Алгоритм побудови оптимальних частотно-часових сигнальних конструкцій Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

А.В. ЯРИЛОВЕЦЬ, В.Д. НАЗАРУК, С.В. ЗАЙЦЕВ

АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ ОПТИМАЛЬНИХ ЧАСТОТНО-ЧАСОВИХ СИГНАЛЬНИХ КОНСТРУКЦІЙ

Анотація. У роботі на основі теорії чисел описаний алгоритм побудови багатопозиційних бага-точастотних сигналів (ББЧС) виду оптимальних ортогональних частотно-часових послідовностей (ЧЧП). Отримано аналітичний вираз, що дозволяє представити в часі оптимальні частотно-часові послідовності.

Ключові слова: технологія CDMA-FHSS, багатопозиційні багаточастотні сигнали.

Аннотация. В работе на основе теории чисел описан алгоритм построения многопозиционных многочастотных сигналов (ММЧС) вида оптимальных ортогональных частотно-временных последовательностей (ЧВП). Получено аналитическое выражение, позволяющее представить во времени оптимальные частотно-временные последовательности.

Ключевые слова: технология CDMA-FHSS, многопозиционные многочастотные сигналы.

Abstract. On the basis of numbers theory an algorithm for multi-positions and multi-frequency signals designing (MPMFSD) of the optimal orthogonal frequency-time sequences (FTS) form was described. An analytical expression that allows providing an optimal frequency-time sequence in time was received. Keywords: CDMA-FHSS technology, multi-position multi-frequency signals.

1. Вступ

На сучасному етапі розвитку мобільних систем зв'язку широкого поширення здобули методи передавання, що базуються на технології CDMA-FHSS, при використанні широкосмугових сигналів зі швидкими стрибками частоти [1]. Тому спробуємо більш детально розглянути структуру таких сигналів.

Закон формування ЧЧП, що визначає послідовність слідування несучих частот, повинен бути псевдовипадковим, про що було зазначено вище. Однак алгоритм формування цих багатопозиційних послідовностей має бути досить простим для того, щоб забезпечити нормальне функціонування цифрових формувачів ББЧС довільної кодової структури. При цьому, виходячи з потреб захисту інформації, необхідно забезпечити можливість досить швидкої зміни номера цієї псевдовипадкової послідовності і в процесі передавання інформації.

2. Постановка задачі

З [2, 3] відомо, що якщо узяти N = M +1 - просте число, то можна побудувати N — 1 оптимальних ЧЧП. При цьому під оптимальними розуміємо ортогональні ЧЧП, у яких при довільних часових зсувах співпадає не більше одного частотно-часового елемента.

Таким чином, виникає завдання розробки алгоритму побудови оптимальних частотно-часових сигнальних конструкцій на основі теорії чисел.

Метою роботи є розробка алгоритму побудови оптимальних частотно-часових сигнальних конструкцій.

3. Виклад основного матеріалу

Широкосмуговий сигнал зі швидкою стрибкоподібною зміною частоти часто називають багатопозиційним багаточастотним сигналом (ББЧС) [4, 5]. Принцип передавання повідомлень з застосуванням ББЧС полягає в тому, що за час T декілька n - інформаційних біт

© Яриловець А.В., Назарук В. Д., Зайцев С.В., 2012 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4

передаються послідовністю радіоімпульсів на різних неповторних несучих частотах /1,/2,/3,...,/M, де M = T/t0 - кількість частот в ББЧС, t0 і T - тривалість одного елемента і всього ББЧС (рис. 1). У найпростішому випадку тривалість біта (t = T / M) може дорівнювати тривалості ББЧС (t = T) , тоді n =1 . Ширина спектра такого сигналу залежить від величини частотного розносу D/P між його найближчими значеннями несучих частот і від кількості частот M . Вона дорівнює

Dfc = M-D/p . (1)

f

f

—^

t

1 1 1 1 T 1

1 1 rsp" 1 /3 __ 1 ^ J *0 'ПППДППІ Г г t

\ /' \ / \ Iі \ 1 \ 1 \ / \ / 1 \/ \ /1 \/ і/ І / W і А/ uj v V V/ ... mm.

Рис. 1. Принцип передавання повідомлень з застосуванням ББЧС

Зазвичай, величину частотного розносу обирають із умови А/р > А/кор, де

А/кор - радіус або інтервал частотної кореляції радіолінії, який, наприклад, для типових трас сантиметрового діапазону лежить у межах 1,5...3 МГц. Для систем наземного рухомого радіозв’язку цей інтервал лежить у межах 0,1...10 МГц. Отже, для реальних систем радіозв’язку ширина спектра ББЧС приймає значення від одиниць до десятків МГц [4]. Такі широкосмугові сигнали забезпечують більш високу завадозахищеність у порівнянні із

радіосистемами, що використовують вузькосмугові сигнали. Оскільки рівень спектральної щільності потужності цих сигналів виявляється значно нижчим рівня шуму, то досить важко виявити роботу таких систем і тим більше виміряти параметри сигналу для постановки прицільних завад [4].

