CC BY
38
МАТЕМАТИКА
УДК 512.622 А.Э. МАЕВСКИЙ
АЛГОРИТМ ПОИСКА КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНОВ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ ИЗ КОЛЬЦА к[х,у]
Построен детерминированный алгоритм поиска корней многочленов одной переменной с коэффициентами из кольца к[х,у], где к - произвольное поле. Алгоритм имеет полиномиальные временную и емкостную сложности и может рассматриваться как распространение алгоритма Рота-Рукеншгейна [2] поиска корней многочленов с коэффициентами из кольца к[х] на случай многочленов с коэффициентами из к[х,у]. Ключевые слова: корни многочленов, алгоритм Рота-Рукенштейна, факторизация многочленов, линейные делители, конечные поля.
Введение и постановка задачи. Пусть к - поле произвольной характеристики, к[х,у] - кольцо многочленов от переменных х, у с коэффициентами из к, к[х,у][7] (@к[х,у7]) - кольцо многочленов от переменной Т с коэффициентами из к[х,у]. Под полной степенью deg(/(x,y)) многочлена /(х,у) (ек[х,у]) будем понимать максимальную из степеней мономов, входящих в /х,у), а под степенью (Т-степенью) многочлена 0(х,уТ) (ек[х,у][7]) - максимальный показатель степени переменной Т с которым она входит в 0(х,у,7). Многочлен /(х,у) (ек[х,у]) будем называть Т-корнем многочлена QX,y,7), если многочлен 0(х,у/(х,у)) нулевой.
Рассмотрим следующую задачу: для заданного многочлена 0(х,уТ) (ек[х,у][7]) и заданного целого числа с1 (>0) найти все 7-корни QX',y,т) полной степени не выше С Эта задача возникает во многих областях современной математики, например, в теории помехоустойчивого кодирования при решении задач списочного декодирования [1], [2], [5]. Легко показать, что множество
Оо(С) = { /ху) е к[х,у] | Сед(/х,у)) < С, 0(х,у/(х,у)) ° 0 } всех 7-корней 0(х,>,7) полной степени не выше С находится во взаимно однозначном соответствии с множеством делителей 0(х,>,7) вида (7 - /(х,у)), где Сед(/(х,у)) < С Поэтому исходная задача эквивалентна задаче поиска всех линейных делителей многочлена 0(х,>,7) вида (7 - /(х,у)), Сед(/х,у)) < С
Существует несколько подходов к решению поставленной задачи. Например, можно использовать общие алгоритмы факторизации многочленов от нескольких переменных [3], [4], и выделить все искомые линейные делители специального вида. Однако вычислительная сложность при этом может оказаться слишком высокой, так как почти все алгоритмы факторизации многочленов от нескольких переменных вероятностные, а многочлен 0(х,у,7) может иметь большое количество ненужных нам линейных делителей вида ^ку^+^ху)). В работе [5] предложен алгоритм поиска 7-корней многочленов с коэффициентами из поля рациональных функций к(х1,...,хт). Так как к[х1,х2]ск(х1,...,хт) при т > 2, этот алгоритм может быть применен и для построения множества W.Q(d). Однако он использует нетри-
виальную технику алгебраической геометрии и коммутативной алгебры, что сильно затрудняет, с одной стороны, его использование неспециалистами, а с другой, его аппаратную или программную реализацию.
В работе Рота и Рукенштейна [2] построен алгоритм поиска 7-корней степени не выше С многочленов с коэффициентами из кольца к[х]. Отметим, что в классе подобных алгоритмов алгоритм из [2] считается одним из самых быстрых и эффективных [5]. По аналогии со схемой построения алгоритма Рота-Рукенштейна в настоящей работе построен алгоритм вычисления W.Q(d), обоснована его корректность и получена оценка его асимптотической сложности.
Алгоритм вычисления множества Оо(^). Рассмотрим некоторый многочлен О(ху7 из кольца к[х,у][7]. Определим такое целое неотрицательное число г что у делит Оху 7), но у+1 не делит ОхуЛ. Положим
Оу)(х,у,7) = Ох,у, 7)/у.
