected open questions on algebra and model theory posed by participants inErlagol school-conferences, A. G. Pinus, E. N. Poroshenko, and S. V. Sudoplatov, eds., Novosibirsk, Russia: NSTU Publishing House, 2018 (in Russian).
2. B. Csakany, "All minimal clones on three-element set," Acta Cybernetyca, vol. 6, pp. 227-237,1983.
3. N. A. Peryazev, Yu. V. Peryazeva, and I. K. Sharankhaev, "Minimal algebras of unary multioperations," Izvestiya SPbETU "LETI", no. 2, pp. 22-26, 2006 (in Russian).
4. N. A. Peryazev, "Clones, co-clones, hyperclones and superclones," Scientific notes of Kazan State University. Phys.-Math. sciences, vol. 151, no. 2, pp. 120-125, 2009 (in Russian).
5. D. Lau, Function Algebras on Finite Sets, Berlin: Springer-Verlag, 2006; doi: 10.1007/3-540-36023-9
Received 12.02.2020, the final version — 13.03.2020.
Dmitry A. Eremenko, Postgraduate, Department of Computer Science and Engineering, Faculty of Computer Science and Technology, Saint Petersburg Electrotechnical University, Bler_92@list.ru