Закон зміни частот ББЧС може бути довільним. При цьому закон слідування частот (вид частотно-часової послідовності або частотно-часовий код) визначає адресу CDMA -фізичного каналу, що виділений для абонента. Якщо на основі однієї частотно-часової структури з застосуванням інших методів багатостанційного доступу (наприклад, TDMA) утвориться декілька фізичних каналів, то таку сукупність каналів (PUL каналів) називають інформаційним стволом [4]. Таким чином, структура частотно-часового коду є ознакою, що відрізняє в системі CDMA один інформаційний ствол (канал) від інших. Інформаційними параметрами у таких сигнально-кодових конструкціях можуть бути амплітуда і початкова фаза радіоімпульсів або частотно-часових елементів частотно-часової послідовності [5]. Тобто в процесі модуляції здійснюється маніпуляція радіоімпульсу ЧЧП, при цьому можуть застосовуватися різні методи багатопозиційного кодування фази (BPSK, QPSK, 8-PSK) або фази і амплітуди (16-QAM, 32-QAM, 64-QAM). Виходячи із цього, ББЧС з бага-топозиційним кодуванням по фазі або по фазі і амплітуді називаються фазо-частотно-часовими послідовностями [4, 5].

Довільна і -я реалізація ББЧС, яка є несучим сигнальним базисом для і -го інформаційного ствола CDMA системи. У загальному виді може бути представлена функцією часу у вигляді

M

Ai (t) = ^ a(i, k) - sin[2pf (i, k)t + j(i, k)],

(2)

k=1

де (к - 1)т0 < ґ < кт0; і є 1,М ; а(і, к), ф(і, к) - значення інформаційних параметрів відповідно амплітуди і початкової фази несучого коливання, яке передається в і -й реалізації к -го елемента ББЧС; /(і, к) - значення несучої частоти і -ої реалізації к -го елемента ББЧС.

*

0

Із рис. 2 видно, що ширина спектра ББЧС залежить від М і А/Р - розносу між найближчими значеннями несучих частот і визначається: А/с = М ■ А/р .

Для забезпечення вимоги ортогональності сигналів в ансамблі (2) закон слідування частот / (і, к) в ЧЧП необхідно вибирати певним чином. Відомо [4, 5], що два радіоімпульси тривалістю Т0 є ортогональними, якщо їх несучі частоти відрізняються на величину, кратну 1/ т0. Тому в подальшому будуть досліджуватися сигнальні конструкції, у яких мінімальний зсув між сусідніми частотами дорівнює А/р = 1/ т0. Звідки ширина спектра

А/с = М / То, (3)

а база такого сигналу дорівнює Ж = М ■ Т / Т0 = М2. Для забезпечення процесу передавання

повідомлень кожна пара приймач і передавач повинна використовувати однакові закони зміни частот. Застосування законів зміни частоти за псевдовипадковим законом значно ускладнює визначення цього закону, до того ж підвищується розвідзахищеність і ускладнюється можливість перехоплення інформації [2, 3]. Це є наслідком того, що для здійснення відновлення переданого повідомлення на фізичному рівні необхідно виконати демодуляцію перехопленого радіосигналу. А це досить складна задача, якщо псевдовипадкові частотно-часові коди невідомі.

Приведемо обґрунтування структури оптимального ансамблю сигналів. Нехай дано N різних елементів для організації ансамблю. Тоді максимальна кількість послідовностей, які можуть бути утворені з N елементів, дорівнює кількості перестановок із N по N [2]: Р^ = N!. Кількість послідовностей, які не являються результатом циклічних перестановок,

у N разів менша загального числа перестановок [2]: Р^ = ^ — 1)!. Якщо ж ввести обмеження на дані послідовності по кількості взаємних спільностей, а саме при можливій не більше як одній збіжності, кількість таких послідовностей не може бути більша за кількість сполучень із N — 1 по одному: NM1 < 1 = N — 1.