ПЛ-Л 11 -1 г к I
Пусть /(х,у) = к 0 }ых у - некоторый многочлен полной
степени С из кольца к[х,у]. Для всех целых /е[0,С] рекуррентно определим многочлены /(х,у) (ек[х,у]), Q(x,y,Г) и Q^У)(x,y,T) (ек[ху][7]) следующим образом. Положим /(ху) = /ху), О(х,у,7) = ©(у(х,у,7) = Оу(х,у,7),
1 1 -1 ~ к 1 у
Их,у) = (Ых,у - &(х,0))/у= г_, к__ 0 /к1лку!- ‘, (1)
О(х,у,7) = Q-l{y)(xlylyT + /м(х,0)), (2)
О-у(ху7 = Q(x,yГ)/Уг'), (3)
где /(/) (>0)- такое целое число, что уг') делит О(х,у,7), а уг-+1 не делит О(х,у 7).
Лемма 1. Рассмотрим произвольное целое число -е[1,С]. Тогда многочлен (7 - /(ху)) делит многочлен О-у(ху7 в том и только в том случае, когда многочлен (7 - /(ху)) делит многочлен Ои(у)(х,у,7).
Доказательство. 1(^). Пусть (7-//(х,у)) делит многочлен
О£у)(х,у7')=О(х,у,7)/уг'). Тогда (/ху) делит также Q(x,y,T)=Qя(y)(x,y,yT+ +/я(х,0)). Следовательно,
Q--l{У(xlylyT + /м(х,0)) = (7 - /хуШху7 для некоторого Ц(ху7 (ек[х,у][7]). В последнее равенство подставив вместо 7 выражение (7 - /я(х,0))/у получим:
Ом(у)(х,у,7) = ((7 - №,0))/у - f(x,y))U[x,y(T - /-1(х,0))/у).
Умножим обе части последнего равенства на у, где I достаточно большое натуральное число, и, учитывая (1), получим:
уОи(у)(ху,7) = (7 - №у)Жху7), Кх,у,7) ек[х,у][7].
Таким образом, (7 - /н(х,у)) делит у^О,-1(у)(х,у,7), и так как у- и (7 - //-1(х,у)) взаимно просты, то (7 - /н(х,у)) делит О,-1(у)(х,у,7).
2(<^). Пусть (7 - /-1(ху)) делит Qи(y)(x,y,Г), то есть
Он(у(х,у,7) = (7 - /(х,у))и(ху7 для некоторого многочлена Ц[ху,7) (ек[ху][7]). Используя это соотношение, из (2) получаем:
0^,7) = (у7 + /-1(х,0) - fhl(xlУ)UxlyyT + /м(х,0)) = у(7 - /ху^ху^, где Кх,у,7 = и(х,уу 7 + /м(х,0)).
Следовательно, (7 - /(ху)) делит ОкхуГ), но 0(х,у7) = уг')0-у)(х,у,7), поэтому (7 - /(ху)) делит и Q-y(xlylT). •
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:
(О (7 - /ху)) делит О(ху 7);
(и) $-е [1,С]: (7 - /(х,у)) делит Q-y)(x,y,Г);
(111) "- е [1,С]: (7 - /(ху)) делит Q-y)(x,y,Г);
(^) 7 делит ОС+1(х,у7), где ОС+1(х,у,7 = Qdy(x,y,yT+focd).
Доказательство. (|)^(||). Отметим, что утверждение (I) можно записать как (7 - /(ху)) делит Q,(xlylT). Тогда, согласно лемме 1, (7 - /(ху)) делит Ql(xyT), следовательно, - в утверждении (II) можно положить равным 1.
(||)^(|||). Следует из леммы 1.
(Ш)^(И. Пусть имеет место (|||). Так как /С(ху)=/с, то ОСу(х,у,7 =(T-fod)U(xryrГ). Тогда Qd+l(x,y,T)=(yT) и(х,угу7 + /ос) и 7 делит ОС+1(ху1Г).
(^)^(|). Пусть 7делит Оё+1(х,у,7 = QdУ(XlylyT+fod). Используя те же рассуждения, что и при доказательстве первой части леммы 1, и тот факт, что /С(х,у) = /ос, получаем, что (7 - /(ху)) делит Qdx,y,T). Используя далее лемму 1, получаем, что (7 - /(ху)) делит Ох,у7). •
Для всех целых е [0,С] рекуррентно определим многочлены Ы(х) (е к[х]), М(х,7 (ек[х][7]) следующим образом:
1 - У ^ к
ых = ЦхО) = 0 /к,лк, (4)
М(х,7) = <Qy)(x,0,T). (5)
Отметим, что если многочлен Q-y)(x,yГ) ненулевой, то таким же будет и М(х,7).
Лемма 3. Если (7 - /(ху)) делит Ох,у7), то для всех целых ле[0,С многочлен (7 - Ы(х)) делит многочлен М(х,7).
Доказательство. Пусть (7 - /(ху)) делит О(х,у,7). Тогда, согласно лемме 1, многочлен (7 - /(ху)) делит О(у(ху7 для всех целых /е[0,С]. Подставив у=0 в (7 - /(ху)) и О£у)(х,у,7), получим утверждение леммы. •
Из последней леммы вытекает следующая важная теорема.
Теорема 4. Если (7 - /(ху)) делит О(х,у,7), то для всех целых | [0,С коэффициенты />.../>■ многочлена /(ху) совпадают с коэффициентами Лo,...,Лd- одного из делителей многочлена М(х,7) вида (7 - Ы(х)), Сед(Ы(х)) = с|
Последняя теорема доставляет нам способ нахождения множества Оо(С). По заданному многочлену О(х,у,7 вычислим многочлен
М0(х,7)=О0у)(х,0,7). Используя, например, алгоритм Рота-Рукенштейна [2], найдем все его 7-корни степени не выше С. Согласно теореме 4, коэффициенты /о,.../л любого 7-корня /(ху) многочлена Ох,у7) обязательно совпадают с коэффициентами Ы,...,Лс какого-либо 7-корня многочлена M0[xlT). Далее, для каждого полученного набора коэффициентов Ы,...,Лс согласно (2) и (3), вычислим многочлены О(у)(х,у7) и М^х,^. Определив все 7-корни М1(х,7 полной степени С-1, получим варианты значений коэффициентов /01,.../ Продолжая процесс поиска коэффициентов многочлена /(ху), мы, как будет показано в теореме 5, найдем Оо(С).
Описанный выше процесс формализуется в виде рекурсивного алгоритма FIndRoots. В ходе своей работы алгоритм использует две дополнительные переменные: неотрицательное целое число | определяющее уровень (глубину) рекурсии, и многочлен /(ху) , который изменяется на каждом уровне рекурсии, а на последнем уровне становится кандидатом
на 7-корень. При начальном вызове алгоритма FindRoots оба параметра
і и /(ху) должны быть нулевыми.
Алгоритм FindRoots (поиск для многочлена Q(x,у7) всех 7-корней полной степени не выше С):
Вход: многочлен Q(x,yТ (єк[ху][7]), натуральное число С, неотрицательное целое число і, многочлен /(х,у) (є к[х,у]);
Выход: множество 7-корней полной степени С многочлена ОСхуТ).
Ш1. Найти такое целое неотрицательное число г что у делит 0(х,у,Т), но у+1 не делит 0(х,уТ);
Ш2. Положить 0'у)(х,уТ) := 0(х,уТ)/уг;
Ш3. Для каждого из 7-корней /(х) степени сі-і многочлена 0'у)(х,О,Т) выполнить:
Ш3.1. Положить Я (х,у7) := Q'y)(x,y,Т+hk(x));
Ш3.2. Положить R(x,y,Т := Я (х,у,у7);
Ш3.3. Если (і = С), то
Ш3.3.1. Если (7 делит R(x,yТ), то вернуть /(х,у) + у/(Х и выйти из алгоритма, иначе
Ш3.3.2. Выйти из алгоритма;
Ш3.4. Выполнить FindRoots(R(x,y7■), С і+1, /х,у + yh(X)).