За аналогією, якщо допустити не більше двох спільностей, інші елементи можна розмістити не більше як ClN_2 способами, які водночас забезпечують відсутність потрійних спільностей: NM1 < (N _ 1)(N _ 2). Продовжуючи цю думку і узагальнюючи отримані результати, можна стверджувати, що об’єм алфавіту послідовностей із N елементів, які забезпечують не більше, ніж Л спільностей, не може бути більшим за

nM л<П C'n _,=П (N _ і). (4)

і=1 і=1

Якщо ж Л = і _ 1, то отримаємо

N-і

nMn_, <П(N_і) = (N_ 1)!. (5)

і=1

Отже, із (5) видно, що в алфавіті nMl (4) відсутні послідовності, які є результатом

циклічних перестановок інших послідовностей.

Відмітимо, що при прямуванні кількості елементів до нескінченності за (4) можна визначити граничні значення алфавіту оптимальних послідовностей при Л < 1 [2]:

limnM1 = lim(N _ 1) = N = 4W . (6)

Ar . N

N

Отже, як видно із (6), об’єм алфавіту сумарний з коренем квадратним із бази сигналу W.

При N простому числі можна побудувати (N _ 1) = М послідовностей, які мають

при будь-яких взаємних зсувах не більше однієї збіжності елементів, але при умові, що ко-

дові відстані між елементами однієї послідовності постійні (d}. = const, j є 1,М), а сукупність кодових відстаней складає повну систему кодових відстаней по модулю N [2]:

N-+_) ° (N[1) + і ■ dj) mod(N), (7)

де і є 1,М , а dj = j ■ mod(N) . Задамось довільним елементом послідовності, за яким, відповідно до формули (7), відтворимо усі інші. Для прикладу візьмемо N = 3, Л < 1, L = 1 і припустимо, що

N(1) = n(2) = n(3) = 1 при dj = j. Тоді отримуємо: для j = 1 N2i:i ° (N((1) +1- d()mod(N) ° (1 + 1)mod(3) ° 2;

N3(1) ° (N((1) + 2 ■ d() mod(N) ° (1 + 2) mod(3) = 0; для j = 2 N22) ° (N((2) +1- d2)mod(N) ° (1 + 2)mod(3) ° 0;

N3(2) ° (N((2) + 2 ■ d2) mod(N) ° (1 + 2 ■ 2) mod(5) = 2.

Таким чином, послідовність ансамблю сигналів при к є 1, N буде мати вигляд

{N,}(1) ° 1 2 0; {Nk}(2) ° 1 0 2. (8)

Видно, що послідовності (8) можливо представити у вигляді матриці N (і, к), у якої і - номер рядка, а к - номер стовпця. Отже,

1 2 0 1 0 2

N (і, к) =

(9)

Аналогічним чином, використовуючи (7), побудуємо оптимальний ансамбль для N = 7 (/' є 1,6 к = 1,7) та подамо результат у вигляді матриці

N(і, к) =

1 2 3 4 5 6 7

1 3 5 7 2 4 6

1 4 7 3 6 2 5

1 5 2 6 3 7 4

1 6 4 2 7 5 3

1 7 6 5 4 3 2

(10)

З (10) видно, що N (1,1) = N (2,1) = N (3,1) = N (4,1) = N (5,1) = N (6,1) = 1, тобто цей ансамбль не є ортогональним. Аналогічна картина спостерігається і при виборі іншого довільного простого числа N. Отже, якщо визначати структуру послідовностей ансамблів сигналів відповідно (7), то один їх елемент обов’язково буде співпадати. І це призведе до наявності взаємних впливів між каналами (у каналів, які почнуть одночасно роботу, перші частоти будуть однаковими). Як видно із (10), для усунення цього недоліку достатньо відкинути перший стовпчик з однаковими значеннями та провести заміну інших елементів алфавіту на значення, менші на одиницю. Зробивши це, отримуємо матрицю вигляду

К(і,к) =

1 2 3 4 5 6

2 4 6 1 3 5

3 6 2 5 1 4

4 1 5 2 6 3

5 3 1 6 4 2

6 5 4 3 2 1

(11)

де і є 1, М, к = 1, М. Частотно-часові структури (матриці) оптимального ортогонального ансамблю ББЧС, що побудовані у відповідності з матрицею оптимального алфавіту (11), зображено на рис. 3. При цьому номер кожної послідовності дорівнює номеру рядка і, а номер частоти

К (і, к):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11

3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10

4 4 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9

5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8

6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7

7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6

8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5

9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4

10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3

11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

М = 12.

(12)

/

/6

/5

/4

/з

/2

/і

/

/б

/5

/4

/з

/2

/1

/

/б

/5

/4

/з

/2

/1

і = 1

То 2Т 3то 4то 5то 6то

і = 3

6

5

4

3

2

1

То 2то 3то 4то 5то 6то

і = 5

/

/6

/5

/4

/3

/2

/1

/

/6

/5

/4

/3

/2

/1

/

/6

/5

/4

/3

/2

/1

і = 2

То 2то 3то 4то 5то 6то

і = 4

То 2то 3то 4то 5то 6то

і = 6

То 2то 3то 4то 5то 6то

То 2то 3то 4то 5то 6то

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

ґ

6

5

4

3

2

1

ґ

ї

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

ґ

ґ

Рис. 3. Частотно-часове подання послідовностей оптимального ансамблю ББЧС при М = 6

К(і, к) =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2 4 6 8 10 12 14 16 1 3 5 7 9 11 13 15

3 6 9 12 15 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14

4 8 12 16 3 7 11 15 2 6 10 14 1 4 9 13

5 10 15 3 8 13 1 6 11 16 4 9 14 2 7 12

6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15 4 10 16 5 11

7 14 4 11 1 8 15 5 12 2 9 16 6 13 3 10

8 16 7 15 6 14 5 13 4 12 3 11 2 10 1 9

9 1 10 2 11 3 12 4 13 5 14 6 15 7 16 8

10 3 13 6 16 9 2 12 5 15 8 1 11 4 14 7

11 5 16 10 4 15 9 3 14 8 2 13 7 1 12 6

12 7 2 14 9 14 16 11 6 1 13 8 3 15 10 5

13 9 5 1 14 10 6 2 15 11 17 3 16 12 8 4

14 11 8 5 2 16 13 10 7 4 1 15 12 9 6 3

15 13 11 9 7 5 3 1 16 14 12 10 8 6 4 2

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

М = 16.

Вищерозглянуті правила побудови оптимальних ББЧС досить складні і потребують витрати значного апаратурного ресурсу у пристроях цифрової обробки. Тому, проаналізувавши (10)-(13), отримаємо новий алгоритм знаходження елементів матриць номерів частот:

К (і, к) = (і х к) шоё(М +1),

(14)

де і є 1, М , к = 1, М . При визначенні (14) було враховано, що А • тод(В) = А - (А В), де „ ” - операція ділення без залишку. Не важко переконатися, що, завдяки формулі (14), значно спрощується знаходження оптимальних алфавітів для формування ББЧС, К(і, к) . У відповідності зі значеннями номерів частот оптимального ансамблю ББЧС несучі частоти елементів оптимальних ББЧС визначаються такою формулою:

/ (і, к) = / + [К (і, к) - 1]А/Р де Л - найменше значення несучої частоти ББЧС.

(15)

Тоді часове представлення оптимальних ЧЧП у відповідності з (2) матиме такий ви-

гляд:

м

4 0)=2 а(^ к)'8Іп[2р(/+(К (i, к) - 1)АЛ)ґ+к)] =

(16)

к=1

де і є1, М .

Із формули (16) видно, що амплітуда та початкова фаза ЧЧП у процесі модуляції можуть змінюватися довільним чином. Завдяки цьому розглянуті шумоподібні сигнали мають значні інформаційні можливості [4], що робить їх перспективними для використання в системах мобільного зв'язку.

5. Висновки

Використовуючи отримані аналітичні залежності, у статті розроблений алгоритм побудови оптимальних частотно-часових сигнальних конструкцій.

Результати зазначених досліджень дозволяють вирішити задачу раціонального вибору сигнального базису для побудови фізичного рівня телекомунікаційних радіосистем з необхідними властивостями.

Отримані результати можна використовувати при проектуванні та розробці сучасних систем радіозв’язку.

Напрямком подальших досліджень вважається розробка сигнально-кодових конструкцій з використанням запропонованих сигналів.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Яриловець А.В. Аналіз стану та перспективи розвитку телекомунікаційних мереж / А.В. Ярило-вець, В.Д. Назарук, С.В. Зайцев // Вісник Черніг. держ. технол. ун-ту. - 2012. - Вип. 2. - С. 60 - 70.

2. Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов / Тузов Г.И. - М.: Советское радио, 1977. - 400 с.

3. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами / Варакин Л.Е. - М.: Радио и связь, 1985. - 384 с.

4. Бабіч В.Д. Граничні інформаційні можливості багатопозиційних багаточастотних сигналів з фазовою та амплітудно-фазовою маніпуляцією / В.Д. Бабіч, С.Г. Пасічник, А.В. Яриловець // Зв’язок. -2006. - Вип. 5. - С. 55 - 58.

5. Пат. 17330 Україна, МПК НО4Н 1/100. Спосіб передавання багатопозиційних багаточастотних сигналів / В.Д. Бабіч, А.В. Яриловець, С.Г. Пасічник. - № и 2006 03799; заявл. 06.04.06; опубл. 15.09.06, Бюл. № 9. - 4 с.

Стаття надійшла до редакції 10.08.2012