Конец алгоритма.
Теорема 5. Алгоритм FinСRoots, запущенный с начальными параметрами (0(х,у7),С,0,0), возвращает все 7-корни многочлена 0(ху7) степени не выше с.
Доказательство. Пусть 0?(сС (с к[х,у]) - множество всех многочленов, возвращаемых алгоритмом FinСRoots (^ху^СОО). Покажем, что 0 о(сС = Оо(С). Пусть /х,у) є 0о(С). Легко проверить, что полная степень /(х,у) не превышает С Многочлен /(х,у) построен таким образом, что 7 делит R(x,y,Т)=QІ-y')(x,yyТ+fod). Поэтому, согласно теореме 2, /(х,у)-7-корень ОКх.у.і) и 0о(сС с Оо(С). Включение По(сГ) с 0Q(d) вытекает из теоремы 4 и того факта, что алгоритм FindRoots на каждом уровне рекурсии і осуществляет полный перебор делителей вида (7 - /(х)) многочлена Qy)(x,0,Т).• Анализ сложности алгоритма FindRoots. На каждом уровне рекурсии і алгоритма FindRoots мы находим 7-корни некоторого ненулевого многочлена, и для каждого из его корней переходим на следующий уровень рекурсии. Может показаться, что совокупное количество корней при переходе с одного уровня рекурсии на другой растет экспоненциально, однако, рассматриваемая ниже лемма 6 показывает, что это не так.
Лемма 6. Пусть Q(x,y,Т = 0qk(х,у)Тк (єк[х,у][7]) - такой не-
нулевой многочлен 7-степени Ь, что у не делит QX,y7), /(х) (є к[х])-7-ко-рень многочлена Q(x,0,Т) степени не выше С и кратности у. Положим P(XУ,Т)=Q(XyyТf/7(x)), РХ,у,7") = Р(х,у7)/у, где г - такое наибольшее неотрицательное целое число, что у делит РуХ,у7"), а У+1 не делит Р(х,у7). Тогда 7-степень многочлена М(х,ї) = Р(хД7) не превосходит у.
Доказательство. Пусть 7-степень Q(x,yТ равна Ь,
я(х, у,т)_ Q(х, у,Т + Кх))_ к_ 0 !ік (х, У)Тк,
ру(х, У,т) _ ^х, У,Ут + h(х)) _ Ь_0як(х У)УТ.
Поскольку /(х) является 7-корнем кратности у многочлена Q(x,0,Т), то ОСх,0,Т)=(Т - h(x))уu;x,Т) для некоторого и(х,Т) (єк[х][7]), и
5(x,0,Т)=Q[x,0,Т)= (Т1U(xlТ+h(X)). Так как 7у делит S(x,0,Т), то 5к(х,0) = 0 при кє [0,у-1], но ^(хО^О. Последнее равнозначно тому, что у делит многочлены 5((х,у) при кє[0,у-1] и не делит ^хО) (^0). Следовательно, у делит Ру(ху7), но у+1 не делит Рух,у,Т). Таким образом, г є [1,у]. Запишем многочлен Р(х,уТ):
Рх,у 7) = Р^ху, Т)/у = к_ 0 5к(х У)УкТк / Уг + к_ г +18к (х, У)Ук- гТк .
Теперь видно, что 7-степень М(х,Т)=Р(х,0,Т) не превышает г (є[1,у]). •
Следствие. Рассмотрим случай, когда на вход алгоритма FindRoots поступает такой многочлен О(x,yТ), что все 7-корни многочлена ОУ)(x,0,Т) имеют кратность 1. Тогда многочлены Q:y)(x,0,Т), получаемые на всех последующих уровнях рекурсии, будут иметь 7-степень не выше 1, и их 7-корни могут быть вычислены непосредственно. •
Следующие две леммы являются подготовительными для теоремы об оценке сложности алгоритма FindRoots.
Лемма 7. Пусть Q(x,y7 (єк[ху][7]) - ненулевой многочлен 7-степени Ь Тогда количество многочленов, возвращаемых алгоритмом FindRoots, вызванным с параметрами (Q(xy7),d,0,0), не превышает Ь, а общее количество рекурсивных обращений алгоритма FindRoots самому к себе не превышает Ь/С.
Доказательство. Для каждого уровня рекурсии і (є [0,С]) алгоритма FindRoots через Юі обозначим сумму 7-степеней всех многочленов ОY)(x,0,Т), возникающих на шаге Ш3. Другими словами, Юі равняется сумме всех 7-степеней многочленов М(х,Т), возникающих в процессе поиска 7-корней Qx,yТ). При і=0 существует единственный многочлен Md(x,Т)=Оy(x,0,Т 7-степени не выше Ь, поэтому Юо < Ь Согласно лемме 6, имеет место неравенство Юі < Юі-1 для каждого і є [1,С]. Следовательно, ю< Ь для каждого і є [0,С]. В итоге алгоритм FindRoots при і = С работает не более чем с юс < Ь многочленами, и общее количество рекурсивных вызовов FindRoots не превышает Ю і < ЬС •
Лемма 8. Пусть Q(x,У,Т)_ Ь_одк(х,У)Тк (єк[х,у][7]) - такой
ненулевой многочлен 7-степени Ь, что полная степень любого коэффициента q^Сx,y) не превосходит т. Тогда 7-степень всех многочленов на любом из уровней рекурсии алгоритма FindRoots не выше Ь, а полная степень коэффициентов этих многочленов на уровне рекурсии і не превышает От+ЬС).
Доказательство. Нетрудно видеть, что шаги Ш1, Ш2, Ш3.1, Ш3.2 не увеличивают Т-степень. Пусть
Я(х,У,Т) _ ^(У)(хУ,Т + Ь(х)) _ к_0Уьу)(х’У)(Т + Ъ(х))к _ 10%(хУ)Т ,
Я (х У,Т) _ Я (х У> УТ) _ 10 гкі(х У)Уктк
- многочлены, вычисляемые на шагах Ш3.1, Ш3.2 алгоритма FindRoots, находящегося на і-м уровне рекурсии, и Сед(дкУ)(х,У) )<т(/). Тогда Сед( % (х, У) )<т(/)+ЬСед(/(х))=т(/)+Ь(С-/), а Сед(угш (х, у) )<m(/)+b(d-i-^1). Так
как m(0)=m, то deg(/% (x, y) )<m+b(/+l)(d+l-//2)<m+b(d+l)(d/2+l)= = C(m + bd2).»
Оценим асимптотическую сложность алгоритма FindRoots. Выберем следующую широко распространенную в теории многочленов модель вычислений [2-4]. Предположим, что базовые операции поля k (сложение, вычитание, умножение, деление элементов), а также операции сравнения и присваивания имеют временную сложность О(1). Для многочленов g(x), h(x) (е k[x]) операции сложения и вычитания имеют временную сложность O(min{deg(g(x)), deg(h(x))}) операций поля k, а умножение имеет временную сложность C(deg(g(x))deg(h(x))) операций поля k.
Теорема 9. Пусть многочлен Q(x,y,T) удовлетворяет условиям леммы 8. Тогда алгоритм FindRoots, вызванный с параметрами (Q(x,y,T), d, 0, 0), имеет временную сложность O(&d(b(m+bd)2 + Fb))) операций поля k, где F(b) - временная сложность алгоритма поиска корней многочлена (QT) (ek[7]) степени b, и емкостную сложность O(b(m-bd)2) элементов поля k.
Доказательство. На шагах Ш1, Ш2, Ш3.2 изменения затрагивают только мономы, содержащие у. Если коэффициенты q(x,y) многочлена Q(x,yT) записать как элементы k[x][y], то, согласно лемме 8, общее количество изменяемых мономов можно оценить как O(b(m+bd)). Так как в течение работы всего алгоритма шаги Ш1, Ш2, Ш3.2 выполняются не более, чем bd раз (лемма 7), то общий вклад этих шагов во временную сложность алгоритма равен O(tf-d(m+b<f)).
Шаг Ш31 удобно выполнять с помощью схемы Горнера. Нетрудно проверить, что в этом случае он имеет временную сложность Obdm-bd)2). Так как он выполняется в алгоритме bd раз, его вклад в общую временную сложность алгоритма составляет Obd(m-bd)2).
Для поиска всех 7-корней многочлена Qv)(x,0,T) на шаге Ш3 можно воспользоваться алгоритмом Рота-Рукенштейна [2]. Его временную сложность в зависимости от b, d и m можно оценить как C(bd(tiL(m+bd)+F(b))), где F(b) - временная сложность алгоритма поиска корней многочлена Q7 (ek[7]) степени b. Следовательно, в течение работы всего алгоритма шаг Ш3 имеет сложность C(tjLdL(tjL(m+bd)+F(b))). Таким образом, общая временная сложность алгоритма FindRoots составляет C(tiLdL(b(m+bdL)2+F(b))) операций в поле k.
В алгоритме FindRoots больше всего памяти требуется для хранения на каждом уровне рекурсии коэффициентов многочленов Q(x,y,T). Поэтому оценка C(b(m+bdL)2) на емкостную сложность алгоритма следует из того, что общее число мономов QxyT не превышает C((m + be2)2), а общее число хранимых многочленов не выше b (по числу параллельно вычисляемых 7-корней). •
Необходимо отметить, что оценку сложности алгоритма FindRoots можно улучшить, с одной стороны, используя быстрые методы вычислений с многочленами, а с другой, более точным подсчетом числа операций. Выводы. В работе построен детерминированный алгоритм поиска всех 7-корней степени не выше d произвольного многочлена Qx,v7 (е k[x,y][7]) и доказана его корректность. Показано, что алгоритм имеет полиномиальные временную сложность C(b2d 2(b(m+bd 2)2 + F(b))) операций
поля k и емкостную сложность O(b(m+bd 2)2) элементов поля k. Алгоритм может быть применен при решении различных задач, например, задачи списочного декодирования некоторых семейств алгебро-геометри-ческих кодов [1].
Библиографический список
1. Маевский А.Э. О списочном декодировании одного класса алге-бро-геометрических кодов на проективных кривых // Тр. участников меж-дународ. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова.
- Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября, 2006. - Ростов н/Д, 2006. - С. 55-56.
2. Roth R.M., Ruckenstein G. Efficient decoding of Reed-Solomon codes beyond half the minimum distance // IEEE Transactions on Information Theory.
- Vol. 46, no. 1, January 2000. - P. 246-257.
3. Gathen J., Kaltofen E. Polynomal-time factorization of multivariate polynomials over finite fields // Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag. - Vol. 154, 1983. - P. 250-262.
4. Shoup V. A computational introduction to number theory and algebra.
- N.-Y.: Cambridge University Press, 2005. - 534 p.
5. Wu X.W., Siegel P.H. Efficient root-finding algorithm with application to list decoding of algebraic-geometric codes // IEEE Transactions on Information Theory. - Vol. 47, no. 6, September 2001. - P. 2579-2587.
Материал поступил в редакцию 16.11.06.
A.E. MAEVSKIY
ROOT-FINDING ALGORITHM FOR UNIVARIATE POLYNOMIALS WITH COEFFICIENTS FROM k[x,y]
Deterministic polynomial-time root-finding algorithm for univariate polynomials with coefficients from k[x,y] where k is a field of any characteristic is constructed. Cur algorithm can be viewed as an extension of the Roth-Ruckenstein's root-finding algorithm to polynomials from k[x,y][7].
МАЕВСКИЙ Алексей Эдуардович (р.1981), аспирант кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» ДГТУ. Окончил ДГТУ (2003).
Сфера научных интересов: теория помехоустойчивого кодирования, алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, математические методы в защите информации.
Автор 7 научных работ.
